p-稳定群的特征p-子群

群的p-群与p-子群研究引言在群论中，p-群和p-子群是两个重要的概念。

p-群是指阶为p的幂的群，其中p是一个素数。

p-子群是指一个群的子群，其阶是p的幂。

研究p-群和p-子群对于理解群的结构和性质具有重要意义。

p-群的研究p-群是一个经典的研究对象，已经取得了大量的重要成果。

其中比较著名的有：•Sylow定理：对于任何有限群G，对于每个素数p，G中存在一个阶为p的幂的子群，称为Sylow p-子群。

•Burnside定理：任何阶为p的幂的群都是可解的。

•Frobenius定理：任何阶为p^2的群都是可解的。

这些定理为研究p-群提供了重要的理论基础。

p-子群的研究p-子群的研究也是群论中的一个重要课题。

p-子群的一个重要性质是，它与群的中心化子是一致的。

也就是说，如果H是群G的p-子群，那么H的中心化子也是H。

这为研究p-子群提供了有效的工具。

p-子群的另一个重要性质是，它与群的特征子是一致的。

也就是说，如果H是群G 的p-子群，那么H的特征子也是H。

这为研究p-子群的结构提供了重要的信息。

p-群与p-子群的研究应用p-群和p-子群的研究在数学的各个领域都有着广泛的应用。

例如：•在数论中，p-群和p-子群被用来研究素数的性质。

•在代数中，p-群和p-子群被用来研究环和域的结构。

•在几何中，p-群和p-子群被用来研究多面体和对称群。

结论p-群和p-子群的研究是群论中的一个重要课题。

它们对于理解群的结构和性质具有重要意义。

p-群和p-子群的研究在数学的各个领域都有着广泛的应用。

关于循环群和交换群的等价刻画史江涛; 毕凌霄; 李娜【期刊名称】《《云南民族大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(028)006【总页数】3页(P563-565)【关键词】循环群; 交换群; 极小子群; 初等交换子群; 正规化子【作者】史江涛; 毕凌霄; 李娜【作者单位】烟台大学数学与信息科学学院烟台264005【正文语种】中文【中图分类】O152.10 引言设G为有限群,A是G的子群.用NG(A)={g∈G|Ag=g-1Ag=A}表示A在G中的正规化子,CG(A)={g∈G|ag=ga,∀a∈A}表示A在G中的中心化子.Zassenhaus 在文献[1]定理7中证明了：如果有限群G的每个交换子群的正规化子皆等于它的中心化子,则G是交换群(亦可参考[2]定理3.6.6).在文献[3]定理0.3中,陈重穆进一步证明了:若G的每一个交换(Abel)p-子群的正规化子一致于其中心化子,则G为交换群(Abel).作为上述结果的改进,李世荣、史江涛和何宣丽在文献[4]推论2.1中,证明了：有限群G交换当且仅当对每个二元生成交换p-子群及初等交换p-子群A 均有CG(A)=NG(A),p为|G|的任一素因子.沈如林、史江涛和施武杰在文献[5]定理2.1中仅考虑子群的正规化子给出了循环群的一个刻画:设G为有限群,则G循环当且仅当对每个极小子群X均有NG(X)循环．在这个结论的证明中我们用到了内循环群的分类.在文献[6]中史江涛对这个刻画做了进一步讨论,但是在证明中用到了有限p-群的一个结构性质：其中心大于1. 在本文中,我们将不应用内循环群的分类以及有限p-群的中心大于1的特性,用初等的方法给出文献[5]定理2.1一个新的证明.我们将用初等方法证明交换群的一个等价刻画：定理1 有限群G交换当且仅当G的每个初等交换子群的正规化子皆是交换群.注记1 在定理1中,如果假设有限群G的每个循环子群的正规化子都是交换群,则得不到G是交换群.反例：在四次交错群A4中,2阶循环子群的正规化子是4阶的初等交换2-群,3阶循环子群的正规化子等于它自身,都是交换群,但A4是非交换的.1 引理引理1文献[2]例1.3.14 设G是有限群,H<G,则H的所有共轭子群的并集为G的真子集.引理2文献[2]命题1.4.7 若K是H的特征子群,H是G的正规子群,则K是G的正规子群.2 文献[5]定理2.1的初等证明证明只需证充分性.在证明G为循环群之前先证G是交换群.反证,假设G非交换.令A为G的任一极大交换子群,下证A=NG(A).首先,显然有A≤NG(A).取X为A的一个极小子群,有A≤NG(X).由题设条件知NG(X)循环.于是A也循环.由A为G的极大交换子群,有A=NG(X).因为A是循环群且而X≤A,得于是有NG(A)≤NG(X).从而NG(A)≤A.故A=NG(A).下证对于G的任意两个不同的极大交换子群A和B,有A∩B=1.反证,若A∩B≠1,由上面讨论知A和B皆是循环群.因为交换群的子群皆是正规子群,有且于是取X为A∩B的一个极小子群,因为A∩B是循环群,则说明〈A,B〉≤NG(X).由题设条件NG(X)循环,于是〈A,B〉也循环.但是〈A,B〉>A,与A是G的极大交换子群矛盾,故A∩B=1.因为G非交换,对于极大交换子A有A<G,由引理1,知因此存在h∈G但h不包含在A的任一共轭子群内.设B为G的极大交换子群满足〈h〉≤B,这里B与A不共轭.由上面的讨论知,∀x,y∈G,Ax∩By=1.设|A|=m1,|B|=m2,则|G∶ NG(A)|=|G∶ A|=n1,|G∶ NG(B)|=|G∶ B|=n2.于是有和因为所以有得注意这里m1≥2,m2≥2,于是得到矛盾.说明假设不成立,故G是交换群.又交换群的极小子群都是它的正规子群,进而由题设条件知G是循环群.3 定理1的初等证明证明同样只需要证明充分性.反证,假设G非交换.对于G的任一极大交换子群A,令Y为A的一个极大初等交换子群,则Y是A的特征子群.由知A≤NG(Y).由题设条件,NG(Y)是交换群A.考虑A的极大性,有A=NG(Y).因为Y是A的特征子群且A正规于NG(A),由引理2,得于是NG(A)≤NG(Y),又A=NG(Y),有NG(A)≤A，因此A=NG(A).设A和B是G的任两个不同的极大交换子群,如果A∩B≠1,令Y为A∩B的一个极大初等交换子群.由且知这里Y是A∩B的特征子群,于是由引理2,有于是〈A,B〉≤NG(Y).由题设知NG(Y)交换,说明〈A,B〉也是交换群.这里A和B是G的两个不同的子群,有〈A,B〉>A,这与A是G的极大交换子群矛盾,故A∩B=1.对于G的任一极大交换子群A,因为A<G,由引理1,有则必存在G的极大交换子群B使得B不与A共轭.设|A|=m1,则|G∶ NG(A)|=|G∶ A|=n1;设|B|=m2,则|G∶ NG(B)|=|G∶B|=n2.由于G的任两个不同的极大交换子群的交都是1,则分别有以及因此有移项整理得,又m1≥2,m2≥2,于是有这是矛盾的,由反证法知G是交换群.参考文献:【相关文献】[1] ZASSENHAUS H J.A group-theoretic proof of a theorem of MacLagan-Wedderburn [J].Glasgow Mathematical Journal,1952,1(2):53-63.[2] 徐明曜.有限群初步[M].北京:科学出版社,2014.[3] 陈重穆.内外-∑群与极小非∑群[M].重庆:西南师范大学出版社,1998.[4] 李世荣,史江涛,何宣丽.交换群和循环群的若干充分必要条件[J].广西科学,2006,13(1):1-3.[5] 沈如林,史江涛,施武杰.极小子群与有限群的结构研究[J].苏州大学学报(自然科学版),2009,25(1):1-3.[6] SHI Jiang-tao.A note on finite groups in which the normalizer of every minimal subgroup is cyclic or abelian [J].South Asian Journal of Mathematics,2012,2(2):119-121.。

