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建立系统微分方程的一般步骤引言：系统微分方程是描述自然界中动态系统行为的重要工具。
在建立系统微分方程时，我们需要根据问题的实际背景和要求，确定系统的物理模型，并通过一系列步骤将其转化为微分方程组。
本文将介绍建立系统微分方程的一般步骤，帮助读者更好地理解和应用系统微分方程。
步骤一：确定系统的物理模型建立系统微分方程的第一步是确定系统的物理模型。
物理模型是对系统行为的抽象描述，可以基于实验观测、理论分析或经验推测。
在确定物理模型时，需要考虑系统的特性、变量和参数，并确定它们之间的关系。
例如，对于机械系统，我们需要考虑质量、力、速度和位移等变量之间的关系。
步骤二：建立系统的状态方程在确定物理模型后，我们需要建立系统的状态方程。
状态方程描述了系统在不同时间点的状态变化情况。
常用的状态方程形式是一阶线性微分方程，可以表示为dx/dt = f(x, u)，其中x是系统的状态变量，u是系统的输入信号，f(x, u)是状态方程的右侧表达式。
通过分析系统的物理特性和输入输出关系，可以确定状态方程中的函数f(x, u)。
步骤三：建立系统的输出方程除了状态方程，我们还需要建立系统的输出方程。
输出方程描述了系统的输出变量与状态变量和输入信号之间的关系。
常用的输出方程形式是线性方程，可以表示为y = g(x, u)，其中y是系统的输出变量，g(x, u)是输出方程的右侧表达式。
通过分析系统的特性和输出变量与状态变量、输入信号之间的关系，可以确定输出方程中的函数g(x, u)。
步骤四：建立系统的微分方程组在确定状态方程和输出方程后，我们可以将它们组合成一个微分方程组。
微分方程组由状态方程和输出方程组成，可以表示为dx/dt = f(x, u)，y = g(x, u)。
通过联立和整理微分方程组，可以得到系统的一般形式。
在建立微分方程组时，需要注意方程的数量与未知数的数量相等，且方程之间无冲突。
步骤五：确定系统的初值条件和边界条件在建立微分方程组后，我们需要确定系统的初值条件和边界条件。
二阶系统的微分方程二阶系统的微分方程是描述二阶线性时不变系统动态行为的数学模型。
在控制系统、电路理论以及机械振动等领域中，二阶系统的微分方程被广泛应用于系统分析与设计。
二阶系统的微分方程可以表示为：\[ m \frac{{d^2x}}{{dt^2}} + c \frac{{dx}}{{dt}} + kx = u(t) \]其中，\( m \) 是系统的质量，\( c \) 是系统的阻尼系数，\( k \) 是系统的刚度，\( x(t) \) 是系统的位移，\( u(t) \) 是外部施加的力或输入。
在上述微分方程中，第一项表示系统的惯性作用，第二项表示系统的阻尼作用，第三项表示系统的弹性作用，最后一项表示系统的输入。
二阶系统的微分方程可以通过多种方法求解。
其中，常见的方法包括拉普拉斯变换、复频域分析和状态空间分析等。
通过拉普拉斯变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而方便进行系统的频域分析和控制器设计。
通过复频域分析，可以得到系统的频率响应和稳定性分析等重要信息。
通过状态空间分析，可以将系统表示为一组一阶微分方程的形式，从而方便进行状态观测、状态估计和控制器设计等。
二阶系统的微分方程在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在控制系统中，二阶系统的微分方程可以描述机械振动系统、电路系统和热力系统等。
在机械振动领域中，二阶系统的微分方程可以描述弹簧质量系统或阻尼质量系统的振动特性。
在电路理论中，二阶系统的微分方程可以描述电感电容电阻（LCR）电路的动态行为。
在热力系统中，二阶系统的微分方程可以描述热传导或热辐射的传热过程。
通过对二阶系统的微分方程的分析和求解，可以研究系统的稳定性、动态响应、频率特性以及控制器设计等问题。
在控制系统设计中，常常需要根据系统的要求选择合适的阻尼系数和刚度，以实现系统的稳定性和性能指标的要求。
二阶系统的微分方程是描述二阶线性时不变系统动态行为的重要数学模型。
通过对该微分方程的分析和求解，可以深入理解系统的特性，为系统的分析、设计和控制提供理论基础。
第三章 自动控制系统的数学模型（12 学时）
目的、教学要求：本章主要从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模 型。
在经典控制理论中，常用的数学 模型为微分方程、传递函数和系统框图。
它们反映了 系统的输出量、输入量和内部各种变量间的关系，也反映了系统的内在特性。
因此在本章中 主要掌握：
²物理系统的传递函数
²典型环节及其传递函数
²控制系统框图（结构图）的化简及系统闭环传递函数的求取
重点、难点：
本章重点是： 自动控制系统的数学模型主要是传递函数的建立、系统框图的化简及系统 传递函数的求取。
而本章的难点是：物理系统的数学模型的建立过程及系统框图的建立。
本章内容概要：
²研究自动控制系统的方法与目的
²系统的微分方程——物理系统的建模
²系统的传递函数的基本概念及建立方法
²习题课——阻抗法求电气系统的数学模型
²典型环节及其传递函数
²控制系统的框图（结构图）——传递函数的图形表示法
