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第一部分群论基础第三章群表示特征标理论(2)(七) 不可约表示特征标表的计算 2一, 正交法(1) 将群分类, 并由此可确定类数 C.再根据不可约表示数定理( r = C ), 可得不可约表示数 r 值.从而可确定不可约表示特征标表的行数( r ) 和列数( C ).(2) 由维度定理 ( ∑i n i2 = h ) 和不可约表示数定理 ( r = C ),可求得所有不可约表示的维度 { n i },(3) 如此, 可确定不可约表示特征标表的第一行 ( 都是“ 1 ” )和第一列( { n i } )例: D3 群: E A B C D F ( h = 6 )分类: C1 C2 C3 ( r = C = 3 )由∑i n i2 = h = 6 可得, n1 = n2 = 1, n3 = 2从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *D3 E 3C2 2C3 3D1 1 1 1D2 1 a bD3 2 c d(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数正交性定理: ∑C ( h C /h )χi *( C ) χj ( C ) = δij( 行间正交 ) 完全性定理: ∑j ( h m /h ) χi*( C m ) χi ( C n ) = δmn( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2的 a 和 b, 有1 • 1 • 1 + 3 • 1 • a +2 • 1 • b = 0 ( 第1, 2 行正交 )1 + 3 a +2 b = 0 ---------------------------- (13)对于一维(么正)表示, 只有一个矩阵元, 其模为1[ 提问: 其模可以大于或小于 1 吗? 为什么? ][ 答案: 不可, 否则不能满足群的封闭性 ] *尝试法: 不妨取 “+1” 或 “-1” ( 其正确性需通过下面的检验 ) 4由 (13) 式可得 a = -1, b = 12, 利用完全性定理确定二维表示D3的 c 和 d,1) 1 • 1 + 1 • a + 2 • c = 0 ( 第 1, 2 列正交 )1 + a + 2c = 0 , 则 c = 02) 1 • 1 + 1 • b + 2 • d = 0 ( 第 1, 3 列正交 )1 + b + 2d = 0, 则 d = -1因此有 D3 E 3C2 2C3D1 1 1 1D2 1 -1 1D3 2 0 -1其结果满足正交性和完全性关系的要求, 是正确的. *5二, 利用商群和母群的同态关系• 当群元较多时, 因未知数较多, 直接利用正交法有困难.• 有时可利用商群Ｇ/ H和大群Ｇ的同态关系G ~ Ｇ/ H ( H为不变子群 )• 商群的表示也是大群的表示 ( 彼此同态 )• 商群的不可约表示也是大群的不可约表示 [ 提问: 为什么? ] [ 答案: 群元数目增加, 表示的不可约性不会改变 ]• 由商群不可约表示的特征标可得大群相应不可约表示的特征标*6例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表 D3群 ( 大群 ) C2群 ( 商群）E, D, F (不变子群 H ) ↔ EA, B, C ↔ C2D3 E D F A B C C2 E C2D1 1 1 1 D1 1 1D2 1 1 -1 D2 1 -1D3 2 a b(1) 由C2 群不可约表示D1 和D2 的特征标可得D3 群不可约表示D1 和 D2 的特征标 ( 注意两群间群元的对应关系 )(2) D3 群不可约表示特征标表中的 a 和 b 可由完全性定理求得a = -1,b = 0 *7 [ 思考题: 一般说来, 不可约表示是唯一确定的吗? ][ 答案: 不是, 可作相似变换, 彼此等价 ][ 思考题: 不可约表示的特征标是唯一确定的吗? ][ 答案; 是, 矩阵相似变换特征标不变 ]习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系: S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )S3 : 1C1,3C2 , 2C3 ( h3 = 6 )( 注：要求不用尝试法）*习题: 试用类和法求D2d 群的二维不可约表示特征标. 