公路卵形曲线计算

关于规范中卵形曲线参数取值的分析作者：梁承洋许加实李明松欧阳璐来源：《西部交通科技》2019年第12期摘要：根据卵形曲线的特性及计算公式，文章推导了卵形曲线中两圆曲线的间距D与小圆半径R2的比值的公式，并在此基础上分析了规范中关于卵形曲线参数的取值要求的匹配性与适用性。

关键词：路线;卵形曲线;缓和曲线;内移值中图分类号：U412. 34文献标识码：A DOI：1 0.13282/j. cnki. wccst.2019. 12. 014文章编号：1673 - 4874（2019）12 - 0048 - 020 引言卵形曲线作为平曲线设计中的一种复曲线。

当受地形地物限制时，采用卵形曲线的线形提高了路线设计的灵活度，路线能较好地适应地形，不仅能避免复合型曲线、C形曲线对行车不利的缺点，还能在一定程度上避免同向曲线间直线段长度不满足规范规定的不宜1 卵形曲线的特性卵形曲线是指用一条回旋线连接两个同向圆曲线的组合曲线（如图1所示）。

卵形曲线的大圆必须完全包住小圆，卵形曲线的回旋线不是曲率从零开始的完整回旋线，而是曲率从1/R，至l/R2的非完整回旋线[1]。

卵形曲线中连接两圆曲线的中间缓和曲线具有如下特点[1]：（1）中间缓和曲线的中点Q，在两圆心连线的延长线上;（2）中间缓和曲线的中点Q为两圆曲线最小间距.D的中分点，即C'Q= QC”。

2 卵形曲线的计算关于卵形曲线的有关计算，各类教材已有相关推导，限于篇幅此处不再赘述。

设两囡曲线半径分别为R1、R2，且R1>R2，LF为连接两圆曲线的中间缓和曲线。

计算公式如下[2]：通过以上分析可知，规范对卵形曲线的第（3）条规定与第（1）、（2）条规定不匹配。

即按规范的第（1）、（2）条规定取值，实际上存在很多中间缓和曲線参数A与小圆半径R2的比值μ和两圆曲线半径比足组合下的D/R2<0. 003的情况;而若按规范的第（3）条规定来补充控制，则实际可用的μ.k组合大大减少。

卵形曲线计算原理一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。

三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。

高等级公路卵形曲线的计算方法摘要在高等级公路施工过程中，常遇到卵形曲线，而设计单位的出发点不同，中线的解算方法也大相径庭。

本文着重从卵形中线几种计算方法入手，在此基础之上阐述了卵形曲线的测设。

关键词卵形曲线复曲线匝道桥高等级公路卵形曲线是高等级公路、立交桥匝道常见的曲线形式，它由基本的三部分构成：第一圆曲线段、缓和曲线段和第二圆曲线段。

中间段缓和曲线用来连接两个不同半径的圆曲线。

其中线坐标解算方法有如下几种：1 补全缓和曲线我国公路上采用的缓和曲线为辐射螺旋线，夹在两圆曲线中间的缓和曲线为整个缓和曲线的一部分，缓和曲线上任一点半径与该点至该缓和曲线起点的距离乘积为一定值：R×L ＝ A ，假设 R1＞ R2，可由两圆半径及两圆间的缓和段长 ls，求缓和曲线的总长 L 。

Δl ＝ L － ls(1)Δl 就是夹在两圆曲线间缓和段省去的部分，由 YH 点补长Δl 至 o 点，以 o 点为该缓和曲线起点，起点的切线方向为 x 轴，与之垂直的曲线内侧方向为 y 轴方向建立坐标系（图 1 ）。

缓和曲线公式（推导过程略）如下：(2)(3)图 1利用 x 、 y 值可以求得 o—YH 弦与 x 轴的夹角：β ＝3δ 。

α1为YH 点的切线方位角，则 ox 的方位：α ＝α1±β 。

o 点的坐标可由几何关系求得为（ x0， y）。

缓和段上任一点统一坐标可求得：(4)y=yo+xsinα±ycosα (5) 2 曲率推算缓和曲线段曲率半径由第一段圆曲线半径 R1变为第二段曲率半径 R2（假设 R1＞ R2），则缓和曲线曲率半径变化为：(6)其中 ls为中间段缓和曲线长，为求缓和曲线方程，现建立以缓和曲线起点为坐标原点，起点的切线方向为 x 轴，与之垂直的曲线内侧方向为 y 轴的坐标系（图2 ），设 P 点为缓和曲线上任一点，距原点的曲线长为 l ，该点附近的微分弧长为 dl ，缓和曲线偏角为β ，则有dx=dlcosβ (7)dy=dlsinβ (8)图 2由于将其代入上式并进行积分可得缓和曲线方程：(9)(10)中间缓和段统一坐标计算为：(11)Y ＝ yYHxsinα±ycosα (12)α 为曲线 YH 点切线方位。

