群的自同构群

6阶循环群的自同构群摘要：1.引言2.6 阶循环群的定义3.自同构群的定义和性质4.6 阶循环群的自同构群的构造5.结论正文：【引言】在数学领域，群论是研究离散对称性的一个重要分支。

群的自同构群是群论中的一个重要概念，研究群的自同构群有助于更深入地理解群的结构和性质。

本文将探讨6 阶循环群的自同构群，首先我们需要了解6 阶循环群和自同构群的定义。

【6 阶循环群的定义】6 阶循环群是指由6 个元素组成的群，其中包含一个元素e，满足e*a = a，a*e = a，a*b = c，其中c 是a 和b 的乘积，并且c 不等于e。

6 阶循环群可以表示为{e, a, a^2, a^3, a^4, a^5}。

【自同构群的定义和性质】自同构群是指一个群G 与其自身的同构象。

设f 是群G 的自同构，那么对于G 中的任意元素a，有f(a) = a^x，其中x 是整数。

自同构群的性质包括：1) 自同构群是群的一个正规子群；2) 自同构群的阶是群的阶的因子；3) 自同构群的元素可以表示为群元素的某个整数次幂。

【6 阶循环群的自同构群的构造】对于6 阶循环群{e, a, a^2, a^3, a^4, a^5}，我们可以构造一个自同构群。

首先，我们找到群的阶，即6。

然后找到6 的因子，即1、2、3 和6。

对于每个因子，我们可以计算出对应的自同构群。

以因子2 为例，我们可以得到自同构群{e, a^2, a^4}。

这个自同构群的元素可以通过将原群中的元素a 的幂次乘以2 得到。

同理，我们可以构造出其他因子对应的自同构群。

【结论】通过研究6 阶循环群的自同构群，我们发现自同构群可以帮助我们更好地理解群的结构和性质。

对于6 阶循环群，我们可以构造出4 个自同构群，分别是{e, a^2, a^4}、{e, a^3, a^5}、{e, a, a^3, a^5}和{e, a^2, a^3, a^4,a^5}。

四元数群的自同构群-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：四元数是一种数学结构，它扩展了复数的概念。

与复数类似，四元数可以用方式a + bi + cj + dk进行表示，其中a、b、c和d分别是实数，而i、j和k是特定的虚数单位。

四元数群是指由四元数构成的数学群，其中群的运算是四元数的乘法。

本文主要研究四元数群的自同构群。

自同构群是指一个数学结构自己到其自身的同构映射所构成的群。

在本文中，我们将探讨四元数群的自同构群的概念和性质，并研究其特点、应用和意义。

了解四元数群的自同构群对于理解四元数的结构和性质具有重要意义。

自同构群可以帮助我们发现四元数群中的对称性质和关系，从而推导出关于四元数的重要性质和结论。

此外，研究四元数群的自同构群还能够为解决一些实际问题提供有力的工具和方法。

因此，深入研究四元数群的自同构群对于数学和工程领域的学者都具有重要的参考价值。

在接下来的正文中，我们将首先介绍四元数群的定义和性质，包括四元数的乘法运算和群的封闭性等。

然后，我们会详细讨论自同构群的概念和性质，并给出一些自同构群的例子和结论。

最后，我们将总结四元数群的自同构群的特点，并探讨其在实际应用中的意义和潜在的发展方向。

希望通过本文的研究，读者能够对四元数群的自同构群有一个清晰的认识，并能够将其应用于相关领域的研究和解决问题中。

1.2文章结构文章结构部分将描述文章的整体结构和各个章节的内容安排。

文章按照以下的结构进行组织和撰写：1. 引言：引言部分主要包括以下内容：1.1 概述：对四元数群和自同构群的基本概念进行简单介绍，强调自同构群对于四元数群的重要性和研究意义。

