表面涂色长方体的计算规律

通常，在一个大的立方体表面进行染色，染色之后再进行切割，将大立方体切割成许多小的立方体，这样得到的小立方体中，染色的情况会有许多种，一面染色、两面染色、三面染色……本讲主要讲解解决这类问题的一些方法。

包括染色一面，两面，三面等小立方体个数的计算公式。

例1、将下图中棱长为10厘米正方体表面涂上红色，如果沿着虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？1. 1.长宽高分别为3，4，5的长方体，将其表面涂上红色，然后将其切成60个边长为1的小立方体，这些小立方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少？2. 2.长宽高分别为6，8，12的长方体，将其表面涂上红色，然后沿着与边长分别为6和8的侧面平行的面切3次，沿着与边长分别为8和12的侧面平行的面切2次，沿着与边长分别为6和12的侧面平行的面切3次，将其分成若干个小长方体，这些小长方体中没有被涂成红色的所有表面的面积是多少？3. 3.将棱长为8厘米正方体表面涂上红色，如果把它切成64个边长为2厘米的小立方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？例2、有30个边长为1分米的正方体，在地面上摆成右图的形式，然后把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方分米？1. 1.如下图，由44个边长为1厘米的小正方体组成的如图所示的形式，现在把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方厘米？2. 2.有55个边长为1分米的正方体，在地面上摆成右图的形式，然后把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方分米？3. 3.如下图，由35个边长为2厘米的小正方体堆成的形状，然后把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方厘米？视频描述例3、一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它六个面上都漆满油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块。

问锯成的木块中三面涂有油漆有多少块？两面涂有油漆的有多少块？1. 1.一个长方体木块，长10分米，宽6分米，高8分米，在它六个面上都漆满油漆，然后锯成棱长都是2分米的正方体木块。

1.一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成2份。

如图所示，能切成多少个同样大的小正方体？每个小正方体有几个面涂色？2×2×2=8个都有三个面涂色2.如果把棱长是3、4的小正方体切开，那么有几个3面涂色、2面涂色、1面涂色、0面涂色呢？棱长为3：3面（8）个，2面（12）个，1面（6）个，0面（ 1 ）个棱长为4：3面（8 ）个，2面（24）个，1面（24）个，0面（8）个3.那如果这个正方体的棱长为5，此时的3面、2面、1面、0面各是多少个呢？06 表面涂色的正方体【例1】如图，将边长为3和4的两个大正方体的表面刷上红色的漆，再将其分割成边长为1的小正方体，其中三面、两面、一面有红色的小正方体的个数如下表，请尝试找到规律并在【答案】 8 8 36 48 54 96【分析】结合图形以及数据分析，得出规律：边长为n 的大正方体表面涂红色，则3面红色的小正方体在大正方体的顶点处，每个顶点上有一个，共8个；2面红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有（n－2）个，共有（n－2）×12个；1面红色的小正方体在大正方体每个面的中间，每个面中间有（n－2）2个，共有（n－2）2×6个；据此得出边长为5和6的大正方体对应的情况。

【详解】（1）边长为5的大正方体：3面红色的小正方体个数：8个；2面红色的小正方体个数：（5－2）×12＝3×12＝36（个）1面红色的小正方体个数：（5－2）2×6＝9×6＝54（个）（6）边长为6的大正方体：3面红色的小正方体个数：8个；2面红色的小正方体个数：（6－2）×12＝4×12＝48（个）1面红色的小正方体个数：（6－2）2×6＝16×6＝96（个）【点睛】利用图形找到涂色的小正方体的位置，发现规律是解题的关键。

