三概率的加法公式

3）若n个事件 A1、A2、、An 是相互独立的，
则有 P（A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
医药数理统计方法
例6 如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有 “十聋九哑”一说，表明失聪与失语的关系.那么，辨音能 力是否也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：
解 以A1、A2、A3分别表示取得这盒X光片是由甲厂、
乙厂、丙厂产生的，B 取得的X光片为次品
P

A1


5 10
，P

A2


3 10
,
P

A3


2 10
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知 其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生 产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次 为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再 从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的 概率。
P(B | A) P( AB) P( A)
P(AB) =P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
若A ,B 相互独 立 P( AB) P( A) P(B)
*3、事件的独立性 例如 将一颗均匀骰子连掷两次，
医药数理统计方法
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然 P(A|B)=P(A)
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知 其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生 产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次 为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再 从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的 概率。

概率运算公式
概率运算是描述事件发生可能性的一种方法，它是基于数学理论的。

在概率运算中，有许多基本的公式被广泛使用。

接下来，我们将介绍一些常用的概率运算公式。

1. 加法法则：对于两个不相交的事件A和B，它们的并集概率
等于它们各自的概率之和。

P(A∪B) = P(A) + P(B)
2. 乘法法则：对于两个独立事件A和B，它们的交集概率等于
它们各自的概率之积。

P(A∩B) = P(A) × P(B)
3. 全概率公式：对于一个事件A，如果它可以分解成一系列互
不相交的事件{B1, B2, ..., Bn}的并集，那么有：
P(A) = Σ P(Bi) × P(A|Bi)
其中，P(A|Bi)表示在Bi发生的条件下，事件A发生的概率。

4. 贝叶斯公式：对于一个事件A和一系列互不相交的事件{B1, B2, ..., Bn}，如果已知它们的先验概率P(Bi)和在各个条件下的条件概率P(A|Bi)，那么有：
P(Bi|A) = P(Bi) × P(A|Bi) / Σ P(Bj) × P(A|Bj) 其中，P(Bi|A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率。

以上是概率运算中常用的一些公式，它们在实际应用中非常重要，可以帮助我们更好地理解事件发生的可能性。

- 1 -。

11
三、概率的加法公式
定理1.1 (关于两个互斥事件的概率加法公 式) 对任意两个事件A和B，有
P A B P( A) P( B) P( AB) .

A
证
AB
B
A B A B AB
而且 A B AB ,
所以
P A B P A P B AB P A P B P AB .
P A B C
B
C
A
P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC )
P ( ABC ) .

16
定理1.3 (概率的一般加法公式) 对任意
n n 2 个事件 A1 , A2 ,
, An , 有
P Ai P Ai P Ai A j
12
例1.5 由长期统计资料得知，某一地区在 ４月份每天下雨的概率为4/15，刮风的概率为 7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求４月份 的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率． 解 在４月份中任取一天，令A={下雨}， B={刮风}，则
P A 4 15 , P B 7 15, P AB 1 10 . P A B P( A) P(B) P( AB)
概率的有限可加性

1 P P A A P ( A) P A .



☎当直接计算一个事件的概率难于实现时，
可以通过计算其对立事件的概率来完成.
8
性质1.4 (真差概率公式) 若 A B , 则
P B A P( B) P( A) .

概率计算公式概率计算是数理统计学中的重要内容，通过运用概率计算公式，我们可以对事件发生的可能性进行精确的预测和分析。

本文将介绍几种常用的概率计算公式，帮助读者更好地理解和应用概率计算。

一、频率法频率法是概率计算中最直观和常用的方法之一，它是通过实验数据的频率来估计事件发生的概率。

频率法概率计算公式如下：```P(A) = n(A) / n```其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示实验总次数。

通过观察事件发生的实际频率，可以得出事件发生的概率近似值。

二、古典概型古典概型指的是指定试验中所有可能结果等可能的情况。

在古典概型中，可以使用以下概率计算公式：```P(A) = n(A) / n(S)```其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的有利次数，n(S)表示样本空间的大小。

三、总概率定理总概率定理用于计算在多个条件下的概率。

当有多个互斥事件B1、B2、…、Bn，且它们的并集等于样本空间S时，可以使用总概率定理进行计算。

总概率定理公式如下：```P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + ... + P(A|Bn) * P(Bn)```其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。