1.2 文章结构：详细阐述文章的整体结构，即各个章节的内容和组织方式。

1.3 目的：明确本文的研究目的和研究方法，指出本文的创新点和科学价值。

2. 正文：正文部分分为以下几个章节：2.1 四元数群的定义和性质：介绍四元数群的基本定义，包括四元数的表示方法以及群运算的性质，如结合律、单位元等。

带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群数学年刊2011,32A(6):665—678带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群冰廖军杨艳刘合国.提要给出了带极大或极小条件的Abel群A的自同构群以及自同态环的相伴Lie环是可解或幂零的充要条件.同时也给出了群A=Q0Q0…0Q的自同构群是可解或幂零的充要条件,以及群A的自同态环的相伴Lie环是可解或幂零的充要条件.关键词自同构群,自同态环,可解,幂零MR(2000)主题分类20K30,20F16,20F18中图法分类O152.2文献标志码A文章编号1000—8314(2011)06—0665—141引言本文采用文f121的术语和符号,一般情况下计算群的自同构群和研究群的自同构群的性质是很困难的,即使对Abel群也是如此.从结合环R出发,自然地可以构造一个Lie环L,方法如下:定义L的加群为_R的加法群(R,+)以及Lie积为[X,Y]=xy—yx,通常记为_R(～,称为的相伴Lie环.Abel群的自同态环EndA是结合环,则可以构造Lie环End(一.因此我们可以研究Abel群的自同态环的相伴Lie 环的可解,幂零性质对群结构的影响.同样地,也可以通过研究Abel群的白同构群AutA的可解,幂零性质来分析群A的结构.本文将对几类带有有限性条件的Abel 群进行讨论,并给出了它们的自同态环的相伴Lie环是可解,幂零以及自同构群是可解,幂零的充要条件.在多数情况下它们具有相似性.其实这也并不偶然,正是由于这些Abel群是由它的自同态环或者自同构群所确定.第2节首先给出了有限AbelP一群的自同构群AutA可解的充要条件,接着利用自同构群的稳定自同构的一个结论(见引理2.3),分别给出了带极大和极小条件的Abel群的自同构群是可解,幂零的充要条件.在定理2.6一定理2.10中,分别给出了有限AbelP一群,带极大条件的Abel群和带极小条件的Abelp-群的自同态环的相伴Lie环是可解,幂零的充要条件.当P≠3时,有限Abelp-群的自同构群AutA可解当且仅当群A的自同态环的相伴Lie环End(一)可解.对于带极大,极小条件的Abel群的自同构群AutA的可解性和群的自同态环的相伴Lie环End(一)的可解性,定理2.2一定理2.3和定理2.8一定理2.9分别相对应,在它们的幂零性的论述中,定理2.4和定理2.10相对应.设A=Q0Q.0…④Q,其中Q={丌pmI?Tti,m∈Z},这里7rk为某pi∈k 些素数的集合.第3节对群A讨论了类似的问题:定理3.1和定理3.2分别给出了A的本文2011年2月25日收到,2011年6月18日收到修改稿.北京大学数学科学学院,北京100871.E—mail:*************.ca0湖北大学数学系,武汉430062.E—mail:******************0通讯作者.湖北大学数学系,武汉430062.E—mail:**************.cn国家自然科学基金(No.10971054)资助的项目.数学年刊32卷A辑自同构群AutA是可解,幂零的充要条件,定理3.4给出了群A的自同态环的相伴Lie环EndA(一)是可解,幂零的充要条件.此时AutA是可解(幂零)的当且仅当EndA㈠是可解(幂零)的.定理3.3表明,A的自同构群AutA可解和B1是一致的.除去P=2的情况,比较定理2.4,定理2.10,定理3.2和定理3.4可以知道,对于我们所讨论的Abel群A,的自同构群AutA和自同态环的相伴Lie环EndA(一)是幂零的当且仅当它们是交换的.而且此时它们都具有相对简单的结构:AutA和EndA【一)是幂零(交换)的,如果A是满足极大条件的Abel群,当且仅当A是循环的;如果是满足极小条件的Abel群,当且仅当A是循环的或者是拟循环群的直和;如果A=Q0Q0…0Q当且仅当每一个Q是全不变的.2带极大或极小条件的Abel群设有限Abelp-群有分解A=(zpn)h0(n.)0…0(nr),其中r,ft是正整数,0<nl<n2<…<n.记群A的自同态环EndA=,群A的自同构群为AutA.下列的事实,见文【3-6】.(a)群A的自同态环=EndA可以表示成r×r矩阵环(岛),其中岛=Hom((nt)”,(n));(b)环有Jaeobson根=(),其中=pCi~;当i≠J时,J=(C)AutA的极大正规子群是△=1+.引理2.1【】除了n=2,IFI=2,3外,GL(F)是不可解的.以下总约定P为素数,z为整数环,Zp为进整数环,n=Z/(pZ)为模P剩余类环或P阶循环群.引理2.2(i)群GL2(Z)以及GL2(Zp)不可解;(ii)当素数P>2时,上的上三角可逆矩阵群()不是幂零的;(iii)当素数P>3时,Aut(m0n)不是幂零的.证记[,Y]=[z,Y,Y,…,],其中Y出现n次.环的满同态:Z一诱导群的满同态GL2(Z)一GL2(),同态像GL2()在P>3时是不可解的,因而GL~(Z)不可解.类似地,GL2(Zp)不可解.GL2(Z2)&,是可解的,而中一5-是平凡的,因此不是幂零的.考虑上的上三角可逆矩阵群(zp),由于[(G0o)]=(.1),当P>2时,取a:2,则[(((.1)组因此()不是幂零的.不妨设m≠佗(否则GL2(n)不可解),Aut(m0n)在Q1(m0n)上的限制同构于(),因此Aut(m0n)不是幂零的.6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群667定理2.1设是有限Abelp-群,且A=(n)”0(n).0…0(n),其中r是正整数,n1<n2<…<礼,ft都是正整数.则(1)当P>3时,AutA可解当且仅当f1:f2=…=0=1;(2)当P=2或3时,Aut可解当且仅当li≤2(1≤i≤r)证(1)当P>3,ll=12=…=f=1时,由文【8]中推论2.9知AutA△(一1),这里△=(AutA)是AutA的极大正规子群,因此是幂零群,则是可解群,(zp一1)是Abel群,即AutA是可解子群△=Op(AutA)被Abel群的扩张,因而是可解的.反之,假设存在某个li>1,则GL2(zpn.)≤AutA,但是GL2(nt)的商群GL2()是不可解的,矛盾.所以?1=f2=…=0=1.(2)当P=2或3时,ct≤2(1≤i≤r),由文[8】中定理1.1和命题2.2知rAutA△×lJGLt(),t=1这里△=(AutA),它是幂零的因而是可解的.由引理 2.1,当2t≤2时,GLl(zp)是可解群,则兀GLt()是可解的.则AutA是可解子群△=Op(AutA)被可解群0=lr兀GLf,()的扩张,因而是可解的.反之,假设存在某个fi>2,则GL3(nt)≤AutA,但是GL3(nt)的商群GL3()是不可解的,矛盾.所以li≤2.事实上,对于有界Abelp-群也有同样的结论,定理2.1的证明也同样适用.另一方面,有限Abel群可以分解为有限Abelp-群的直和,每个分支都是全不变的,则是特征子群,所以有限Abel群的自同构群可以分解为有限Abelp-群自同构群的直积.因此对有限Abel群总可以约化到定理2.1的情形,类似地对有界Abel群也一样.为便于叙述,我们首先给出下面的引理,它是本文计算某些自同构群的基础.引理2.3设是Abel群,B是的特征子群,且A=B0,则AutA=Horn(C,B)(AutB×Aut).证的所有稳定B的自同构构成AutA的一个子群,记为Aut(A)B,即Aut()B={∈AutAIB”=B).由于是A的特征子群,所以AutA=Aut(A)B.由文f9]中定理2.1知Aut(A)8=Der,B)Pair(C,B).由于A是Abel群B与C的直和,即A=B0C,因此平凡地作用在Abel 群B上,则导子就是它们之间的同态,即Der(C,B)=Hom(C,),668数学年刊32卷A辑并且由直接验算Pair(C,B)满足的条件,可知Pair(C,B)=AutB×AutC,因此AutA=Hom(C,B)(AutB×Aut),AutB×AutC在Hom(C,B)上的作用为(,(,))一&.定理2.2设是满足极大条件的Abel群,则AutA可解的充要条件是的挠子群的白同构群是可解的且ro(A)≤1.证若AutA可解,由引理2.2,GL2(Z)不可解,知ro(A)≤1,并且A的挠子群的自同构群是AutA的子群,因此是可解的,必要性已证.下证充分性.注意到的挠子群是A的特征子群,设为,如果TO(A):0,则A是有限群,此时归为定理2.1的情形.不妨设TO(A)=1,则A=T0Z,由引理2.3,可得AutA=Hom(Z,T))日(AutTXAutz),其中Hom(Z,T)T,AutZ=Z2.由假设,有AutT可解,因此AutA可解.类似地,对于满足极小条件的Abel群有下面的定理.定理2.3设4是满足极小条件的Abelp-群,则AutA可解的充要条件是A的既约子群R的自同构群是可解的且的极大可除子群D的秩r(D)≤1.证设A是满足极小条件的Abelp-群,的极大可除子群为D,既约子群为R,则‘A=D0R且D是A的特征子群.由引理2.3,可得AutA=Hom(R,D)>日(AutD×AutR),而Horn(R,D)是Abel群,因此AutA可解的充要条件是AutD,AutR是可解的,引理2.2说明GL2(Zp)不可解,其中z是P一进整数环.因此的极大可除子群D的秩r(D)≤1.若r(D)=1,即D=z..,熟知当P>2时,AutZp..～10zp.当P=2 时,AutZ2..Z20z2,其中z是进整数环.反之,4的既约子群R的自同构群是可解的且的极大可除子群D的秩r(D)≤1时,AutA可解.注意到满足极小条件的Abel群的自同构群是其P一子群自同构群的直积,因此满足极小条件的Abel群的自同构群是可解的充要条件是其所有子群的自同构群都是可解的.