8.2.1概率的加法公式

8．1_&_8.2随机对照试验__概率8．2.1概率的加法公式[读教材·填要点]1．随机对照试验随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则，随机对照试验是指随机选取试验组和对照组的试验．我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂．2．概率的加法公式如果Ω的事件A1，A2，…，A m两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪A m)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A m)．我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是事件两两互斥．[小问题·大思维]1．概率的可加性的前提是事件两两互斥，互斥与对立有什么异同？提示：对立事件是互斥事件的一种特殊情况，互斥不一定对立，对立一定互斥．当计算事件A的概率P(A)比较复杂，困难时，常用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．必修五古典概型中我们就接触过概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，与本节的概率加法公式有什么区别和联系？提示：本节的概率加法公式是必修五概率加法公式的一个推广，它们有共同的前提是事件两两互斥；但必修五中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同，本节所述的事件发生的概率可以不相同，但事件间必须互斥．[例1](1)则至多2A．0.3B．0.43C ．0.57D ．0.27(2)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235 C.1735D ．1[解析] (1)记“没有人排队”为事件A ，“1人排队”为事件B ，“2人排队”为事件C ，A ，B ，C 彼此互斥．记“至多2人排队”为事件E .则P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.11＋0.16＋0.3＝0.57.(2)设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.[答案] (1)C (2)C运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆成几个互斥事件，但应考虑周全，不重不漏．1．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率．解：(1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000，故1张奖券的中奖概率约为611 000.[例2] 0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：(1)射中10环或7环的概率； (2)射中的环数低于7环的概率．[解] (1)设“射中10环”为事件A ，“射中7环”为事件B ，由于在这次射击中，事件A 与事件B 不可能同时发生，故事件A 与事件B 是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为A ∪B .∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.21＋0.28＝0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49.(2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环．但由于这些概率都未知，故不能直接求解．可考虑从反面入手．“低于7环”的反面是“大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件的方法处理．设“低于7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”．由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥．故P (E )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97， 从而P (E )＝1－P (E )＝1－0.97＝0.03. ∴射中的环数低于7环的概率为0.03.解决此类问题的规律是：(1)①必须分清事件A 、B 是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式；②所求事件必须是几个互斥事件的和．满足以上两点才能用P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(2)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．2．某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．解：这2人血型不同的情况有：1人A 型1人B 型；1人A 型1人AB 型；1人A 型1人O 型；1人B 型1人AB 型；1人B 型1人O 型；1人AB 型1人O 型．共6种情况，而其反面是血型相同，只有4种情况．法一：从36人中任选2人，共有C 236种选法，2人血型不同的概率为：P ＝C 112C 110C 236＋C 112C 18C 236＋C 112C 16C 236＋C 110C 18C 236＋C 110C 16C 236＋C 18C 16C 236＝3445.法二：由于“2人血型不同”与“2人血型相同”为对立事件，因而2人血型不同的概率为：P ＝1－C 212＋C 210＋C 28＋C 26C 236＝1－1145＝3445.随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．[尝试][巧思] 每个同学的生日月份都有12种可能，故9人的生日月份共有129个．至少有2个人的生日在同一月份，若正面求解则分类情况复杂，故可化为求其对立事件的概率．其对立事件为“所有人的出生月份都不同”有A 912种可能．[妙解] 总事件数为129个，至少两人在同一月份出生的对立事件是“所有人出生月份均不相同”，则其概率为1－A 912129≈1－0.0155＝0.9845≈0.985.答案：0.9851．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对解析：选A 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．2．