【例2】小明将一个表面涂色的正方体木块的棱长平均分成若干份，并锯成同样大的小正方体。

长方体表面涂色一面二面三面公式推导过程一、引言长方体是一种常见的几何体，它具有六个面，包括两个底面和四个侧面。

在进行涂色时，我们可以选择涂色一面、二面或三面。

本文将从数学的角度推导出涂色一面、二面和三面的公式，帮助读者更深入地理解长方体的表面涂色问题。

二、涂色一面的公式推导我们来推导涂色一面的公式。

假设长方体的长、宽、高分别为L、W、H，涂色一面的面积为S1。

涂色一面的情况可以分为两种：底面涂色和侧面涂色。

1. 底面涂色长方体的底面有两个，它们的面积分别为LW。

因此，底面涂色的面积为2LW。

2. 侧面涂色长方体的侧面有四个，它们的面积分别为LH、LH、WH、WH。

因此，侧面涂色的面积为2LH + 2WH。

涂色一面的面积S1等于底面涂色的面积加上侧面涂色的面积，即S1 = 2LW + 2LH + 2WH。

三、涂色二面的公式推导接下来，我们来推导涂色二面的公式。

涂色二面的情况可以分为三种：底面涂色+侧面涂色、底面涂色+底面涂色和侧面涂色+侧面涂色。

1. 底面涂色+侧面涂色涂色底面的面积为2LW，涂色侧面的面积为2LH + 2WH。

因此，底面涂色+侧面涂色的面积为2LW + 2LH + 2WH。

2. 底面涂色+底面涂色涂色底面的面积为2LW。

因此，底面涂色+底面涂色的面积为2LW + 2LW = 4LW。

3. 侧面涂色+侧面涂色涂色侧面的面积为2LH + 2WH。

因此，侧面涂色+侧面涂色的面积为2LH + 2WH + 2LH + 2WH = 4LH + 4WH。

涂色二面的面积S2等于底面涂色+侧面涂色的面积、底面涂色+底面涂色的面积和侧面涂色+侧面涂色的面积之和，即S2 = 2LW + 2LH + 2WH + 4LW + 4LH + 4WH = 6LW + 6LH + 6WH。

四、涂色三面的公式推导我们来推导涂色三面的公式。

涂色三面的情况只有一种，即底面涂色+侧面涂色+侧面涂色。

涂色底面的面积为2LW，涂色侧面的面积为2LH + 2WH。

2014年温州市小学数学小课题评比学校：苍南县钱库小学成员姓名：陈浩然金子扬黄宇翔小课题题目：探索图形的奥秘指导教师：林尾维探索图形的奥秘一、问题的提出数学学习时，经常会碰到极具挑战的题目。

一次，我就碰到了一道关于正方体涂色的难题。

我苦思冥想，却依旧束手无策。

这道题让我们留下了深刻的印象。

我们的脑海里就突然冒出一些想法:这样的题目能不能很快就做对呢？如果让别的同学来做这道题又会出现什么情况呢？心血来潮，我对本校六年级的同学进行了调查。

我们发下的题目是：36个小正方体拼成一个长方体，表面涂色，把它们拆开。

三面涂色最多有（）个，最少有（）个。

我们共发下了318张题目单，回收318张，回收率100%。

不看不知道，一调查还真吓一跳。

有错误的是314张，而正确的居然仅仅只有4张，错误率达到98.74%，正确率只有1.26%。

如图1，这两组数据是多么鲜明的对比啊！另外，两个填空中，只有一个空格对的共有26个，第一个空格对的有16个，第二个填空对的有10个。

第一个空格填8的有151个，占六年级总人数的47.48%，近占一半。

第二个空格填的填8的也较多，有47个。

图1 调查结果为什么同学们喜欢填8呢？我们这样的正方体涂色有没有什么规律？为了不要再掉进数学的“陷阱”。

于是，我们小组开始了探究之旅。

二、研究过程（一）正方体的涂色问题和规律1、从简单入手，探索棱长是2、3、4各种涂色小正方体的个数用棱长1cm的小正方体拼大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。