总概率定理在实际问题中具有广泛的应用，通过将复杂问题分解为简单事件的条件下的概率计算，可以更好地解决实际问题。

四、条件条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率计算公式如下：```P(A|B) = P(A∩B) / P(B)```其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的计算可以帮助我们更好地理解事件之间的相关性，当我们已经了解到某个条件下的概率时，可以通过条件概率公式计算其他事件的概率。

（ 二） 三个 事件的概率加法公式 设 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 为任 意三个 事件 ，则Ａ、 Ｂ、 Ｃ 的事 件概率
可作 如下推导 ：
Ｐ （ ＡＵＢＵＣ） ＝ Ｐ ［ （ ＡＵ（ Ｂ ） ＵＣ 】 （ ２ ）
（ Ａ Ｂ Ｃ ） ＋ Ｐ （ Ａ Ｂ Ｄ） ＋ Ｐ （ Ａ Ｃ Ｄ） ＋ Ｐ （ Ｂ ｃ Ｄ） 一 Ｐ （ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ） ，（ ９ ） （ 四） 五个事件 的概率加法计算公式 设Ａ、 Ｂ 、 Ｃ 、 Ｄ 、 Ｅ 为任 意三个事件 ， 则Ａ、 Ｂ 、 Ｃ 、 Ｄ、 Ｅ 的 事件概率可作如下推导 ：
Ｐ （ ＡｕＢｕＣ ） ＝ Ｐ （ Ａ） ＋ Ｐ （ Ｂ ） ＋ Ｐ （ Ｃ ） 一 Ｐ （ Ａ Ｂ ） 一 Ｐ （ Ａ Ｃ ）
Ｐ （ Ｂ Ｃ） ＋ Ｐ （ ＡＢ Ｃ） 通过对具体 例题 的讲解 ， 对 加 法公 式在使用 过程 中的一些技 巧 给 出了详细 的说
Ｐ （ ＡＵＢＵＣＵＤＵＥ ） ＝ ｅ ｌ （ ＡＵＢ ＵＣＵＤ） ＵＥ １ ＝ Ｐ （ ＡｕＢ ｕＣ ｕＤ） ＋ Ｐ （ Ｅ） 一 Ｐ ［ （ ＡＵＢＵＣ ＵＤ ） Ｅ 】 （ １ ０ ） 又 因为Ｐ 『 （ ＡＵＢ ＵＣＵＤ） Ｅ ］ ＝ Ｐ （ Ａ Ｅ ＵＢ Ｅ ＵＣ ＥＵ Ｄ Ｅ ） ， 利用公式 （ ９ ） 得：
芜湖
２ ４ １ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 基 于两个事件的概 率加法公式 ， 推 导 出了３ ￣ ５ 个事件 的概 率加 法计算公式。通过 总结 多个事件概率 加 法公式 的一般规律 ， 得到ｎ 个事件的概率加法公式。
关键词 ： 概率 ； 加法公式 ； 归 纳 法
中图分类号 ： Ｇ ６ ４ ２ ． ４ １
明 。本 文将 利用简单 的两个事件概率 加法公式 ， 推 导 出３ ～ ５ 个事件 的概率加法计算 公式 ，通过总结 归纳 多个 事件概率 加法公式 的一般规律 ，给出ｎ 个事 件的