在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( ) A.56 B.45 C.23D.12解析：选C 共90个数字，被2或3整除的数有45＋30－15＝60，故概率为6090＝23.3．从5张500元，3张800元，2张1 200元演唱会的门票中任取3张．则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( )A.14B.79120C.34D.2324解析：选C 3张中没有价格相同的取法有C 15C 13C 12＝30，则3张中至少有2张相同的概率为1－30C 310＝34. 4．从一批乒乓球产品中任选一个，如果其重量小于2.45 g 的概率是0.22，重量不小于2.50 g 的概率是0.20，那么重量在2.45 g ～2.50 g 范围内的概率是________．解析：重量在2.45 g ～2.50 g 范围内的概率是1－0.22－0.20＝0.58. 答案：0.585．同时抛掷两个均匀的正方体玩具(各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6)，则向上的一面数之积为偶数的概率为________．解析：向上的一面数之积为奇数，当且仅当两个正方体向上的一面的数都为奇数，其可能出现的结果数为C 13·C 13，因此向上的一面数之积为奇数的概率P ＝C 13·C 136×6＝14，从而向上的一面数之积为偶数的概率为：1－P ＝1－14＝34.答案：346．银行部门收费项目多，手续繁琐，营业网点少等是人们比较关心的问题，银行部门虽增加了部分自助存取款功能的ATM机，也简化了部分手续，但仍没有彻底扭转这种局面．经统计，在某银行营业大厅排队办理业务的人数及其概率如下：计算：(1)(2)至少11人但不超过40人排队的概率．解：记“有0～10人排队”、“有11～20人排队”、“有21～30人排队”、“有31～40人排队”、“至多20人排队”、“至少11人但不超过40人排队”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则A与B是互斥事件，事件B，C，D两两互斥，从而(1)P(E)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.27＝0.39；(2)P(F)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.30＋0.23＝0.80.一、选择题1．一箱产品中有正品4件、次品3件，从中任取2件，其中事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品．4组事件中是互斥事件的有()A．1组B．2组C．3组D．4组解析：选B对于①，恰有1件次品就是1件正品1件次品，与恰有2件都是次品显然互斥；对于②，至少有1件次品包括有1件次品和2件全是次品，两事件不互斥；对于③，至少有1件正品包括恰有1件正品和1件次品以及2件都是正品，与至少有1件次品显然不互斥；对于④，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是正品显然互斥．故是互斥事件的是①、④.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为()A．0.09 B．0.98C．0.97 D．0.96解析：选D 1－0.03－0.01＝0.96.3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( ) A ．60% B ．30% C ．10%D ．50%解析：选D “甲不输”事件是事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”的和事件，又事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”互斥．所以甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.4．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A.929B.1029C.1929D.2029解析：选D 既有男同学又有女同学的对立事件为全为男同学或女同学，全为男同学的概率为C 320C 330，全为女同学的概率C 310C 330，故所求事件概率为1－C 320C 330－C 310C 330＝2029.二、填空题5．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的命题序号是________．①A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件 ②B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件 ③A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件 ④A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件解析：由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．答案：④6．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.答案：0.97 0.037．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝715＋115＝815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－115＝1415.答案：81514158．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝4x，P(B)＝1y，则x＋y的最小值为________．解析：由题意，x>0，y>0，4x＋1y＝1.则x＋y＝(x＋y)·⎝⎛⎭⎫4x＋1y＝5＋⎝⎛⎭⎫4yx＋xy≥9，当且仅当x＝2y时等号成立，故x＋y的最小值为9.答案：9三、解答题9．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.10．袋中有12只小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解：从袋中任取一球，记事件A＝{摸得红球}，事件B＝{摸得黑球}，事件C＝{摸得黄球}，事件D＝{摸得绿球}，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝23.解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.所以得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率为14.。

