04-微分

u vdu − udv (v ≠ 0). (3) d = 2 v v
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三、微分的运算
基本初等函数的微分公式
d (C ) = 0 d (sin x ) = cos xdx d ( x µ ) = µx µ − 1 dx d (cos x ) = − sin xdx
d (tan x ) = sec 2 xdx d (cot x ) = − csc 2 xdx d (sec x ) = sec x tan xdx d (csc x ) = − csc x cot xdx
d ( a x ) = a x ln adx 1 d (log a x ) = dx x ln a 1 d (arcsin x ) = dx 2 1− x 1 d (arctan x ) = 2 dx 1+ x d ( e x ) = e x dx 1 d (ln x ) = dx x 1 d (arccos x ) = − dx 2 1− x 1 d ( arc cot x ) = − 2 dx 1+ x
∵ lim dy = lim f ′( x 0 )( x − x 0 ) = 0. x→ x x→ x
0 0
( b ). 从 几 何 意 义 上 来 看 , f ′ ( x 0 ) 是 曲 线 y = f ( x ) 在 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处 切 线 的 斜 率 , 而 微 分 d y = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 是 曲 线 y = f ( x ) 在 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处 的 切 线 方 程 在 点 x0 的 纵 坐 标 增 量 .
d 2 y = d(dy ) = d ( f ′( x )ϕ ′(t )dt ) = d ( f ′( x)ϕ ′(t ))dt
= [( f ′′( x )ϕ ′ 2 (t ) + f ′( x )ϕ ′′(t )) d t ]d t
= f ′′( x)dx 2 + f ′( x)d 2 x
其中, d 2 x = ϕ ′′(t )dt 2 , dx 2 = (dx)2 = (ϕ '(t )dt )2 = ϕ ′2 (t )dt 2 .
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二、 微分的几何意义
微分三角形
y
dy
近似公式
f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )∆x
P 0
y = f (x)
α
o
x0
x0 + ∆x
x
函数y = f (x)在点 x 处的微分在几何上表示为: 相应于自变量 x 的改变量 ∆x, 曲线 y = f (x)在点P(x, y) 的切线上纵坐标的改变量.
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一、 微分的概念
定理: 定理 f (x)在点x0可微⇔ f (x)在x0可导, 且 A=f ′(x0). 也就是说, f (x) , (x)在点x0处可微性与可导性是 x 等价的, 且 f (x)可微, 则 dy = f ′(x0)∆x
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一、 微分的概念
例1. y=x, 求dy. 解 : d y = ( x ) ′ ∆x = 1 ⋅ ∆x = ∆x 由于 y=x, 所以 dy = dx = ∆x
2
2 ∴ ∆ A = ( x 0 + ∆x ) 2 − x 0
∆x
= 2 x 0 ⋅ ∆ x + ( ∆x ) 2 .
(1) (2)
x0∆x x0
(1) : ∆x的 性 数 且 ∆A 主 部 ; 线 函 , 为 的 要 分 (2) : ∆x的高阶无穷小当∆x 很小时可忽略 , .
一、 微分的概念
再例如, 再例如 设函数 y = x 3 在点 x 0处的改变量
(作为商来看)
例4. 解:
dy 设 x = y − 4 y, 求 . dx dy 1 = ∵ dx = (2 y − 4)dy ∴ dx 2 y − 4
2
( y ≠ 2)
四、微分的应用
例 5： 求
3
1 .0 2的 近 似 值 。
3
解：设 f ( x ) =
x , x = 1, ∆ x = 0 . 02
一、 微分的概念
（2）联系 ）
若y = f (x)在点x0处有(有限)导数，则
∆y f ' ( x 0 ) = lim ∆x → 0 ∆ x
∆y = f '( x0 ) + o(1) ∆x
∆y = f ′( x0 )∆x + o(∆x)
∆y ≈ f ′(x0) ∆x
6
一、 微分的概念
反之, 若在 x0 点处y =f (x)的增量∆y可以表示 为 一个线性函数与一个高级无穷小量之和的形式 ∆y =A∆x +o(∆x) ∆x→0
3
f ( x + ∆x) ≈ f ( x) + f ' ( x)∆x =
x +
1 33 x 2
∆x
∴ 1 . 02 ≈
3
3
1+
1 33 1
× 0 . 02 ≈ 1 . 0067 .