记作 _A___
图形表示
2.互斥事件的概率加法公式 (1)若 A，B 是互斥事件，则 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ． (2)若－A 是 A 的对立事件，则 P(－A )＝ 1－P(A) ． (3)若 A1，A2，…，An 两两互斥，则 P(A1∪A2∪…∪An) ＝ P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) ．
[层级一 学业水平达标] 1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设 A＝{三
件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产
品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是 ( )
A．A 与 C 互斥
B．B 与 C 互斥
C．任何两个都互斥
D．任何两个都不互斥
解析：选 D 由题意知事件 A，B，C 两两不可能同时发生，
(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3. 所以射中 10 环或 9 环的概率为 0.3. (2)因为射中 7 环以下的概率为 0.1，所以由对立事件的 概率公式，得至少射中 7 环的概率为 1－0.1＝0.9.
求复杂事件概率的注意事项 (1)正难则反是良策． (2)用互斥事件的概率和进行求解时一定要将事件分 拆为若干互斥的事件，不能重复和遗漏． (3)采用对立事件求概率时，一定要找准对立事件， 否则容易出现错误．
红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的
对立面是没有一个，所以选 B.
4．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率
为 0.1，响第二声时被接的概率为 0.3，响第三声时被接的概率
为 0.4，响第四声时被接的概率为 0.1，那么电话在响前四声内
被接的概率是多少？ 解：记“响第一声时被接”为事件 A，“响第二声时被接” 为事件 B，“响第三声时被接”为事件 C，“响第四声时被 接”为事件 D.“响前四声内被接”为事件 E，则易知 A，B， C，D 互斥，且 E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率的 加法公式得， P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋ 0.3＋0.4＋0.1＝0.9. 即电话在响前四声内被接的概率是 0.9.

三个事件的概率计算公式1. 三个互斥事件的概率加法公式。

- 如果事件A、B、C两两互斥（即A∩ B=varnothing，A∩ C=varnothing，B∩ C=varnothing），那么P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)。

- 例如：掷骰子，事件A为掷出1点，事件B为掷出2点，事件C为掷出3点。

这三个事件两两互斥，P(A)=(1)/(6)，P(B)=(1)/(6)，P(C)=(1)/(6)，P(A∪ B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=(1)/(6)+(1)/(6)+(1)/(6)=(1)/(2)。

2. 三个相互独立事件的概率乘法公式。

- 如果事件A、B、C相互独立（即P(A∩ B)=P(A)P(B)，P(A∩ C)=P(A)P(C)，P(B∩ C)=P(B)P(C)，P(A∩ B∩ C)=P(A)P(B)P(C)）。

- 例如：有三个口袋，第一个口袋中有2个红球3个白球，从第一个口袋中取到红球的概率P(A)=(2)/(5)；第二个口袋中有3个红球2个白球，从第二个口袋中取到红球的概率P(B)=(3)/(5)；第三个口袋中有4个红球1个白球，从第三个口袋中取到红球的概率P(C)=(4)/(5)。

因为从每个口袋取球的事件相互独立，所以从三个口袋中都取到红球的概率P(A∩ B∩ C)=P(A)P(B)P(C)=(2)/(5)×(3)/(5)×(4)/(5)=(24)/(125)。

3. 一般情况下（非互斥、非独立）三个事件的概率公式。

- P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩ B)-P(A∩ C)-P(B∩ C)+P(A∩ B∩ C)。

- 例如：在一个班级中，事件A表示学生喜欢数学，P(A) = 0.6；事件B表示学生喜欢语文，P(B)=0.5；事件C表示学生喜欢英语，P(C)=0.4。

同时喜欢数学和语文的概率P(A∩ B)=0.3，同时喜欢数学和英语的概率P(A∩ C)=0.2，同时喜欢语文和英语的概率P(B∩ C)=0.15，同时喜欢三门课的概率P(A∩ B∩ C)=0.1。

第三章 概 率
§3.1 事件与概率
§3.1.4 概率的加法公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解事件的并(或和)的含义及记法． 2．理解互斥事件和对立事件的定义． 3．掌握判断两个事件互斥或对立的方法以及两者的区别 与联系． 4．会应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P( A )＝1－P(A)解 决实际问题.
规律技巧 利用概率加法公式求概率时，一定先判断所涉 及事件是否互斥.
变式训练2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概 率为0.16，在80～89分的概率为0.52，在70～79分的概率 0.12，在60～69分的概率为0.1，分别计算小明在数学考试中取 得80分以上的概率和小明及格的概率．
解 根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事 件是互斥的，记B＝“考试成绩在90分以上”，C＝“考试成 绩在80～89分”，D＝“考试成绩在70～79分”，E＝“考试 成绩在60～69分”，根据互斥事件的概率加法公式，所求事件 的概率便可获解．
2．互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B. ①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅； ②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅，且A∪B＝U(U为全 集)，即A＝∁UB或B＝∁UA； ③对互斥事件A与B的和A∪B，可理解为集合A∪B.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是 不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导 致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生， 故B与E还是对立事件．