于是,结合定理2.1和定理2.3我们可以得到满足极小条件的Abel 群的自同构群是可解的充要条件.由引理2.2和引理2.3可以得到下面的定理.定理2.4(i)有限Abel2’-群A的白同构群AutA幂零的充要条件是rp(A)≤1,当且仅当是循环群;(ii)满足极大条件的Abel群且其挠子群是2一群的自同构群AutA 幂零的充要条件是有限且(A)≤1或A=Z,即为循环群;(iii)满足极小条件的Abel2/_群的自同构群AutA幂零的充要条件是A有限且rv(A)≤l或A=0...6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群669证(i)不妨设是有限AbelP一群,由引理2.2,当P>2时,T2()不是幂零的,因此不含形如m0的子群,即是循环群,rp(A)≤1.反之显然.(ii)假设Z=n0Z,则AutAn(AutnX),计算[(1,(1,1)),(0,(1,))]l其中Oz是z的二阶自同构,注意到它的作用方式把它写成矩阵形式[((呈)]=(.12)这里(一2)≠0是因为是2一群,因此AutA不是幂零的,所以或者有限或者自由循环,当有限时,由(i)知也是循环的.(iii)此时的证明方法同(为了处理P=2的情形,我们需要下面定理,见文『1O].稳定性定理设群G忠实地作用在群上,G稳定的如下长度为2的正规群列1≤W<记Z:=41(W)是的中f1.,它自然地作成一个一模,则G≤Der(v/z),其中Der(Z)是到z的所有导子作成的Abel群.定理2.5(i)设是有限Abel2-群,且A=(Z2n)0(Z2n2).0…0(Z2)L,这里nl<?22<…<几,l是正整数,则AutA幂零的充要条件是l=1.(ii)设是自由Abel群与Abel2-群的直和,则A的自同构群AutA幂零当且仅当A=2r2n0Z2nz0?-?0Z2n0Z,这里礼1<礼2<…<72r.(iii)满足极小条件的Abel2-群A的自同构群AutA幂零当且仅当A=Z2n①Z2nz0…0n0..,这里札1<佗2<-??<竹r.证(i)设是有限Abel2-群,且A=(Z2n)h0(Z2n.)120?-?0(Z2n),这里几1<?22<…<n,ll是正整数.当所有的i,1=1时,群4的自同构群AutA是一个2一群,因此是幂零的.反之假设存在某个ft>1,则GL2(n)≤AutA 且它的一个商群是GL(),由引理2.2是非幂零的,矛盾.(ii)设是自由Abel群与Abel2一群的直和,且自由子群是自由循环群z若Abel2一子群B=Z2n0Z2n①…0Z2(其中?21<礼2<…<礼),它是特征子群,由引理2.3,可得AutA=Hom(Z,B)×(AutB×Autz),其中Horn(Z,B)B,AutB是一个2一群,AutZZ2,则AutA是一个2一群,因此是幂零的.670数学年刊32卷A辑当A=Z2n0Z2n.0…0n0z时,证明其自同构群是幂零的另一个方法是:设C=2”A={2”aIa∈),其中n>n,则C2Z,它是的特征子群,A/Cz2n10Z2n20…0Z2n0zn.考虑G=AutA在0≤C<A上的自然作用.记ca(c)={∈GIc.=c,c∈), Cc(A/C):{∈Gl(a+)=a+C,a+C∈A/C},贝0c/ca(c)≤AutC,C/Ca(A/C)≤Aut(A/C),且c/ca(c)rhCa(A/C)≤c/cc(c)XG/Ca(A/C),又cc(c)nCc(A/C)稳定,0<C<A,故根据稳定性定理知cc(c)nCG(A/C)≤Der(A/C,),A/C是有限的,而C是自由循环群,因此Der(A/C,C):Hom(A/C,C)=0.AutA/C是一个2一群,AutC,则G≤AutC×Aut(A/C)是幂零群.反之若AutA是幂零群,则AutA的子群AutB是幂零的,当且仅当B=Z2n0Z2”0…0…由于GL2(Z)不是幂零的,因此自由子群是自由循环群z,因此A=z2n0Z2n20…0n0Z,其中nl<n2<…<nr.(iii)由(ii)以及引理2.2知条件是必要的,下证充分性.设A=Z2n0Z2n20…0n0..,这里仡1<n2<…<nr,设B:Q2n(A)={0∈Al2ha=0),其中n>n,则Bz2n10z2n20…0n0n,它是A的特征子群.考虑G=AutA在0≤B<A上的自然作用.记Ca(B)=fQ∈G1b.=b,b∈B),Cc(A/B)={∈Gl(a+B)”=a+B,a+B∈A/B},则C/Ca(B)≤AutB,C/CG(A/B)≤Aut(A/B),且C/CG(B)nCc(A/B)≤C/Cc(B)×C/Cc(A/B).又Cc(B)nCc(A/B)稳定,0<B<A,故根据稳定性定理知Cc(B)nCc(A/B)≤Der(A/B,B),A/BZ2o.是可除的,而B有限,因此Der(A/B,B)=Hom(A/B,B)=0.AutA/B(o.)=Z20Z2是Abel群,由(i)知AutB是一个2一群,则C≤AutBXAut(A/B)是幂零群.下面讨论带极大,极小条件的Abel群的自同态环构成的Lie环是可解,幂零的条件,为此需要下面的引理.引理2.4(m)(一)可解,坞()(一)不可解.证直接计算可得[(),()]=(c—brz+-cyd一.6cr一一d).6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群671设L=M2(Z2)(一,则由上面的计算知则则)lm)为了计算,在上式中令d=一a,r=一x,有[),G)]=(2.b…z-cyn名一),{(m).令b=2b1,c:2c1,Y=2yl,=2zl,有),()]一blz…l-cly哪yza-bmlx/,)c∈m)归纳地,知M2(Z2m)(一)可解.记K=M3(Z2)(_.,则K=(e),其中表示(J)位置为1,其它位置全为0的矩由于当i≠J时,,eij1=eij,[eij,eft]=eli—ejj,有K=(eij,eii—eli≠歹).又因n>2,存在k满足k≠i,k≠J,i≠J,则eij=【eik,ekj],eii一jJ=【eij,e所以K=K≠0,因此不可解,即M3(Z2)(一)不可解引理2.5当P>2时,()(一)不可解;相伴Lie环(z)(一)和(zp)(一)不可解.证取L=(el2,e21>,由于(e12,e21】=ell—e22,【611一e22,el2】=2e12,【ell—e22,e21】=一2e21, 则el1一e22,e12,e21∈L,归纳地,对任意的正整数此()(一)不可解.m,有el1一e22,e12,e21∈(,则()≠0,L不可解,因()(一)是(z)(一)和Mn(Zp)(一)在自然同态z一以及zp一下诱导的Lie环同态像,因此(z)(一)和(zp)(一)不可解.定理2.6设P是奇素数,记A=(n)ll④(n.)④…0(),这里扎1<n2<…<n,如是正整数,则End(一)可解的充要条件是如=1672数学年刊32卷A辑证如果End(一)可解,由引理2.5知1=1,否则存在一个子环()(一)不可解,矛盾.另一方面,如果li=1,则A=n10zpn20 0EndA{(aij)laijEHorn(,’))且i<J,Pln巧.记L=End(_.,Cij=∑(aikakj—bikakj),如果cij∈L,则PlCij,i≤J.归纳地, Cij∈(,对任意的i,J,有PI.,且当i<J时,P.l,继续重复上述过程,直到Cij=0,因此可解.也可以用另外一种方法来证明可解:EndA在【21(A)上的限制就是n一诱导的环同态,即对每一位置模P,同态像是上的一个三角矩阵,同态的核是每个位置元素都能被P整除的数,即0Mod(p).由环的同态得到Lie环的一个同态,结合可解Lie环在扩张下封闭的性质得到Lie环L=End(一)是可解的.定理2.7设A=(Z2n)/10(Z2)120…0(Z2),这里n1<Tt2<…<n,f是正整数,则End(一)可解的充要条件是ft≤2证设fi≤2,自然同态z2n.一z2诱导的环同态,End(一)的同态像是一个下对角矩阵,并且对角线上是1阶或2阶可解块,因此同态像可解,同时核满足2Ia同上述定理相同的证明方式,知其可解,得到End(一)可解.反之,由引理2.4,如果End(一)可解,则li≤2.定理2.8设A是满足极大条件的Abel群,则End(一)可解的充要条件是EndA可解且_r0(A)≤1.证设A=0A0Z,0A是A的全不变子群,).(~EndAEndZEndA【H.m(z)J(,z/),又(0EndAp)～0EndA和z(一)都是可解的,按分块矩阵计算知EndA(一)是可解的.反之,End是End(一)的子环显然可解,且()(一)不可解,因此ro()≤1.类似的方法可以得到下面极小条件下的定理.定理2.9设是满足极小条件的Abel群,则End(一)可解的充要条件是EndA可解.End可解当且仅当End磷可解且rank(Dp)≤1,其中Rp和Dp分别是A的既约子群和极大可除子群.的引理2.6(z)(一)不是幂零的,若=n0m,n<m,则EndA(一)不是幂零证注意到对任意的正整数n,[el2,?tc22]=el2≠0由引理2.5和引理2.6,立即可得下面的定理6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群673定理2.10(i)有限Abel群的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是rp(A)≤1;(ii)满足极大条件的Abel群A的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是有限且口(A)≤1或A=z;(iii)满足极小条件的Abel群的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是有限且rp(A)≤1或A=0..;P(iv)满足极大或极小条件的Abel群4的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是的自同态环的相伴Lie环是Abel的.3完全分解的无挠Abel群下面考虑这样一类Abel群,首先介绍符号和一些简单的结论:记丌为某些素数的集合,设Q={兀.mIm,m∈Z}.对群Q有下列简单事Pl∈7r实:(a)Q的元具有无限丌一高,有限丌一高,即任意的P∈7r,P高为0(3,否则为有限.