p-群与Abel群的判定杨艳【摘要】-群是有限群中非常重要的一类群,这一点在sylow定理中就得以体现,而阶群总是幂零的,因此对阶群和交换群的关系可以从两个方面考虑:1)阶的群在什么情况下是交换的,并找出相应的类型,2)通过研究群的sylow子群以判断群的交换性.【期刊名称】《湖北文理学院学报》【年(卷),期】2010(031)011【总页数】3页(P17-19)【关键词】sylow子群;幂零群;p-群;Abel群【作者】杨艳【作者单位】襄樊学院,数学与计算机科学学院,湖北,襄樊,441053【正文语种】中文【中图分类】O157群论中，依照群的交换性对群进行分类是很自然也很重要的问题，因此可以把群分为Abel群和非Abel群. 而Abel群的理论作为群论的一个分支本身也具有相当丰富的内容，就像Laszlo Fuchs说过的，群论中很少有性质能够像交换性这样具有深远的影响. 事实上，群论中非常重要的一些概念，如可解、幂零等都是由交换性衍生而来的[1-3].国内外对于Abel群的研究一直没有停止过，这其中包括对交换性的判定、Abel 群的自同构、自由群、有限p-群、可解群、幂零群等诸多问题. Hall. P、Higman.G、Kulikov. L. Ya、Robison. D. J. S等人对这些问题就进行过深入的研究，并取得了很好的结果[4-5].给出一个群G，判断它是否为Abel群甚至是循环群、有限生成Abel群等是很基础也是很重要的理论.对于不同形式的群，因为它所具有的性质的独特性，通常会找出一些相对应的特别的方法. 同时，也可以从不同的角度对其进行判断，比如它的一些特殊子群、有限群的阶、它的自同构群的结构等. 这部分内容在Abel群理论中是很丰富的.引理1 非平凡的有限p-群的中心是非平凡的.定理1 有限p-群是幂零的.证明：令G是一个有限p-群，且|G|>1，则由引理1可知Z(G)>1，因此我们可以对群的阶作归纳，即知G/Z(G)是幂零的.然后做一个自然同态，这样可以找到一个G的一个中心列：其中，的一个中心列.定理2 若|G|=p2，则G是Abel群，其中p是素数.证明：由引理1可知|Z(G)|=p或p2，因此|G/Z(G)|=p或1，即G/Z(G)是循环群，设G/Z(G)=gZ(G)，由此G=g,Z(G)，即G是Abel的.但当|G|=pn,n≥3时，此定理不一定成立.例：对称群D8={T,T2,T3,T4,ST,ST2,ST3,ST4}，其中T4=1,S2=1,ST=T−1S，显然|D8|=23，但不是交换群.接下来重点考察p3阶群的情形.若群G的阶为p3且G为交换群，则G一定与以下群同构1) G≅Zp3，此时G为循环群；2) G≅Zp2⊕Zp;3) G≅Zp⊕Zp⊕Zp定理3 若群G的阶为p3且G为非交换群，则G一定与以下群同构：1) 当p=2时证明：任取G的正规子群N，则因为|G/N|≤p2，G/N为交换群，得再注意到G中必无p3阶元素，可以分下面两种情形.设G中有p2阶元素a，这时a是G的极大子群，即aG，因为ap是a的特征子群，所以apG，由前面的分析知G'=ap在a外取一元b1，再分两种情形：b的阶为p. 因为G=a,b，换位子[a,b]≠1，但因G'=ap，故可设[a,b]=akp，这里(k,p)=1.1111取i满足ik≡1(mod p)，令b=b1i，则有于是G有关系b1的阶不为p. 因为b1p∈a，可令b1p=akp，如果p≠2，则由知a外有p阶元b1a−k，因此可化为上一种情形.而如果p=2，则有这时以b代b1，得G有如下关系式G中无p2阶元素.若p=2，由G的指数为2可知G一定是交换群.若p≠2.则假定G/G'=aG',bG'，于是G=a,b,G'，但由G非交换，必有令c=[a,b]，这时有引理2 设G为有限群，A为G的极大交换子群，则A=CG(A).证明：若CG(A)>A，取x∈CG(A)，令B=x,A，则B交换且B>A，，矛盾于A的选取，故A=CG(A).引理3 G为幂零群，若H<G，则H<NG(H).定理4 设G幂零，则G交换当且仅当对每个sylow子群的极大子群A有CG(A)=NG(A)证明：必要性显然成立，下面证明充分性.设P为G的任一sylow子群，A为P的极大子群.则由CG(A)=NG(A)，可知A交换. 若P不交换，则A为P的极大交换子群，由引理2，A=CP(A)=NP(A). 再由引理3，知P=A，矛盾，故P交换，又G幂零，由P的任意性，G交换.【相关文献】[1] ROSE JOHN S. A Course on Group Theory[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1978.[2] DEREK J S ROBINSON, GEHRING F W, AXLER SHELDON. A Course in the Theory of Groups[M]. New York: Springer, 1995.[3] WARFIELD R B. Nilpotent Groups[M]. Berlin: Springer, 1976.[4] LASZLO FUCHS. .Abelian groups in Hungary [J]. Rocky Mountain J. Math., 2002,32(4):1181-1195.[5] CURRAN M J. The automorphism group of a non split metacyclic p-group[J]. Arch. Math. (Basel), 2008, 90(6): 483–489.。