五、二阶微分
类似于二阶导数的做法可以定义函数的二阶 微分. 1. 设函数y =f (x)二阶可导, 当x为自变量时, 其二阶 微分为 d 2 y = d (dy ) = d ( f ′( x ) dx ) = d ( f ′( x )) dx
那么, 我们自然要问A = ?
∵ ∆y o ( ∆x ) = A+ ∆x ∆x
∆y ∴ A = lim = f ′( x0 ). ∆x →0 ∆x
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一、 微分的概念
就是说, 在点x0 处用关于自变量的增量∆x的线 性函数代替函数的增量∆y时, 其关系式一定是 ∆y = f ′(x0)∆x +o(∆x), 我们称f ′(x0)∆x (或 A∆x)为 函数在点x0处增量的线性主部, 通常将它记为dy = f ′(x0)∆x (dy =A∆x).
一、 微分的概念
2. 微分的概念 设y =f (x)在N(x0)有定义, 给x0以增量∆x, x0+∆x ∈ N(x0).如果函数相应的增量可表示为 ∆y =A∆x + o(∆x) 则称∆y的线性主部为f (x)在点x0处的微分, 记为 dy =A∆x, 其中, A叫微分系数. 此时, 称f (x)在点 x0处可微.
该例说明: 自变量的增量就是自变量的微分. 函数的微分可以写成: dy = f ′(x)dx 或 d f (x) = f ′(x)dx
一、 微分的概念
dy 当 dy = f ′(x)dx, 有 f ′ ( x ) = , 即函数 f (x) dx
在点x处的导数等于函数的微分 dy 与自变量的 微分 dx 的商, 故导数也可称为微商.
4
一、 微分的概念
3. 可微与可导的关系
（1）区别 ）区别:
( a ). 函 数 f ( x ) 在点 x0 处 的导 数是 一个 定数 f ′( x0 ), 而微 分 dy = f ′( x0 )( x − x0 ) 是 x − x0的线 性函 数 , 它 的 定义 域是 R , 实际 上 , 它是 无穷 小.
三、微分的运算
2. 一阶微分形式不变性 (复合函数微分法则 复合函数微分法则) 复合函数微分法则 可构成复合函数y 设 y =f (u), u=ϕ (x)可构成复合函数 =f (ϕ (x)). 可构成复合函数 若u=ϕ (x)在点 x0处可微 而y =f (u)在相应点 0=ϕ (x0) 在相应点u 在点 处可微, 在相应点 处可微, 有定义, 处可微 在f (ϕ (x))在U(x0)有定义 则y =f (ϕ (x))在点 在 有定义 在点 x0 处可微. 处可微
三、微分的运算
1. 微分的基本公式 可微性⇐⇒可导性, 故微分的基本公式与导 数的基本公式相似. .
定理（微分的四则运算法则） 均可微， 定理（微分的四则运算法则）设 u( x), v( x) 均可微，则 (1) d (u ± v) = du ± dv; (2) d (uv) = vdu + udv;
§2.4 微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算 四、微分的应用 五、二阶微分
一、 微分的概念
1、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
(∆x)2
设边长由 x 0 变到x 0 + ∆x ,
x0
x0∆x
A= x0 = 2
∆x
∵ 正方形面积 A = x0 ,
三、微分的运算
按微分的定义 dy dy= d x = ( f (ϕ ( x)))′ d x = f ′(ϕ ( x))ϕ ′( x ) d x dx 但 du = ϕ ′(x)dx, 故 dy =f ′(u)ϕ ′(x)dx = f ′(u)du (u为中间变量) 我们发现y =f (u), 当u为中间变量时的微分 形式与u为自变量时的微分的形式相同, 均为 dy =f ′(u)du, 这种性质称为函数的一阶微分形式 不变性.
= f ′′( x ) dx 2
由此看出, 当x为自变量时, 类似可定义n阶微分:
d2y f ′′ ( x ) = dx 2
d n y = f ( n ) ( x ) dx n
dn y (有f ( n ) ( x) = n ) dx
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五、二阶微分
2. 设函数y =f (x), x =ϕ (t)都具有相应的可微性, 且可构成复合函数 y =f (ϕ (t)), 则
、微分的运算
例2. 求y=x3在x=2处的微分, 以及当∆x=0.1时 在x=2处的微分. 解: 故
d y = ( x 3 ) ′d x = 3 x 2 d x
dy