缓和曲线的计算随着公路交通事业的发展,高等级公路将成为未来公路发展的主流。

在高等级公路中勘测和设计人员为了提高线型标准,普遍采用了以曲线为主的平面线型,设计图一般只给出了路线的有关参数和施工图,测量人员需要根据具体的路线里程和施工图进行再计算,计算出坐标用仪器放样,因此本文首先讨论缓和曲线任一点坐标的计算工地的施工放样。

1．缓和曲线的作用1）便于驾驶员操纵方向盘2）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化3）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车4）与圆曲线配合得当，增加线形美观2．回旋线基本方程:即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。

令：ρ=R，Ls=s 则 Ls=A2/R3．直角坐标及要素计算1）回旋线切线角（1）缓和曲线上任意点的切线角缓和曲线上任一点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角。

βx=L2/2RL s（2）缓和曲线的总切线角β=L s /2R.180/л2）缓和曲线直角坐标任意一点P 处取一微分弧段ds ，其所对应的中心角为d βxdx=dscos βxdy=dssin βx3）缓和曲线常数（1）主曲线的内移值p 及切线增长值q内移值：p=Y h -R(1-cosβh )=Ls 2/24R切线增长值：q=X h -Rsinβh =Ls/2-Ls 3/240R 2（2）缓和曲线的总偏角及总弦长总偏角：βh =Ls/2R总弦长：C h =Ls-Ls 3/90R 24）缓和曲线要素计算《公路工程技术标准》规定，当R<R 免时，必须设置缓和曲线。

切线长()q a p R q T T h ++=+=2tan 外距 ()R a p R p E E h -+=+=2sec 曲线长 ()s s 18022180l aR l a R L h +=+-=πβπ圆曲线长 s 2l L L h y -=切线差 h h h L T D -=2平曲线五个基本桩号：ZH——HY——QZ——YH——HZ5、坐标计算1)如图1建立以ZH为坐标原点,过ZH点的缓和曲线切线为X轴, ZH点上缓和曲线的半径为Y轴的直角坐标系。

道路测量中缓和曲线中桩坐标计算方法的研究摘要:本文讲解了在利用全站仪进行缓和曲线中桩放样时,缓和曲线的基本形和卵形两种情况下中桩坐标计算的方法。

关键词:缓和曲线、基本形、卵形、中桩坐标计算。

随着全站仪在道路工程施工测量中的普及,传统的中线放样方法逐渐被淘汰。

目前道路工程中线放样时,只要能计算出中线上任意一点的坐标,用全站仪或者GPSRTK的坐标放样功能就可很方便、快捷地完成实地放样。

道路线形是由直线、圆曲线、缓和曲线三种线形组合而成的,而直线与圆曲线组合的线形(见图一)中桩坐标计算比较简单,在此不作阐述。

下面就缓和曲线与其它两种线形组合的线形中桩坐标计算予以分析。

缓和曲线与其它两种线形组合构成的线形主要有缓和曲线的完整形(即基本形)(见图二)和非完整形(即卵形)(见图三)二种。

一、基本形曲线中桩坐标计算:1、对于第一缓和曲线及圆曲线段(ZH~YH)(如图四),建立以ZH为坐标原点,切线方向为X′轴,半径方向为Y′轴的曲线坐标系(X′O′Y′)。

先计算曲线各点在曲线坐标系下的坐标。

⑴对于第一缓和曲线段(ZH~HY)内任一点i(此时L=Ki-KZH)若圆曲线半径R≥100m时,则Xi′=L-L5/(40R2Ls12) 公式①Yi′=L3/(6RLs1) 公式②若圆曲线半径R<100m时,则X′=L-L5÷[40(RLS)2] L9÷[3456(RLS)4]–L13÷[599040(RLS)6]L17÷[175472640(RLS)8]- L21÷[7.80337152×1010(RLS)10] (公式③)Y′=L3÷[6(RLS)] - L7÷[336(RLS)3] L11÷[42240(RLS)5] -L15÷[9676800(RLS)7] L19÷[3530096640(RLS)9] -L23÷[1.8802409472×1012(RLS)11] (公式④)⑵对于圆曲线段(HY~YH)上任一点iXi′=q Rsin cent;iYi′=R(1-cos cent;i) pL=Ki-KZH cent;i=(L- Ls1)*180/(Rπ) β0内移值P=Ls12/(24R)切线增值q= Ls1/2- Ls13/(240R2)综合⑴、⑵,根据不同坐标系的相互转换,可得ZH~YH上任一点i的中桩测量坐标为:Xi=XZH cosA×Xi′-sinA×f×Yi′(公式⑤)Yi= YZH sinA×Xi′ cosA×f×Yi′(公式⑥)式中f为线路的转向系数,右转时f=1,左转时f=-1 。