(b)Q的任意一个自同态可以由1的像完全决定.事实上,m=(m?1)妒=m?1;由(pp)=1,知p?(p)=1,因此(p)妒=p1妒,所以(兀m)妒=兀m?1;pp(c)如果71”17I”2,则Horn(Q,Q.)=0,否贝0Horn(Q,Q.)Q.事实上,如果丌17r2,存在P∈丌1一丌2,Q中的任意元具有无限71”1一高,特别地,1具有无限高,若∈Hom(QQ.),则1∈Q.也具有无限p一高,则1=0,因此Horn(Q丌l1Q)=0.如果71”171-2,任意的∈Hom(Q丌¨Q.),由1的像1完全决定,而1∈Q.,因此Horn(Q,Q.)Q..特别地,EndQ=Horn(Q,Q)Q.(d)AutQQ={l=士11p.,Pi∈7r,仃∈z)z2①ZI.特别地,AutQpQ=r,oZ2④Z.这是因为EndQ=Horn(Q,Q)Q,因此AutQQ.若兀m∈Q,则存在p:.兀他∈Q,使1=兀m兀n=兀m佗,贝0mn=1,m=土1.pppp设A:Q0Q.0…0Q此时称是”完全分解”的,首先我们讨论秩为2即=Q0Q.的情形.A=Q0Q的自同态环和自同构群具有下面的矩阵表达形式:EndA竺{I兰三}I∈Itom(p,Q),{,J=1,2},AutA』【【2()可逆,∈H.m(Q,Q)下面按集合71”1和71”2的包含关系分别讨论群A=Q0Q.的白同构群以及自同构群的可解幂零性.(i)当71”171”2,71”271”1时,记71”1=71”2=7r.End[g>(,AutGL2(674数学年刊32卷A辑由于GL2(Z)≤GL2(Q),而GL2(Z)是不可解群,因此GL2(Q)也不可解.GL2(Q)的中5-为CGL2(Q)=)aEQA),铡).易知O.charA,而A=Q0O由引理2.3,知AutAHom(O,O)>日(AutOXAutO)O.(Q.×Q)是可解的,但不是幂零的,事实上,Aut(!)f.∈AutQ.,c∈AutQ~,bEHom(Q,Q:>.若(!)∈~AutA,则()=)=I1c+)=(舌,6=..取是嵌入同态,则.限制在Q等于c,记为..所以()a01),即(~AutA=()I.).若1)∈(~2AutA,则对任意的)∈AutA,有[(6)j(舌tA又(=(.一)一[(),(吾)]=(n0一一ac一-16.)(0一一X--一1)(a..b)(苦Y) =(.1).由于(01)∈<Aut,其中=一a-1bc+X--1yz+a-ix一(6一y)zc=0,对任意的∈Q.,∈Q,Y∈Q成立.若Y=0,即一a-1bc+a-ix_1bzc=0,则b=0,且2C--lyz—a-1-1yzc=0,则a】=c.因此()=()∈(AutA,AutA=(AutA≤AutA,AutA不是幂零群.6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群675当I71-2J<..时,AutA=Q.(AutQ×AutQ.)是有限生成的可解群,但不是多循环的,由于Q.不是有限生成的.而超可解是多循环的,因此它不是超可解的.(iii)当71”171”2,7r27r1时,E..%OZI#ll~.,此时AutA是Abel群.因此若AutA是超可解或多循环的,则AutA是幂零的且是Abel的.当且仅当7rl丌2,7r27r1.一般地,有下面定理.定理3.1设A=Q0Q.0…0Q其中Q:{nm}mi,m∈Z},这里.1rk为某些素数的集合,则AutA可解当且仅当对任意的i≠J,71”i≠7rj.证当7’=2时,由前面的叙述(i)一(iii)知AutA可解当且仅当71”1≠71”2.先证充分性.假设对某个i≠J,7I”i=,当k≠i,时,设A1={∈AutAl使在Q上的限制为1,即lQ:1Q),则1是AutA的子群,且A1GL2(Q.),而GL2(Q)是不可解的,从而1是不可解的,于是AutA不可解,与已知矛盾.再证必要性.如果对任意的i≠J,亿≠,那么存在一个元,不妨记为丌,满足对任意的i≠r,有丌,否则,必有某两个集合相等,与已知矛盾.这样的丌称为集合{『1≤i≤r)的极大元.显然QcharA,则.r一1,,r一1,AutAHorn(0QQ)>日(Aut0Q×AutQ~r)jt=1i=1,r一1,r一1其中Horn(0QQ)0Horn(QQ)与AutQ都是Abel的,对r进行归,i=1=1 r一1纳,知Aut0Q是可解的,因此AutA是可解的.=1定理3.2设A;Q0Q.0…0Q其中Q:{npmIIYt,,m∈Z},这,pt∈丌’里丌为某些素数的集合,则AutA幂零当且仅当对任意的i≠J,死.证当r=2时,由前面的叙述知道AutA幂零当且仅当丌1/1”2,丌2丌1.先证充分性.如果对某个i≠J,7ri7r{,当k≠i,J时,设A1={∈AutAI使在Q上的限制为1,即lQ=1Q),则A1是AutA的子群,当死:时,A1GL~(Q);当时,AutAQ)日(AutQ×AutQ),而aL2(Q)和Q丌j(AutQ×AutQ丌j)都不是幂零群,因此A1不是幂零的,与AutA幂零矛盾.再证必要性.如果对任意的i≠J,7ri,则Horn(QQ)=0.676?数学年刊32卷A辑因此EndAA,AutA(Q)×(Q)×-??×(Q)日≥(z2.z’z’),=1AutA是Abel的,因而是幂零的.推论3.1设A=Q0Q0…0Q其中Q:{兀pmI?gti,m∈Z},这Pl∈.a-k. 里丌为某些素数的集合.则下列条件等价:fa)AutA是多循环的;(b)AutA是超可解的;fC]CAutA是幂零的;(d)AutA是Abel的.注意到群G称为是B的,如果G有一个正规列G=G1>G2>>Gn=1,即G司G,且Gi/Gi+1≤Q或Gi/Gi+l≤Q/z.定理3.3设A=Q0Q0…0Q其中Q={兀pmImt,仇∈z},这Pi∈7rk0里7r为某些素数的集合,则AutA是B1的当且仅当AutA是可解的. 证充分性显然,因为由定义B是可解的.下证必要性.当r=2时,AutAQ>日(AutQ×AutQ.)或AutA=r-oAutQl×AutQ2.若AutAQ:(AutQ×AutQ.),贝40<Q2<QZ2<Q.(Z20Z2)<Q.(Z20Z20Z)<Q>日(Z20Z20Z)<<Q.(Z20Z20Z/】+l.I)=AutA是AutA=Q.(AutQ×AutQ.)的一个正规列,其商因子分别为QZ2,Z2,Z,-? z,而QZ是Q的子群,是O,/Z的子群,因此AutA是B1的.如果AutA=e-,4AutQ1×AutQ2Zg.0Zl10Z20Zl,则AutA是Abel群,且可以分解为和z的直和,因此也是B1的.所以当r=2时,AutA是可解的则是B1的.当r≥3时,由定理3.1,存在一个极大元丌,使QcharA,则AutAHorn((~QQ)×(Al1t0QAutQ).记s=ml7r,1≤i<r)l,有r一1r一1Horn(Q,Q)Horn(Q,Q)Q,6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群677可以得到,r一1,AutAQ(Aut≥Q×AutQ).因Q,AutQ是B1的,由归纳假设Aut0Q是B1的,易知AutA是B1的. 定理3.4设A=Q0Q.0…0Q其中Q={兀pmlmi,m∈Z},这里丌k为某些素数的集合,则(a)EndA(一)可解的充要条件是7i”i≠对任意的i≠J;(b)EndA(一)幂零的充要条件是71”i对任意的i≠J,此时它是Abel的,其中End(一)是由自同态环EndA的加法群以及Lie积Y]=xy—yx构成的相伴Lie环.证先讨论r:2的情形:(i)当71”1=71”2时,EndA=(Q),由于(z)(一)≤(Q)(一)是不可解的,所以M2(Q)(一)不可解;(ii)当丌丌.,7r2丌时,End(Q~l.Q.)(%g),此时它构造的Lie环是可解的不是幂零的,因为[e12,n~22】:e12;(iii)当7r1丌z,7r271”1时,End(Q.Q.)(%.),此时的Lie环是幂零的,并且是交换的.一般地,如果71”i≠对任意的i≠J,则存在一个极大元丌,即7r,设A=B0Q,那么Q是全不变的,Ena(EBH.m),由于EndB(一)是可解的,因此EndA(一)可解.反之,显然有≠霄j对任意的i≠J.这就证明了第一部分.71”i对任意的i≠J,此时EndA0EndQAi是Abel的,因此是幂零的.反之由r=2情形易得对任意的i≠J,7ri参考文献[1]RobinsonDJS.Acourseinthetheoryofgroups[M].2nded.NewY ork:Spri nger—V erlag,1995.【2]KhukhroEI.p-AutomorphismsoffiniteP—groups[M】.Cambridge:Ca 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E—mail:unicornyy~163.corn3Correspondingauthor.DepartmentofMathematics,HubeiUniversity,Wlu han430062,China.E—mail:ghliu~.ca AbstractLetAbeanAbeliangroupwithmaximumorminimumcondition.Th eauthors givenecessaryandsufficientconditionsfortheautomorphismgroup(resp.Li eringasso—ciatedwiththeendomorphismring)beingsolvable(resp.nilpotent).Moreove r,necessary andsufficientconditionsfortheautomorphismgroup(resp.Lieringassociate dwiththeendomorphismring)beingsolvable(resp.nilpotent)forA=Q7r10Q20…0Q 7rarealsogiven.KeywordsAutomorphismgroup,Endomorphismring,Solvable,Nilpotent 2000MRSubjectClassification20K30,20F16,20F18。