17已知D2d群的乘积表(可不用)和一维不可约表示特征标为:D2d E C2 C2x’ C2y’ σd1 σd2 iC4 iC4-1E E C2 C2x’ C2y’ σd1 σd2 iC4 iC4-1C2 C2 E C2y’ C2x’ σd2 σd1 iC4-1 iC4C2x’ C2x’ C2y’ E C2 iC4 iC4-1 σd1 σd2C2y’ C2y’ C2x’ C2 E iC4-1 iC4σd2 σd1σd1 σd1 σd2 iC4-1iC4 E C2 C2y’ C2x’σd2 σd2 σd1 iC4iC4-1 C2E C2x’ C2y’iC4 iC4 iC4-1 σd2 σd1 C2y’ C2x’ C2 EiC4-1 iC4-1 iC4σd1 σd2 C2x’ C2y’ E C2D2d E C2 2C2 ’ 2σd 2iC4 D1 1 1 1 1 1D2 1 1 -1 -1 1D3 1 1 1 -1 -1D4 1 1 -1 1 -1 *。
12阶群的特征标表特征标是指一个群在其自身上的不可约表示的特征函数，它们是复值函数。
而特征标表则展示了一个群的所有特征标。
以下是12阶群的特征标表：设群G是一个12阶群，它有几个不同的特征标，我们可以逐一计算它们的值。
1.平凡特征标：群的单位元素的特征标为1，即ε(g)=1，对于群中的所有其他元素g有ε(g)=0。
2.一维特征标：由于群G是12阶的，根据拉格朗日定理，它有一个正规子群H，其阶数为2、3、4或6，这个子群H是G的唯一正规子群。
我们可以以这个正规子群与一个余群N的乘积形式表示整个群G，即G=HN。
由于H是正规子群，所以任意两个元素h1和h2属于H，则它们的乘积h1h2也属于H。
正规子群H是一个循环群，根据循环群的性质，它有一个生成元a，其中a的幂次为H的阶p（p为2、3、4或6）的最小公倍数。
我们可以利用这个生成元a来定义一个一维特征标φ，它的定义如下：φ(h) = λ，其中h = an，a是生成元，n是群G中除单位元之外的元素。
该一维特征标表示的表示空间是复数域上的一维线性空间。
3.单位特征标：4.不可约特征标：群的特征标可以表示为多个不可约特征标的直和。
不可约特征标是指在特征标矩阵中不能进一步分解的最小单位。
每个不可约特征标表示一个不变的子空间。
关于12阶群的特征标表很长，以下是一个简化的示例表：群元素单位特征标不可约特征标1 不可约特征标2 不可约特征标3 ...e 1 1 1 1 ...g1 1 λ1λ2λ3...g2 1 λ1λ2λ3...g3 1 λ1λ2λ3...... ... ...... ... ...需要注意的是，由于12阶群有多种构造方式，其特征标矩阵的形式可能会有所不同。
上述特征标表只是一个简化示例，实际的特征标表可能更加复杂。
《近世代数基础》团队学习小论文2015届论文题目：低阶群的结构组长朱陈胤团队成员朱家彬、章媛、赵慧院系数理信息学院专业班级数学与应用数学152指导教师尹幼齐完成日期2016。
11.13低阶群的结构摘要本文主要利用群的三个基本同构定理，Sylow定理和同余的关系对低阶群的结构进行分析。
根据低阶群的基本性质可知，阶为素数的群一定是循环群.此外，低阶群可推出高阶群的结构，利用素数的幂方和倍数来讨论问题。
由于群的概念太过宽泛，低阶群的定义较广，故本文只讨论到20阶群的性质,其它低阶群的性质可同理推出。
关键词：群的基本同构定理；Sylow定理；同余；目录目录 (3)引言 (1)2．阶数不超过20的群的个数和种类 (2)3．123p p p 、、（p 为素数）阶群的结构 (2)3.1 p 阶群必为循环群，只有一种类型. (2)3.2 2p 阶群必为交换群，有两种类型： (2)3.2.1 ︱G ︱﹦4 (3)3。
2.2 ︱G ︱﹦9 (3)3。
3 3p 阶非交换群(分p=2和p 2)，有下列情形： (3)3.3.1 ︱G ︱﹦8 8阶群的结构共5种. (4)4. 2p （p 为素数）阶群的结构 (5)4.1︱G ︱﹦6 (5)4。
2 ︱G ︱﹦10 (6)4。
4 ︱G ︱﹦14 (7)5. 阶为特殊值时群的结构 (7)5。
1 1阶群的结构 (7)5。
2 12阶群的结构 (7)5.3 15阶群的结构 (7)5。
4 16阶群的结构 (7)5。
5 18阶群的结构 (8)5。
6 20阶群的结构 (8)5.7 21阶群的结构 (9)6 参考文献 (9)引言群是近世代数的一个重要内容，而其中低阶群的结构就研究群的整体来说有极为重要的意义。
许多抽象群或高阶群均可利用低阶群的结构推导出来.在社会不断进步的同时，群也在不断地发展、不断地完善。
直至现在，还有很多人致力于矩阵的研究。
本次课题的主要研究内容为归纳、总结群论在实际生活等领域的应用.通过本次课外团队学习的研究,使我们对群有了更深一步的了解，如知道了很多有关于群的发展史及其存在方式的多样性。
12阶群的特征标表12阶群是指具有12个元素的群。
接下来，我将介绍12阶群的特征标表。
首先，我们需要确定12阶群的不可约表示。
根据群论的定理，任何有限群的特征标表的行数等于其共轭类的个数，因此我们需要找到12阶群的所有共轭类。