有关概率的公式概率是描述事件发生可能性的一种数学概念。

它可以帮助我们预测和分析事件发生的可能性，而概率公式则是用来计算概率的数学公式。

首先，我们需要了解一些基本的概率概念。

在概率论中，事件的概率通常用P(A)来表示，其中A是一个事件。

概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。

在计算概率时，我们尝试使用一些公式和规则来辅助计算。

下面是一些常用的概率公式：1.加法法则：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)加法法则用于计算两个事件中至少一个事件发生的概率。

P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

2.乘法法则：P(A且B)=P(A)某P(B，A)乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。

P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

3.条件概率：P(A，B)=P(A且B)/P(B)条件概率用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

4.独立事件：如果两个事件A和B是相互独立的，那么P(A且B)=P(A)某P(B)。

5.贝叶斯定理：P(A，B)=(P(B，A)某P(A))/P(B)贝叶斯定理用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

6.全概率公式：P(B)=Σ(P(Ai)某P(B，Ai))全概率公式用于计算事件B的概率。

假设事件A1，A2，...，An是样本空间的一个划分（即这些事件互不相交且并集等于样本空间），P(Ai)表示事件Ai的概率，P(B，Ai)表示在事件Ai发生的条件下，事件B发生的概率。

概率加法原理
概率加法原理是概率论中的一个基本概念，用于计算多个事件的联合概率。

它的核心思想是，对于两个互斥事件A和B，它们的联合概率等于它们的概率之和。

假设有两个事件A和B，它们互斥，即A事件和B事件不能同时发生。

那么它们的联合概率就是指A事件或者B事件发生的概率。

根据概率加法原理，可以得到如下公式：
P(A∪B) = P(A) + P(B)
其中，P(A∪B)表示事件A或者事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

概率加法原理还可以进一步推广到多个事件的情况。

对于互斥的事件A₁、A₂、...、Aₙ，它们的联合概率可以表示为它们的概率之和：
P(A₁∪A₂∪...∪Aₙ) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(Aₙ)
需要注意的是，概率加法原理只适用于互斥事件，即事件之间的排斥性质决定了它们的联合概率。

如果事件之间存在重叠或相互关联，就不能直接使用概率加法原理计算联合概率，而需要借助其他概率论的方法。

概率的加法公式教案第一章：概率的加法公式简介1.1 概率的加法公式的概念引导学生回顾概率的基本概念，如事件、样本空间等。

介绍概率的加法公式：当有两个互斥的事件A和B时，事件A和B的概率之和等于事件A的概率加上事件B的概率。

1.2 概率的加法公式的证明通过具体的例子，解释概率的加法公式的推导过程。

使用集合论的方法，证明概率的加法公式。

第二章：两个互斥事件的概率加法2.1 两个互斥事件的定义解释互斥事件的含义：两个事件不可能发生。

举例说明互斥事件的性质。

2.2 两个互斥事件的概率加法公式推导两个互斥事件的概率加法公式：P(A ∪B) = P(A) + P(B)。

通过具体的例子，应用概率加法公式计算两个互斥事件的概率。

第三章：两个相互独立事件的概率加法3.1 相互独立事件的定义解释相互独立事件的含义：一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。

举例说明相互独立事件的性质。

3.2 两个相互独立事件的概率加法公式推导两个相互独立事件的概率加法公式：P(A ∪B) = P(A) + P(B) P(A ∩B)。

通过具体的例子，应用概率加法公式计算两个相互独立事件的概率。

第四章：概率的加法公式的应用4.1 计算复合事件的概率解释复合事件的含义：由多个简单事件组成的event。

利用概率的加法公式，计算复合事件的概率。

4.2 计算互斥事件和相互独立事件的概率引导学生运用概率的加法公式，解决实际问题。

提供一些练习题，让学生巩固概率的加法公式的应用。

第五章：概率的加法公式的拓展5.1 概率的加法公式的推广介绍概率的加法公式在多个事件的情况下的推广。

引导学生理解概率的加法公式在不同情境下的应用。

5.2 概率的加法公式与条件概率的关系解释条件概率的概念：在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

探讨概率的加法公式与条件概率之间的关系。

第六章：概率的加法公式与组合数学6.1 组合数学的基本概念介绍组合数学中的一些基本概念，如组合、排列等。

概率公式总结范文概率是概率论的核心概念之一，它描述的是事件发生的可能性大小。

概率公式是计算和推导概率的数学公式，它们给出了不同情况下概率的具体计算方法。

下面是一些常见的概率公式总结。

1.加法公式：加法公式适用于计算联合事件发生的概率，即两个事件中至少一个事件发生的概率。

加法公式可以分为两种情况：-互斥事件的加法公式：如果两个事件A和B是互斥的（即两个事件不可能同时发生），则它们的概率之和等于它们各自的概率之和。

P(A∪B)=P(A)+P(B)-非互斥事件的加法公式：如果两个事件A和B不是互斥的，则它们的概率之和等于它们总概率减去它们的交集概率。

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.乘法公式：乘法公式适用于计算复合事件发生的概率，即两个事件同时发生的概率。

