五年级奥数几何专项二十三 表面涂色与三视图(2)

重难点重点：观．难点：活．例题精讲【例1】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色后拆开，那么27个小正方体中有多少种不同的涂色情况？各有多少块？【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中零面、一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？表面涂色与三视图【例2】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例3】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。

则三个面涂漆的小正方体有________块。

【巩固】将8个相同的小正方体拼成一个体积为8立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。

【例4】将16个相同的小正方体拼成一个体积为16平方厘米的长方体，将表面涂漆，然后分开，结果，其中2面涂漆的小正方体有8个，那么3面涂漆的小正方体有__________个，4面涂漆的小正方体有__________个。

【巩固】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例5】有一个3×4×5的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成60个1×1×1的小正方体，请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？【巩固】有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？【例6】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444⨯⨯的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】有l25个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为1平方厘米，其中63个表面涂上白色，还有62个表面涂上蓝色。

学科教师辅导讲义班级：年 级： 五年级 辅导科目：小学思维学科教师：上课时间授课主题 立体几何拓展----三视图一．三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是知识图谱错题回顾三视图知识精讲相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积． 二．正方体的展开图我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图．三．长方体的展开图观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面=下面=长×宽，左面=右面=宽×高，前面=后面=长×高． 四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法．判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断．重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积．上 后 前右左下 展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等．高宽长右面左面 后面下面 前面 上面三点剖析题模精选题模一：展开图与对立面例1.1.1 一个正方体的六个面上分别写着A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母．请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是______________，______________，______________【答案】 B 与D 相对，E 与A 相对，C 与F 相对 【解析】 由于正方体的6个面上写了6个不同的字母，那么每个字母在正方体的面上只能出现1次，如果2个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对．第一步，先看前2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母B 出现了2次，那么由第一种摆放可知，B 不与A 相对，也不与F 相对；由第二种摆放可知，B 不与C 相对，也不与E 相对．那么在所有的字母中，B 只能与D 相对．第二步，再看后2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母E 出现了2次，那么由第二种摆放可知，E 不与B 相对，也不与C 相对；由第三种摆放可知，E 不与D 相对，也不与F 相对．那么在所有的字母中，E 只能与A 相对．正方体有三个对面，因B 与D 相对，E 与A 相对，那么第三组对面上一定是C 与F 相对．例1.1.2 图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A 、B 、C 的对面分别标的是哪个字母？【答案】 A 的对面标有D ，B 的对面标有F ，C 的对面标有E【解析】 由已知条件，标有C ，D 的两个面不能相对，那么或A 的对面标有D ，或B 的对面标有D ．如果标有D ，A 的两个面相对，那么“标有C ，D 的两个面不能相对”，“标有E ，A 的两个面也不能相对”这两个条件都可以满足．注意到当D 在朝右的面，E 在朝上的面时，F 在朝前的面上，那么只能是标有E ，C 的两个面相对，而标有F ，B 的两个面相对．经检验，这种情况满足题目要求．如果标有D ，B 的两个面相对，那么由于标有E ，A 的两个面也不能相对，于是标有A 的对面就是标有F 的面，而标有C 的对面就是标有E 的面．此时D 在朝后的面上，E 在朝左的面上，F 在朝下的面上．我们把六面体旋转，把D 转到朝右的面，并把E 转到朝上的面，BFA EBC FED A BCD CCEAEF D此时朝前的面上标的是A ，而朝后的面上标的是F ，与题意不符．综上所述，满足题意的答案只有一个：A 的对面标有D ，B 的对面标有F ，C 的对面标有E ．例1.1.3 如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF 六个字母．其中A 与D 相对，B 与E 相对，C 与F 相对．现在将木块标有字母A 的那个面朝上，标有字母D 的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？【答案】 字母A【解析】 发现木块向左滚4格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致．那么木块朝其它方向滚时也有类似的情况，即木块向任意方向连滚4格，它的各个面上标的字母不变． 所以木块向左滚4格到第5格时，各个面上标的字母与在第1格时的情况完全一致．再向下滚4格到第9格，再向右滚4格到第13格，再向下滚4格到第17格，最后向左滚4格到第21格，每次都是朝同一方向滚4格，因此在第5格，第9格，第13格，第17格，第21格木块向上的面上总是写的字母A ．例1.1.4 如图，在一个正方体的表面上写着1~6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示．如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？【答案】 A【解析】 对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面．如图1，观察虚线圈住的部分，可以发现写有1，A ，B 的三个面两两相邻；再观察图2的虚线圈住的部分，发现写有A ，B ，C 的三个面也两两相邻．此时，写有1的面与A 面，B 面都相邻，C 面也与A 面，B 面都相邻，因此写有1的面与C 面相对，即C 面上写的是4．1 AB C 2D 3 121A B C 2D1A B C 2D1与C 相对，C 面上写的是421 5920 19观察图3中的虚线圈住的部分，容易看出写有2的面与B 面相对，因此B 面上写的是5．则立方体展开图就如图4所示．还剩下A 面与D 面上的数字没有确定，这两个面上分别写有3和6．由于写有1的面，写有5的面与A 面两两相邻，把这三个面还原到立方体中．在图2所示的立方体中，5与2相对，在立方体朝左的侧面上；1在朝前的侧面上．在展开图中以写有1的面为朝前的侧面，A 面为下底面，则写有5的面恰好在朝左的侧面上．此时写有1的面，写有5的面都对齐了，而原立方体中下底面写有数字6，因此A 面上就是6．例1.1.5 下图是正方体，四边形APQC 是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来．【答案】 见解析【解析】 截线在展开图中如图所示：例1.1.6 右图是一个立体图形的平面展开图，图中的每个小方格都是边长为1的正方形．现在将其沿实线．．．折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于_________． 图3 1A B 4 2D2与B 相对， B 面上写的是5图41 A 54 2DBPEAD CB GHQFAEDCB HGFA ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 【答案】B【解析】 根据实线还原，体积为4． 题模二：三视图求表面积例1.2.1 下图是由5个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（ ）．A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图【答案】C【解析】 5个在原图均已看到，易知C 符合要求．例1.2.2 右图是由18个棱长为1cm 的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（ ）平方厘米．A ． 44B ． 46C ． 48D ． 50【答案】C【解析】 从正面、左面、上面分别可看见8、7、9块，故表面积为()21879248cm ⨯++⨯=．例1.2.3 右图中的一些积木是由16块棱长为2cm 的正方体堆成的，它的表面积是________2cm ．【答案】 200D ．B ．C ．A ．【解析】 从前到后的3面依次有2块、5块、7块，因此还剩162572---=块，为可看见的1块与其下方的1块．由此易知正视图、俯视图、左视图分别能看到7块、9块、8块，此外离我们最近的2块有两个面从6个方向均无法看到，综上共可看到()7982250++⨯+=个面，表面积为22250200cm ⨯=．