控制系统的微分方程
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控制系统的微分方程
J
d
dt
m
mc
整理得
La J CeCm
d 2 dt 2
Ra J CeCm
d dt
ua Ce
La CeCm
dmc dt
Ra mc CeCm
TaTm
d 2 dt 2
Tm
d dt
Kuua
Km (Ta
dmc dt
mc )
其中Ta
La Ra
和
Tm
Ra J CeCm
电机通电后产生转矩
Ce称为电动机电势常数
m K2ia K2K f i f ia Cmia
Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程
Wednesday, June 26,
J
d
dt
m
mc
2019
10
控制系统的微分方程
La
di dt
Rai
ea
ua
ea Ce
m Cmia
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传W递edn系esd数ay, 。Jun这e 26里, 已略去摩擦力和扭转弹性力。
2019
11
相似系统和相似量
[需要讨论的几个问题]：
1、相似系统和相似量：
我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。
Ra La
if
i ua
ea
M
ω
这里输入是电枢电压ua和等效到电机
2.1 控制系统的微分方程
西安航空职业技术学院 自动化工程学院
《自动控制技术及应用》电子课件
2.1.1 微分方程的建立
解:（1）确定系统的输入变量和输出变量. 输入变量----外力F（t）， 输出变量----位移y（t） （2）建立初始微分方程组. 根据牛顿第二定律可得∑F=ma 合外力 ∑F=F-F1(t)-F2(t) 2 d 加速度 a= y2(t )
2.1.2
拉斯变换与拉斯反变换
3 拉斯变换的基本定理
（4） 积分定理
设 L f (t ) F (s)
F (s) 则 L f（t )dt s （5）初值定理
设 L f (t ) F (s) 则 lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
西安航空职业技术学院 自动化工程学院
西安航空职业技术学院 自动化工程学院
《自动控制技术及应用》电子课件
2.1.2
拉斯变换与拉斯反变换
f(t) 1
【例2-3】 求单位阶跃函数的拉斯变换
解：单位阶跃函数
0
f (t )
t<0
0 t
1 t≥0
0
L f (t ) F ( s)
1 1 e dt s
st
图2-4 单位阶跃信号
在经典控制理论中，控制系统的数学模型有
多种，常用的有微分方程、传递函数、动态
结构图等.
对线性定常系统，微分方程是最基本的数学 模型，最常用的数学模型是在此基础上转换 来的传递函数和动态结构图。
西安航空职业技术学院 自动化工程学院
《自动控制技术及应用》电子课件
2.1 控制系统的微分方程
列写微分方程，目的在于确定输出量与
第2章-1-微分方程
K
eo
eo
ei
e
i1 i2 i3
i1 ui u R1
u u 0
d(u uo ) i2 C dt
i3
u uo R2
有源网络的微分方程为
C
duo uo ui dt R2 R1
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
电枢
1．直流电动机，控制电压
Ce (t ) ua (t )
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
La Ra
磁场控制式直流 电动机微分方程为
Rf
转动惯量 J 摩擦系数 f
激磁电流 负载
d 2 (t ) d (t ) Lf J Lf f Rf J R f f (t ) kmu f (t ) 2 dt dt dM c (t ) Lf R f M c (t ) dt
自 动 控 制 原 理
第2章 自动控制系统的数学模型
2.1 控制系统的微分方程
2.2 控制系统的传递函数
2.3 方块图
2.4 控制系统的信号流图
数学模型：系统的输入/输出时间函数描述
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以
对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简 化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是
V
H
M
x
P M
自 动 控 制 原 理
2.1.1 机械系统
• 简化物理模型 • 列写控制系统各部分的微分方程 • 在平衡点附近线性化 各部分的微分方程：
I V sin H cos
d2 m 2 ( x sin ) H dt
控制系统的微分方程
解：
L
di(t) dt
Ri(t)
1 C
i(t)dt
ui(t)
u 1 o(t ) C i(t )dt
消去中间变量 i(t) 得到微分方程：
LC
d 2 uo(t) dt 2
RC
duo(t) dt
uo(t)
ui(t)
例2: 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输 入量为外力F，输出量为位移x。
量,根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程； 3.消去中间变量，求出系统的微分方程。 标准式：方程式左边列写与输出量有关的量。
方程式右边列写与输入量有关的量。
例3：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
ug ue+ u1
-
功率
+
u u 2 放大器 a
Mc
负载
uf
测速发电机
[解]：⑴该系统的组成和原理；
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果 描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为
线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，
即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的 系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典 控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应中， 除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一 般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近 用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。