第38卷第2期西南师范大学学报(自然科学版)2013年2月V o l.38N o.2J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)F e b.2013文章编号:10005471(2013)02000105关于散在单群的自同构群的一个新刻画①高彦伟,曹洪平西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:设G是有限群,K1(G)是G的最高阶元的阶,K2(G)是G的次高阶元的阶,K3(G)是G的第三高阶元的阶.证明了:每一个散在单群的自同构群G均可被G的阶和K i(G)(其中iɤ3)唯一刻画.关键词:有限群;散在单群;自同构群;元的阶中图分类号:O152.1文献标志码:A人们在研究群的结构时,总是希望能够用群的最基本的特征对其进行描述.众所周知,群的阶和群的元的阶是群的两个基本概念,也是描述群的两个重要的数量.那么能否用这两个数量对群进行纯数量刻画,就成了群论研究者感兴趣的一个课题.令πe(G)表示群G中元的阶的集合,文献[1]提出了这样的猜想:设G为群,H为有限单群,则G≅H当且仅当πe(G)=πe(H),|G|=|H|.文献[1-6]利用πe(G)和|G|刻画了一些有限单群.最近,文献[7]完成了文献[1]提出的猜想的证明.在此基础上,文献[8]利用πe(G)和|G|唯一地刻画了所有散在单群的自同构群.令K1(G)为G的最高阶元的阶,K2(G)为G的次高阶元的阶,文献[9]利用|G|和K i(G)(其中iɤ2)唯一地刻画了所有的散在单群.本文将尝试着利用|G|和群G中一些较高阶元的阶去唯一地刻画所有散在单群的自同构群,并证明如下定理:定理1设G为群,H为散在单群,则G≅A u t(H)当且仅当|G|=|A u t(H)|,K i(G)= K i(A u t(H)),其中iɤ3.本文所涉及的群均为有限群,单群均为非交换单群,G p为G的一个S y l o w p子群,其它所用的符号都是标准的,参见文献[10-12].1预备知识由文献[11]知,下列散在单群的自同构群同构于自身:M11,M23,M24,C o1,C o2,C o3,J1,J4,R u,F i23, L y,T h,B,M.文献[9]已证明了上述散在单群均可由|G|和K i(G)(其中iɤ2)唯一地刻画,所以本文只对J2,M12,M22,F iᶄ24,H N,OᶄN,J3,S u z,H s,H e,M c l,F i22的自同构群进行讨论.为了方便,我们在表1中列出了上述散在单群的阶及其元素阶的集合,在表2中,我们列出了上述散在单群的自同构群的阶及其一些较高阶元的阶.①收稿日期:20120511基金项目:国家自然科学基金(11171364);重庆市自然科学基金(C S T C.2009B B8111).Copyright©博看网. All Rights Reserved.作者简介:高彦伟(1987),男,河南南阳人,硕士研究生,主要从事有限群论的研究.通信作者:曹洪平,副教授.表1 一些散在单群的阶及其元素阶的集合H |H |πe (H )J 227㊃33㊃52㊃71,2, ,8,10,12,15M 1226㊃33㊃5㊃111,2, ,6,8,10,11M 2227㊃32㊃5㊃7㊃111,2, ,8,11F i ᶄ24221㊃316㊃52㊃73㊃11㊃13㊃17㊃23㊃291,2, ,18,20, ,24,26, ,30,33,35,36,39,42,45,60H N 214㊃36㊃56㊃7㊃11㊃191,2, ,12,14,15,19,20,21,22,25,30,35,40O ᶄN 29㊃34㊃5㊃73㊃11㊃19㊃311,2, ,8,10,11,12,14,15,16,19,20,28,31J 327㊃35㊃5㊃17㊃191,2, ,6,8,9,10,12,15,17,19S u z 213㊃37㊃52㊃7㊃11㊃131,2, ,15,18,20,21,24H s 29㊃32㊃53㊃7㊃111,2, ,8,10,11,12,15,20H e 210㊃33㊃52㊃73㊃171,2, ,8,10,12,14,15,17,21,28M c l 27㊃36㊃53㊃7㊃111,2, ,12,14,15,30F i 22217㊃39㊃52㊃7㊃11㊃131,2, ,16,18,20,21,22,24,30表2 一些散在单群的自同构群的阶及其一些较高阶元素的阶S |S |K 1(S )A u t (J 2)28㊃33㊃52㊃724A u t (M 12)27㊃33㊃5㊃1112A u t (M 22)28㊃32㊃5㊃7㊃1114A u t (F i ᶄ24)222㊃316㊃52㊃73㊃11㊃13㊃17㊃23㊃2984A u t (H N )215㊃36㊃56㊃7㊃11㊃1960A u t (O ᶄN )210㊃34㊃5㊃73㊃11㊃19㊃3156A u t (J 3)28㊃35㊃5㊃17㊃1934S |S |K 1(S )K 2(S )A u t (S u z )214㊃37㊃52㊃7㊃11㊃134030A u t (H s )210㊃32㊃53㊃7㊃113020A u t (H e )211㊃33㊃52㊃73㊃174230A u t (M c l )28㊃36㊃53㊃7㊃113024S|S |K 1(S )K 2(S )K 3(S )A u t (F i 22)218㊃39㊃52㊃7㊃11㊃134236302 定理1的证明定理1的证明将由下面的3个定理给出.定理2 设G 为群,H =J 2,M 12,M 22,F i ᶄ24,H N ,O ᶄN ,J 3.则G ≅A u t (H )当且仅当|G |=|A u t (H )|,K 1(G )=K 1(A u t (H )).证 必要性是显然的,只需证充分性.由于证明过程类似,因此只对H =J 2的情况讨论.当H =J 2时,注意到|A u t (J 2)|=28㊃33㊃52㊃7,K 1(A u t (J 2))=24,证明分3步完成:(a )G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且5㊃7||M /N |.设G =G 0>G 1>G 2> >G k -1>G k =1为G 的主群列,则存在i ,使得π(G i )ɘ{5,7}ʂØ,π(G i +1)ɘ{5,7}=Ø.设M =G i ,N =G i +1,则G ȡM >N ȡ1为G 的正规群列,且췍M =M /N 为췍G =G /N 的极小正规子群.我们断言{5,7}⊆π(M ).事实上,假设7ɪπ(M ),而5∉π(M ),则5ɪπ(G /M ).令M 7为M 的S yl o w7子群,由7 |G |知,|M 7|=7.由F r a t t i n i 论断有G =N G (M 7)M ,于是G /M ≅N G (M 7)/N G (M 7)ɘM ,故5ɪπ(N G (M 7)).于是N G (M 7)中有35阶子群,而35阶群是循环群,故G 中有35阶元,这与K 1(G )=24矛盾.所以当7ɪπ(M )时,5ɪπ(M ).当5ɪπ(M )时,假设7∉π(M ),则7ɪπ(G /M ).令M 5为M 的S yl o w5子群,则|M 5|=5i (1ɤi ɤ2).同理可知7ɪπ(N G (M 5)),故N G (M 5)中有7阶子群,不妨设为L 7.令K =M 5L 7,由S y l o w 定理知L 7◁_K ,显然M 5◁_K ,且M 5ɘL 7=1,故K 为M 5和L 7的直积.所以K 中有35阶元,从而G 中有35阶元,这与K 1(G )=24矛盾.所以当5ɪπ(M )2西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.时,7ɪπ(M ),故{5,7}⊆π(M ).又因{5,7}ɘπ(N )=Ø,所以{5,7}⊆π(M /N ).由于M /N 为同构单群的直积,而π(M /N )至少包含两个不同的素数5和7,所以M /N 为非交换单群的直积.又由于7 |G|,从而7 |M /N |,所以M /N 为非交换单群,且5㊃7||M /N |.(b )M /N ≅J 2.由步骤(a )知M /N 为非交换单群,又因|M /N |||A u t (J 2)|,且5㊃7||M /N |,7为|M /N |的最大素因子,则由A t l a s 表知M /N 可能同构于J 2,L 3(4),A 7或A 8.若M /N ≅L 3(4),A 7,A 8,则5|M /N |,而52||G |,5⫮|N |,故5||G /M |.类似步骤(a )的证明知G 中有35阶元,这与K 1(G )=24矛盾,故M /N ≅J 2.(c )G ≅A u t (J 2).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~Au t (췍M ),即J 2<~G /C <~Au t (J 2),比较阶有G /C ≅J 2或G /C ≅A u t (J 2).若G /C ≅J 2,则|C |=2,于是G 中有30阶元,这与K 1(G )=24矛盾.所以G /C ≅A u t (J 2),从而C =1,G ≅A u t (J 2).定理3 设G 为群,H =S u z ,H s ,H e ,M c l ,则G ≅A u t (H )当且仅当|G |=|A u t (H )|,K i (G )=K i (A u t (H )),其中i ɤ2.证 必要性是显然的,只需证充分性,分4种情形证明:情形1 当H =S u z 时,注意到|A u t (S u z )|=214㊃37㊃52㊃7㊃11㊃13,K 1(A u t (S u z ))=40,K 2(A u t (S u z ))=30.(a )同定理2中步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且11㊃13||M /N |.(b )M /N ≅S u z .由步骤(a )知M /N 为非交换单群,又因|M /N |||A u t (S u z )|,且11㊃13||M /N |,13为|M /N |的最大素因子,由A t l a s 表知M /N 可能同构于A 13或S u z .若M /N ≅A 13,由于A 13中有35阶元,所以M 中有35阶元,从而G 中有35阶元,这与K 1(G )=40,K 2(G )=30矛盾.故M /N ≅S u z .(c )类似定理2中步骤(c )的证明知G ≅A u t (S u z ).情形2 当H =H s 时,注意到|A u t (H s )|=210㊃32㊃53㊃7㊃11,K 1(A u t (H s ))=30,K 2(A u t (H s ))=20.(a )G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且5㊃7㊃11||M /N |.设G =G 0>G 1>G 2> >G k -1>G k =1为G 的主群列,则存在i ,使得π(G i )ɘ{5,7,11}ʂØ,π(G i +1)ɘ{5,7,11}=Ø.设M =G i ,N =G i +1,则G ȡM >N ȡ1为G 的正规群列,且췍M =M /N 为췍G =G /N 的极小正规子群.我们断言{5,7,11}⊆π(M ).事实上,假设11ɪπ(M ),而7∉π(M ),则7ɪπ(G /M ).令M 11为M 的S y l o w11子群,由11 |G |知,|M 11|=11.由F r a t t i n i 论断有G =N G (M 11)M .于是G /M ≅N G (M 11)/N G (M 11)ɘM ,故7ɪπ(N G (M 11)),于是N G (M 11)中有77阶子群.而77阶群是循环群,故G 中有77阶元,这与K 1(G )=30矛盾.所以当11ɪπ(M )时,7ɪπ(M ).同理可知当7ɪπ(M )时,5ɪπ(M ).所以当11ɪπ(M )时,有{5,7}⊆π(M ).同理可知当7ɪπ(M )时,有{5,11}⊆π(M );当5ɪπ(M )时,有{7,11}⊆π(M ).故{5,7,11}⊆π(M ).又因{5,7,11}ɘπ(N )=Ø,所以{5,7,11}⊆π(M /N ).由于M /N 为同构单群的直积,而π(M /N )至少包含3个不同的素数5,7,11,所以M /N 为非交换单群的直积.又由于11 |G |,从而11 |M /N |,所以M /N 为非交换单群,且5㊃7㊃11||M /N |.(b )类似定理2中步骤(b )的证明及文献[11]知,M /N ≅H s .(c )G ≅A u t (H s ).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G(췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~Au t (췍M ),即3第2期 高彦伟,等:关于散在单群的自同构群的一个新刻画Copyright ©博看网. All Rights Reserved.H s <~G /C <~Au t (H s ),比较阶有G /C ≅H s 或G /C ≅A u t (H s ).