例 1.2.4 图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少【答案】 37；三视图如下图所示；102【解析】 将此图分为从左到右的5层，分别有16、9、5、6、1块，故共有16956137++++=块．三视图见答案，分别可看见17、15、16块，其中左视图有3块“被遮挡”，因此表面积为()17151632102+++⨯=⎡⎤⎣⎦．例1.2.5 图中的立体图形由11个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为_______．【答案】34【解析】 按一定的顺序，从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积． 题模三：已知三视图反推个数例1.3.1 这个图形最少是由（ ）个正方体整齐堆放而成的．正视图 俯视图 左视图A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】从上面看下去，最少需要：122412113++++++=．例1.3.2此图是某几何体从正面和左面看到的图形．若该几何体是由若干个棱长为1的正方体垒成的，则这个几何体的体积最小是________．【答案】6【解析】根据正视图，理论上最少需要6块．而6块可以构造出来，例如，其俯视图如下图所示．因此，体积最小为3166⨯=．例 1.3.3一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样的，那么该立体图形最多由__________块小立方体组成．【答案】23【解析】按由上到下逐层分析，各层的小立方体数目分别不超过1个、4个、8个、10个，所以该立体图形最多由23个小立方体组成．例 1.3.4有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图3-1，从前往后看是图3-2，从左往右看是图3-3，那么这堆木块最多有多少块？最少有多少块？1412212从正面看从左面看【答案】16，13【解析】43416+⨯=块，424113+⨯+=块．这堆木块最多有16块，最少有13块．例1.3.5地上有一堆小立方体，从上面看时如图1所示，从前面看时如图2所示，从左边看时如图3所示．这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？【答案】10个；42平方厘米【解析】采用在俯视图上标数的方法来求解，只要知道俯视图上的每格有几块小立方体，就可以很轻松的得到这堆立方体所形成的立体图形的样子．首先从俯视图很容易看出，有3个格子里是没有小立方体的，而其他6个格子里至少有一个小立方体．如下图，将所得信息填入俯视图中．结合俯视图和主视图，不难看出，有两格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．同样的，结合俯视图和左视图，又可以知道有一格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．图1 图2 图3从前面看1001我们来继续考虑，左视图中最左边一排有2块小立方体，所以俯视图左上角处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．同理，主视图最右边一排有2块小立方体，所以俯视图最右边中间处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．不难看出，俯视图中最后剩下的那块有3个小立方体，所以俯视图中每格的小立方体数如下：于是这一堆立方体一共有21321110+++++=个． 接着很容易得到这个立体图形的样子，如下图．上下各能看到6个面，前后各能看到6个面，左右各能看到6个面，同时注意到立体图形的中间共有6个会互相遮挡的面，所以表面积是()2666642⨯+++=平方厘米．从左边看1 0 0 012 1 0 0 012 1 0 0 2 0 112 1 03 0 2 011随练1.1将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（）．A．A图B．B图C．C图D．D图【答案】B【解析】竖向只剪了1刀，故前、后、左、右四个面应在一条线上，排除A、D．易知上、下两面不在一条线上，排除C，故选B．随练1.2水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面．则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________．【答案】后面、上面、左面【解析】易知你、程相对，前、锦相对，祝、似相对，因此“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的后面、上面、左面．随练1.3小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排（如图），那么这五颗骰子底面上的点数之和是__________．【答案】16【解析】根据已知推出(4,5)(1,3)(2,6)互为对立面，所以这五颗骰子底面上的点数之和是6152216++++=．随练1.4右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图随堂练习形是__________．序号）【答案】 ②【解析】 从正面看到图②，从上面看到图①，从右面看到图③．所以正确答案是图②．随练1.5 由棱长为1的正方体搭成如图所示的图形，共有__________个正方体，它的表面积是__________．【答案】 10；34【解析】 第一层有8个，第二层有2个，共10个．其三视图分别能看到4、5、8个，故表面积为()11458234⨯⨯++⨯=．随练1.6 如图，有9个边长为1米的正方体，如图所示堆成一个立体图形．该立体图形的表面积等于__________平方米．【答案】 38【解析】 利用三视图．从前面、右面、上面看依次如图所示．所以该立体图形的表面积是()26672138++⨯⨯=平方米．随练1.7 如图6，用若干个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是__________．① ② ③ ④【答案】90【解析】根据三视图，大的几何体的表面积等于正视图面积+俯视图面积+右视图面积的2倍，所以是()2++⨯⨯=．1415162190随练 1.8用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是__________平方厘米．【答案】46平方厘米【解析】如图1，从立体图形上方和下方看去，看到的都是9块小正方形．面积是9平方厘米．图1图2从四个侧面看去，看到的是图2形式的7块小正方形，面积是7平方厘米．所以立体图形的表面积为927446⨯+⨯=平方厘米．随练1.9把若干个棱长为1厘米的小正方体木块搭成一个图形，从上面和前面看到的都是如图所示的情形，这个图形最多需要__________个这样的小正方体，最少需要__________个这样的小正方体．【答案】9；7【解析】由从上方看到的结果可知第一层必有5个，且第二层至多5个；由从前面看到的结果可知共有2层，且第二层至少2个．再结合两个视图可知第二层至多4个．综上，最多9个，最少7个．作业1一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下．现在每方格内都填上相应的数字．已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A、B、C内的三个数字依次是_____________．【答案】3，1，2【解析】正方体的平面展开图中，相对面之间一定隔着一个正方形，所以在此正方体上与“A”相对的面上的数是“0”．与“B”相对的面上的数是“2”．与“C”相对的面上的数是“1”．所以A、B、C内的三个数字依次是3，1，2．作业2把1至6各一个分别写在正方形的六个面上，每个面只写一个数字，且1与4相对，2与5相对，3与6相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图（a）所示，从另一个角度看到的三个面如图（b）所示，那么图（b）中的“？”代表的数字是___________．A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】如图，4对面是1，所以在图a中把4翻到底面，顶部变成了1，如图b，而5C 2B 0A 1自我总结课后作业对面是2,所以当6转到正面时，5在左侧，右侧自然是2了，故答案是2．．作业3下图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有__________条棱．【答案】20【解析】此立体图形，示意图如上：共20条棱．作业4用若干个棱长为1cm的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含下底面面积）等于___________2cm．【答案】60【解析】根据三视图，我们可知，此立体图形的前面与后面，左面与右面，上面与下面的表面积分别相等．所以我们只要知道前面有11个正方形，右面有8个正方形，上面有11个面，就可求出它露在外面的面共计()11811260++⨯=个正方形，所以它的表面积是2260160cm⨯=．作业5如图，把19个边长为1厘米正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是______平方厘米．【答案】54【解析】从上下左右前后六个方向看，分别可以看到9、9、8、8、10、10个小正方形面，所以总的表面积为54平方厘米．作业6图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？【答案】30；三视图如下图所示；76【解析】将此图分为从左到右的4层，分别有11、7、5、7块，故共有1175730+++=块．三视图见答案，分别可看见13、12、11块，其中左视图有2块“被遮挡”，因此表面积为()1312112276+++⨯=⎡⎤⎣⎦．作业7由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是右图，搭这样的立体，最少用（）个这样的木块．A．4B．5C．6D．8【答案】A【解析】按如图方式摆放即可．正视图俯视图左视图作业8由若干个棱长为1的正方体堆成的立体图形，其正视图、俯视图和左视图如下所示，请问这个立体图形体积是________．正视图俯视图左视图【答案】5【解析】由正视图和左视图可知共两层，且顶层只有1块，由俯视图可知底层有4块，故共有5块，体积为5．作业9一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆真方体货箱共有______________个．【答案】9【解析】俯视图确定基座，分析每块上的高度．。