概率论的加法公式摘要：1.引言2.加法公式的定义3.加法公式的性质4.加法公式的证明5.加法公式的应用6.结论正文：1.引言概率论是研究随机现象的理论，它为我们提供了一种量化和描述不确定性的方法。

在概率论中，加法公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率。

本文将介绍概率论的加法公式，包括其定义、性质、证明以及应用。

2.加法公式的定义加法公式是指，对于任意两个事件A 和B，它们的联合概率可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

其中，P(A) 表示事件A 的概率，P(B) 表示事件B 的概率，P(A∩B) 表示事件A 和B 的交集概率。

3.加法公式的性质加法公式具有以下几个性质：(1) 完备性：对于任意事件A，有P(A)=P(A∪Φ)，其中Φ表示全集。

(2) 可数性：对于任意可数个事件A1，A2，…，An，有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。

(3) 分配律：对于任意事件A、B、C，有P(A∪B∪C)=P(A∪B)+P(A∪C)+P(B∪C)。

4.加法公式的证明为了证明加法公式，我们需要引入一个重要的概念——事件的和事件。

设A 和B 是两个事件，A∪B 表示事件A 和事件B 的和事件，即包含在事件A 中或者包含在事件B 中的所有可能结果的集合。

我们可以通过以下步骤证明加法公式：(1) 证明P(A∪B)A∪B(2) 证明P(A∪B)A∩B(3) 证明P(A∩B)A∪B(4) 得出P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)5.加法公式的应用加法公式在实际应用中有很多重要作用，例如在概率论的计算、风险管理、数据分析等领域都有广泛的应用。

通过加法公式，我们可以更方便地计算多个事件同时发生的概率，从而更好地描述和分析随机现象。

6.结论概率论的加法公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率。

【分析】考查互斥事件的概率.
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【解析】(1)因为“恰有1名男生”与“恰有两名男生” 不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当恰有两名女生时 它们都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)因为恰有两名男生时“至少有1名男生”与“全是 男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同 时发生,所以它们互斥;由于它们必有一个发生,所以它们 对立.
（2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是 直接求方法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事 件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算.二是间接求 法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）=1-P
（ A ），即运用逆向思维（正难则反），特别是“至
多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便.
P1=P（A）+P（B） 5 4 3 .
12 12 4
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P2=P（A）+P（B）+P（C）1521421221121 .（或P2=1P(D)= 1 1 11 .）
12 12
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【评析】（1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和 对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选 择概率公式进行计算.
(3)如果A,B是互斥事件,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)
①.
(4)一般地，如果事件A1,A2,…,An两两互斥(彼此互
斥),
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那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生(是指事件A1,A2,…,An中 至少有一个发生)的概率，等这于n个事件分别发生的概率和 , 即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)②.公式① 或公式②叫做互斥事件的概率加法公式.

对立事件
在例1中，事件C与事件D除了互斥以外，两者还有怎 样的关系？
对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件 叫做互为对立事件。 事件A的对立事件记作。 从集合的角度看，若A∩B=∅，A∪B=R，则事件A与 事件B互为对立事件。
人民教育出版社 高中二年级 | 必修3
例2.判断下列给出的每对事件， （1）是否为互斥事件， （2）是否为对立事件，并说明理由。
从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从 1~10各4张）中，任取1张： （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数 大于9”。
人民教育出版社 高中二年级 | 必修3
解：（1）是互斥事件，不是对立事件； （2）既是互斥事件，又是对立事件； （3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件；
人民教育出版社 高中二年级 | 必修3
设事件C为““出现奇数点”或2点”，它也是一 事件的并 个随机事件。
事件C与事件A、B的关系是：若事件A和事件B 中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A，B 中至少有一个发生，我们称事件C为A与B的并(或 和) 如图中阴影部分所表示的就是A∪B.
AB
A
B
人民教育出版社 高中二必修3
解：因为 与A互为对立事件， （1）P( )=1－P(A)=0.05； （2）事件B与事件C也是互为对立事件， 所以P(C)=1－P(B)=0.3； （3）事件D的概率应等于中靶环数小于6的 概率减去未中靶的概率，即 P(D)=P(C)－P( )=0.3－0.05=0.25
人民教育出版社 高中二年级 | 必修3
解： 分别记小明的成绩在90分以上，在80~89分，在 70~79分，在60~69分为事件B，C，D，E，这四个事件 是彼此互斥的。 根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的 概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69 小明考试及格的概率为