则将函数在该点展开为泰勒级
数，得：y
df (x) f (x0 ) dx |xx0
(x x0 )
y0 y0
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
控制系统微分方程的建立
一、典型元件系统微分方程的建立
1． 电学系统 电学系统中，所需遵循的是元件约束和网络约束，元件约束指电阻、电容、电感等器件
的电压——电流关系遵循广义欧姆定律，网络约束指基尔霍夫电压定律和电流定律。
例 2-1 RLC 无源网络如图 2-1 所示，图中 R、L、C 分别为电阻(Ω)、电感(H)、电容(F)；
5
(2-17) (2-18)
(2-19） (2-20) (2-21)
K m ——电动机传递系数(rad／s·V)。
由式(2-21)可见，电枢控制他励直流电动机的动态方程是一个二阶线性常微分方程。如 果以转速ω(rad·s-1)为输出，则为一阶线性常微分方程，即
Tm
dω dt
+ω
=
Kmua
(2-22)
fm
dθm (t) +
dt
ML
式中：
J m ——电枢转动惯量( N ⋅ m ⋅ s 2 / rad );
( ) f m ——电动机轴上的粘性摩擦系数 N ⋅ m / rad ⋅ s −1 ；
M L ——负载力矩 (N ⋅ m)
将式(2-17)和(2-18)代入式(2-16)中，消除中间变量 ia (t )、Eb和M m ，可得
(2-9)
于是有：
ω2
=
Z1 Z2
ω1
(2-10)
M1
=
Z1 Z2
M2
(2-11)
根据力学中定轴转动的转动定律，可分别写出齿轮 1 和齿轮 2 的运动方程：
J1
dω1 dt
+
f1ω1
+ M1
=
Mm
J2
dω 2 dt
+
控制系统的微分方程 传递函数
C(s)
s(s2
1 4s
5)
(s
4)c(0) s2 4s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c '(0) 5
零状态 响应
1 5
1 s
4(s 2) (s 2)2 1
(s
13 2)2
1
查表
c(t)
1 5
1(t)
4e2t
cos
t
13e2t
sin
t
零输入 响应
练习
三、线性微分方程式的求解
拉氏变换法求解微分方程：
时间函数 f (t) 的拉氏变换记作
F (s) L[ f (t)] f (t)est dt 0
拉氏变换
线性微分方程
代数方程
（时域ｔ）
（复数域ｓ）
微分方程的解
代数方程的解
（时域ｔ） 拉氏反变换 （复数域ｓ）
f (t) L1[F (s)]
复习拉普拉斯变换
常用的拉氏变换性质： 微分定理： 设f(t)的拉氏变换为F(s),则 初值定理：
终值定理： 若 存在，则
F位(s移)的已定所知理F有：(s极)，点如均何知位道于fs(的) 左存在半与平否面？（？包？ 括原点）。 复位移定理：
3、拉氏反变换 F (s) f (t) f (t) L1[F (s)]
nm
K0 — 放大系数
s = p1 , p2 ··· , pn — 传递函数的极点
s = z1 , z2 ··· , zm — 传递函数的零点
在复平面上表示传递函数的零点和极点的图形，
称为传递函数的零极点分布图。
控制系统的微分方程
控制系统的微分方程数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。
描述各变量动态关系的表达式称为动态数学模型，常用的动态模型为微分方程。
建立数学模型的方法分为解析法和实验法。
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
建立微分方程的步骤：1、分析各元件的工作原理，明确输入、输出量；2、按照信号的传递顺序，列写各变量的动态关系式；3、化简（线性化、消去中间变量），写出输入、输出变量间的数学表达式。
例：RLC 无源网络如图所示，图中R 、L 、C 分别为电阻（Ω）、电感（H)、电容（F);建立输入电压u r (V)和输出电压u c (V)之间的动态方程。
解由基尔霍夫定律得:()1()()()r di t u t Ri t L i t dt dt C=++⎰1()()c C u t i t dt=⎰消去中间变量i (t ),可得:222()d ()2()()c c c rd u t u t T T u t u t dt dt ζ++=22()()()()c c c rd u t du t LC RC u t u t dt dt ++=令，则微分方程为：2,2LC T RC T ζ==式中：T 称为时间常数，单位为s,称为阻尼比，无量纲。
ζ例设有一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力F 作用于系统时，系统将产生运动。
建立外力F 与质量块位移y (t )之间的动态方程。
其中弹簧的弹性系数为k ，阻尼器的阻尼系数为f ，质量块的质量为m 。
解对质量块进行受力分析，作用在质量块上的力有：外力: F 弹簧恢复力:Ky(t)阻尼力:()dy t f dt由牛顿第二定律得:22()()()d y t dy t m F f Ky t dt dt =−−22()()()d y t dy t m f Ky t Fdt dt ++=222()()2()d y t dy t T T y t kFdt dt ζ++=令，，/T m K =2/T f K ζ=1/k K =/2f mKζ=则微分方程可以写为该方程描述了由质量块、弹簧和阻尼器组成系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。
2-4 第四节 控制系统的微分方程及线性化方程
第四节 控制系统的微分方程及线性化方程一、基本概念1、系统的微分方程——在时域内用来描述系统及其输入、输出三者之间的动态关系的数学模型。
（包括系统动态方程、运动方程或动力学模型）2、建立微分方程——根据支配系统动态特性的各种物理规律（力学、电学、液压等各种原理和规律），明确输入（一般为已知函数）和输出（一般作待求的未知函数），列出微分方程，并整理为标准形式（含输出项在等式左边，含输入项在等式右边，并按微分降幂排列）。
二、系统分类1、线性系统可用线性微分方程描述的系统。
（1）线性定常系统—线性微分方程中的系数与时间无关的系统。
（2）线性时变系统—线性微分方程中的系数与时间相关的系统。
特点：可应用线性加原理，分别处理各项输入引起的输出，最后将结果叠加。
2、非线性系统必须用非线性微分方程描述的系统，不能使用叠加原理。