12阶群的特征标表李德乐【摘要】通过群的同构分类的观点,分析了12阶群的生成关系,再利用特征标的基本性质一一构造每个群的特征标表.【期刊名称】《四川职业技术学院学报》【年(卷),期】2011(021)001【总页数】3页(P90-91,113)【关键词】12阶群;生成关系;特征标【作者】李德乐【作者单位】福建水利电力职业技术学院,福建,永安,366000【正文语种】中文【中图分类】G712群表示论是代数学的一个重要分支,它除用于研究群的结构以外,在众多的数学分支和其他自然科学领域中也有着重要的应用。

对于12阶群的生成关系和特征标表零散分布在各类文献中，本文通过12阶群的生成关系来构造其特征标表。

1.1 定义定义1[1]置换群：Cn=<a│an=1>。

定义2[1]狄利克雷群（二面体群）：D2n=<a,b│an=b2=1, b-1ab=a-1>。

定义3[1]n次交代群：置换群Sn中全体偶置换作成一个阶的群。

定义4[1]双循环群（四元数群）：Q2n=<a,b│a2n=1,an=b2, b-1ab=a-1>。

定义5[1]（共轭（元素、子群）类）若我们称元素x与y共轭。

若，我们称子群H与K共轭。

由此可知群G之一切子群能分类，使属于同类中的子群互为共轭，属于异类中的子群互不共轭，这样的每个类叫共轭子群类（简称共轭类）。

定义6[2]（群的子集的正规化子与中心化子）：设G是群，H是G的一个子集，若g∈G,满足H=g-1Hg，则g称正规化H，而称G中所有正规化H的元的集合为H在G中的正规化子。