乘法公式可以分为两种情况：-独立事件的乘法公式：如果两个事件A和B是独立的（即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生），则它们的概率乘积等于它们各自的概率之积。

P(A∩B)=P(A)*P(B)-非独立事件的乘法公式：如果两个事件A和B不是独立的，则它们的概率乘积等于事件A发生的条件概率乘以事件B发生的条件概率。

P(A∩B)=P(A)*P(B，A)3.条件概率公式：条件概率是指在已知另一个事件发生的情况下，其中一事件发生的概率。

条件概率公式可以表示为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B共同发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

4.贝叶斯公式：贝叶斯公式是一种基于条件概率的概率计算方法，用于根据已知的条件概率来推导逆向的概率。

贝叶斯公式可以表示为：P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

概率论的加法公式
摘要：
1.概率论的加法公式概述
2.加法公式的推导过程
3.加法公式的实际应用
4.结论
正文：
1.概率论的加法公式概述
概率论的加法公式是概率论中的一个基本公式，它用于计算两个事件同时发生的概率。

这个公式简单易懂，但在实际应用中具有广泛的应用价值。

2.加法公式的推导过程
为了更好地理解加法公式，我们先来了解一下概率论中的两个基本概念：互斥事件和独立事件。

互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，即事件A 和事件B 是互斥的当且仅当P(A∩B)=0。

独立事件指的是两个事件之间的发生不会互相影响，即事件A 和事件B 是独立的当且仅当P(A∩B)=P(A)P(B)。

加法公式正是从这两个概念中推导出来的。

当两个事件是独立的时候，我们可以用P(A)P(B) 来计算它们同时发生的概率。

而当两个事件是互斥的时候，由于它们不可能同时发生，所以同时发生的概率为0。

因此，我们可以得到如下的公式：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
这就是概率论中的加法公式。

3.加法公式的实际应用
加法公式在实际应用中有广泛的应用，例如在统计学、概率论、保险学等领域都有重要的作用。

例如，当我们需要计算一个人同时购买两种不同保险的概率时，就可以使用加法公式。

概率的加法公式范文一、定义P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∪B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B的交集发生的概率。

二、数学表达概率的加法公式可以通过一个简单的例子来解释。

假设有一个袋子里有10个红球和10个蓝球，从中随机抽取一个球。

事件A表示抽到红球，事件B表示抽到蓝球。

我们想要计算抽到红球或抽到蓝球的概率。

根据概率的加法公式，我们有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)因为事件A和事件B是互斥事件（即事件A和B不可能同时发生），所以它们的交集概率为0。

三、应用1.投掷一枚硬币，事件A表示正面朝上，事件B表示反面朝上。

根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)=1/2+1/2=1、因为硬币必定会正面或反面朝上，所以这两个事件的联合概率为12.商品的退货率为5%，其中1%是因为质量问题而退货，4%是因为其他原因而退货。

事件A表示退货，事件B表示退货原因是因为质量问题。

根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.05+0.01-0.01=0.05、因为退货率是5%，所以退货的概率为0.053.甲、乙、丙三个人分别参加了一场考试，考试合格率分别为50%，60%和70%。

事件A表示甲合格，事件B表示乙合格。

根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.5+0.6-0.3=0.8、因为甲和乙的合格率加起来大于1，所以两个人中至少有一个合格的概率为0.8概率的加法公式的应用不仅仅局限于以上几个例子，它可以帮助我们计算更复杂的事件概率。