本课程属经典控制论范畴，主要研究线性定常系统！三、微分方程的建立1、位移系统中元件的复阻抗（1）弹簧)的正方向相同，无论时受压还是受拉，都有：()()=f t Kx t即： ()()=F s Kx s（K为弹簧刚度系数）（为速度阻尼系数） B（M为质量）输入：()f t作用力 输出：()x t线位移根据牛顿第二定律F ma =设质量块正方向移动()x t ，()f t 作用力要克服弹簧和阻尼器的阻力K f 和B f 。
即：()()()()()K B f t f f maf t Kx t Bx t Mx t −−=⇒−−=移项标准化：()()()()Mxt Bx t Kx t f t ++=J K ——扭转弹簧刚度系数（N m ⋅/）rad τ——外加力矩（N m ⋅）J B ——转动粘性阻尼（/） N m s ⋅⋅rad 解：输入为力矩τ，输出为转角()t θ 根据转矩公式：M J ε=⋅力矩τ要使系统进行转动的话，必须克服弹簧和阻尼器的阻力矩。
()()()()J J J J K t B w J K t B t J t τθετθθ−⋅−⋅=⋅⇒−⋅−⋅= θ整理得：()()()J JJ t B t K t θθθτ+⋅+⋅= 例3：已知电机转矩为，负载转矩为m T L T ，为齿轮齿数，为各轴系粘性转动动阻尼系数，为各轴系转动惯量，i Z i B i J i θ为各轴系的角位移。
控制系统的微分方程
u1(t) K1ue (t)
u2
(t)
K2
du1 (t ) dt
u1 (t )
式中 K1 ，K2 ——运算放大器Ⅰ和Ⅱ的放大倍数。
代入可得
u2 (t)
K1K2
due (t) dt
ue
(t
)
（3）执行机构。功率放大器的输入量 u2 (t) 和输出量u（a t）之间的关系为
ua (t) K3u2 (t)
C1
duC1 (t) dt
i2
(t)
C2
duc (t) dt
消去中间变量uC1 (t)，i1(t) ，i2 (t) 。代入得
i1 (t )
C1
duC1 (t) dt
C2
duc (t) dt
代入得
R1C1
duC1 (t) dt
R1C2
duc (t) dt
uC1
(t)
ur
(t)
R2C2
duc (t) dt
首先建立描述系统各环节输入量与输出量之间关系的微分方程，具体如下。
（1）比较元件。输入量 u（r t）和 u（f t）与输出量 ue (t)之间的关系为
ue (t) ur (t) uf (t)
（2）控制器。运算放大器Ⅰ的输入量 ue (t)和输出量 ul (t) 之间，以及运算放大器Ⅱ的 输入量 u1(t) 与输出量u2 (t)之间的关系分别为
为
uf (t) Kf(t)
按照控制系统的连接顺序，消去以上各式中的中间变量，合并得
代入得
u2 (t)
K1K2
dur (t) dt
K1K2
duf (t) dt
K1K2
ur
(t )
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电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。
School of Mechanical Engineering
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
机械运动系统的三要素
质量 M 弹簧 K 阻尼 μ
机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
电气系统
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控制理论基础 气系 统的微分方程。
第二章 控制系统的微分方程
例2.3： uC 为输出电压， ur为输入电压， 写出电
School of Mechanical Engineering
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
单变量函数泰勒级数法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：
注：非线性系统的线性化 模型，称为增量方程。
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
划分环节 按功能（测量、放大、执行）划分
分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系， 确定待研究元件或系统的输入量和输出量(必要 时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间 变量。
School of Mechanical Engineering
上海工程技术大学机械工程学院
Part 2.2 线性系统及其齐次性和叠加性
线性系统：用线性微分方程描述的系统。 线性微分方程：因变量或它的导数都不高于一次方，并 且没有因变量与其导数之积。 线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数 是随时间而变化的。
f dy dt k (t ) y F (t )
线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数 是常数。
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
写出每或一环节(元件) 运动方程式 从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入 手），依据各元件所遵循的物理，化学，生 物等规律，列写各自方程式，但要注意负载 效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前 一级的影响。
负载效应
School of Mechanical Engineering
School of Mechanical Engineering
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
Part2.1.6 机电系统的微分方程
School of Mechanical Engineering
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
School of Mechanical Engineering
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
建立数学模型的目的：
●建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要 工作（或基础工作）。
●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动 的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。 因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种 不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。