12阶群共有五个共轭类，它们分别是:1.单位元素类：{e}2.阶为2的元素类：{a,a^-1}，其中a是12阶群中阶为2的元素。
3.阶为3的元素类：{b,b^4,b^7}，其中b是12阶群中阶为3的元素。
4.阶为4的元素类：{c,c^3,c^9}，其中c是12阶群中阶为4的元素。
5.阶为6的元素类：{d,d^5}，其中d是12阶群中阶为6的元素。
接下来，我们需要计算这些共轭类的特征标。
特征标是将群的元素映射为一个复数的函数，满足以下性质:1.对于单位元素，特征标为12.对于非单位元素，则特征标的绝对值等于其共轭类大小的平方根。
下面是12阶群的特征标表:12阶群，{e}，{a,a^-1}，{b,b^4,b^7}，{c,c^3,c^9}，{d,d^5}--------，-----，-----------，--------------，---------------，---------χ1，1，1，1，1，1χ2，1，1，1，1，-1χ3，1，1，1，-1，1χ4，1，1，1，-1，-1χ5，1，1，-1，1，1χ6，1，1，-1，1，-1χ7，1，1，-1，-1，1χ8，1，1，-1，-1，-1χ9，2，-1，0，2，0χ10，2，-1，0，-2，0χ11，2，-1，0，0，2χ12，2，-1，0，0，-2在特征标表中，χ1至χ8都是行对称的，而χ9至χ12则是列对称的。
这就是12阶群的特征标表。
特征标是研究群表示论中非常重要的工具，它们不仅可以帮助我们确定一个群的结构，还可以在许多数学和物理学领域中找到应用。
12阶群的特征标表
李德乐
【摘要】通过群的同构分类的观点,分析了12阶群的生成关系,再利用特征标的基本性质一一构造每个群的特征标表.
【期刊名称】《四川职业技术学院学报》
【年(卷),期】2011(021)001
【总页数】3页(P90-91,113)
【关键词】12阶群;生成关系;特征标
【作者】李德乐
【作者单位】福建水利电力职业技术学院,福建,永安,366000
【正文语种】中文
【中图分类】G712
群表示论是代数学的一个重要分支,它除用于研究群的结构以外,在众多的数学分支和其他自然科学领域中也有着重要的应用。
对于12阶群的生成关系和特征标表零散分布在各类文献中，本文通过12阶群的生成关系来构造其特征标表。
1.1 定义
定义1[1]置换群：Cn=<a│an=1>。
定义2[1]狄利克雷群（二面体群）：D2n=<a,b│an=b2=1, b-1ab=a-1>。
定义3[1]n次交代群：置换群Sn中全体偶置换作成一个阶的群。
定义4[1]双循环群（四元数群）：Q2n=<a,b│a2n=1,an=b2, b-1ab=a-1>。
定义5[1]（共轭（元素、子群）类）若我们称元素x与y共轭。
若，我们称子群
H与K共轭。
由此可知群G之一切子群能分类，使属于同类中的子群互为共轭，
属于异类中的子群互不共轭，这样的每个类叫共轭子群类（简称共轭类）。
定义6[2]（群的子集的正规化子与中心化子）：设G是群，H是G的一个子集，若g∈G,满足H=g-1Hg，则g称正规化H，而称G中所有正规化H的元的集合
为H在G中的正规化子。
设G是群，H是G的一个子集，若g∈G,满足h=g-1hg对一切h∈H，则称g中心化H，而称G中所有中心化H的元的集合
为H在G中的中心化子。
定义7[3]（特征标）设(ρ,V)∈RF（G）+，在G上定义F值函数：
这里trρ(g)是V上线性变换ρ(g)的迹。
称为G上的表示ρ的特征标。
如则称为不可约特征标，如F=C，则称复特征标。
ρ的次数也称为特征标的次数，记作deg；次数为1的特征标为线性特征标。
1.2 引理
引理1[4]（西罗（Sylow）定理）设G是有限群，p是素数且
pn││G│但│G│，则：
（1）G必有pn阶子群（称为G的Sylowp-子群）。
（2）G的任意两个Sylowp-皆在G中共轭。
（3）G中Sylowp-子群的个数np是│G│的因子，并且np≡1(modp)。
引理2[5](p2q阶群结构)设G是p2q阶有限群，p,q是素数，
P∈sylp(G),Q∈sylq(G)。
（1）若p>q，则；
（2）若p<q，则当q≠3时，；当q=3时，或者或者且GA4。
引理3[6]（有限交换群的基本定理）有限交换群可分解为一些阶等于素数幂的诸
循环群的直积，且这样的分解方法是惟一的。
引理4[6]（共轭类的个数）群G之子集H的正规化子NG（H）和中心化子GG （H）都是G的子群，且.又与H共轭的个数（在G内）│CG（H）│=[G：NG （H）],且 g-1NG(H)g=NG(g-1Hg)
引理5[1]（特征标的性质）
性质1如ρ1与ρ2是G的表示，则
性质2如m是群G的指数（即G的元素阶数的最小公倍数），则G的任何复表
示ρ的特征标的值是degρ个m 次单位根的和.