三面、两面、一面以及没有涂色的小正方体各有多少块？我们三人拿来易切割的材料，如马铃薯、萝卜等做成小正方体，再拼成各种大正方体，并把整个正方体涂上自己喜欢的颜色。

棱长是2厘米的是显而易见的，8个面都是三面涂色的。

棱长是3厘米的，如下图2。

三面涂色的小正方体，在原正方体的顶点处一共有8个。

两面涂色的小正方体在原正方体的每条棱的中间位置处，一共有12个。

一面涂色的小正方体在原正方体的每个面的中间位置处，一共有6个。

教学内容长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图教学目标掌握长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图重点染色问题、沉浸问题、三视图难点染色问题、沉浸问题、三视图教学过程一、染色问题一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。

在这些小正方体中：（1）三个面涂有红色的有多少个？（2）两个面涂有红色的有多少个？（3）一个面涂有红色的有多少个？（4）六个面都没有涂色的有多少个？下面我们结合图示，分别来看看这几个问题。

（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三个面涂有红色的有8个。

（2）两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有8个，正方体有12条棱，所以两个面涂有红色的有8×12=96个。

（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有8×8=64个，正方体有6个面，所以一个面涂有红色的有8×8×6=384个。

(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：算法1： 1000－8－96－384=512（个）；算法2： 8×8×8=512（个）。

公式：（1）正方体有8个顶点、12条棱、6个面假设把棱n等分（n≥3），那么:N的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色,则未被涂色的小立方体有(n-2)3个.一面被涂色的小立方体为(n-2)2*6个.两面被涂色的小立方体有(n-2)*12个.三面被涂色的有8个.（2）长方体, 有a*b*c个立方体组成的长方体表面涂上颜色.则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2)个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4三面被涂色的有8个【例 1】下图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：1； 1面：6；两面：2；三面：8【巩固】下图是456⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：24； 1面：52；两面：36；三面：8图1图2【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．26图2图3课堂作业：1．一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切3刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为40块．5.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最少由________个小正方体构成，6.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．。

五年级数学下册人教版《探索表面涂色的正方体的有关规律》精准讲练把棱长1的小正方体拼成棱长为n的大正方体后涂色，涂色面的规律：(1)三面涂色的小正方体块数=正方体的顶点个数=8。

(2)两面涂色的小正方体块数=12×(n-2)。

(3)一面涂色的小正方体块数=6×(n-2)²。

(4)没有涂色的小正方体块数=(n-2)³。

如图，用大小一样的小正方体按下面的规律在桌面上摆立体图形。

第3幅图，露在外面的面有( )个；第9幅图，露在外面的面有( )个。

答案： 19 49解析：观察图形可知，图1露在外面的面有9个；图2露在外面的面有14个，即9＋5＝14，图3露在外面的面有19个面，9＋5＋5＝19个，由此可知，第n 幅图露在外面的面有：9＋5×（n－1）个，据此解答。

根据分析可知：3幅图：9＋5×（3－1）＝9＋5×2＝9＋10＝19（个）第9幅图：9＋5×（9－1）＝9＋5×8＝9＋40＝49（个）第3幅图，露在外面的面有19个，第9幅图，露在外面的面有49个。

把一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余）三面涂红色的小正方体总是8个。

( )答案：√解析：只有正方体顶点处的小正方体3个面涂红色，正方体有8个顶点，据此分析。

因为正方体有8个顶点，把一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余）三面涂红色的小正方体总是8个，所以原题说法正确。

故答案为：√如图，把一个大正方体表面涂上颜色，然后切成若干个小正方体，三面涂色的小正方体有（）个。

A．12 B．8 C．6 D．4答案：B解析：三面涂色的小正方体的的位置正好在顶点，正方体有8个顶点，据此解答。

把一个大正方体表面涂上颜色，然后切成若干个小正方体，三面涂色的小正方体有8个。

故选：B。

把若干个大小相同的小正方体堆成一个大正方体，然后在大正方体的六个面上涂上红色，已知两面被涂上红色的小正方体有36个，这些小正方体一共有多少个？其中一面涂红色、三面涂红色和六个面都没有涂红色的小正方体各有多少个？答案：36÷12＋2＝55×5×5＝125（个）；一面涂红色：（5－2）×（5－2）×6＝3×3×6＝54（个）；三面涂红色：8个；六个面都没涂红色：125－8－36－54＝27（个）或（5－2）×（5－2）×（5－2）＝3×3×3＝27（个）。

