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群论的分支规则群论是数学的一个分支，主要研究的是抽象代数结构——群。
群论的分支规则是指在研究群的过程中，如何将一个大的群分解为更小、更简单的子群。
这些子群之间有一定的关系，可以帮助我们更好地理解和研究整个群的性质。
群论的分支规则主要包括以下几点：1. 正规子群：设G是一个群，H是G的一个子群，如果H满足条件(a) H本身是一个群；(b) H中任意两个元素的乘积仍在H中；(c) G中任意一个元素与H中任意一个元素的乘积仍在G中。
那么H 就是G的一个正规子群。
正规子群具有传递性，即如果H和K都是G 的正规子群，且H包含于K，那么K也包含于H。
2. 商群：设G是一个群，H是G的一个正规子群，那么由G中所有与H无关的元素组成的集合（记作G/H）以及G/H上定义的运算（即将G中的元素g和H中的元素h映射到G/H中的(gH)），就构成了一个群，称为G关于H的商群。
商群可以看作是将G分解为不相交的正规子群H的并集。
3. 循环子群：设G是一个有限群，H是G的一个子群，如果存在一个元素g∈G，使得对于任意的h∈H，都有gh=hg。
那么称H为G 的一个循环子群。
循环子群具有封闭性，即如果H是G的一个循环子群，那么H的任何非空子集也是循环子群。
4. 交换子群：设G是一个群，H是G的一个子群，如果H中任意两个元素的乘积都在H中，那么我们称H为G的一个交换子群。
交换子群具有传递性，即如果H和K都是G的交换子群，且H包含于K，那么K也包含于H。
5. 幂零子群：设G是一个有限群，H是G的一个子群，如果存在一个正整数n，使得hn=e（其中e是G的单位元）对于任意的h∈H都成立，那么我们称H为G的一个幂零子群。
幂零子群具有传递性，即如果H和K都是G的幂零子群，且H包含于K，那么K也包含于H。
通过以上分支规则，我们可以将一个复杂的群分解为更小、更简单的子群，从而更好地理解和研究整个群的性质。
南阳师范学院2020春期数学与统计学院各专业《近世代数》课程期中测试题(2020.4.19)一、判断题（正确的打√，错误的打×）：（每小题1分，共12分）1．（ ）设A ,B ,C 为群G 的三个非空子集合，则()A B C AB AC ⋃=⋃.2．（ ）无限循环群存在着无限个循环子群.3．（ ）置换(12)(234)σ=为6阶元素.4．（ ）群G 的子群H 是正规子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,.5．（ ）设H G ≤，,. a b G aH bH ∈≠时，可能有aH bH φ⋂≠.6．（ ）有限半群G 满足左消去律，则G 作成群.7．（ ）集合M 上的等价关系确定M 上的一个分类.8．（ ）如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群.9．（ ）一个群中两个子群的交与并都作成群.10.（ ）一个集合上的全体双射变换作成一个变换群..11.（ ）有理数加群不能与非零有理数乘法群同构.12.（ ）群不一定与其商群同态.二、填空或单项选择填空题：（每小题2分，共32分）1. M 为实数集合,代数运算是普通乘法.则 是M 上的自同态映射:1A. ||; B. ; C. 2; D. x x x x x x x x -→→→→-.2. 设F 是数域，则下列 的法则ϕ为X 到Y 的单射：A. ()n X M F =，Y =F . :||A A ϕ→；B. X Z =，Y 为有理数集合. 2:x x ϕ→；C. n X F =，Y =F . 121:(,,,)n a a a a ϕ→K ；D. ()n X M F Y ==，()n C M F ∈是可逆方阵. 1:A CAC ϕ-→3. 下列 的法则ϕ为X 到Y 的映射：A. X ，Y 为正有理数集合. 法则:x ϕ→B. {1,2,3},{2,4,6,12}.X Y ==法则:2x x ϕ→；C. X 为有理数集合，Y 为实数集合. 法则1+3:x x ϕ→；D. X Y =均为有理数集合，法则:ba ab ϕ→+.4．X 是数域F 上的全体n 级方阵的集合，Y =F . 下列 的法则ϕ不是X 到Y 的满射：A. :||A A ϕ→；B. :()A Tr A ϕ→；C. :()A A ϕ→秩；D. *:A A →ϕ 5. M 是有理数集合，下列M 的关系 是M 的等价关系：A.|aRb a b ⇔；B.aRb a b ⇔<；C.0ba aRb ⇔>；D.220aRb a b ⇔+≥.6．设21:G G f →是一个群同态满射，那么下列错误的命题是（ ）A.f 的同态核是1G 的正规子群；B.2G 的正规子群的逆象是1G 的正规子群；C.1G 的子群的象是2G 的正规子群；D.1G 的正规子群的象是2G 的正规子群.7．13阶有限群的子群个数为（ ）A. 0；B. 2；C. 1；D. 5.8. M 是非零有理数集合，代数运算为通常的乘法. 下列映射 是M 的自同构映射：A. 1:a aϕ→； B. 2:2a a ϕ→；C. :1a a ϕ→+；D. :31a a ϕ→+ 9．下列运算是代数运算的为 .A.在整数集Z 上，abb a b a +=ο； B.在有理数集Q 上，ab b a =ο； C.在正实数集+R 上，b a b a ln =ο；D.在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -=ο. 10.设H 是群G 的6阶子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,，则=G .A.6；B.24；C.10；D.1211．设()ο,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++=οο:，这里k 为G 中固定的常数.那么群()ο,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是 .A.0和x -；B.1和0；C.k 和k x 2-；D.k -和)2(k x +-.12．设G 为一个群，,H G K G ≤≤，下列命题中不成立的是（ ）A. ||(:)||G G H H =；B.||||G H G 是有限群时,；C. 如果,H K G 在中指数均有限，则H K ⋂在G 中的指数也有限；D. ()||||:是有限群时,=⋅G G H G H .13．凯莱定理：任一个群都同一个 同构.14.给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .15．在同构意义下，无限循环群只有 个，它（们）是 ，生成元素有 个.16．群的正规子群、特征子群、全特征子群之间的关系是_______________________.