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第三章 3.1 事件与概率3.1.4 概率的加法公式学习目标1.理解互斥事件与对立事件的区别与联系.2.会用互斥事件的概率加法公式求概率.3.会用对立事件的概率公式求概率.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学知识点一 事件的运算思考 一粒骰子掷一次，记事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事件C，D至少有一个发生时呢？答案 事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点数为2.事件C，D至少有一个发生，掷出的点数可以是1,2,4,6.梳理 事件的并一般地，由事件A 和B 至少有一个发生(即A 发生，或B 发生，或A ，B 都发生)所构成的事件C ，称为事件A 与B 的 (或和).记作C ＝.事件A ∪B 是由事件A 或B 所包含的基本事件所组成的集合.如图中阴影部分所表示的就是A ∪B.并A ∪B知识点二 互斥与对立的概念思考 一粒骰子掷一次，事件E＝{出现的点数为3}，事件F＝{出现的点数大于3}，事件G＝{出现的点数小于4}，则E与F是什么事件？G与F是什么事件？答案 ∵E，F不能同时发生，∴E与F是互斥事件但不是对立事件．∵G，F不能同时发生，且G，F必有一个发生，∴G与F既是互斥事件又是对立事件．梳理 1.互斥事件：不可能的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件).2.对立事件：不能同时发生且 的两个事件叫做互为对立事件.事件A 的对立事件记作 .由于A 与 是互斥事件，所以P (Ω)＝P (A ∪ )＝P (A )＋P ( )，又由Ω是必然事件，得到P (Ω)＝1.所以P (A )＋P ( )＝1，即P ( )＝.同时发生必有一个发生1－P (A )知识点三 概率的基本性质思考 概率的取值范围是什么？为什么？答案 概率的取值范围是0～1之间，即0≤P(A)≤1；由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，因而概率的取值范围也在0～1之间.梳理 概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为 .(2) 的概率为1， 的概率为0.(3)互斥事件的概率加法公式①假定A ，B 是互斥事件，则P (A ∪B )＝ .②一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A 1∪A 2∪…∪A n ”发生(是指事件A 1，A 2，…，A n 中至少有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝.[0,1]不可能事件必然事件P (A )＋P (B )P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )[思考辨析 判断正误]1.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.( )2.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.( )3.若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.( )×√√题型探究题型一 事件关系的判断例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.解答解 (1)是互斥事件，不是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.(2)既是互斥事件，又是对立事件.理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.反思与感悟 (1)不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件. (2)事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记忆.(3)事件A也包含于事件A，即A⊆A.(4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A，B总是同时发生或同时不发生.跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球√D.恰有一个红球与恰有两个红球解析答案解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.题型二 互斥事件的概率加法公式例2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.解答解 分别记小明的考试成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B ，C ，D ，E ，这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.51＝0.69.小明考试及格的概率为P (B ∪C ∪D ∪E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.反思与感悟 在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.跟踪训练2 假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一枚炸弹，军火库发生爆炸的概率.解答解 因为只投掷了一枚炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的.令A ，B ，C 分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，则P (A )＝0.025，P (B )＝P (C )＝0.1.令D 表示军火库爆炸这个事件，则有D ＝A ∪B ∪C ，又因为A ，B ，C 是两两互斥事件，故所求概率为P (D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.题型三 用互斥、对立事件求概率解 “甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，(2)甲不输的概率.解 方法一 “甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，方法二 “甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，反思与感悟 (1)只有当A，B互斥时，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立.(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P( )求解.跟踪训练3 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”.已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为A.0.20B.0.39√C.0.35D.0.90解析 ∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.达标检测1.从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述各对事件中，是对立事件的是√A.①B.②④C.③D.③④解析 从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件.2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是A.0.42 B.0.28√C.0.3D.0.7解析 ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，解析 设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A ，“命中圆环Ⅱ”为事件B ，“命中圆环Ⅲ”为事件C ，“不中靶”为事件D ，则A ，B ，C 彼此互斥，故射手中靶的概率为P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P (D )＝1－P (A ∪B ∪C )＝1－0.90＝0.10.4.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______.0.105.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.求：(1)他乘火车或飞机去的概率；解 设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C，乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥.P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)他不乘轮船去的概率.解 P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).3.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.。