性质3设(ρ,V)∈RC(G)+,则，这里
是∈C的复共轭。
引理6[1]特征标的正交关系）
（第一正交关系）对任意的i,j=1,2…，s,有
(第二正交关系)设a,b∈G，则
引理7[1]（特征标的提升）设是G/N的一个特征标。
由可以定义G的一个特征标：我们称是到G的提升。
定理：
设G是12阶群，则G有五种生成关系：
证明：G是交换群，根据引理3可知：只有上述（I）、（II）两种。
若G是12阶非交换群，设P∈Syl2(G)，Q∈Syl2(G)，当，时，考虑G是集合{Qx│x∈G}上的置换作用，可知GA4。
（如果考Q虑在P上的作用，该作用必是忠实作用，这迫使P必非循环。
则可以写出其另一个生成关系：
当时，考虑P在Q上的作用，则作用核必是2阶子群。
当P循环时，只有
G=<a,b│a6=b2=1,ab=ba-1>;当P非循环时，
3.1 12阶交换群的特征标表
3.1.1 循环群Cn的特征标表
设循环群Cn都是Abel群（交换群），其不可约表示都是一级的。
这
样一个表示使复数与r对应，因为rn=1，所以wn=1。
这样一来，我们就得出n
个一级不可约表示，它们的特征标给出。
我们有照通常的规定，如果h+h’≥n，则
例如：对于的特征标表为：
3.1.2 Abel（交换）群的特征标表
我们首先介绍两个定理：
定理A每个有限交换群都同构于循环群的直积。
（具体参考文献[1]P162）
定理B设G是交换群，同构于循环群的直积：
则G的表示可由Cni(i=1,2,…r)的表示给出，即：
当cni取遍的表示ρcni时，得到G的所有的表示ρG。
（具体参考文献[6]P81）3.2 12阶非交换群的特征标表
3.2.1 D12=<a,b│a6=b2=1,ab=ba-1>的特征标表
D12的共轭类分为以下六种形式：{1},{a3},{a},{a2} {a8b∶s为偶数}，{asb∶s为奇数}，所以G有6个不可约特征标，已经知道2个特征标为ψ1，ψ2。
为了发现还剩余的四个不可约特征标，我们假设<a2>={aj:j为偶数}是G的一个正规子群，并且G/<a2>={<a2>,<a2>a,<a2>b,<a2>ab}C2×C2（j=1, 2）。
这样G有四个
线性特征标为,(并且D'12=<a2>)，这些特征标都是从不可约特征标G/<a2>提升。
于是，我们可以构造D12的特征标表：
3.2.2 G=<a,b│a2=b3=1（,ab）3=1>A4的特征标表
只要刻画A4的特征标表。
A4的共轭类分为四种形式：{（1）}{（123），（142），（134）,（243）},{（12）（34），（13）（24），（14）（23）}，
{（132）,（124），（143），（234）}，又因为A4/K4A3，由于A3是循环群，且A3=C3，将A3的特征标表提升为A4的部分特征标表，再利用特征标的性质，我们可以得到A4的特征标表：设
3.2.3 G=<a,b│a6=1,b2=a3，ab=ba-1>的特征标表
利用定义关系，G有共轭类分为以下六种形式：
{1},{a3},{a，a-1},{a2，a-2}，{b,a2b,a4b}，{ab,a3b,a5b}，所以G有6个不可约特征标，又，故G
有2个不可约特征标表，还有4个线性特征标。
G的特征标表为：
【相关文献】
[1]Gordon James.Martin Lieback,Representations and Characters of groups[M].
London :Cambridge University，2001.
[2]樊恽，钱吉林.代数学辞典[M].武汉：华中师范大学出版社，1994.
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[4]徐明曜.有限群导引[M].北京：科学出版社，2001.
[5]陈重穆.有限群论基础[M].重庆：重庆出版社，1983.
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