三、 计算题（每小题8分，共24分）1. 试写出15阶循环群G a =<>的所有生成元素和子群， 并写出子群在群中的指数． 2．3S 关于{(1),(12)}=H 的所有左陪集和右陪集，并给出对应的左、右陪集的代表系.3．设有置换(135)(47),(263)(27)(14)στ==.(1) 求11,στσστσ--；(2) 确定置换1στσ-的奇偶性．四、讨论与证明题（每小题8分，共32分）1. 下列结论是否正确？正确的给出证明，错误的请给出反例．（1）正规子群的正规子群仍是正规子群；（2）不存在所有元素阶都有限的无限群;2．设M 为有理数集，又令(,):(,,0).a b x ax b a b M a τ+∈≠a 讨论：(,){|,,0}a b G a b M a τ=∈≠ 关于变换的乘法是否作成群？是M 的双射还是非双射变换群？3．证明：()2:()ϕ∀∈a A A A GL Q 是从2阶线性群()2GL Q 到非零有理数乘群*Q 的同态满射，并求出同态核，根据同态基本定理证明()2GL Q 的一个商群与*Q 同构.4．证明：4阶群G 若不是循环群则必与Klein 四元群同构。
本科生代数论文课题:论述全特征子群，特征子群与正规子群之间的关系班级：2011级应用数学班姓名：xx学号：xxxxxxxx专业：xxxxxxxxxxx学院：xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 指导老师：xxxx摘要本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全特征子群，特征子群，正规子群等等。
从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。
本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。
经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群。
一．陪集的引入定理1 设H是群G的一个子群，a∈G。
则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。
而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。
左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。
⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H）⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH定理2 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。
即有：c（H∩K）=cH∩cK。
定理3如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。
而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。
同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。
则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。
例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H （123）={（123），（23）}。
则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。
定理4群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。
定理5设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。
推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。
例2：由于S(3)=6，故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。
例如：子群H={（1），（12）}的阶是2，指数是3，且有|S(3)|=|H|（S(3):H）,即6=2 ▪3。
定理6设G是一个有限群，又K≤H≤G，则：（G∶K）（H∶K）=（G∶K）。
二．自同构群的定义定理1 设M是一个有代数运算的集合（不必是群），则M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。
证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ∀∈，有()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====即στ也是M 的一个自同构。
这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。
又因为x M ∀∈有11()()x x x σσσσ--==，故111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=⋅==即1σ-也是M 的一个自同构。
群的定义的第3条成立。
另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元，群的定义的第1、2条也成立。
所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
这个群叫作群G 的自同构群，记作A u t G 。
由上面，如果||G n =，则A u t n G S ≤。
例1 求Klein 四元群{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。
解 4A u t K σ∀∈。
由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。
又由于σ是双射，因此()()()eabcea b c σσσσ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。
每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。
例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构:()()()()ab c c ba a b σσσσ====,()()()()ac b a bc a c σσσσ====, .由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43A u t K S ≅。