若G /C ≅H s ,则|C |=2,于是G 中有22阶元,这与K 1(G )=30,K 2(G )=20矛盾.所以G /C ≅A u t (H s ),从而C =1,G ≅A u t (H s ).情形3 当H =H e 时,注意到|A u t (H e )|=211㊃33㊃52㊃73㊃17,K 1(A u t (H e ))=42,K 2(A u t (H e ))=30.(a )类似定理2中步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且7㊃17||M /N |.(b )类似定理2中步骤(b )的证明及文献[11]知M /N ≅H e .(c )G ≅A u t (H e ).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~A u t (췍M ),即H e <~G /C <~Au t (H e ),比较阶有G /C ≅H e 或G /C ≅A u t (H e ).若G /C ≅H e ,则|C |=2,于是G 中有34阶元,这与K 1(G )=42,K 2(G )=30矛盾.所以G /C ≅A u t (H e ),从而C =1,G ≅A u t (H e ).情形4 当H =M c l 时,注意到|A u t (M c l )|=28㊃36㊃53㊃7㊃11,K 1(A u t (M c l ))=30,K 2(A u t (M c l ))=24.(a )类似定理2中步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且3㊃11||M/N |.(b )类似定理2中步骤(b )的证明及文献[11]知,M /N ≅M c l .(c )G ≅A u t (M c l ).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~A u t (췍M ),即M c l <~G /C <~Au t (M c l ),比较阶有G /C ≅M c l 或G /C ≅A u t (M c l ).若G /C ≅M c l ,则|C |=2,G 为C 被F i 22的中心扩张,且C ɤZ (G ).由于M c l 的舒尔乘子为3,所以C ɤ/G ᶄ,从而C ɘG ᶄ=1.又因G /C ≅M c l ≅(G /C )ᶄ=G ᶄC /C ,所以G =G ᶄC ,G =G ᶄˑC .但M c l ≅G /C ≅G ᶄ,所以G ≅M c l ˑC ,于是K 1(G )=30,K 2(G )=22,这与K 1(G )=30,K 2(G )=24矛盾.所以G /C ≅A u t (M c l ),从而C =1,G ≅A u t (M c l ).注1 当H =H s ,H e ,M c l 时,|Z 2ˑH |=|A u t (H )|,且K 1(Z 2ˑH )=K 1(A u t (H )).但Z 2ˑH 与A u t (H )不同构,故A u t (H )不能用|A u t (H )|和K 1(A u t (H ))来刻画.定理4 设G 为群,H =F i 22,则G ≅A u t (H )当且仅当|G |=|A u t (H )|,K i (G )=K i (A u t (H )),其中i ɤ3.证 必要性是显然的,只需证充分性.当H =F i 22时,注意到|A u t (F i 22)|=218㊃39㊃52㊃7㊃11㊃13,K 1(A u t (F i 22))=42,K 2(A u t (F i 22))=36,K 3(A u t (F i 22))=30.(a )类似定理3中情形2步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且3㊃11㊃13||M /N |.(b )M /N ≅F i 22.由步骤(a )知M /N 为非交换单群,又因|M /N |||A u t (F i 22)|,且3㊃11㊃13||M /N |,13为|M /N |的最大素因子,由A t l a s 表知,M /N 可能同构于A 13,S u z 或F i 22.若M /N ≅A 13,则35 |M /N |,而39||G |,3⫮|N |,故3||G /M |.同步骤(a )的证明知,G 中有33阶元,这与K 2(G )=36,K 3(G )=30矛盾.若M /N ≅S u z ,则37 |M /N |,而39||G |,3⫮|N |,故3||G /M |.类似步骤(a )的证明知,G 中有33阶元,这与K 2(G )=36,K 3(G )=30矛盾.故M /N ≅F i 22.(c )G ≅A u t (F i 22).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]中的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡ4西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~Au t (췍M ),即F i 22<~G /C <~Au t (F i 22),比较阶有G /C ≅F i 22或G /C ≅A u t (F i 22).若G /C ≅F i 22,则|C |=2,G 为C 被F i 22的中心扩张.若C 在G 中有补,则G ≅C ˑF i 22,这时K 1(G )=42,K 2(G )=30,这与K 1(G )=42,K 2(G )=36矛盾;若C 在G 中没有补,则G ≅C .F i 22≅2.F i 22,由A t l a s 表知K 1(G )=30,这与K 1(G )=42矛盾.所以G /C ≅A u t (F i 22),从而C =1,G ≅A u t (F i 22).注2 |Z 2ˑF i 22|=|A u t (F i 22)|=218㊃39㊃52㊃7㊃11㊃13,且K 1(Z 2ˑF i 22)=K 1(A u t (F i 22))=42.但Z 2ˑF i 22与A u t (F i 22)不同构,故A u t (F i 22)不能用|A u t (F i 22)|和K 1(A u t (F i 22))来刻画.参考文献:[1]S H IW u -j i e .A N e wC h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e S p o r a d i c S i m p l eG r o u p s [M ].N e w -Y o r k :W a l t e r d eG r u y t e r ,1989:531-540.[2] S H IW u -j i e .A N e wC h a r a c t e r i z a t i o no f S o m e S i m p l eG r o u p s o f L i eT y p e [J ].C o n t e m p o r a r y M a t h ,1989,82:171-180.[3] S H IW u -j i e ,B I J i a n -x i n g .AC h a r a c t e r i z a t i o no f t h eA l t e r n a t i n g G r o u p s [J ].S o u t h e a s tA s i a nB u l l e t i no fM a t h e m a t i c s ,1992,1(6):81-90.[4] S H IW u -j i e ,B I J i a n -x i n g .AC h a r a c t e r i z a t i o n o f S u z u k i -R e e g r o u p s [J ].S c i e n c e i nC h i n a :S e rA ,1991,34(6):14-19.[5] S H IW u -j i e ,B I J i a n -x i n g .A C h a r a c t e r i s t i cP r o p e r t y f o rE a c hF i n i t eP r o j e c t i v eS p e c i a lL i n e a rG r o u p [M ].N e w -Y o r k :S p r i n g e r ,1989:171-180.[6] S H IW u -j i e .P u r eQ u a n t i t a t i v eC h a r a c t e r i z a t i o no fF i n i t eS i m p l eG r o u p s [J ].P r o g r e s s i nN a t u r eS c i e n c e ,1994,4(3):316-326.[7] V A S I L E V A V ,G R E C H K O S E E V A M A ,MA Z U R O V VD.C h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e F i n i t e S i m p l eG r o u p s b y S p e c t r u m a n dO r d e r [J ].A l g e b r a a n dL o g i c ,2009,48(6):385-409.[8] 申 红.阶对有限群的刻画[D ].重庆:西南大学,2011.[9] 何立官.群的阶及最高阶元素的阶与群的结构[D ].重庆:西南大学,2012.[10]HU P P E R TB .E n d l i c h eG r u p p e n I [M ].H e i d e l b e r g -N e w Y o r k :S p r i n g -V e r l a g ,1967.[11]C O NWA YJH ,C U R T I SRT ,N O R T O NSP ,e t a l .A t l a s o fF i n i t eG r o u ps [M ].O x f o r d :C l a r e n d o nP r e s s ,1985.[12]徐明耀.有限群论导引(上册)[M ].2版.北京:科学出版社,1999:34.O naN e wC h a r a c t e r i z a t i o no f t h eA u t o m o r p h i s m G r o u p s i nS p o r a d i c S i m p l eG r o u ps G A O Y a n -w e i , C A O H o n g -p i n g S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s ,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g 400715,C h i n a A b s t r a c t :L e t G b e a f i n i t e g r o u p ,K 1(G )d e n o t e s t h e l a r g e s t e l e m e n t o r d e r o f G ,K 2(G )t h e s e c o n d l a r ge s t o r d e r ,a n d K 3(G )t h e t h i r d l a r g e s t o r d e r .I t h a s b e e n s h o w n t h i s p a p e r t h a t t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p G of e v e r y s p o r a d i c s i m p l eg r o u p c a nb eu n i q u e l y d e t e r m i n e db y th e o r d e r o f G a n d Ki (G ),w h e r e i ɤ3.K e y wo r d s :f i n i t e g r o u p ;s p o r a d i c s i m p l e g r o u p ;a u t o m o r p h i s m g r o u p ;t h e e l e m e n t o r d e r 责任编辑 廖 坤5第2期 高彦伟,等:关于散在单群的自同构群的一个新刻画Copyright ©博看网. 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近世代数群的自同构群心得体会若有云海雾境之光迹，我即为这光影的园丁，聚云雾，架一座思想上的空中楼阁。