设G是群，H是G的一个子集，若g∈G,满足h=g-1hg对一切h∈H，则称g中心化H，而称G中所有中心化H的元的集合为H在G中的中心化子。

定义7[3]（特征标）设(ρ,V)∈RF（G）+，在G上定义F值函数：这里trρ(g)是V上线性变换ρ(g)的迹。

称为G上的表示ρ的特征标。

如则称为不可约特征标，如F=C，则称复特征标。

pq3阶群的完全分类陈松良;欧阳建新;李惊雷【摘要】设P,q均为素数,且P>q,对pq3阶群进行了完全分类并获得了其全部构造:1)当q不整除P-1且P不整除(q2+q+1)时,G恰有5个彼此不同构的类型;2)当q不整除P-1但P整除(q2+q+1)时,G恰有6个彼此不同构的类型;3)当q整除P-1但q2不整除P-1且P不整除(q2+q+1)时,G恰有12个彼此不同构的类型;4)当q整除P-1且P整除(q2+q+1)但q2不整除p-1时,G恰有13个彼此不同构的类型;5)当q2整除P-1但q3不整除P-1时,G恰有14个彼此不同构的类型;6)当q3整除P-1时,G恰有15个彼此不同构的类型.【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(023)003【总页数】4页(P253-255,263)【关键词】有限群;同构分类;群的表写【作者】陈松良;欧阳建新;李惊雷【作者单位】贵州师范学院,数学与计算机科学学院,贵州,贵阳,550018;贵州师范学院,数学与计算机科学学院,贵州,贵阳,550018;贵州师范学院,数学与计算机科学学院,贵州,贵阳,550018【正文语种】中文【中图分类】O152.1设p，q是奇素数，p＞q.文献 [1]用了不少篇幅，经过繁杂的计算与推理，得到了23p阶群的全部构造.本文将用不同于文[1]的方法来研究pq3阶群，并决定pq3阶群的全部构造.利用本文的方法，也不难重新确定23p阶群的全部构造.以下恒设G是pq3阶群，P是 G的一个Sylow p-子群，Q是G的一个Sylow q-子群.显然，P是p阶循环群，设.由[1]之定理 7.1，Q必为下列5种类型之一：下面我们来讨论G的构造.显然 G=PQ，且 G/CG（P）同构于 Aut（P）的一个子群.众所周知Aut（P）是p－1阶循环群，并且P ≤ CG（P）.于是 G/CG（P）同构于（G/P）/（CG（P）/P）≌ Q/CQ（P），由此知 Q/CQ（P）是一个循环群.1）若 q不整除 p－1，则必有 CQ（P）=Q，于是G是循环群，它的构造如下：2）若q整除p－1，但q2不整除p－1，则除了有CQ（P） =Q 外，还可能 CQ （P）是 q2阶群.即 G 除了是循环群外，还可能是如下的构造其中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.3）若 q2整除 p－1，但 q3不整除 p－1，则除了有CQ（P） =Q 或〈aq〉外，还可能 CQ（P） = 〈aq2〉.即 G除了有构造（1）与（2）外，还可能是如下的构造其中s= α（p－1）/q2，而α 是模p的一个原根.4） q3整除 p－1，则除了有 CQ（P）=Q 或〈aq〉或〈aq2外，还可能CQ（P）=1.即 G 除了有构造（1）、（2）、（3）外，还可能是如下的构造其中t= α（p－1）/q3，而α 是模p的一个原根.1）若 q不整除 p－1，则必有 CQ（P） =Q，于是G是一交换群，它的构造如下：2）若q整除p－1，但q2不整除p－1，则除了有 CQ（P） =Q 外，还可能 CQ （P） = 〈a〉或〈aq，b〉.所以G除为交换群（5）外，还有如下两种构造：在（6）、（7）中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.3）若 q2整除 p－1，则 CQ（P）除了可为 2）中的情形外，还可为〈b〉(注意Q/CQ（P）是一个循环群，从而CQ（P）不可能是〈aq〉.所以 G 除为构造（5）、（6）、（7）外，还有如下构造：其中s= α（p－1）/q2，而α 是模p的一个原根.不难证明（5）、（6）、（7）、（8）是互不同构的.1）若 q不整除 p－1，则显然有 CQ（P） =Q，于是G必是一交换群，其构造是：2）若 q 整除 p－1，则因为 Q/CQ（P）是一个循环群，于是除了 CQ（P）=Q 外，CQ（P）还可以且仅可以是一个p2阶初等交换群，不妨设CQ（P）= 〈b，c〉，从而G有如下构造：其中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.1）若q不整除p－1，则显然G是一幂零群，其构造是：2）若q整除p－1，但q2不整除p－1，则因为Q/CQ（P）是一个循环群，于是除了 CQ（P） =Q 外，CQ（P）还可以是〈a〉或〈aq，b〉.所以 G 除为幂零群（11）外，还有如下两种构造：在（12）、（13）中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.不难证明（12）、（13）是互不同构的.3）若 q2整除 p－1，则CQ（P）除了可为 2）中的情形外，还可为〈b〉（注意Q/CQ（P）是一个循环群，从而CQ（P）不可能是〈aq〉）.所以 C 除为构造（11）、（12）、（13）外，还可能有如下构造：其中s= α（p－1）/q2，而α 是模p的一个原根.但此时由（a-1ga）b=gs易得，s1+q≡ s m od p，从而sq≡ 1 mod p，这不可能.因此G不可能有构造（14）.1）若q不整除p－1，则显然G是一幂零群，其构造是：2）若 q 整除 p－1，则因为 Q/CQ（P）是一个循环群，于是除了 CQ（P） =Q 外，CQ（P）还可以且仅可以是一个 p2阶初等交换群，不妨设 CQ（P）= 〈b，c〉，从而G有如下构造：其中r= α（p－1）/q，而α 是模p的一个原根.这时，因为p＞ q，所以（p，q2－1） =1，再据Sylow定理得p整除q3－1，从而p整除（q2+q+1），且必有（p－1，q3） =1或 q.