系统微分方程的(精)

微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。

一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。

二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。

对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：pxdxq(x)e pxdxye dxC齐次型微分方程yyf()y x令u u与自变量x的变量可分离的微分方程。

，则方程化为关于未知数x三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）y f(x)，直接积分；（2）y f(x,y)，令y p，（3）y f(y,y)，令y p，则y dp pdy这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。

2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程2p q0求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点f(x)e x P m(x)和f(x)e axP l(~xx)cosxp n(x)sin设置特解y的形式，然后使用待定系数法。

四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。

一、疑难解析（一）一阶微分方程1．关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如f1(x)g1(y)dxf2(x)g2(y)dy0（1）的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若f2(x)g1(y) 0，则方程（1）可化为变量已分离的方程g2(y)dy f1(x)dxg1(y)f2(x)两端积分，即得（1）的通解：G(y)F(x)C（2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为y sin(x c)，但显然y1也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。

最新《控制⼯程基础》习题集及答案《控制⼯程基础》习题集及答案第⼀部分：单选题1.⾃动控制系统的反馈环节中必须具有[ b ] a.给定元件 b ．检测元件 c ．放⼤元件 d ．执⾏元件2. 在直流电动机的电枢回路中，以电流为输出，电压为输⼊，两者之间的传递函数是[ a ] a ．⽐例环节 b ．积分环节 c ．惯性环节 d ．微分环节3. 如果系统不稳定，则系统 [ a ] a.不能⼯作 b ．可以⼯作，但稳态误差很⼤ c ．可以⼯作，但过渡过程时间很长 d ．可以正常⼯作4. 在转速、电流双闭环调速系统中，速度调节器通常采⽤[ B ]调节器。

a ．⽐例b ．⽐例积分c ．⽐例微分d ．⽐例积分微分5.单位阶跃函数1(t)的拉⽒变换式L[1(t)]为[ B ]： a ．S b. S1 c.21Sd. S 26. 在直流电动机的电枢回路中，以电流为输出，电压为输⼊，两者之间的传递函数是[ A ] A ．⽐例环节 B ．积分环节 C ．惯性环节 D ．微分环节7．如果系统不稳定，则系统 [ A ]A. 不能⼯作 B．可以⼯作，但稳态误差很⼤C．可以⼯作，但过渡过程时间很长 D．可以正常⼯作8. 已知串联校正⽹络(最⼩相位环节)的渐近对数幅频特性如下图所⽰。

试判断该环节的相位特性是[ A ]：A．相位超前B．相位滞后[ B ]调节器。

A．⽐例 B．⽐例积分C．⽐例微分 D．⽐例积分微分10. 已知某环节的幅相频率特性曲线如下图所⽰，试判定它是何种环A．相位超前 B. 相位滞后C. 相位滞后－超前D. 相位超前－滞后 12. 开环增益K 增加，系统的稳定性（ c ）：A ．变好 B. 变坏 C. 不变 D. 不⼀定 13. 开环传递函数的积分环节v 增加，系统的稳定性（）：A ．变好 B. 变坏 C. 不变 D. 不⼀定 14. 已知 f(t)=0.5t+1，其L[f(t)]=( c ): A ．S+0.5S 2 B. 0.5S 2 C. S S1212D. S 2115.⾃动控制系统的反馈环节中必须具有（ b ）：A.给定元件 B ．检测元件 C ．放⼤元件 D ．执⾏元件16.PD 调节器是⼀种（ a ）校正装置。

系统微分方程的解系统的全响应一、线性系统微分方程线性的证明线性系统必须同时满足齐次性与叠加性。

所以，要证明线性系统的微分方程是否是线性的，就必须证明它是否同时满足齐次性与叠加性。

线性系统微分方程的一般形式是(2-5)设该方程对输入f1(t)的解是y1(t)，则有(2-6)设该方程对输入f2(t)的解是y2(t)，则有(2-7)给式(2-6)等号两端同乘以任意常数A1，给式(2-7)等号两端同乘以任意常数A2，则有将此两式相加即有这就是说，若f1(t) y1(t), f2(t) y2(t) 则A1f1(t)+A2f2(t) A1y1(t)+A2y2(t)，即式(2-5)所描述的系统是线性的。

二、系统微分方程的解——系统的全响应求系统微分方程的解，实际上就是求系统的全响应y(t)。

系统微分方程的解就是系统的全响应y(t)。

线性系统的全响应y(t)，可分解为零输入响应yx(t)与零状态响应yf(t)的叠加，即。

下面证明此结论。

在图2-2中，若激励f(t)=0，但系统的初始条件不等于零，此时系统的响应即为零输入响应yx(t)，如图2-4(a)所示。

根据式(2-5)可写出此时系统的微分方程为:(2-8)在图2-2中，若激励，但系统的初始条件等于零(即为零状态系统)，此时系统的响应即为零状态响应yf(t)，如图2-4(b)所示。

根据式(2-5)可写出此时系统的微分方程为(2-9)将式(2-8)与式(2-9)相加得即式中可见确是系统微分方程(2-5)的解。

这个结论提供了求系统全响应y(t)的途径和方法，即先分别求出零输入响应yx(t)与零状态响应yf(t)，然后再将yx(t)与yf(t)叠加，即得系统的全响应y(t)，即。

这种方法称为零输入零状态法。

第二章 微分方程本章学习目的：本章的主要目的在于：学习微分方程模型的建立、求解方法、分析结果及解决实际问题的全过程。

1．知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法；2．理解求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想；3．熟练掌握使用MATLAB 软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解；4．通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。

§2.1 引例 在《大学物理》中，我们曾学习过简谐振动（如：弹簧振子、单摆）0222=+x dtx d ω，那就是一个典型的二阶常微分方程的模型。

这里我们讨论“倒葫芦形状容 器壁上的刻度问题”。

对于圆柱形状容器壁上的容积刻度，可以利用圆柱体体积公式：4/2H D V π=，其中容器的直径D 为常数，体积V 与相对于容器底部的任意高度H 成正比，因此在容器壁上可以方便地标出容积刻度。

而对于几何形状不规则的容器，比如“倒葫芦形状”的容器壁上如何标出容积刻度呢？如图所示，建立坐标系，由微元法分析可知：dx x D dV 2)(41π=，其中x 表示高度，直径是高度的函数，记为D （x ）。

可得微分方程：0)0()(412==V x D dx dV π如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？h=0.2;d=[0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17];x(1)=0;v(1)=0;for k=1:5x(k+1)=x(k)+h;v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)^2+d(k+1)^2);endx=x(1:6),v=v(1:6),plot(x,v)x =Columns 1 through 50 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 Column 61.0000v =Columns 1 through 50 0.0011 0.0073 0.0373 0.1469 Column 60.3393§2.2 微分方程模型的建立在工程实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化，关键词“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”等常涉及到导数。