在进行概率计算时，我们可以利用概率的加法公式将问题拆解成多个简单事件，然后分别计算每个事件的概率，最后再进行求和运算，得到所求的概率。

因此，熟练掌握和灵活运用概率的加法公式对于理解和解决概率问题非常重要。

概率基础计算公式概率基础计算公式1.加法公式:P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)2.求逆公式：P ( A ˉ ) = 1 − P ( A ) P(\bar{A})=1-P(A) P(Aˉ)=1−P(A)3.求差公式：P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)4.乘法公式：P ( A B ) = P ( A ) ⋅P ( A ∣B ) = P ( B ) ⋅P ( B ∣A ) P(AB)=P(A)\cdot P(A|B)=P(B)\cdot P(B|A) P(AB)=P(A)⋅P(A∣B)=P(B)⋅P(B∣A)5.全概率公式：设 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An两两互不相容，且所有的 A i A_i Ai并起来为Ω Ω Ω，则称 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An构成一个完备事件组，若P ( A i ) > 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , P(A_i)>0,i=1,2,...,n, P(Ai )>0,i=1,2,...,n,则有如下全概率公式：P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) ⋅ P ( B ∣ A i ) P(B)=\displaystyle \sum^{n}_{i=1}{P(A_i) \cdot P(B|A_i)} P(B)=i=1∑n P(Ai)⋅P(B∣Ai)6.贝叶斯公式（逆概率公式）：设 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An构成一个完备事件组，且P ( A i ) > 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , P(A_i)>0,i=1,2,...,n, P(Ai)>0,i=1,2,...,n,则当P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0时，有如下贝叶斯公式：P ( A k ∣ B ) = P ( A k ) ⋅ P ( B ∣ A k ) ∑ i = 1 n P ( A i ) ⋅ P ( B ∣ A i ) , k = 1 , 2 , . . . , n . P(A_k|B)=\displaystyle {\frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{\sum^{n}_{i=1}{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}}},k=1,2,...,n. P(Ak∣B)=∑i=1n P(Ai)⋅P(B∣Ai)P(Ak)⋅P(B∣Ak),k=1,2,...,n.7.n重伯努利试验：(1)若独立试验序列每次试验的结果只有两个，即A 与A ˉ A与\bar{A} A与Aˉ，记 P ( A ) = p P(A)=p P(A)=p，则n次试验中事件A发生 k k k次的概率为:P n ( A = k ) = P n ( k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . . , n . P_n(A=k)=P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^n-k,k=0,1,2,...,n. Pn(A=k)=Pn(k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,...,n.(2)独立重复地进行伯努利试验，直到第 k k k次试验时A才首次发生的概率为：P k = ( 1 − p ) k − 1 p , k = 1 , 2 , . . . , n . P_k=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,...,n. Pk=(1−p)k−1p,k=1,2,...,n.。

第3讲概率的加法公式与乘法公式概率是描述事件发生的可能性的数学工具。

在概率论中，加法公式和乘法公式是两个基本的公式，用于计算复杂事件的概率。

1.加法公式加法公式简要地描述了两个事件同时发生的概率。

设A和B是两个事件，那么它们同时发生的概率为P(A∪B)，即事件A和事件B至少发生一个的概率。

加法公式可以用以下公式来表示：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B单独发生的概率。

可以看出，加法公式的基本思想是将两个事件单独发生的概率相加，然后减去它们同时发生的概率。

举个例子来说明加法公式的应用：假设一个班级有40个学生，其中30个学生喜欢篮球，20个学生喜欢足球。

问这些学生中至少有一项运动爱好的概率是多少？解：根据加法公式，这个问题可以转化为计算P(篮球∪足球)，即至少有一项运动爱好。

根据已知信息，P(篮球)=30/40，P(足球)=20/40。

同时，我们可以假设P(篮球∩足球)=x，即同时喜欢篮球和足球的学生数目为x。

根据加法公式，P(篮球∪足球)=P(篮球)+P(足球)-P(篮球∩足球)。

带入已知信息，我们有：P(篮球∪足球)=30/40+20/40-x由于问题中明确提到了这个班级共有40个学生，且每个学生只能属于篮球运动和足球运动中的一个或者两个，所以可以得到：x=30+20-40=10将x=10带回到公式中，我们可以计算出P(篮球∪足球)=30/40+20/40-10/40=40/40=1，即这些学生中至少有一项运动爱好的概率为1，也就是100%。