又由[2]之定理 8.5.3知G是可解群，所以存在G的正规q-子群B＞1.若，则P在PB中必正规，从而P char PB.然而G/B的Sylow p-子群又显然正规，所以PB是G的正规子群，因而P是G的正规子群，矛盾.因此B只能是q3阶初等交换群，即B=Q且Q是G的唯一极小正规子群.将Q看成是q元域Fq上的3维向量空间，则g可看成是Fq上的3阶矩阵，不妨记其行列式为.因为gp=1，所以又显然，再由（p，q－1）=1 得.故g的特征多项式可设为f（λ）=λ3－βλ2－γλ－1.由Q 的极小正规性可知，f（λ）必是Fq上的3次不可约多项式.从而G有如下的构造：其中β，γ 使得λ3－βλ2－γλ－1是 Fq上多项式λp－1的一个不可约因式.反之，若p整除（q2+q+1）且p＞q，则（p，q2－1） =1，从而（λp－1，λq2-1－1）= λ－1.于是（λp－1）/（λ－1）无1次和2次不可约因式.再由（p，q3－1）=（p，q2+q+1）=p可见（λp－1）/（λ－1）全是3次不可约因式之积，所以必有p≡1 mod 3.记gi的特征多项式为 fi（λ），i=1，2，…，p－1，则fi（λ）都不可约，且都是λp－1的因式.又对任何i：1≤ i≤ p－1，易见 i，qi，q2i模 p是互不同余的.但，所以 fi（λ）=fqi（λ） =fq2i（λ）.从而 fi（λ），i=1，2，…，p－1，中恰有（p－1）/3 个是不同的.显然取λp－1的不同的不可约3次因式得到的G的构造是彼此同构的.因此，当p整除（q2+q+1）且p＞q时，如果G的Sylow p-子群不正规，那么必有p≡1 mod 3，且在同构意义下G只有一种构造（17）.综上所述，我们得到下面的定理：定理 1 设p，q为奇素数，且p＞q，而G是pq3阶群.则：（i）当 q不整除p－1且p不整除（q2+q+1）时，G恰有5个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1），（5），（9），（11），（15）；（ii）当 q不整除 p－1但 p整除（q2+q+1）时，G恰有6个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1），（5），（9），（11），（15），（17）；（iii）当q整除p－1但q2不整除p－1且p不整除（q2+q+1）时，G恰有12个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1），（2），（5）～（7），（9）～（13），（15），（16）；（iv）当q整除p－1且p整除（q2+q+1）但q2不整除p－1时，G恰有13个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1），（2），（5）～（7），（9）～（13），（15）～（17）；（v）当q2整除p－1但q3不整除p－1时（这时必有p不整除（q2+q+1）），G恰有14个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1）～（3），（5）～（13），（15），（16）；（vi）当q3整除p－1时（这时必有p不整除（q2+q+1）），G 恰有 15个彼此不同构的类型，其构造分别是：（1）～（13），（15），（16）.对于23p（p≠ 3）阶群，类似于以上讨论（但应注意在1.5中，Q5要用8阶四元数群代替，且8阶四元数群没有循环的4阶商群，从而Sylow2-子群是四元数群且Sylow p-子群正规的23p阶非幂零群恰有一个），我们立即得到文[1]中的相同结果.如果p=3，即G是24阶群，则当G的Sylow3-子群正规时，类似于以上讨论，可知G有12个互不同构的类型.如果G的Sylow3-子群（用P表示）不正规，则由Sylow定理可知，NG（P）必是6阶群.如果NG（P）是交换群，则NG（P）=CG（P），于是由Burnside定理（文[3]之定理）得，G是3-幂零的，从而Q是G的正规子群，因而Q有一个3阶自同构.不难证明，有3阶自同构的8阶群只有Z2×Z2×Z2与四元数群Q8.若Q≌Z2×Z2×Z2，则易见 CQ（P）是2阶群，不妨设CQ（P）=〈c〉.又由[4]之定理知，〈c〉在Q中有补子群，不妨设其为〈a，b〉.因为P不正规，于是不难证明〈a，b〉P≌A4，故必有G≌Z2×A4；若Q≌Q8，则CQ（P）是Q的唯一2阶元，从而Z（G） =Z（Q8）是2阶群.由此不难证明G≌SL（2，3）.如果NG（P）不是交换群，则显然NG（P）不是G的正规子群.事实上，P char NG（P），如果NG（P）是G的正规子群，那么P将是G的正规子群，矛盾.众所周知，G是可解群，所以G的极小正规子群N是2阶或4阶的.若N是2阶的，则PN是6阶循环群，这与NG（P）不是交换群矛盾.记 H=NG（P），则HG=1，令为H的全体右陪集的集合，则规定G在Ω上的一个作用ρ：显然作用ρ是忠实的，因而G≌S4.综上所述，可知Sylow3-子群不正规的24阶群恰有3个不同构的类型，从而24阶群共有15个互不同构的类型.这与文[1]在10.4中的结果是一致的，但值得一提的是我们的方法比文[1]要简单明了得多.【相关文献】［1］张远达.有限群构造[M].北京:科学出版社,1982.［2］Robinson D J S.A course in the theory of groups[M].Graduate Texts in Mathematics 80,Springer-Verlag,New York,Heidelberg,Berlin,1982.［3］徐明曜.有限群导引(上册)[M].北京:科学出版社,1999.［4］Kurzweil H,Stellmacher B.The Theory of Finite Groups[M].Springer-Verlag,New York,Inc.,2004.。