2016年暑假五年级奥数第三讲教师版长方体与正方体涂色与三视图一、表面涂色问题：对于棱长大于2的长方体和正方体,表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处两面涂红色的在棱长处一面涂红的表面中间部分每面都没涂色的只有正方体体内;三视图：是指观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个几何体而画出的图形【例 1】右图是333⨯⨯正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处,共(32)4(32)4(32)412-⨯+-⨯+-⨯=块；答案8, 12巩固右图是456⨯⨯正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处,共(42)4(52)4(62)436-⨯+-⨯+-⨯=块；答案8,36【例 2】右图是333⨯⨯正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块一面涂红的表面中间部分：(32)(32)2(32)(32)2(32)(32)26-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(32)(32(32)1-⨯-⨯-=块答案6, 1巩固右图是456⨯⨯正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块【解析】一面涂红的表面中间部分：-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(42)(52)(62)1-⨯-⨯-=块【例 3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体,其中一面都没有红色的小正方形只有3个,求原来长方体的表面积是多少平方厘米【解析】长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：3⨯5+3⨯5+3⨯33⨯2=78平方厘米．答案78巩固一个长方体,六个面均涂有红色,沿着长边等距离切5刀,沿着宽边等距离切4刀,沿着高边等距离切_______次后,要使各面上均没有红色的小方块为24块．【解析】沿着长边等距离切5刀,可切为516+=块；沿着宽边等距离切4刀,可切为415+=块；沿着高边等距离切n刀,可切为1n+块．由题意可知,长方体每一个面的外层是涂有1面或2面、或3面的小方块,所以,各面均没有红色的小方块共(62)(52)(12)12(1)n n-⨯-⨯+-=-个,因各面均没有红色的小方块为24块,所以,12(1)24n-=,解得3n=．答案3 【例 4】右图是115⨯⨯长方体,如果将其表面涂成红色,再切成5个小正方体,那么各个正方体有几面被涂成红色【解析】两端的正方体有5面,中间的正方体有4面；答案两端的正方体有5面,中间的正方体有4面；巩固右图是225⨯⨯长方体,如果将其表面涂成红色,再切成20个小正方体,共有几种不同的涂色情况【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面,棱上的12个正方体有2面；【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面,棱上的12个正方体有2面【例 5】右图是125⨯⨯长方体,如果将其表面涂成红色,再切成10个小正方体,共有几种不同的涂色情况【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面,中间的6个正方体有3面；【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面,中间的6个正方体有3面；巩固将长为5,宽为3,高为1的长方体木块的表面涂上漆,再切成15块棱长为1的小正方体;则三个面涂漆的小正方体有________块;【解析】因为只有1层,故有三个面涂漆的小正方体位于棱上,共有8块; 答案8块【例 6】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体如图2;从上体上面看这个立方体,看到的图形是图①～③中的;填序号2007年,第五届希望杯,5年级初赛,第9题,6分答案③巩固小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体如图2;从右侧面看这个立方体,看到的图形是图;A B C D答案B【例 7】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从正面、上面和右面看到的图形正视图上视图右视图巩固用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从上面和正面看到的图形【解析】如下：【例 8】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体,如下图a,从正面看这个立体,如下图b,则这个形体最多由_______个小正方体构成;【解析】从上往下看,图中数字为每一格的木块数：可知,最多由13块正方体构成答案13巩固用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体,如下图a,从正面看这个立体,如下图b,则这个形体最少由________个小正方体构成;【解析】从上往下看,图中数字为每一格的木块数：可知,最少由11块正方体构成答案11【例 9】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块,摆完后从正面看如左下图,从侧面看如右下图,那么他最多用了________块木块.