一、表面涂色问题：对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处 两面涂红色的在棱长处 一面涂红的表面中间部分每面都没涂色的只有正方体体内。

重点：熟练掌握表面涂色问题的基本类型． 难点：复杂三视图问题．2.右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？知识框架重难点例题精讲专项二十三 表面涂色与三视图（2）⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方【巩固】右图是456体各有多少块？⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的3.右图是333小正方体各有多少块？⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的【巩固】右图是456小正方体各有多少块？4.将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有5.右图是115几面被涂成红色？⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的【巩固】右图是225涂色情况？⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的6.右图是125涂色情况？【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。

则三个面涂漆的小正方体有________块。

7.小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。

从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的 。

（填序号）【巩固】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。

从右侧面看这个立方体，看到的图形是图 。

表面涂色与三视图知识框架一、表面涂色问题：对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处两面涂红色的在棱长处一面涂红的表面中间部分每面都没涂色的只有正方体体内。

重难点重点：熟练掌握表面涂色问题的基本类型．难点：复杂三视图问题．例题精讲【例 1】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(32)4(32)4(32)412-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8,12【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8,36【例 2】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答一面涂红的表面中间部分：(32)(32)2(32)(32)2(32)(32)26-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．-⨯-⨯-=块六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(32)(32(32)1【答案】6,1【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】一面涂红的表面中间部分：(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．-⨯-⨯-=块六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(42)(52)(62)1【答案】52【例 3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：（3⨯5+3⨯5+3⨯3）3⨯2=78平方厘米．【答案】78【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】填空【解析】沿着长边等距离切5刀，可切为516+=块；沿着宽边等距离切4刀，可切为415+=块；沿着高边等距离切n刀，可切为1n+块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共(62)(52)(12)12(1)-⨯-⨯+-=-个，因各面n n 均没有红色的小方块为24块，所以，12(1)24n=．n-=，解得3【答案】3【例 4】右图是115⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【答案】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【巩固】右图是225⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面；【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面【例 5】右图是125⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。

教学内容长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图教学目标掌握长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图重点染色问题、沉浸问题、三视图难点染色问题、沉浸问题、三视图教学过程一、染色问题一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。

在这些小正方体中：（1）三个面涂有红色的有多少个？（2）两个面涂有红色的有多少个？（3）一个面涂有红色的有多少个？（4）六个面都没有涂色的有多少个？下面我们结合图示，分别来看看这几个问题。

（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三个面涂有红色的有8个。

（2）两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有8个，正方体有12条棱，所以两个面涂有红色的有8×12=96个。

（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有8×8=64个，正方体有6个面，所以一个面涂有红色的有8×8×6=384个。

(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：算法1： 1000－8－96－384=512（个）；算法2： 8×8×8=512（个）。

公式：（1）正方体有8个顶点、12条棱、6个面假设把棱n等分（n≥3），那么:N的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色,则未被涂色的小立方体有(n-2)3个.一面被涂色的小立方体为(n-2)2*6个.两面被涂色的小立方体有(n-2)*12个.三面被涂色的有8个.（2）长方体, 有a*b*c个立方体组成的长方体表面涂上颜色.则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2)个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4三面被涂色的有8个【例 1】下图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：1； 1面：6；两面：2；三面：8【巩固】下图是456⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：24； 1面：52；两面：36；三面：8图1图2【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．26图2图3课堂作业：1．一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切3刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为40块．5.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最少由________个小正方体构成，6.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．。