非交换的非平凡子群均有唯一非平凡特征子群的有限p群曹建基;毛月梅
【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(023)001
【摘要】本文得到了以下结果:设G为非内交换的有限非交换p-群,本文给出了非交换的非平凡子群均有唯一非平凡特征子群的群G结构.
【总页数】3页(P12-14)
【作者】曹建基;毛月梅
【作者单位】山西大同大学数学与计算机科学学院,山西,大同,037009;山西大同大学数学与计算机科学学院,山西,大同,037009
【正文语种】中文
【中图分类】O152
【相关文献】
1.非平凡子群皆自中心化的有限群 [J], 张良才;陈顺民
2.非平凡循环子群共轭类类数较小的有限非可解群 [J], 史江涛;张翠
3.Sylow p-子群的非平凡子群与有限群的p-超可解性 [J], 韦华全;李娜;周宇珍
4.非平凡正规子群的阶相同的有限群(英文) [J], 张勤海;曹建基
5.非平凡正规子群的阶相同的有限群 [J], 张勤海; 曹建基
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关于108阶群的完全分类陈松良;蒋启燕【摘要】设G是108阶群,对群G进行了完全分类,证明了G共有45种互不同构的类型.若Sylow子群都正规,则G有10种；若Sylow 2-子群正规而Sylow 3-子群不正规,则G有7种；若Sylow 3-子群正规而Sylow 2-子群不正规,则G有28种；若Sylow子群都不正规,则G不存在.%Let G be finite groups of order 108. It was showed that G had 45 nonisomorphic types. If every Sylow subgroup was normal, G had 10 nonisomorphic types. If every Sylow 2-subgroup was normal and every Sylow 3-subgroup was non-normal, G had 7 nonisomorphic types. If every Sylow 3-subgroup was normal and every Sylow 2-subgroup was non-normal, G had 28 nonisomorphic types. If every Sylow subgroup was non-normal, G had 0 nonisomorphic types.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2013(045)001【总页数】5页(P10-14)【关键词】有限群;同构分类;群的构造【作者】陈松良;蒋启燕【作者单位】贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州贵阳550001【正文语种】中文【中图分类】O152.1决定n阶群的构造是有限群论中一个基本分类问题.当p是奇素数且p≠3时，文[1]确定了22p3阶群的构造，所用方法与文[2-3] 的相同. 本文用新方法确定2233，即108阶群的全部构造，结论见定理1.定理 1 设G是108阶群，则G共有45种互不同构的类型，其中Sylow子群都正规的有10种，Sylow 2-子群正规而Sylow 3-子群不正规的有7种，Sylow 3-子群正规而Sylow 2-子群不正规的有28种，并且不存在Sylow子群都不正规的108阶群.本文中，Cn表示n阶循环群，Epn表示pn阶初等交换群，Sn，An分别表示n次对称群与n次交错群，，分别表示群G与元素g的阶，A∝B表示群A与B的半直积且其中A不正规，其他符号意义请参考文献[4-8].设G是108阶群，易见G是可解群. 设P，Q分别是G的Sylow 3-子群与Sylow 2-子群，则P同构于下列5个群之一[6]：循环群C27，交换群C9×C3，初等交换群E27，非交换群A=〈x,yx3=y3=z3=1=[x,z]=[y,z]，[x,y]=z〉，而Q是4阶循环群C4或4阶初等交换群E4. 显然，有引理1.引理1 如果G是108阶有限幂零群，则G恰有10种互不同构的类型：1)G1≅C108；2) G2≅C54×C2；3) G3≅C36×C3；4) G4≅C18×C6；5)G5≅E27×C4；6) G6≅E27×E4；7) G7≅A×C4；8) G8≅A×E4；9) G9≅B×C4；10) G10≅B×E4.下面讨论G是108阶非幂零群的同构分类问题.引理2 如果108阶群G的Sylow 2-子群Q正规，而Sylow 3-子群P不正规，那么G共有7种互不同构的类型：1) G11≅E4∝C27，其中E4=〈a〉×〈b〉，C27=〈x〉，且ax=b，bx=ab；2) G12≅C6×(C9∝E4)，其中C6=〈y〉，C9=〈x〉，E4=〈a〉×〈b〉且ax=b，bx=ab；3) G13≅C9×A4；4) G14≅E9×A4；5)G15≅〈x〉∝(〈y〉∝(〈a〉×〈b〉))，其中,=9，=3，==2，且xy=x4，xa=xb=x，ay=b，by=ab；6)G16≅〈x,y〉∝(〈a〉×〈b〉)，其中,=9,=3，==2，且xy=x4，ya=yb=y，ax=b，bx=ab；7)G17≅〈x,y,z〉∝(〈a〉×〈b〉)，其中,===3，==2，且[x，y]=z，zx=zy=z，ya=yb=y，za=zb=z，ax=b，bx=ab.证明这时P共轭作用在Q上诱导Q的一个非单位的自同构群P/CP(Q)，于是3是的因子，从而Q只能是初等交换群E4，设E4=〈a〉×〈b〉. 又=6，所以P/CP(Q)必是3阶群，因而CP(Q)是P的9阶正规子群.(i) P是27阶循环群.设P=〈x〉，则CP(Q)=〈x3〉.于是x作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构,因此不难得知G的构造是G11.(ii) P是交换群C9×C3.设P=〈x,y|x9=y3=1=[x,y]〉，则CP(Q)可为P的9阶循环子群，也可为P的9阶初等交换子群.首先，设CP(Q)是P的9阶初等交换子群，则CP(Q)=〈x3,y〉，于是x作用在Q 上诱导Q的一个3阶自同构，可设ax=b,bx=ab. 这时〈y〉◁G，〈a,b,x〉◁G，从而G=〈y〉×〈x,a,b〉=〈y〉×(〈x〉∝(〈a〉×〈b〉))≅C3×(C9∝E4),因此G 的构造是G12.其次，设CP(Q)是9阶循环群.注意到P的每个9阶元都可看成P的一个生成元，于是不妨设CP(Q)=〈x〉，而y作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，所以可设ay=b,by=ab. 显然G=〈x〉×(〈y〉∝(〈a〉×〈b〉))≅C3×(C9∝E4)，C3∝E4≅A4，故G的构造是G13.(iii) P是初等交换群E27.这时CP(Q)只能是9阶初等交换群，不妨设CP(Q)=〈y,z〉，于是G=〈y,z〉×(〈x〉∝〈a,b〉)，而〈x〉∝〈a,b〉≅A4，故G的构造是G14.(iv) P是非交换群A.这时CP(Q)可为P的9阶循环子群，也可为P的9阶初等交换子群.当CP(Q)为P的9阶正规循环子群时，不妨设CP(Q)=〈x〉，于是y作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，所以G=〈x〉∝(〈y〉∝〈a,b〉)≅Z9∝A4，故G的构造是G15.当CP(Q)为P的9阶正规初等交换子群时，必有CP(Q)=〈x3〉×〈y〉，于是x作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，所以G的构造是G16.(v) P是非交换群B.这时CP(Q)只能是9阶初等交换群，不妨设CP(Q)=〈y,z〉，于是x作用在Q上诱导Q的一个3阶自同构，所以G的构造是G17. 证毕.