2.乘法公式乘法公式描述的是两个事件同时发生的概率。

设A和B是两个事件，那么它们同时发生的概率为P(A∩B)。

乘法公式可以用以下公式来表示：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。

第八章随机试验+概率的加法公式一、学习目标：1.掌握互斥事件和对立事件的概率及互斥事件的教法公式；2.灵活应用概率公式解决一些问题。

二、学习重、难点：1.学习重点：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的加法公式；2.学习难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。

三、新课过程1．随机对照试验随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则，随机对照试验是指随机选取试验组和对照组的试验．我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂．2．概率的加法公式如果Ω的事件A1，A2，…，A m两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪A m)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A m)．我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是事件两两互斥．四、课堂探究1．概率的可加性的前提是事件两两互斥，互斥与对立有什么异同？提示：对立事件是互斥事件的一种特殊情况，互斥不一定对立，对立一定互斥．当计算事件A的概率P(A)比较复杂，困难时，常用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．必修五古典概型中我们就接触过概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，与本节的概率加法公式有什么区别和联系？提示：本节的概率加法公式是必修中概率加法公式的一个推广，它们有共同的前提是事件两两互斥；但必修中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同，本节所述的事件发生的概率可以不相同，但事件间必须互斥．五、课堂精讲：类型一、互斥事件的概率[例1] (1)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：A ．0.3B ．0.43C ．0.57D ．0.27[解析] 例(1)记“没有人排队”为事件A ，“1人排队”为事件B ，“2人排队”为事件C ，A ，B ，C 彼此互斥．记“至多2人排队”为事件E .则P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.11＋0.16＋0.3＝0.57.变式1：围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735 D ．1 [解析]变式1：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ， “从中取出2粒都是白子”为事件B ， “任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ， 则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥． 所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.[答案] (1)C (2)C运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆成几个互斥事件，但应考虑周全，不重不漏．类型二、对立事件的概率[例2] 一名射手在某次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)射中的环数低于7环的概率． [解] (1)设“射中10环”为事件A ， “射中7环”为事件B ， 由于在这次射击中，事件A 与事件B 不可能同时发生， 故事件A 与事件B 是互斥事件， “射中10环或7环”的事件为A ∪B . ∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.21＋0.28＝0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49.(2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况： 射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环． 但由于这些概率都未知，故不能直接求解． 可考虑从反面入手．“低于7环”的反面是“大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生， 故是对立事件，故可用对立事件的方法处理． 设“低于7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”．由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥． 故P (E )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97， 从而P (E )＝1－P (E )＝1－0.97＝0.03. ∴射中的环数低于7环的概率为0.03.解决此类问题的规律是：(1)①必须分清事件A 、B 是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式；②所求事件必须是几个互斥事件的和．满足以上两点才能用P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(2)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．变式训练2．某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．解：这2人血型不同的情况有：1人A 型1人B 型；1人A 型1人AB 型； 1人A 型1人O 型；1人B 型1人AB 型；1人B 型1人O 型；1人AB 型1人O 型．共6种情况。

概率运算基本公式
概率运算基本公式包括：
1. 加法规则：对于两个事件A和B，其概率之和等于它们的联合概率加上它们的交集概率的补集。

即：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

2. 乘法规则：对于两个独立事件A和B，其概率之积等于它们各自的概率。

即：P(A∩B) = P(A) × P(B)。

3. 条件概率：对于事件A和B，已知事件B发生的条件下，事件A 发生的概率为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

4. 全概率公式：对于一系列互不相容的事件B1, B2, ..., Bn，它们的并集等于样本空间S，对任意事件A，有P(A) = P(A|B1)×P(B1) + P(A|B2)×P(B2) + ... + P(A|Bn)×P(Bn)。