【解析】从上往下看,分别如左下图和右下图所示图中数字为每一格的木块数;答案最多25巩固小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块,摆完后从正面看如左下图,从侧面看如右下图,那么他最少用了_____块木块;解析：从上往下看,分别如左下图和右下图图中数字为每一格的木块数; 答案最少9【例 10】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体从正面看如图1所示,从上面看如图2,那么这个几何体至少用了块木块．图1图2【解析】这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．如下图,带阴影的3块不放时,小正方体块数最少,为23块．答案23块巩固小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体从正面看如图2所示,从上面看如图3所示,那么这个几何体至少用了块木块．【解析】这道题很多同学认为答案是32块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．如图5,带阴影的5块不放时,小正方体块数最少,为27块．答案27块课堂检测1．一个长方体,六个面均涂有红色,沿着长边等距离切5刀,沿着宽边等距离切3刀,沿着高边等距离切_______次后,要使各面上均没有红色的小方块为40块．【解析】沿着长边等距离切5刀,可切为516+=块；沿着宽边等距离切3刀,可切为+=块；沿着高边等距离314切n刀,可切为1n+块．由题意可知,长方体每一个面的外层是涂有1面或2面、或3面的小方块,所以,各面均没有红色的小方块共(62)(42)(12)8(1)-⨯-⨯+-=-个,因各n n面均没有红色的小方块为40块,所以,8(1)40n-=,解得6n=．答案62.将8个相同的小正方体拼成一个体积为8立方厘米的长方体,表面涂上漆,然后分开,则3个面涂漆的小正方体最多有_________个,最少有________个;【解析】有下列组合：8×1×1,4×2×1, 2×2×2的情况,对于8×1×1,两端的小正方体各有5个面涂漆,它们之间的小正方体各有4个面涂漆,没有3个面涂漆的;对于4×2×1的情况,四个角上的小正方体各有4个面涂漆,它们之间夹着的4个小正方体各有3个面涂漆;对于2×2×2的情况, 8个小正方体各有3个面涂漆,所以,最多有8个,最少有0个; 答案最多有8个,最少有0个3.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从正面、上面和右面看到的图形;答案上视图右视图正视图4.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上、从右看这个立体都如下图,则这个形体最多由________个小正方体构成;【解析】从上往下看,图中数字为每一格的木块数：可知,最多由21块正方体构成答案21家庭作业：1．右图是61012⨯⨯块小长方体堆叠而成,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小长方体各有多少块【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个长方体；两面涂红色的在棱长处,共(62)4(102)4(122)488-⨯+-⨯+-⨯=块；一面涂红的表面中间部分：(62)(102)2(62)(122)2(102)(122)2304-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．2.一个长方体的长是12厘米,宽8厘米,高也是整厘米数,在它的表面涂满颜色后,截成棱长是1厘米的小正方体,其中一面有色的小正方体有280个．求原来长方体的体积;【解析】先求出长方体的高,再求其体积和表面积．设长方体的高为h厘米,则按题意截成的一面有色的小正方体有()()()()()()-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=+个,因为一面有色的小h h h8212228222212225632正方体有280个,所以,5632280h=．所以,长方体的体积为+=,解得7h⨯⨯=立方厘米答案672立方厘米12876723.将长为6,宽为5,高为1的长方体木块的表面涂上漆,再切成15块棱长为1的小正方体;则三个面涂漆的小正方体有________块; 答案14块【解析】因为只有1层,故有三个面涂漆的小正方体位于棱上,共有-⨯+-⨯=块;(62)2(52)2144.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从正面、上面和右面看到的图形上视图右视图正视图5.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上、从右看这个立体都如下图,则这个形体最少由________个小正方体构成,【解析】从上往下看,图中数字为每一格的木块数：可知,最少由16块正方体构成答案166.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体从正面看如图2所示,从上面看如图3所示,那么这个几何体至少用了块木块．【解析】这道题很多同学认为答案是35块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．如图5,带阴影的5块不放时,小正方体块数最少,为30块．答案30块。