三视图知识点五年级三视图是一种常见的图形表达方式，它包括主视图、侧视图和俯视图。

在小学五年级的数学课程中，学生开始接触和学习三视图的基本概念和应用。

通过学习三视图，学生们能够更好地理解物体在不同方向上的投影，从而培养他们的空间想象能力和几何直观。

三视图的基本概念：- 主视图：通常指物体正面的视图，即从物体的正面看去所得到的图形。

- 侧视图：指的是物体侧面的视图，通常是从物体的左侧或右侧看去所得到的图形。

- 俯视图：指的是从物体上方看下去的视图，即从物体的顶部看去所得到的图形。

学习三视图的重要性：- 空间观念的培养：通过三视图的学习，学生可以更直观地理解物体在空间中的位置和形状。

- 几何知识的应用：三视图是解决几何问题的重要工具，它帮助学生在解决实际问题时，能够从不同角度考虑问题。

- 数学思维的锻炼：三视图的学习要求学生进行空间想象，这有助于培养学生的数学思维和逻辑推理能力。

三视图的绘制方法：- 确定观察点：在绘制三视图之前，需要确定观察者的位置，即从哪个方向观察物体。

- 绘制轮廓线：根据观察点，绘制物体的轮廓线，确保线条清晰，能够反映出物体的基本形状。

- 标注尺寸：在绘制完轮廓线后，需要对物体的各个部分进行尺寸标注，以确保三视图的准确性。

三视图的应用实例：- 在建筑学中，设计师会使用三视图来展示建筑物的各个面，以便于施工和理解。

- 在工程设计中，三视图是展示机械零件和产品结构的重要方式。

- 在艺术创作中，三视图可以帮助艺术家从不同角度捕捉物体的形态，创造出立体的视觉效果。

总结：通过学习三视图，五年级的学生们不仅能够掌握一项基本的数学技能，还能够提高他们对空间和形状的认识，为将来更复杂的数学和科学学习打下坚实的基础。

此外，三视图的学习也有助于培养学生的创新思维和解决问题的能力。

希望学生们能够在学习过程中，不断探索和实践，从而更好地理解和掌握三视图。

一、表面涂色问题：对于棱长大于的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处 两面涂红色的在棱长处 一面涂红的表面中间部分 每面都没涂色的只有正方体体内。

重点：熟练掌握表面涂色问题的基本类型． 难点：复杂三视图问题．【例 1】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？例题精讲知识框架重难点表面涂色与三视图【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【例2】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块？【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【例3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切刀，沿着宽边等距离切刀，沿着高边等距离切次后，要使各面上均没有红色的小方块为块．【例4】右图是115⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？【巩固】右图是225⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【例5】右图是125⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【巩固】将长为，宽为，高为的长方体木块的表面涂上漆，再切成块棱长为的小正方体。

则三个面涂漆的小正方体有块。

【例6】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图）。

从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的。

（填序号）。

专题29.2 三视图1.视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。

视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影。

2.主视图、俯视图、左视图（1）对一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；（2）在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；（3）在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。

主视图与俯视图的长对正；主视图与左视图的高平齐；左视图与俯视图的宽相等。

【例题1】如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（）A．主视图会发生改变B．俯视图会发生改变C．左视图会发生改变D．三种视图都会发生改变【答案】A【解析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．【点拨】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．【例题2】如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】从正面看几何体，确定出主视图即可．几何体的主视图为：【点拨】主视图就是从几何体正面看得到的图形。

【例题3】如图所示的几何体的俯视图是（）A B C D【答案】D【解析】此几何体的俯视图如图：【点拨】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【例题4】下列几何体中，俯视图不是圆的是（）A.四面体 B．圆锥C．球 D．圆柱【答案】A【解析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可．A.俯视图是三角形，故此选项正确；B.俯视图是圆，故此选项错误；C.俯视图是圆，故此选项错误；D.俯视图是圆，故此选项错误。

【点拨】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的上面看所得到的图形．1．如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为1，2．如图所示：它的主视图是：．【点拨】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．2．如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．从上面看下来，上面一行是横放3个正方体，左下角一个正方体．【点拨】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．（+1）π【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．∴正三角形的边长＝＝2．∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π∴侧面积为2π×2＝2π，∵底面积为πr2＝π，∴全面积是3π．4.某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（）A．4个 B．5个C．6个 D．7个【答案】B．【解析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图为：，则搭成这个几何体的小正方体最少有5个．5.如图所示，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可．从上往下看，可以看到选项C所示的图形．故选：C．6.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图【答案】C．【解析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形.7．如图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可．解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行是一个正方体．如图所示：【点拨】本题考查了三种视图中的主视图，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．8．下列图形中，主视图为①的是（）A．B．C． D．【答案】B．【解析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．A．主视图是等腰梯形，故此选项错误；B．主视图是长方形，故此选项正确；C．主视图是等腰梯形，故此选项错误；D．主视图是三角形，故此选项错误.9．下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（）A.正方体 B．四棱锥 C．圆柱 D．球【答案】B．【解析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．四棱锥的主视图与俯视图不同．10.下列几何体的左视图为长方形的是（）A． B．C．D．【答案】C．【解析】找到个图形从左边看所得到的图形即可得出结论．A．球的左视图是圆；B．圆台的左视图是梯形；C．圆柱的左视图是长方形；D．圆锥的左视图是三角形．11．把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线.12.如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形.13．如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．从左边看竖直叠放2个正方形．14．如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形.15.如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形.16．一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C．【解析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个．所以图中的小正方体最多5块．17．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．从左边看是两个等宽的矩形，矩形的公共边是虚线。

专题13 三视图与展开图1.视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。

2.物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

（1）主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图,能反映物体的前面形状。

（2）俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图，能反映物体的上面形状。

（3）左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图，能反映物体的左面形状，有时也叫做侧视图。

物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。

3.展开图：平面图形有三角形、四边形、圆等.立体图形有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形。

【例题1】（2019•四川省达州市）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可作出判断．从左面看可得到从左到右分别是3，1个正方形．专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．【答案】（18+2）cm2．【解析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+2（cm2）．【例题3】（2019•江苏连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．专题典型训练题一、选择题1.（2019广东深圳）下列哪个图形是正方体的展开图（）A． B．C．D．【答案】B【解析】立体图形的展开图B中图形符合“一四一”模型，是正方体的展开图．故选B．2.（2019•山东省济宁市）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】考点是几何体的展开图。