2.循环群的自同构群定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ϕ 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。
证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。
因此，一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。
例如，设G a =<>是由a 生成的循环群，则当k 是小于n 且与n 互素的正整数时，ka 也是G 的生成元，即k G a =<>。
此时，令:k G G σ→，()kk a a σ=，则有()iikk a aσ=，且i ja a≠时，()()i jk k a a σσ≠，()()()()()iji ji j kik jki jk k k k a a aaa aa a σσσσ++⋅====，即k σ是G 的自同构。
由于无限循环群只有2个生成元，n 阶循环群只有()n ϕ个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和()n ϕ阶的群。
例2 （1）求G a =<>，||4a =，4阶循环群的自同构群。
解 (4)2ϕ=，两个生成元为3,a a ，从而{},A u t G εσ=，其中2323e a a a e aaa ε⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭是恒等置换，2332e a a a e aaa σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭。
（2）求G a =<>，||5a =，5阶循环群的自同构群。
(5)4ϕ=，4个生成元为234,,,a a a a ，从而{}123,,,A u t G εσσσ=，其中，ε是恒等置换，2341243ea a aa eaaa a σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭， 2342342ea aa a e aaaa σ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，2343432e a a a a e aaaa σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭。
推论2 无限循环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同 构。
证明 由定理2知，这两种群的自同构群都是2阶群，2是素数，所有2阶群都彼此同构，都与2次单位根群同构。
3. 内自同构群定理3 设G 是一个群，a G ∈，则（1）1:,()a x axa x G σ-→∀∈是G 的一个自同构，称为G 的内自同构； （2）G 的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为 G 的内自同构群，记为In n G ； （3）In n A u t G G 。
证明 （1）易知aσ是G 的一个双射变换。
又111()()()()()()a a a xy a xy a axaayax y σσσ---===，所以aσ是G 的一个自同构。
（2）设aσ与bσ是G 的任何两个自同构，则x G ∀∈，1111()(())()()()()()a b a b a ab x x bxb a bxb aab x ab x σσσσσσ----=====， 即有ab abσσσ=仍是一个内自同构，此表明In n G 关于变换的乘法封闭。
又易知()11In n a aG σσ--=∈，且eσε=是幺元，结合律显然成立，所以In n G 关于变换的乘法作成一个群。
（3）,A u t In n aG G τσ∀∈∀∈，x G ∀∈。
令1()x y τ-=，即()y x τ=，则1111()()()()()()()()()()a a a x y ayaa y aa x a x ττσττσττττττσ----=====， 由x 的任意性有1()In n a a G ττστσ-=∈，所以In n A u t G G 。
注意：设N G ，则a G ∀∈有1aN aN -⊆，即()a N N σ⊆，亦即N对G 的任何内自同构都保持不变；反之，若G 的一个子群有此性质，则它必是G 的正规子群。
这就是说，G 的正规子群就是对G 的任何内自同构都保持不变的子群：,()In n N G G N N σσ⇔∀∈⊆ 。
因此，也常称正规子群为不变子群。
群的中心： 称(){|,}C G a ax xa x G ==∀∈为群的中心，即群G 的中心就是与G 的所有元素都可交换的元素组成的集合。
根据中心的定义，显然有()C G G 。
三、有关群的定理定理1 设H 是群G 的一个子群，如果H 对G 的每个自同态映射都不变，既对每个自同态映射φ都有φ（H ）∈H， 则称H 为群G 的一个全特征子群。
定理2 对群G 的所有自同构都不变的子群，亦即对G 的任何自同构ε都有 ε（N ）∈N的子群N ，叫做G 的一个特征子群。
定理3 设N 是群G 的一个子群，如果对G 中每个元素a 都有 aN=Na,则称N 是群G 的一个正规子群。
定理4 设群G 的子群H 由有限个元素构成，即H={a,b,c, …n}则称H 为G 的一个有限子群。
例1：H≦G，且H 有有限个元素构成，H={a,b,c, …n},则称H 为G 的一个有限子群。
四、讨论全特征字群，特征子群，正规子群间的关系证明：①因为G与e都是G的特征子群，特征子群一定是正规子群显然反之不成立。
例如，由于Klein四元群是交换群，它的每个子群都是正规子群，因此由已知可得N={e,a}是Klien的一个正规子群，但它不是Klien的特征子群。
是Klien的一个自同构，然而却有θ（N）={e,b}≠N②同理G与e都是群G的全特征子群，显然。
且全特征子群一定是特征子群显然。
反之不成立。
例如：群G的中心C是G的一个特征子群。
证明：任取c∈C，x∈G, θ∈AutG,则θ（c）x=θ（c）[θ（θ（x））]= θ[cθ(x)]=θ[θ(x)c]=θ[θ(x)]θ(c)=xθ（c）即θ（c）∈C, θ（c） C,即C是G的一个特征子群。
但应注意，群的中心不一定是全特征子群。
例如：有理数域Q上的2阶线性群G=GL（Q）的中心（Q上所有2阶纯量矩阵）不是全特征子群。
证明：任取A∈G,即A为有理数域Q上一个2阶满稚方阵，则ㄧAㄧ是个有理数。