引理3 如果108阶群G的Sylow 2-子群Q不正规，而Sylow 3-子群P正规且是27阶循环群，那么G共有2种互不同构的类型：1) G18=〈x,a〉，其中,=27，=4且xa=x-1；2) G19=〈x〉∝(〈a〉×〈b〉)，其中,=27，==2，xa=x-1，xb=x.证明设P=Z27=〈x〉，则Aut(P)是18阶循环群. 又因为Q不正规，所以Q/CQ(P)是2阶群，从而CQ(P)也是2阶群. 当Q是4阶循环群时，设Q=〈a〉，则CQ(P)=〈a2〉，故G的构造是G18. 当Q是4阶初等交换群时，设Q=〈a〉×〈b〉，不妨设CQ(P)=〈b〉，从而G的构造是G19. 证毕.引理4 设108阶群G的Sylow 2-子群Q不正规，而Sylow 3-子群P正规且是交换群C9×C3，那么G共有7种互不同构的类型：1)G20=C9×〈y,a〉，其中,=3,=4，且ya=y-1；2)G21=C18×S3；3)G22=C3×〈x,a〉，其中,=9,=4，且xa=x-1；4)G23=C6×〈a,x〉，其中,=9,=2，且xa=x-1；5) G24=〈a〉∝(〈x〉×〈y〉)，其中,=9,=3,=4且xa=x-1，ya=y-1；6)G25=C3×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉))，其中，=9,=3,=2，且xa=x-1，ya=y-1；7) G26=〈a,x〉×〈b,y〉，其中,=9,=3，==2，且xa=x-1，yb=y-1.证明此时显然P的Frattini子群Φ(P)=〈x3〉是3阶群，而Φ(P)char P,P◁G,于是Φ(P)◁G.又不难证明〈x3,y〉是 P 的唯一的9阶初等交换子群，从而它是P的特征子群，于是它又必是G的正规子群. 既然〈x3〉与〈x3,y〉都是Q-不变的，由Maschke定理[4]知,〈x3〉在〈x3,y〉中有3阶Q-不变补子群，不妨设其为〈y〉. 又〈x3,y〉/〈x3〉是9阶初等交换群〈x,y〉/〈x3〉的Q-不变子群，再由Maschke定理知〈x3,y〉/〈x3〉在〈x,y〉/〈x3〉中有3阶Q-不变的补子群〈xiyj〉/〈x3〉，其中i=1,2,4,5,7,8, j=0,1,2. 但〈xiyj,y〉=〈x,y〉，故不妨设〈x〉/〈x3〉是〈x3,y〉/〈x3〉在〈x,y〉/〈x3〉中的3阶Q-不变的补子群，因而〈x〉，〈y〉都是Q-不变的. 由于Q/CQ(x)同构于Aut(〈x〉)的一个子群，但Aut(〈x〉)是6阶循环群，所以CQ(x)是2阶群或等于Q. 同理，CQ(y)也是2阶群或等于Q，但显然CQ(x)与CQ(y)不能同时等于Q.若CQ(x)是Q，而CQ(y)是2阶群，则当Q=〈a〉是4阶循环群时，必有CQ(y)=〈a2〉且ya=y-1，因此得G 的构造为G20.当Q=〈a〉×〈b〉是4阶初等交换群时，不妨设CQ(y)=〈b〉，而ya=y-1，于是G=〈x,b〉×〈a,y〉≅C18×S3，因此G的构造为G21.若CQ(y)是Q，而CQ(x)是2阶群，则当Q=〈a〉是4阶循环群时，必有CQ(x)=〈a2〉且xa=x-1，因此得G的构造为G22.又当Q=〈a〉×〈b〉是4阶初等交换群时，不妨设CQ(x)=〈b〉，而xa=x-1，于是G=〈y,b〉×〈a,x〉≅C6×〈a,x〉，因此G的构造为G23.若CQ(x)，CQ(y)都是2阶群，则当Q=〈a〉是4阶循环群时，必有xa=x-1，ya=y-1，因此G的构造为G24.若CQ(x)，CQ(y)都是2阶群，而Q=〈a〉×〈b〉是4阶初等交换群，则当CQ(x)=CQ(y)时，不妨设CQ(x)=CQ(y)=〈b〉，于是xa=x-1，ya=y-1，因此G 的构造为G25.若CQ(x)，CQ(y)都是2阶群，Q=〈a〉×〈b〉是4阶初等交换群，但C Q(x)≠CQ(y)，则不妨设CQ(x)=〈b〉，CQ(y)=〈a〉，于是xa=x-1，yb=y-1，因此G的构造为G26. 证毕.引理5 设108阶群G的Sylow 2-子群Q不正规，而Sylow 3-子群P正规且是27阶初等交换群，那么G共有11种互不同构的类型：1) G27=〈y〉×〈z〉×〈x,a〉，其中,===3,=4，且xa=x-1；2) G28=〈z〉×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉))，其中,===3,=4，且xa=x-1,ya=y-1；3) G29=〈a〉∝(〈x〉×〈y〉×〈z〉)，其中,===3,=4，且xa=x-1,ya=y-1,za=z-1；4)G30=E9×C2×S3；5)G31=〈z,b〉×〈x,y,a〉，其中,===3,==2，且xa=x-1,ya=y-1；6)G32=C3×S3×S3；7)G33=〈b〉×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉×〈z〉))，其中,===3,==2，且xa=x-1,ya=y-1,za=z-1；8)G34=S3×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉))，其中,==3,=2，且xa=x-1，ya=y-1；9)G35=(〈a〉×〈b〉)∝(〈x〉×〈y〉×〈z〉)，其中,===3,==2，且xa=x，xb=x-1，ya=y-1，yb=y，za=zb=z-1；10)G36=(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉))×〈z〉，其中,===3，=4，且xa=y,ya=x-1；11) G37=〈a〉∝(〈x〉×〈y〉×〈z〉)，其中,===3,=4，且xa=y，ya=x-1，za=z-1.证明设P=E27=〈x〉×〈y〉×〈z〉.(i)假定G是超可解的.这时G的主因子都是素数阶循环群，所以不妨设〈x〉，〈y〉，〈z〉都是Q-不变子群，于是CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)都是Q或2阶群，但不能全是Q. 当Q=〈a〉是4阶循环群时，Q中只有一个2阶子群〈a2〉. 若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中有2个是Q时，不妨设CQ(y)=CQ(z)=Q，则CQ(x)=〈a2〉，且必有xa=x-1，从而G的构造为G27.若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中有一个是Q时，不妨设CQ(z)=Q，则CQ(x)=CQ(y)=〈a2〉，且必有xa=x-1，ya=y-1，从而G的构造为G28.若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)都是2阶群，则xa=x-1,ya=y-1,za=z-1，因此G的构造为G29.当Q=〈a〉×〈b〉时，Q中有3个2阶子群〈a〉，〈b〉，〈ab〉. 若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中有2个是Q时，不妨设CQ(y)=CQ(z)=Q，CQ(x)=〈b〉，则xa=x-1，所以G=〈y,z,b〉×〈x,a〉≅E9×C2×S3，于是得G的构造为G30.若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中只有一个是Q时，不妨设CQ(z)=Q. 则当CQ(x)，CQ(y)是2个相同的2阶群时，可设CQ(x)=CQ(y)=〈b〉，从而G的构造为G31. 而当CQ(x)，CQ(y)是不同的2阶群时，不妨设CQ(x)=〈a〉,CQ(y)=〈b〉，于是不难看出G=〈z〉×〈x,b〉×〈y,a〉≅C3×S3×S3，从而G的构造为G32.若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)都是2阶群时，则当它们都相同时，不妨设都是〈b〉，于是易见G的构造为G33.而当它们中有2个相同但另一个不同时，不妨设CQ(x)=CQ(y)=〈b〉，CQ(z)=〈a〉，于是G=〈z,b〉×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉))，且〈z,b〉≅S3，xa=x-1,ya=y-1，从而G的构造为G34.