小学奥数练习卷（知识点：三视图与展开图）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共7小题）1．找一找，下面（）组的形体侧面展开不是长方形．A．①②③B．②③C．①④D．②④2．如图，图是一个正方体的展开图，下图的四个正方体中只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是（）A．B．C．D．3．沿一个纸立方体的边缘，按照图中所示的线切开，平放在桌面上．那么下面是它展开后的形状是（）A．B．C．D．4．从一张大方格纸上剪下5个相连的方格（只有一个公共顶点的两个方格不算相连），要使剪下的图形可折叠为一个无盖的正方体，则共可以剪出（）种不同的图形（经过旋转或翻转相同的图形视为同一种）．A．8B．9C．10D．115．图中的方格纸中有五个编号为1，2，3，4，5的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（）A．1，2B．2，3C．3，4D．4，56．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的从上面看到的图形，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的从正面看到的图形为（）A．B．C．D．7．桌子上有一些棋子，棋子分黑白两色，小明把从正面、左面和上面三个方向看到的情况画了下来（如图），那么桌子上共有（）枚棋子．A．10B．12C．14D．16第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共36小题）8．两个同样大小的正方体形状的积木．每个正方体上相对的两个面上写的数之和都等于9．现将两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图所示，则看不见的七个面上的数的和等于．9．李明用小正方体（由图）拼搭图形，至少要准备个这样的小正方体才能拼搭成一个从上面、正面、侧面看到的都是“田”字的立体图形．10．小强用同样的小正方体摆立体图形，从正面看形状是，从上面看形状是，小强摆这个立体图形至少要用个小正方体，至多要用个小正方体．11．如图是一个正方体的平面展开图，每个面上的小图形都表示一个数．已知这个正方体中相对的两个面上，每个小图形所表示的数的和相等，那么1个□=个☆．12．从三个方向看立方图，X对面的字母是，Y对面的字母是．H 对面的字母是．13．将一个正方形纸片沿虚线向上对折，再向右对折后得到一个正方形，然后剪下一个角（如图），将这个纸片展开后的形状应该是．14．如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的数值相等，则a﹣b×c的值是．15．将如图这个展开图围成一个正方体后，与红色的面相对的面是色．16．如图，是某几何体从正面和左面看到的图形，若该几何体是由若干个棱长为1的正方形垒成的，则这个几何体的体积最小是．17．一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆正方体货箱共有个．18．小胖用一些相同的正方体积木搭成了一个模型，然后从不同的方向进行观察，看到的情况如图，那么小胖一共用了正方体积木．19．一个正方体的6个面分别标着A、B、C、D、E、F六个字母，从3个不同角度看正方体如图所示，字母C的对面是字母．20．用2个边长为单位长度的小正方形（单位正方形）可以构成2﹣联方，这就是常说的多米诺．显然，经过平移旋转、对称等变换，能够重合的多米诺应该看成是同一个，因此，多米诺只有一个：．同理，用3个单位正方形构成的不同的3﹣联方只有2个：．用4个单位正方形构成的不同的4﹣联方有5个．那么，用5个单位正方形构成的5﹣联方有个．21．一个正方体的6个面分别标着A、B、C、D、E、F六个字母，从3个不同角度看正方体如图所示，字母C的对面是字母．22．如图，1号立体图形是一个正四棱锥，2号立体图形是一个正四面体，红色部分是大小相同的正三角形．把1号和2号拼成一个新立体图形，让两个红色部分完全重合，那么，这个新立体图形共有个面．23．一个物体由若干个小正方体拼成，从前面、右面和上面看，分别是：、、，这个物体至少由个小正方体拼成．24．在中国古代数学中，两个形状相同的圆柱以垂直的方向相互穿插，如图所示，中间重合部分所构成的几何体称为牟合方盖．从正上方俯视牟合方盖，呈现的图形为．25．如图，左面的表面展开图是右面三个正方体中（填“甲”或“乙”或“丙”）的表面展开图．26．如图所示，它是由六个正方形组成的平面硬纸片，由它可以折叠成一个正方体，点“L”将与点重合．27．正方体有6个面，每个面上分别写有1个数字，它们分别是l、2、3、4、5、6，而且每两个相对面上的两个数的和是7（即1和6相对，2和5相对．3和4相对）．如图是正方体六个面的展开图，请将每个面上的数字填写完整．28．右边是由大小相同的正方体叠成的立体图形．从正面可以看到7个方块，如果从左面看，可以看到个方块．29．一个正方体展开成一个平面图形，边缘是一个多边形，边数最少是条．30．一些边长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，在这个立体的体积最大时，将这些小正方体码放成一个底面积为4的长方体，则这个长方体的高是．31．如图由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有条棱．32．有两个体积之比为5：8的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把该长方形的长和宽同时增加6．其面积增加了114．那么这个长方形的面积．33．如图1是一个正方体的展开图，图2的四个正方体中只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是．（填序号）34．小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如图1，从侧面看如图2，那么他最多用了块木块，最少用了块木块．35．有四颗相同的骰子放成一排（如图），四颗骰子底面的点数之和是．36．用若干个1×1×1的小立方体堆积成一个立体图形（小立方体不能悬空），它的正视图、左视图、俯视图都是如图的样子，那么堆积成满足条件的小立方体最少需要个小立方体．37．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是（立方厘米）38．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是（立方厘米）39．如图的盒子，高为20cm，底面数据如图．这个盒子的容积是cm3．（π取3.14）40．骰子，也叫色子，是一个正多面体，通常作为桌上游戏的小道具．最常见的骰子是正方体，上面分别有一到六个点（或数字），其相对两面之数字和为7．现将三颗骰子如左图放置露出7个面上的数字，则看不见的面上的数字和等于．41．一个由正方体堆起来的物体由几个小立方体组成（如图）．求这个图形是由个立方体组成．42．如图所示的四个图形都是由六个相同的小正方形组成，将其折叠后能围成正方体的是．（填序号）43．用若干个棱长为1的小正方体铁块焊接成的几何体，从正面，侧面，上面看到的视图均如图所示，那么这个几何体至少由个小正方体铁块焊接而成．三．解答题（共7小题）44．小聪学玩魔方，向小笨拜师学艺，小笨首先出了一道题考他，从图中的四个图形中，每个小正方形都标上了颜色．若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么下列4个展开图有几个是正确的？45．若干个棱长为1的正方体木块组成一个立体图形，从正面看如图1，从侧面看如图2，这组木块最少有个，最多有个．46．