²控制系统的框图（结构图）的化简及控制系统闭环传递函数的求取
²习题课
²习题
而对利用阻抗法求电气系统的数学模型、 教学方式：该部分内容基本上均可采用多媒体教学，
框图化简及等练习方面的教学可采用课堂教学。
教学设计：对自动控制系统的分析是建立在数学模型基础之上的，所以数学模型是整个自动 控制原理研究内容的理论基础， 主要讲述传递函数的基本概念及建立方法， 并简要介绍典型 控制环节的特点及传递函数， 这其中主要让学生建立典型环节和自动控制系统分析方法之间 的相互关系，可联系工程实际来探讨典型环节和自动控制系统分析方法之间的这一等效关 系。
然后以框图简化为例， 引导学生理解典型闭环系统特点，并由此让学生了解单位反馈的 由来与控制系统闭环传递函数的求取方法。
教学内容：
引言：研究自动控制系统的方法与目的
一、系统的微分方程——物理系统的建模
1. 建立微分方程的步骤
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统运动的物理规律，确定系统的输入 量和输出量。
②一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的 微分方程。
③将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量， 求取一个仅含有系统的输入量 和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。
④将该方程整理成标准形式。
即把与输入量有关的各项放在方程的右边，把与输出量 有关的各项放在方程的左边，各导数项按降幂排列， 并将方程中的系数化为具有一定物理意 义的表示形式，如时间常数等。
2. 微分方程建立举例：
①一阶 RC 电路数学模型的建立
②模拟电路数学模型的建立
③一个简单的机械系统的数学模型
二、传递函数
1. 传递函数的定义
2. 传递函数的一般表达式
3. 传递函数的性质
4. 习题课——阻抗法求电气系统的数学模型
例：求如图所示电路的传递函数。
解：1．将原电路中的电路元件用阻抗表示，同时将输入及输出变换成拉氏式，如图 b 所示。
2．由电路中的相关定理列出其电流或电压方程。
Cs R s U s I R Cs R s U s I o f i / 1 )
( ) ( 2 / ) / 1 // 2 / ( )
( ) ( 1 0 0 +
= + = 由虚断概念可得：
Cs R s U s I R Cs R s U s I o f i / 1 ) ( ) ( 2 / ) / 1 // 2 / ( ) ( ) ( 1 0 0 +
- = - = + =
由此得出： ) 4 )( 1 ( ) 6 ( / 1 ) 2 4 /( ) 6 ( ) ( ) ( 0 1 2 0 0 1 1 0 2 0 0 Cs
R Cs R Cs R R C R Cs R Cs R Cs R R s U s U i o + + + = + + + - = 三、系统框图——传递函数的图形表示法
1. 系统框图的定义
系统框图又称方框图（Block Diagram）或系统结构图，它是传递函数的图形描述 方式，它可以形象地描述自动控制系统中各单元之间和各作用量之间的相互联系，具有
简明直观、运算方便的优点。
所以方框图在分析自动控制系统中获得了广泛的应用。
2. 系统框图的图形符号及物理含义
功能框(Block Diagram)如图 a 所示。
它表示了相对独立单元输入信号的拉氏变换与输 出信号的拉氏变换之间的关系，即： )
( ) ( ) ( s R s G s C ´ = 信号线(Signal Line)如图中的有向线段所示。
它表示信号流通的路径和方向，其中流 通方向用箭头表示。
引出点(又称分点)(Pickoff Point)如图b 所示。
它表示信号由该点取出。
从同一信号 线上取出的信号， 其大小和性质完全相同。
比较点又称和点(Comparing Point 或 Summing Point)如图 c 所示。
它表示了信号在该 点的代数和。
3. 一个典型的自动控制系统的框图
四、典型环节的传递函数及功能框
五、框图的变换、化简和系统闭环传递函数的求取
1. 框图等效变换规则
2. 自动控制系统闭环传递函数的求取
3. 习题课
例： RC 无源网络如图所示， 试采作复数阻抗法画出该电路的系统框图， 并求其传递函数。
解： 1．将原电路中的电路元件用阻抗表示，同时将输入及输出变换成拉氏式，如图 b 所示。
2．用复阻抗写电路方程式： s
C S I S V R S U S U S I s
C S I S I S U R S U S U S I c c c c C r 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1
) ( ) ( 1 )] ( ) ( [ ) ( 1 )] ( ) (
[ ) ( 1 )] ( ) ( [ ) ( × = - = × - = ×
-
=
将以上四式用方框表示，在相互连接后即得 RC 网络结构图，见下图。
其中框图的简化 过程如图 b、c、d 所示
4. 交叉反馈系统框图的化简及其闭环传递函数的求取
5. 习题课：见书中例题
六、习题
1．利用阻抗法求下列电路的传递函数。
2．将如图所示方框图进行化简， 并求出其闭环传递函数。