d dt
y (t ) a 0 y (t )
＝ bm
r ( t ) b m 1
r ( t ) ... b1 r ( t ) b0 r ( t )
School of Mechanical Engineering
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
Part 2.4 非线性数学模型线性化
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
写成标准形式 微分方程的标准化包含两方面的内容：
①将与输入量有关的各项放在方程的右边，
与输出量有关的各项放在方程的左边； ②各导数项按降幂排列
d y dt
n n
an
a n 1
d
n -1
y
dt
n -1
a1
dy dt
a 0 y bm
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
Part 2.1.4 机械系统的微分方程
机械系统中部件的运动有直线和转动两 种。机械系统中以各种形式出现的物理现 象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要 素。
School of Mechanical Engineering
上海工程技术大学机械工程学院
第二章 控制系统的微分方程
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上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
Part2.1.2 建立系统微分方程的一般步骤
简化物理系统
划分环节
写出每或一环节(元件) 运动方程式 消去中间变量 写成标准形式
局部线性增量方程
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
增量方程
增量方程的数学含义：
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。 非线性微分方程的小偏差线性化：
将非线性函数在平衡工作点邻域展开成泰勒级数，并 且略去高次项。
School of Mechanical Engineering
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
线形系统的一般形式
an d dt
n n
y ( t ) a n 1 d dt
m m
d dt
n 1 n 1
y ( t ) ... a1 d dt
m 1 m 1
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
线性化方法
假设： 在控制系统整个调节过程 中，所有变量与稳态值之间 只会产生足够微小的偏差。 以微小偏差法为基础，运 动方程中各变量就不是它们 的绝对值，而是它们对平衡 工作点的偏差。
增量 （小偏差法）
非线性方程
School of Mechanical Engineering
d dt
x o (t) Kx o (t) f i (t)
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上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
例2.2：转动系统
T K ( t ) K i ( t ) 0 ( t ) d Tc ( t ) C 0 ( t ) dt d2 J 2 0 ( t ) T K ( t ) Tc ( t ) dt J d dt
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
控制理论基础
School of Mechanical Engineering
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
第二章 控制系统的微分方程
本章主要内容:
2.1 建立系统微分方程的一般方法和步骤
2.2 线性系统及其齐次性和叠加性
2.3 非线性数学模型线性化
f
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dy dt
ky F ( t )
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
线性系统的重要性质:
1.齐次性，即： 如果输入r1(t)—>输出y1(t)， 则输入a r1(t—>输出a y1(t) 2. 叠加性，即： 如果输入r1(t)—>输出y1(t)， 输入r2(t)—>输出y2(t) 则输入r1(t)+r2(t) —>输出 y1(t)+y2(t)
可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行 分析和设计。 线性系统缺点： 有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；
非线性系统的分析和综合是非常复杂的。
线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的 线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。
School of Mechanical Engineering
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
机械平移系统
！静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响。
1）微分方程的系数取决于系统的结构参数 2）阶次等于独立储能元件的数量
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上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
常用数学模型 时间域： 微分方程
复数域： 传递函数
频率域： 频率特性
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控制理论基础 Part2.1.1 微分方程的一般特征
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控制理论基础
第二章 控制系统的微分方程
机械旋转系统
——扭转刚度系数 μ——粘性摩擦系数
K
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