概率计算公式解释
概率计算公式是一种数学工具，用于计算事件发生的可能性。

在概率论中，常用的概率计算公式有三个：加法法则、乘法法则和条件概率。

1.加法法则：加法法则用于计算两个事件中至少发生一个的概率。

如果事件A和事件B是互斥的（即不能同时发生），那么加法法则可以表示为：
P(A或B)=P(A)+P(B)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

2.乘法法则：乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。

如果事件A和事件B是独立事件（即一个事件的发生不受另一个事件的影响），那么乘法法则可以表示为：P(A且B)=P(A)*P(B)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

3.条件概率：条件概率用于计算在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率可以表示为：
P(A|B)=P(A且B)/P(B)
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A且B)表示事件A 和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

以上是概率计算中常用的三个公式，它们可以帮助我们计算事件发生的可能性。

1。

概率统计的8种计算方法专题讲解
一、概率的基本概念
- 定义：某一事件发生的可能性大小。

- 表述：一般用P(A)表示。

二、概率的计算方法
1. 数学概率法
- 公式：P(A) = n(A) / n(S)
- P(A)：事件A发生的概率
- n(A)：事件A发生的样本点数
- n(S)：样本空间中所有样本点的个数
2. 几何概率法
- 公式：P(A) = S(A) / S(S)
- P(A)：事件A发生的概率
- S(A)：与事件A有关的图形面积或长度等
- S(S)：样本空间内所对应的图形面积或长度等
3. 频率概率法
- 公式：P(A)=发生事件A的次数 / 总实验次数
三、条件概率
- 定义：在另一事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。

- 公式：P(A|B) = P(AB) / P(B)
四、乘法公式
- 定义：事件A和事件B同时发生的概率。

- 公式：P(AB) = P(A) * P(B|A)
五、加法公式
- 定义：事件A或B发生的概率。

- 公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB)
六、全概率公式
- 定义：在几个互不相容事件之中，任何一个都可能发生，求
事件A发生的概率。

- 公式：P(A) = ∑P(Bi)P(A|Bi)
七、贝叶斯公式
- 定义：在一事实的证据下，要求另一假设成立的概率。

- 公式：P(Bi|A) = P(Bi)P(A|Bi) / ∑P(Bi)P(A|Bi)
八、大数定律
- 定义：在独立重复的实验中，随着实验次数的增加，事件发生的频率趋近于概率。

发生, 故P(A|B)= 2×4!/ 5!=2/5.
解二: 用条件概率公式. P(A|B)=P(AB)/P(B)=(1/15)/(1/6)=6/15=2/5. 类似, P(B |A)=2/15. 由条件概率定义的表达式，很容易推导出
P ( AB) P( A) P( B A) P ( B ) P ( A B )
医用高等数学
例6-15 一批小白鼠中, 有30%注射过药物A, 25%注
射过药物B, 两种药物都注射过的占20%. 若取到是1只已知
没有注射过药物B小白鼠的条件下，它也没有注射过药物
A的可能性有多大?
P( AB ) 0.65 P( A | B ) 0.867 P( B ) 1 0.25
可以验证，条件概率具有无条件概率的所有性质. 例如：
概率的乘法公式还可能推广到有限多个事件的情况，即
P( A1 A2 An )=P( A1 )P( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )… P ( An A A A )
1 2 n 1
医用高等数学
例6-17 产妇分娩胎儿的存活率为P(L)=0.98. 又知活
解 根据医学常识，只有O型或B型的人方可给B型的
频率代替概率，有P( E1 )=0.46，P( E2 )=0.15，且 E1 与 E2 互
E1 不相容，而“可给B型病人输血”这一事件是与 E2 的事件
医用高等数学
病人输血，设 E1 =“被检者是O型”， E2 =“被检者是B型”，以
之和，由推论1，所求概率为：
P ( A2 | A1 ) 0.6 , P( A2 | A1 ) 1 P( A2 | A1 ) 0.4
两次患该病心肌未受损害的概率为