一个立方体骰子的每个面上标记着从1到6中的一个数字，下面是它的两幅表面展开图，根据（1）提供的信息，填出在（2）中剩下的4个数字．47．用一些棱长是1厘米的小正方形模块堆放成一个立体形．从正面看这个立体形，如图1所示；从上向下看这个立体形，如图2所示，请回答：这个立体形最多由多少个小立方形组成？48．请在下面规定处分别画出这个立体图形的正视图和左视图（每个虚线的小方格为一个单位方格）．49．如图是一个立方体魔方，我们可以从图中看到它的右侧、上侧和前侧．如果顺时针转动魔方右侧第一层90度，我们记作进行了一次R操作；如果逆时针转动魔方右侧第一层90度，则记作R′．对于上侧和前侧分别进行相同的旋转操作，分别记作U、U、F、F．现在对魔方进行4次转动：①F，②R，③U′，④F，请你在图中画出每完成一次转动后，阴影面所在的位置．⑧50．在3×3×3的正方体玻璃支架上有27个单位立方体空格．每个单位立方体空格中至多放有一个彩球．要使主视图、俯视图、左视图都如图中所示．问正方体支架上至少需放多少个彩球？请你放置出来．参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．找一找，下面（）组的形体侧面展开不是长方形．A．①②③B．②③C．①④D．②④【分析】根据各个立体图形的特征和侧面展开图的特征直接解答即可．【解答】解：图①侧面展开图可以是长方形．图②侧面展开图不是长方形，是扇环．图③侧面展开图是扇形．图④侧面展开图可以是长方形．故选：B．【点评】展开图为空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形．关键是掌握各形体的特征．2．如图，图是一个正方体的展开图，下图的四个正方体中只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是（）A．B．C．D．【分析】如图，根据正方体展开图的11种特征，属于“1﹣4﹣1”型，折叠成正方体后，两个含有圆的面相对所以排除B；C上面应是涂色圆形，所以排除C；D前面应是涂色的三角形而不是空白，所以也要排除；所以只有选项A合适．【解答】解：四个正方形中只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是．故选：A．【点评】此题是考查正方体的展开图的特征，正方体展开图折叠成正方体后，哪此面相对是有规律的，自己找找看，再记住，能快速解答此类题．3．沿一个纸立方体的边缘，按照图中所示的线切开，平放在桌面上．那么下面是它展开后的形状是（）A．B．C．D．【分析】沿一个纸立方体的边缘，按照图中所示的线切开，则必须是有两个三个正方形连在一起，图中的正方形BCHE，ABEF，FGDA；EFGH，GHCD，ABCD，有两个正方形连在一起，图中的正方形ABCD，ADGF，即可得出结论．【解答】解：沿一个纸立方体的边缘，按照图中所示的线切开，则必须是有两个三个正方形连在一起，图中的正方形BCHE，ABEF，FGDA；EFGH，GHCD，ABCD，有两个正方形连在一起，图中的正方形ABCD，ADGF，故A满足．故选：A．【点评】本题考查三视图与展开图，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．从一张大方格纸上剪下5个相连的方格（只有一个公共顶点的两个方格不算相连），要使剪下的图形可折叠为一个无盖的正方体，则共可以剪出（）种不同的图形（经过旋转或翻转相同的图形视为同一种）．A．8B．9C．10D．11【分析】首先分析相同的意思，那么可以根据正方体的展开图去掉一个面使得图形经过旋转或翻转不能相同即可．【解答】解：依题意可知：剪下来的图形如图所示：共8种．故选：A．【点评】本题考查对三视图和展开图的理解和认识，关键的问题是理解相同的定义，问题解决．5．图中的方格纸中有五个编号为1，2，3，4，5的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（）A．1，2B．2，3C．3，4D．4，5【分析】根据正方体展开图的11种特征，只有把4、5或3、5阴影，才能与已涂阴影的4个正方形组成正方体展开图的“1﹣3﹣2”结构．【解答】解：如图，故选：D．【点评】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．6．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的从上面看到的图形，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的从正面看到的图形为（）A．B．C．D．【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，即可得出结论．【解答】解：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右的列数分别是4，3，2．故选：C．【点评】本题考查三视图，考查学生对图形的认识，正确理解三视图是关键．7．桌子上有一些棋子，棋子分黑白两色，小明把从正面、左面和上面三个方向看到的情况画了下来（如图），那么桌子上共有（）枚棋子．A．10B．12C．14D．16【分析】由三视图不难分析出，右上方的棋子有4枚，左下方的棋子有4枚，左上方的棋子有6枚，所以桌上共有14枚棋子．【解答】解：由三视图可得，右上方的棋子有4枚，左下方的棋子有4枚，左上方的棋子有6枚．所以桌上共有4+4+6=14（枚）．故选：C．【点评】此题考查的目的是培养学生的观察能力和空间想象能力，明确：从不同的方向观察物体，看到的形状不同．二．填空题（共36小题）8．两个同样大小的正方体形状的积木．每个正方体上相对的两个面上写的数之和都等于9．现将两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图所示，则看不见的七个面上的数的和等于39．【分析】首先可以求出这两个正方体的所有面的数的和，再减去看见的五个面上的数字和就是看不见的七个面上的数字之和，据此分析解答即可．【解答】解：9×3×2=5454﹣（1+2+3+4+5）=39故填：39【点评】本题考查的是正方体的特征及展开图．9．李明用小正方体（由图）拼搭图形，至少要准备6个这样的小正方体才能拼搭成一个从上面、正面、侧面看到的都是“田”字的立体图形．【分析】要想从上面看是“田”需要4个小正方体，如果再从正面看的话，只在上面加上两个就可以了，因为底面已经有两个再加上从正面搭上的一个，所以再加上一个就又可以是“田”形了，即可得出结论．【解答】解：要想从上面看是“田”需要4个小正方体，如图如果再从正面看的话，只在上面加上两个就可以了，因为底面已经有两个再加上从正面搭上的一个，所以再加上一个就又可以是“田”形了，所以至少一共需要：4+2=6（个）；故答案为：6．【点评】本题考查三视图，考查最少问题，考查数形结合的数学思想，正确理解题意是关键．10．小强用同样的小正方体摆立体图形，从正面看形状是，从上面看形状是，小强摆这个立体图形至少要用11个小正方体，至多要用18个小正方体．【分析】在俯视图中，写出小正方体的个数，即可解决问题，注意中心位置为0时，用到的小正方体最少．【解答】解：如图所示，小强摆这个立体图形至少要用=2+2+2+1+0+1+1+1+1=11个小正方体，至多要用=2+2+2+2+2+2+2+2+2=18个小正方体．故答案为11，18【点评】本题考查三视图的应用，灵活运用所学知识解决问题是关键，考查学生的空间想象能力．11．如图是一个正方体的平面展开图，每个面上的小图形都表示一个数．已知这个正方体中相对的两个面上，每个小图形所表示的数的和相等，那么1个□= 9个☆．【分析】由题意设小三角形表示x，则小正方形表示6x，小圆表示2x，小五角星表示y．由题意6x=2x+2x+3y，可得2x=3y，推出6x=9y，推出一个小正方形=9个小五角星．