而当CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)是3个互不相同的2阶群时，不妨设CQ(x)=〈a〉，CQ(y)=〈b〉，CQ(z)=〈ab〉，于是xb=x-1，ya=y-1，za=zb=z-1，故G的构造为G35.(ii)假定G不是超可解的.由于P可看成是3元域F3上的3维线性空间，对于Q中任意一个元素a，它在P上的作用对应F3上3维线性空间的一个线性变换，仍用a表示. 如果P是G的极小正规子群，则Q在P上的作用是不可分解的. 于是Q中至少有一个元素a的特征多项式f(λ)是F3上的3次不可约多项式. 但a4=1，所以f(λ)应为λ4-1的因式，这是不可能的. 因此P不是G的极小正规子群. 又G不是超可解的，所以G应有一个9阶极小正规子群，不妨设其为〈x〉×〈y〉. 这时Q中至少有一个元素a的特征多项式f(λ)有一个2次不可约因式，且是λ4-1的因式．由此不难得出f(λ)=(λ2+1)(λ-1)或f(λ)=(λ2+1)(λ+1)，从而Q只能是4阶循环群，这时G有2种不同的构造G36，G37. 证毕.引理6 设108阶群G的Sylow 2-子群Q不正规，而Sylow 3-子群P正规且是27阶非交换群A，那么G共有2种互不同构的类型：1) G38=〈x,y,a〉，其中,=9,=3,=4，且xy=x4，xa=x-1,ya=y；2) G39=〈b〉×〈x,y,a〉，其中,=9,=3,==2，且xy=x4，xa=x-1,ya=y.证明设P=〈x,y|x9=1=y3,xy=x4〉，不难验证Z(P)=〈x3〉且〈x3,y〉是P的唯一的9阶初等交换子群，因而它们都是G的正规子群，从而G是超可解的. 类似于引理4的证明，可设〈x〉，〈y〉都是Q-不变的. 若Q是4阶循环群〈a〉，则因为[x,y]=x3∈Z(P)，所以当xa=x-1,ya=y-1时，[x,y]a=[xa,ya]=x3≠(x3)a，矛盾；当xa=x,ya=y-1时，[x,y]a=[x,ya]=x-3≠(x3)a，亦矛盾，因此只能有xa=x-1,ya=y，于是G的构造为G38. 若Q是4阶初等交换群〈a〉×〈b〉，则CQ(x)与CQ(y)是2阶群或Q. 类似于上段的讨论，必有CQ(y)=Q，从而CQ(x)必是2阶群，不妨设CQ(x)=〈b〉，于是G的构造为G39. 证毕.引理7 设108阶群G的Sylow 2-子群Q不正规，而Sylow 3-子群P正规且是27阶非交换群B，那么G共有6种互不同构的类型：1) G40=〈x,y,z,a〉，其中，===3,=4，[x,y]=z，且zx=zy=z，xa=x-1，ya=y，za=z-1；2) G41=〈x,y,z,a〉，其中，===3,=4，[x,y]=z，且zx=zy=z，xa=x-1，ya=y-1，za=z；3) G42=〈b〉×〈x,y,z,a〉，其中，===3,==2，[x,y]=z，且zx=zy=z，xa=x-1,ya=y,za=z-1；4) G43=〈b〉×〈x,y,z,a〉，其中，===3,==2，[x,y]=z，且zx=zy=z，xa=x-1,ya=y-1,za=z；5) G44=(〈a〉×〈b〉)∝〈x,y,z,〉，其中，===3，==2，[x,y]=z，且zx=zy=z， xa=x-1,ya=y,za=z-1，xb=x-1,yb=y-1,zb=z；6) G45=〈a〉∝〈x,y,z,〉，其中,===3,=4，[x,y]=z，且zx=zy=z，xa=y,ya=x-1，za=z.证明 P=〈x,y,z|x3=y3=z3=1=[x,z]=[y,z],[x,y]=z〉，则Z(P)=〈z〉，于是P/〈z〉=〈x,y〉/〈z〉是Q-不变的9阶初等交换群.首先，如果G是超可解的，那么〈x,y〉/〈z〉有3阶Q-不变子群，不妨设其是〈x,z〉/〈z〉，由此又知〈x,z〉是Q-不变的9阶初等交换群，所以由Maschke定理知〈z〉在〈x,z〉中有3阶Q-不变的补子群，不妨设其是〈x〉. 同理，因为〈x,z〉/〈z〉是〈x,y〉/〈z〉的3阶Q-不变子群，所以〈x,z〉/〈z〉在〈x,y〉/〈z〉中有3阶Q-不变的补子群，不妨设其是〈y,z〉/〈z〉，从而〈y〉也是Q-不变子群. 总之，可设〈x〉，〈y〉，〈z〉都是Q-不变子群. 若Q是4阶循环群〈a〉，则xa=x或xa=x-1，ya=y或ya=y-1，za=z或za=z-1，注意到[x,y]=z且Q不正规，所以能够成立的情况有3种：(i) xa=x-1,ya=y,za=z-1；(ii) xa=x-1，ya=y-1，za=z；(iii) xa=x,ya=y-1,za=z-1. 但在(iii)中，若将x,y互换，同时将z,z2互换，则得(i)，因此由(i)或(iii)得到的G的构造同构，这时G的构造为G40. 由(ii)得到的G的构造为G41.若Q是4阶初等交换群〈a〉×〈b〉，则类似于上段的讨论可知，〈a〉在P上的作用可得到2种不同构的54阶非幂零超可解群〈a〉P. 同理，〈b〉在P上的作用也可得到2种不同构的54阶非幂零超可解群〈b〉P. 所以，如果CP(a)，CP(b)中恰有一个是P时，不妨设CP(b)=P，则G=〈b〉×〈x,y,z,a〉，于是得G的2种不同的构造G42，G43.如果CP(a)，CP(b)都不是P时，则可能有4种情况出现：(a) xa=x-1,ya=y,za=z-1，xb=x-1,yb=y,zb=z-1；(b) xa=x-1,ya=y,za=z-1，xb=x-1,yb=y-1,zb=z；(c) xa=x-1,ya=y-1,za=z，xb=x-1,yb=y,zb=z-1；(d) xa=x-1,ya=y-1,za=z，xb=x-1,yb=y-1,zb=z.若条件(a)或(d)成立，则CP(ab)=P，又〈a,b〉=〈ab,b〉=〈a,ab〉，由此不能得到G的新的构造. 若在条件(c)中将a,b互换位置，则得条件(b)，所以由(b)或(c)可得到G的一种新的构造G44.其次，如果G不是超可解的，那么Q在〈x,y〉/〈z〉上的作用是不可分解的. 又〈x,y〉/〈z〉可看成是3元域F3上的2维线性空间，Q中任意一个元素a可看成是F3上的2维线性空间的一个可逆线性变换. 类似于引理5的证明中(ii)讨论，可知Q只能是4阶循环群，且可设Q=〈a〉，xa=y,ya=x-1，再由[x,y]=z得za=z，从而G的构造为G45. 证毕.引理8 设群G的阶为108=22·33，则G的Sylow 2-子群或Sylow 3-子群正规.证明假设群G的Sylow 2-子群与Sylow 3-子群都不正规. 任取P∈Syl3(G)，由Sylow定理知考虑G在集合Ω={Pg|g∈G}上的右乘作用，易知此作用的核为PG=O3(G). 但=4，故G/O3(G)同构于S4的一个子群，于是PG必是9阶群，迫使G/PG≅A4. 我们断定O2(G)=1. 事实上，如果O2(G)≠1，则O2(G)必是G的2阶正规子群，于是由N/C定理[6]可得O2(G)≤Z(G). 此时G/O2(G)是54阶群，其Sylow 3-子群PO2(G)/O2(G)是正规的，于是P char PO2(G)◁G，从而P◁G，矛盾，因此，O2(G)=1. 由此及文[5]的定理9.3.1得CG(O3(G))≤O3(G)，但O3(G)是交换群，于是G/O3(G)≅A4忠实作用于O3(G)上，从而O3(G)是9阶初等交换群，这说明A4同构于Aut(O3(G))≅GL(2,3)的一个子群. 但这是不可能的，因为GL(2,3)中的4阶初等交换子群必有一个元素(矩阵)的行列式是1，故属于SL(2,3). 但SL(2,3)只有一个2阶元I，于是GL(2,3)的每个4阶初等交换子群均包含中心对合I，而A4的中心是1，所以A4不能嵌入到GL(2,3)中. 此矛盾说明G存在正规的Sylow 子群，引理证毕.由以上8个引理可知，定理1成立.【相关文献】[1] 刘立，景乃桓. 22p3阶群的构造(p≠3)[J]. 应用数学，1989，2(3)：91-96.[2] Zhang Y D. 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