推论1 若A,B为两个事件,且A与B不相容,则
P(A∪B)=P(A)+P(B)
推论 2:对任意事件Ａ， P( A ) 1 P( A).
证明：由于 A A 且 AA
由推论 1 可知
P ( A) P ( A) 1
得
P ( A) 1 P ( A)
推论 3 若 A, B 满足 A B ，则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
证明：由可列可加性,并令
Ai (i n 1, n 2,)
P ( Ai ) P ( Ai ) P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 i 1 i 1 n n
§1.3 概率的计算公式
由概率的定义可以证明概率的一些重要性质。
首先
P ( ) 0
由概率的可加性
证明：因为
P ( ) P ( ) P ( )
由 P ( ) 0 ，证得 P ( ) 0 。
一.加法公式 有限可加性
若A1 , A2 , , An 两两互不相容，则
在 1,2,…,100 这一百个整数中能被 3 整除的有 33 个，
能被 4 整除的有 25 个，能被 12 整除的有 8 个。事件
BC 发生相当于能被 3× 整除，即能被 12 整除，因此 4
33 P(B) , 100
25 P(C) , 100
8 P(BC) , 100
P( A) P(B) P(C) P(BC) 33 25 8 1 . 2 100
注:推论 4 还可以推广到多个事件情形， A1 , A2 , A3 为任 设 意三个事件，则有ຫໍສະໝຸດ P(A1 A 2 A3 )

221 . = 980
另解 考虑到
A1 U A2 U A3 = A0
故 P ( A1 U A2 U A3 ) = P ( A0 ) = 1 − P ( A0 )
3 C 46 221 = 1− 3 = C 50 980
注 该题的两种解法较为典型： 该题的两种解法较为典型： 前者是直接对待求事件进行互斥分解， 前者是直接对待求事件进行互斥分解，但计算较 繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发， 繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发，利用 了对立事件概率之和为1的性质 简化了计算. 的性质， 了对立事件概率之和为 的性质，简化了计算.
推广 设 A1 , A2 ,L, An 为 n 个事件 , n ≥ 2,
且 P ( A1 A2 L An−1 ) > 0, 则有
P( A A LA ) = P( A )P( A A )P( A A A )LP( A A A LA −1 ) 1 2 n 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n
袋中有5个球 其中3个红球 个白球， 个球， 个红球2个白球 例5 袋中有 个球，其中 个红球 个白球，现从袋中 不放回地连取两个，已知第一次取得红球， 不放回地连取两个，已知第一次取得红球，求第二次 取得白球的概率. 取得白球的概率. 表示第一取得红球， 表示第二次取得白球 表示第二次取得白球, 解 设A表示第一取得红球，B表示第二次取得白球, 表示第一取得红球 则求P(B | A) 则求 方法一 按定义 因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下 个球,其中 袋中只剩下4个球 因为第一次取走了一个红球 袋中只剩下 个球 其中 有两个白球,再从中任取一个 取得白球的概率为2/4, 有两个白球 再从中任取一个,取得白球的概率为 再从中任取一个 取得白球的概率为

P ( B ) = P ( A B ) + P ( AB )
= P ( A)P (B A) + P ( A)P (B A)
6 5 4 6 = × + × 10 9 10 9
全概率公式
＝ 0.6
AB AB
A
B
A
概率的乘法
全概率公式
定义 设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组， ，Ａ 构成一个完备事件组， 且Ｐ(Ａi )＞0，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ，有 Ａ ＞ ， ＝ ， ， ， ，则对任一随机事件Ｂ，有 Ｂ，
P( A | B) = 45%
于是 所以
P (B ) = 4%
P ( B ) = 1 − P ( B ) = 96 %
P ( A) = P ( AB ) = P ( B ) P ( A | B )
= 96% × 45% = 43.2%
概率的乘法
一个盒子中有６只白球、 只黑球， 【例5】 一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地 每次任取１ 连取２ 第一次取得白球的概率； 每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白球的概率； 第一、第二次都取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球 而第二次取得白球的概率． 而第二次取得白球的概率． 表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球, 解 设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 则
概率的乘法
2. 概率乘法公式 设事件A,B为同一样本空间中的两个随机事件， 设事件A,B为同一样本空间中的两个随机事件，有 A,B为同一样本空间中的两个随机事件
P( AB) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B)