Cayley定理（凯莱定理）告诉了我们，任意一个群都同构于一个变换群，都同构于自身上的对称群的子群。

世界上的任何事物都有着自己的规律，尽管这些规律不可名状、尽管这些规律难以理解，但一定会同构于一个实实在在的规律。

我们行走于这充满未知与不确定的世界，如蜉蝣之于天地，凭何所依？但读过《近世代数》的我们知道，一切的一切，我们思想中都有一座空中楼阁能够容纳它们。

变换、包含、演算，集合与映射的规律将世界分类，看起来毫不相干的事物，在集合与映射的慧眼之下，纷纷脱下繁杂迷琐的伪装，将抽象的数学本质暴露在我们的思想之前。

盒子里装着几个礼物和空间中存在多少粒子是一回事，不过是分布的概率；音乐的五度相生和转抽奖轮盘都是一回事，不过是剩余类加群。

而大小之分、对错之辩，在刨开抽象本质之下，也有了新的定义。

原本毫不相干、不能相提并论的事物有了比较的可能，只要存在一个满射，就可以说某个集合大于或等于某个集合，八个桌子比四个椅子“大”，这种直观判断的本质正是因为得出了它们的抽象关系，每一个椅子都可以对应到一个桌子。

抽象的视角也纠正了一些直觉上的错误，比如直线与射线之间存在一个一一映射、整数集和偶数集之间存在一个一一映射。

天地之间万物、笔尖之下真理，无穷无尽的万事万物，却能映射到我们不足两米的身体之中，这又何尝不是一种生命之美？是黑是灰是白？是好是坏是爱？人们追求着简洁而完美的统一，自然规律亦作如是。

没有旁枝歪芽的树才能茁壮生长，两端重物等重的天平才能保持平衡，人们的幸福只有兼顾并举才能社会和谐。

统一的精华在于合并归纳、就像去除天平两端相同重量的重物，天平仍能平衡一样。

消去相同的，才是让世界如此简洁的妙法。

平常的数学运算亦复如是，任何的a、b、c（b 不等于0）都能从a * b = c * b 中推导出 a = c 这一结论，这一消去律的成立，有着 0 的功劳，在平常运算之中，a不等于0、b不等于0，就有着 a * b 不等于 0，这叫做没有零因子。

2~4阶群的自同构群的结构自同构群是一类拥有了像组合结构的群，它是指把有限环作为元素构成的一个集合，其中满足某种自同构关系。

在群论研究中被称为自同构群，它们在数学上具有重要的地位，在计算机科学和加密中发挥重要作用。

一般来说，所有的自同构群都可以分解成2~4阶的群，其中2阶的群就是交换群，3阶群就是由环构成的，4阶群则包括了更多的情形。

其中，2阶自同构群的结构比较简单，它仅仅由有限的交换元素来构成，并且满足一定的自同构关系。

它可以分解成一组有限的整数和一组有限的换位元素，而有限的整数可以用来表示交换元素之间的关系，换位元素可以表示最终的关系。

3阶自同构群结构比较复杂一些，它由三元组(a,b,c)构成，其中a，b，c表示三元素的标标识符，并且满足(a,b,c)=(b,c,a)的自同构关系。

3阶自同构群可以分解成一组有限的整数和一组有限的换位元素以及一组特殊的函数，有限的整数可以用来表示三元素之间的关系，换位元素可以表示最终的关系，而特殊的函数则可以表示该组中各元素之间分配的权重。

4阶自同构群则更加复杂，它由由4元组(a,b,c,d)构成，其中a，b，c，d分别表示4元组的标标识符，并且满足(a,b,c,d)=(b,c,d,a)的自同构关系。

此外，4阶自同构群还可以分解成由一组有限的整数和一组有限的换位元素以及一组特殊的函数组成，并且以上提到的有限整数和特殊函数可以用来表示4元素之间的关系。

最后，换位元素可以表示最终的关系。

自同构群的结构具有复杂的特征，是一类非常重要的群，且其在计算机科学和加密中发挥着重要的作用。

2~4阶的自同构群的结构可以分解成由一组有限的整数和一组有限的换位元素以及一组特殊的函数组成，具体的细节取决于该群的阶数。

§8 群的自同构群给定一个群，可以有各种方式产生新的群。

比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。

本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。

1. 自同构群的定义：定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。

证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ∀∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。

这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。

又因为x M ∀∈有11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=⋅==即1σ-也是M 的一个自同构。