5. 贝叶斯公式：对于一系列互不相容的事件B1, B2, ..., Bn，已知事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率为P(Bi|A) = P(A|Bi)×P(Bi) / P(A)。

概率的加法与乘法定理概率是数学中一门重要的分支，它用于描述事件发生的可能性。

在概率理论中，有两个基本的定理被广泛应用，它们被称为概率的加法与乘法定理。

这两个定理能够帮助我们计算复杂事件的概率，使我们能够更好地理解和应用概率规则。

一、概率的加法定理概率的加法定理用于计算两个或多个事件的概率之和。

它的形式可以表示为：对于两个事件A和B，事件A和B的并集的概率等于事件A的概率加上事件B的概率减去事件A和B的交集的概率。

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A)表示事件A的概率，P(B)表示事件B的概率，P(A∩B)表示事件A和B的交集的概率。

例如，假设我们有一个扑克牌的标准牌组，其中有52张牌。

我们希望计算抽到一张红心牌或一张黑桃牌的概率。

我们可以将事件A定义为抽到一张红心牌的概率，事件B定义为抽到一张黑桃牌的概率。

根据概率的加法定理，我们可以计算出：P(红心或黑桃) = P(红心) + P(黑桃) - P(红心和黑桃)= 26/52 + 26/52 - 0= 1/2 + 1/2= 1因此，抽到一张红心牌或一张黑桃牌的概率为1，即100%。

二、概率的乘法定理概率的乘法定理用于计算两个或多个独立事件同时发生的概率。

对于两个独立事件A和B，事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

P(A∩B) = P(A) * P(B)其中，P(A)表示事件A的概率，P(B)表示事件B的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。

举个例子，假设我们投掷一枚骰子，并且我们想要计算同时出现2和4的概率。

我们可以将事件A定义为出现2的概率，事件B定义为出现4的概率。

由于投掷一枚骰子是一个独立事件，根据概率的乘法定理，我们可以计算出：P(同时出现2和4) = P(出现2) * P(出现4)= 1/6 * 1/6= 1/36因此，同时出现2和4的概率为1/36。

通过概率的加法与乘法定理，我们可以更好地理解和计算事件的概率。

概率的积运算公式五大公式包括减法公式、加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。

1、减法公式，P(A-B)=P(A)-P(AB)。

此公式来自事件关系中的差事件，再结合概率的可列可加性总结出的公式。

2、加法公式，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

此公式来自于事件关系中的和事件，同样结合概率的可列可加性总结出来。

学生还应掌握三个事件相加的加法公式。

以上两个公式，在应用当中，有时要结合文氏图来解释会更清楚明白，同时这两个公式在考试中，更多的会出现在填空题当中。

所以记住公式的形式是基本要求。

3、乘法公式，是由条件概率公式变形得到，考试中较多的出现在计算题中。

在复习过程中，部分同学分不清楚什么时候用条件概率来求，什么时候用积事件概率来求。

比如“第一次抽到红球，第二次抽到黑球”时，因为第一次抽到红球也是未知事件，所以要考虑它的概率，这时候用积事件概率来求;如果“在第一次抽到红球已知的情况下，第二次抽到黑球的概率”，这时候因为已知抽到了红球，它已经是一个确定的事实，所以这时候不用考虑抽红球的概率，直接用条件概率，求第二次取到黑球的概率即可。

4、全概率公式5、贝叶斯公式以上两个公式是五大公式极为重要的两个公式。

结合起来学习比较容易理解。

首先，这两个公式首先背景是相同的，即，完成一件事情在逻辑或时间上是需要两个步骤的，通常把第一个步骤称为原因。

其次，如果是“由因求果”的问题用全概率公式;是“由果求因”的问题用贝叶斯公式。

例如;买零件，一个零件是由A、B、C三个厂家生产的，分别次品率是a%，b%，c%，现在求买到次品的概率时，就要用全概率公式;若已知买到次品了，问是A厂生产的概率，这就要用贝叶斯公式了。

这样我们首先分清楚了什么时候用这两个公式。