系统微分方程的建立与求解.

§2.2 系统微分方程的建立与求解
主要内容
复习求解系统微分方程的经典法、物理系统的模型、微分方程的列写、n 阶线性时不变系统的描述、求解系统微分方程的经典法
一．物理系统的模型
• 许多实际系统可以用线性系统来模拟。

• 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。

二．微分方程的列写
• 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。

• 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。

元件特性约束：表征元件特性的关系式。

例如二端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。

网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,
KCL,KVL.
三．n 阶线性时不变系统的描述
一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来述
若系统为时不变的，则C ，E 均为常数，此方程为常系数的n 阶线性常微分方程。

阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。

四．求解系统微分方程的经典法
分析系统的方法：列写方程，求解方程。

求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。

经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
注意重根情况处理方法。

特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。

)(d )(d d )(d d )(d )(d )(d d )(d d )(d 1111011110t e E t t e E t t e E t t e E t r C t t r C t t r C t t r C m m m m m m n n n n n n ++++=++++------ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧变换域法利用卷积积分法求解零状态可利用经典法求零输入应零输入相应和零状态相经典法解方程网络拓扑约束根据元件约束列写方程:: :,:∑
=n k t k k e A 1
α
全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 。

我们一般将激励信号加入的时刻定义为0，响应为 时的方程的解，初始条件
初始条件的确定是此课程要解决的问题。

几种典型激励函数相应的特解
激励函数e (t ) 响应函数r (t )的特解
例2-2-1
与激励 间的关系。

电阻 电感 电容
根据KCL 代入上面元件伏安关系，并化简有
这是一个代表RCL 并联电路系统的二阶微分方程。

1122d )0(d ,,d )0(d ,d )0(d ,)0(-+-+++n n t r t r t r r )(常数E p t t e
α)(常数B 1121+-++++p p p p B t B t B t B t Be α()t ωcos ()t ωsin
()()t B t B ωωsin cos 21+()t e t t p ωαsin ()t e t t p ωαcos ()()()
()
t e D t D t D t D t e B t B t B t B t p p p p t p p p p ωωααsin cos 11211121+-+-+++++++++ ()
t i s ()t v ()()t v R t i R 1=()()ττd 1⎰∞-=t L v L t i ()()t t v C t i C d d =()()()()
t i t i t i t i S C L R =++()()()()t t i t v L t t v R t t v C S d d 1d d 1d d 22=++
例2-2-2
机械位移系统，其质量为m 的刚体一端由弹簧
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。

刚体与地面间的摩擦力为 ，外加牵引力为 ，其外加牵引力 与刚体运动速度 间的关系可以推导出为
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。

两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。

对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。

例2-2-3
特征根：
因而对应的齐次解为
例2-2-4
给定微分方程式
分别求两种情况下此方程的特解。

为使等式两端平衡，试选特解函数式
将此式代入方程得到
f
()t F S ()t F S ()t v ()()()()t t F t kv t t v f t t v m S d d d d d d 22=++()()()()().
12d d 16d d 7d d 2233的齐次解求微分方程t e t r t r t t r t t r t =+++01216723=+++ααα()()0322=++αα()
3 , 221-=-=αα重根()()t
t h e A e A t A t r 33221--++=()()()()()t e t t e t r t t r t t r +=++d d 3d d 2d d 22()()()(),
2 ; 12t e t e t t e ==()(),2 , 122t t t t e +=得到代入方程右端将()322
1B t B t B t r p ++=为待定系数。

这里321,, , B B B ()()t t B B B t B B t B 232234323212121+=+++++
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
联解得到
所以，特解为 (2) 这里，B 是待定系数。

代入方程后有：
例2-2-
给定如图所示电路， 的位置而且已经达到稳态； 建立 电流的微分方程并求
（1）列写电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程：
列结点电压方程
⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=03222
3413321211B B B B B B 2710
,92 ,31321-===B B B ()271092312-+=t t t r p ()()。

可选很明显时当t t Be t r e t e == , ,t
t t t t e e Be Be Be +=++3231=B .31,t e 特解为于是()()相加即得方程的完全解和特解上面求出的齐次解t r t r p h ()()t r e A t r p n
i t i i +=∑
=1α10处于开关S t <.210转向由时当S t =()时的变化。

在解+≥0t t i ()t
i ()4=t e ()t L H L 41=Ω=232()()()
t e t v t i R c =+1()()()2d d R t i t i t L t v L L C +=()()()t i t v t C t i L C +=d d (),t v C 先消去变量():,把电路参数代入整理的
再消去变量t i L ()()()()()()t e t e t t e t t i t i t t i t 4d d 6d d 10d d 7d d 2222++=++
(2)求系统的完全响应
系统的特征方程：
特征根： 齐次解： 特解：
方程右端自由项为 代入式(1)
要求系统的完全响应为 (3) 换路前
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, 由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,
01072=++αα()()052=++αα5
,221-=-=αα()()+--≥+=0 5221t e A e
A t i t t h ()V t e t 4 0 =≥+时由于(), ,44
B t i p =⨯因此令特解4410⨯=B 581016==∴B ()()+--≥++=0 585221t e A e A t i t t ()()++0
d 0i i 和确定换路后的()4=t
e ()t L H L 41=Ω=232()()A R R i i L 5420021=+==--()00d d =-i t ()V V v C 5623540=⨯=-()():0d d 0
++i t i 和换路后的()4=t e ()t L H L 41=Ω=232()()()[]A 514A 5641100101=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+++C v e R i ()()()s A 20d d 0d d 10d d 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+++C v t e t R i t
(4) 求得
要求的完全响应为
()时的完全响应在求+≥0t t i ()的表示式由t i ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--==++=++2520d d 5145802121A A i t A A i ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-==15
2
3
4
21A A ()()+--≥⎪⎭⎫
⎝⎛+-=0 581523452t A e e t i t t。