【解答】解：由题意设小三角形表示x，则小正方形表示6x，小圆表示2x，小五角星表示y．由题意6x=2x+2x+3y，∴2x=3y，∴6x=9y，∴一个小正方形=9个小五角星，故答案为9．【点评】本题考查正方体的展开图，解题的关键是学会设未知数，构建方程解决问题．12．从三个方向看立方图，X对面的字母是A，Y对面的字母是N．H对面的字母是E．【分析】观察三个正方体，与Y相邻的字母有A、E、H、X，从而确定出Y对面的字母是N，与X相邻的字母有Y、E、H、N，从而确定与X对面的字母是A，最后确定出H的对面是E．【解答】解：由图可知，与Y相邻的字母有A、E、H、X，从而确定出Y对面的字母是N，与X相邻的字母有Y、E、H、N，从而确定与X对面的字母是A，最后确定出H的对面是E．故答案为A、N、E．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻面的情况确定出相邻的四个字母是确定对面上的字母的关键，也是解题的难点．13．将一个正方形纸片沿虚线向上对折，再向右对折后得到一个正方形，然后剪下一个角（如图），将这个纸片展开后的形状应该是D．【分析】首先分析剪去的地方是边缘还是中间，不难发现是中间的部分，继续观察即可．【解答】解：依题意可知：按照折图顺序，可知剪去的是中间的部分．这是个对称问题，依对折顺序恢复即可得到图中的D图．故选：D【点评】本题考查对三视图的理解和运用，关键问题是找到剪去的位置，问题解决．14．如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的数值相等，则a﹣b×c的值是5．【分析】首先分析对立面的位置，直接能看出来的就是3a+2与17是对立面，7b ﹣4与10是对立面，那么另外两个就是对立面．根据问题解题即可．【解答】解：依题意可知：3a+2与17是对立面，3a+2=17，所以a=5；7b﹣4与10是对立面，7b﹣4=10，所以b=2；a+3b﹣2c与11的对立面，5+3×2﹣2c=11，所以c=0；所以a﹣b×c=5故答案为：5【点评】本题是考查对三视图与展开图的理解和认识，关键的问题是找到题中的对立面，问题解决．15．将如图这个展开图围成一个正方体后，与红色的面相对的面是蓝色．【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“132”型，由此可进行折叠验证，得出结论．【解答】解：根据图形可得：白和黑相对，红和蓝相对，黄和紫相对．故答案为：蓝．【点评】正方体展开图折叠成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己总结并记住，能快速解答此类题．16．如图，是某几何体从正面和左面看到的图形，若该几何体是由若干个棱长为1的正方形垒成的，则这个几何体的体积最小是6．【分析】首先分析图中的2个方块的位置，左视图中在左边是正视图是在第四个位置，需要同时满足这2个条件即可．【解答】解：依题意可知：画出俯视图的一种：在4号木块上是有2个木块即可满足条件．那么这个几何体的最小体积就是6块，1×6=6．故答案为：6【点评】本题考查对三视图的理解和分析，关键是找到图中的2个木块的位置．问题解决．17．一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆正方体货箱共有9个．【分析】首先拿出一个图形进行分析，然后再逐一符合其他两个图形即可．【解答】解：依题意可知：对俯视图进行标号，底面满足左视图和正视图，看正面中间有3个，那么就是在数字3或5上面有2个方块．左视图的左边是3个，那么数字5上面必须有2个满足3个．再看左视图的中间是2个，那么数字3上面有1个构成2个即可，共有底面6个加上3上面1个和5上面2个共9个．故答案为：9【点评】本题是考查对三视图的理解和运用，关键的问题是先以一个图形为基础，再分别满足其他图形．问题解决．18．小胖用一些相同的正方体积木搭成了一个模型，然后从不同的方向进行观察，看到的情况如图，那么小胖一共用了8个正方体积木．【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数．【解答】解：由三视图，可得直观图如图所示，这个几何模型的底层有俯视图，有7个小正方体，第二层有1个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是7+1=8．故答案为：8个．【点评】本题考点是三视图与展开图，考查立体图形三视图，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．19．一个正方体的6个面分别标着A、B、C、D、E、F六个字母，从3个不同角度看正方体如图所示，字母C的对面是字母E．【分析】由前2个图B、C的位置可知A与D相对，再加上最后1个图，就可知道与C相邻的四个面的字母分别是A、B、D、F，那就知：只有E与C相对了．【解答】解：前2个图，与C相邻的面有A、B、D．后1个图，与C相邻的面有F．故：字母C的对面是字母E．【点评】此题关键是能通过3个图看出：与C相邻的四个面的字母分别是A、B、D、F．20．用2个边长为单位长度的小正方形（单位正方形）可以构成2﹣联方，这就是常说的多米诺．显然，经过平移旋转、对称等变换，能够重合的多米诺应该看成是同一个，因此，多米诺只有一个：．同理，用3个单位正方形构成的不同的3﹣联方只有2个：．用4个单位正方形构成的不同的4﹣联方有5个．那么，用5个单位正方形构成的5﹣联方有12个．【分析】首先分析5个方块分类，可以是底边为5个4个3个的情况，然后进行分析注意把相同的去掉．【解答】解：依题意可知：首先是5个放在一条直线上；再分析底面是4个上面是1个的共有2中满足（其他是可以旋转平移得来是重复的）；再分析底面是3个的．2个方块在同一边的，如果上面两个在以行排，有2种，如果是一数列也是2种．共4种；2个方块不在同一边的，（相同的去掉）木块5在中间有3中，木块5在两边的有2中，共有5种．故答案为：12【点评】本题是对三视图与展开图的理解和分析，关键的问题是区分哪些是相同的．问题解决．21．一个正方体的6个面分别标着A、B、C、D、E、F六个字母，从3个不同角度看正方体如图所示，字母C的对面是字母D．【分析】首先题中要找到C的对立面，反过来可以找哪一个面和C不是邻面即可．【解答】解：依题意可知：由图1和图2可得字母D与字母A，B，E，F是邻面，因此和C是对立面．故答案为：D【点评】本题考查对三视图的理解和运用，结合图形的规律重点找到与C不相邻的面问题解决．22．如图，1号立体图形是一个正四棱锥，2号立体图形是一个正四面体，红色部分是大小相同的正三角形．把1号和2号拼成一个新立体图形，让两个红色部分完全重合，那么，这个新立体图形共有5个面．【分析】由题意，把1号和2号拼成一个新立体图形，让两个红色部分完全重合，则最多有9﹣2=7个面，由于红色三角形旁边的面是共面的，故答案是7﹣2=5（个）面．【解答】解：红色三角形旁边的面是共面的，答案是9﹣2﹣2=5（个）面．故答案为5．【点评】本题考查立体几何与空间想象能力，注意红色三角形旁边的面是共面的是关键．23．一个物体由若干个小正方体拼成，从前面、右面和上面看，分别是：、、，这个物体至少由4个小正方体拼成．【分析】从上面看可以看出最底层小正方体的个数及形状，从前面可以看出每一层小正方体的层数和个数，从右面可看出每一行小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【解答】解：由上面看易得最底层小正方体的个数为3，由右面看的图可知有两层，再由从前面可以看出上面有1个正方体，那么物体至少由3+1=4个正方体拼成．故答案为：4．【点评】考查学生从不同方向观察物体和几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．24．在中国古代数学中，两个形状相同的圆柱以垂直的方向相互穿插，如图所示，。