群的定义的第3条成立。

另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。

所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。

定理1表明M 的自同构群是()S M 的一个子群。

推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。

由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。

例1 求Klein 四元群{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c ==的自同构群。

解 4Aut K σ∀∈。

由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。

又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。

自同构群的阶的若干研究把握概念关系，是理解一些重要概念中存在的相互关系，以及其在渊源及学习研究中所扮演着重要作用。

自同构群是一类重要概念，与其他数学概念紧密联系。

自同构群的研究，一向受到当前数学研究者的重视。

这篇文章将致力于综述有关自同构群的阶的若干研究内容。

首先，基本概念及其发展历史将被阐述，包括自同构群概念及其背景渊源、发展历史和最新发展趋势等。

其次，对自同构群的阶的主要研究内容，将分别从数学家的研究角度出发，阐述其中一些研究方法及理论。

最后，将提出自同构群的阶研究及应用及发展的若干建议及见解。

自同构群的渊源及发展历史自同构群的概念及其背景渊源，最早是在19世纪末的德国数学家卡尔莱斯特阿尔多塞特，即简称为阿尔多塞特所提出的。

他是该领域的先驱，将自同构群概念引入数学，使其取得实质性发展及深入理解，是非常重要的一环。

其见地，就是建立自同构群的概念及其与其他类似概念的关系，然后以公理及推理的方式，对自同构群的定义及其基本性质进行证明。

20世纪初，随着数学的不断发展和发展方向的改变，自同构群的研究取得了更多的成就。

早期的研究，主要是将自同构群纳入抽象代数结构，主要解决这类群被包含在这类代数结构中，以及其背后所蕴藏的公理构造及对应性。

这些具有普遍性的发现，也使自同构群的定义得以更清晰明确。

20世纪50年代，随着现代代数研究的发展，自同构群的研究又取得很大进展。

其中，数学家埃兰特和史卓瑞的研究，是把自同构群的研究引入计算机科学的一个重要贡献，也是自同构群的研究的重要篇章。

当时，他们研究到自同构群的阶，带入了计算机科学的新维度，也为自同构群研究的进一步发展奠定了良好的基础。

自同构群的阶研究自同构群的阶研究，是数学家研究自同构群的一个主要方向，也是当前计算机科学研究数学抽象结构的重要帮手。

从数学家角度，自同构群的阶研究，大多基于其特性及其衍生的结构，研究其大小以及其在数学抽象结构中的表达形式。

比如，数学家弗里德曼在其一系列研究论文中，证明了自同构群的阶究具有某种特定性质，能够建立这类群之间的一种新关系，其中与原有研究成果有着很大不同。

群论中的同构及其性质在群论中，同构是一种重要的概念。

同构是指两个群之间存在一种双射，使得这两个群的运算结果相同。

下面是同构的定义：设群G和H，若存在一个双射f: G→H，且满足对于任意的g1,g2∈G，有f(g1g2)=f(g1)f(g2)，那么称G和H同构，记作G≅H。

同构的定义可以理解为，如果将一个群的元素和运算方式，都映射到另一个群中去，且这个映射保存群的运算性质，那么这两个群就是同构的。

同构有以下的性质：1.同构是等价关系，即对于任意的群G，它和自己是同构的（自同构），即G≅G。

另外，如果群G和群H同构，那么群H 和群G也同构。

2.同构是保群结构的映射，即如果两个群G和H同构，那么它们的乘法表、单位元、逆元等的性质都是相同的。

3.同构保运算的性质，即如果两个群G和H是同构的，那么它们之间的所有运算都是相同的，包括乘法和幂运算等。

通过同构，我们可以将一个不熟悉的群G和一个我们熟悉的群H联系起来，用我们已知的群H的性质来研究群G。

在实际问题中，有时候我们需要判断两个群是否同构，有一些方法可以用来进行判断。

一种方法是使用群的阶。

假设G和H是两个有限群，如果它们的阶相等（即G的元素数等于H的元素数），那么它们同构的可能性比较大。

但是阶相等并不能保证两个群一定同构，对于特殊的群如循环群和阿贝尔群，需要更具体的方法进行判断。

另一种方法是使用群的性质。

如一个群的元素都是奇数，而另一个群的元素都是偶数，那么这两个群就不可能同构。

因为同构需要保持乘法表和单位元等的性质，而奇偶性这类性质是不同的。

同构在数学中有广泛的应用。

在物理、化学、计算机等领域中，同构也有着重要的地位。

举个例子，假设我们要在计算机网络中进行数据的传输和处理，我们可以使用同构群来进行数据的加密和解密。

因为同构的定义保证了数据的最终结果是相同的，而同构的这一性质又保护了数据的安全性。

另外，同构也可以帮助我们在解决一些复杂问题时简化计算，例如在物理学中，用同构代替不同的材料，有助于我们通过计算得到物质性质的变化趋势，而不需要进行大量的实验。

上半平面的全纯自同构群（原创实用版）目录1.引言2.上半平面的全纯自同构群的定义3.上半平面的全纯自同构群的性质4.上半平面的全纯自同构群的例子5.上半平面的全纯自同构群的应用6.结论正文【引言】在数学领域，自同构群是一种重要的代数结构，它具有广泛的应用。

全纯自同构群是自同构群中的一种特殊类型，其性质和应用引起了许多数学家的关注。

本文将介绍上半平面的全纯自同构群，包括其定义、性质、例子以及应用。

【上半平面的全纯自同构群的定义】上半平面的全纯自同构群是指在上半平面上具有全纯变换的自同构群。

全纯变换是指复变函数在某一区域内的解析映射，保持原点不变，且变换后的函数仍为解析函数。

【上半平面的全纯自同构群的性质】上半平面的全纯自同构群具有以下性质：1.封闭性：全纯自同构群中的元素所构成的集合在复数域中是闭集。

2.解析性：全纯自同构群中的元素变换后的函数仍为解析函数。

3.齐次性：全纯自同构群中的元素满足齐次性条件，即对任意复数 z，变换后的函数为原始函数的常数倍。

【上半平面的全纯自同构群的例子】一个典型的上半平面的全纯自同构群的例子是 Mobius 变换。

Mobius 变换是指在复数域中，将复数平面上的点 (z, w) 变换为 (w, z) 的变换。

显然，Mobius 变换保持原点不变，且变换后的函数仍为解析函数。

【上半平面的全纯自同构群的应用】上半平面的全纯自同构群在复分析、数论、代数几何等领域都有广泛应用。

例如，在复分析中，全纯自同构群可以用来研究复变函数的性质；在数论中，全纯自同构群可以用来研究整数环的性质；在代数几何中，全纯自同构群可以用来研究代数曲线的性质。

【结论】综上所述，上半平面的全纯自同构群作为一种特殊的自同构群，具有丰富的性质和应用。

四元数群的自同构群全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四元数是一种具有数学特性的数学对象，它包含了实数和虚数的性质。

四元数群是由四元数构成的数学群，具有独特的性质和结构。

在四元数群中，我们可以研究其自同构群，即保持自身结构不变的映射集合。

让我们回顾一下四元数的定义和性质。

四元数是由实数和虚数单位构成的数学对象，通常表示为q=a+bi+cj+dk，其中a、b、c、d为实数，而i、j、k为虚数单位，满足以下关系式：i² = j² = k² = ijk = -1四元数乘法运算定义如下：ij=k, ji=-kjk=i, kj=-iki=j, ik=-j四元数的性质包括结合律、分配律和单位元，使得其构成一个数学群。

四元数群是四元数集合和四元数乘法运算构成的数学群，是一个非阿贝尔群。

现在，让我们来探讨四元数群的自同构群。

自同构是指一个群保持自身结构不变的映射，即一个群映射到自身并且保持群运算不变。

四元数群的自同构群是指使得四元数群保持不变的映射集合。

我们可以考虑四元数群自身的映射。

任何一个四元数乘以一个固定的四元数都可以得到一个四元数，这个映射保持了四元数群的封闭性。

四元数群的乘法运算是满足结合律的，因此这个映射也满足结合律。

四元数乘法自身构成了四元数群的自同构群。

我们还可以考虑将四元数映射到其模长的映射，即|q|=sqrt(a²+b²+c²+d²)。

这种映射保持了四元数的加法和乘法运算的性质，因此也可以构成四元数群的自同构群。

除了上述简单的映射之外，四元数群的自同构群还包括一些复杂的映射。

将四元数映射到其转置四元数的映射，即将四元数的虚部取相反数。

这种映射可以保持四元数的结合律和分配律，因此也可以构成四元数群的自同构群。

第二篇示例：四元数群是一种特殊的群结构，它包含了所有可能的四元数，也就是具有四维的实部和三个虚部的数。

四元数群的乘法操作相对复杂，但是它却具有许多有趣的性质和应用。