五年级下册数学扩展专题练习：长⽅体与正⽅体涂⾊与三视图（A级）全国通⽤⼀、表⾯涂⾊问题：对于棱长⼤于2的长⽅体和正⽅体，表⾯涂⾊后切成⼩正⽅体：三⾯涂红⾊的在顶点处两⾯涂红⾊的在棱长处⼀⾯涂红的表⾯中间部分每⾯都没涂⾊的只有正⽅体体内。

重点：熟练掌握表⾯涂⾊问题的基本类型．难点：复杂三视图问题．【例 1】右图是333??正⽅体，如果将其表⾯涂成红⾊，那么其中⼆⾯、三⾯被涂成红⾊的⼩正⽅体各有多少块？【巩固】右图是456??正⽅体，如果将其表⾯涂成红⾊，那么其中⼆⾯、三⾯被涂成红⾊的⼩正⽅体各例题精讲知识框架重难点表⾯涂⾊与三视图有多少块？【例2】右图是333正⽅体，如果将其表⾯涂成红⾊，那么其中⼀⾯被涂成红⾊和未被涂⾊的⼩正⽅体各有多少块？【巩固】右图是456正⽅体，如果将其表⾯涂成红⾊，那么其中⼀⾯、⼆⾯、三⾯被涂成红⾊的⼩正⽅体各有多少块？【例3】将⼀个表⾯积涂有红⾊的长⽅体分割成若⼲个棱长为1厘⽶的⼩正⽅体，其中⼀⾯都没有红⾊的⼩正⽅形只有3个，求原来长⽅体的表⾯积是多少平⽅厘⽶？【巩固】⼀个长⽅体，六个⾯均涂有红⾊，沿着长边等距离切5⼑，沿着宽边等距离切4⼑，沿着⾼边等距离切_______次后，要使各⾯上均没有红⾊的⼩⽅块为24块．【例4】右图是115长⽅体，如果将其表⾯涂成红⾊，再切成5个⼩正⽅体，那么各个正⽅体有⼏⾯被涂成红⾊？【巩固】右图是225长⽅体，如果将其表⾯涂成红⾊，再切成20个⼩正⽅体，共有⼏种不同的涂⾊情况？【例5】右图是125长⽅体，如果将其表⾯涂成红⾊，再切成10个⼩正⽅体，共有⼏种不同的涂⾊情况？【巩固】将长为5，宽为3，⾼为1的长⽅体⽊块的表⾯涂上漆，再切成15块棱长为1的⼩正⽅体。

则三个⾯涂漆的⼩正⽅体有________块。

【例6】⼩华⽤相同的若⼲个⼩正⽅体摆成⼀个⽴体（如图2）。

从上体上⾯看这个⽴⽅体，看到的图形是图①～③中的。

（填序号）①②③【巩固】⼩华⽤相同的若⼲个⼩正⽅体摆成⼀个⽴体（如图2）。