[转]ROAD-2程序特殊应用04——卵形曲线的处理2012-2-9 23:02阅读(0)转载自王中伟ROAD-2程序特殊应用04——卵形曲线的处理今天讨论的是有关ROAD-2程序特殊应用的最后一个主题了，就是卵形曲线的处理。

一、什么是卵形曲线什么是卵形曲线？这种曲线有何特别之处？在路线线型布置方面有什么优点？计算方面有什么不一样的地方？这一系列问题，有必要先弄清楚。

1．基本型曲线我们对比一下基本型曲线和卵形曲线的图形，先看基本型曲线：在描述基本型曲线的特点之前，我们先把一个概念描述清楚，就是：完整缓和曲线。

我们规定，凡是缓和曲线的一个端点的曲率为0（半径无穷大）的，不论长短，以及另一端曲率大小，都称为完整缓和曲线。

基本型曲线的特点是：它由三个曲线元素组成：第一缓和曲线+圆曲线+第二缓和曲线，用符号表达，就是：Ls1+Ly+Ls2，其中最关键的一点是关于缓和曲线的，不论是Ls1还是Ls2，都必须是完整缓和曲线，它连接直线和圆曲线，其中连接直线的那一端的曲率即为0。

基本型曲线是各种等级公路主线使用最多的线型，因此它的计算是最基本的要求。

凡是满足基本型曲线的定义的，其曲线要素、中桩坐标等均可使用同一套公式进行计算。

基本型曲线可以衍生出以下各种类型的曲线：（1）纯圆曲线：Ls1=Ls2=0（2）对称基本型曲线：Ls1=Ls2（3）凸形曲线：Ly=0（4）一侧带缓和曲线：Ls1=0，或者Ls2=0以上曲线的计算均可按基本型曲线公式计算。

也就是说，要使用基本型曲线公式计算，要么不带缓和曲线，如果要带，必须是完整缓和曲线。

两个基本型曲线直接相连的复曲线，均可按独立的两个基本型曲线进行计算，其中，两个同转向的基本型曲线直接连接的称为C型曲线，而两个相反转向的基本型曲线直接连接的称为S型曲线。

S型曲线在各种公路的平面线型中经常使用，而C型曲线则很少有使用的，究其原因，是因为其线型不好，仔细看一看吧，两曲率不相同的圆曲线之间缓和曲线的连接不合理。

在公路中线坐标计算中，我们通常采用切线支距公式来计算曲线上各点的坐标。

但当在不同的曲线上计算时就需用不同的计算公式，这为计算也带来不便。

在设有缓和曲线的圆曲线半径较小或是卵形曲线上的坐标计算时，如公式选用不当就会出现较大计算误差，即便是能对切线支距公式进行多项展开，也会增加计算的难度。

而用复化辛卜生公式不仅能解决不同曲线线型或直线上的坐标计算问题，而且用复化辛卜生公式计算完全是可逆的（即：可顺前进方向也可逆向计算），尤其在计算第二缓和曲线和卵形曲线时显得尤为方便。

用辛卜生公式计算坐标的精度可由人为或程序自行判断，其计算结果完全能保证坐标计算的精度要求。

因此，可以说复化辛卜生公式是一个计算公路中线坐标的万能公式。

下面本人就该公式在公路中线坐标计算中的具体应用进行实例解析。

一、复化辛卜生公式式中：H=（Z i－Z A）/n(公式2)(公式3)Zi —待求点桩号Z A—曲线元起点桩号Z B—曲线元终点桩号ρA—曲线元起点曲率ρB—曲线元终点曲率a i曲线上任意一点处切线方位角的计算方法有以下三种方法：1．利用公式（3）求得曲率代入公式（2）计算2．利用曲线元上已知起点和终点曲率用内插法求得曲率代入公式（2）计算3．利用切线角公式计算二、算例例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西宁立交A匝道一卵形曲线（卵形曲线相关参数见图一，其计算略。

），相关设计数据见下表。

现用辛卜生公式来计算卵形曲线中桩坐标。

图一已知相关设计数据见下表：（一）由+271.881推算Zi=+223.715的坐标，n取2等分用公式(3)、公式（2）计算+247.798处曲线及方位角:ρ+247.798=1÷75+(1÷50-1÷75)(247.798-271.881) ÷(223.715-271.881)=0.01666666666666667a+247.798=71°24’18.5” +(0.016666667+1÷75)(247.798-271.881)×180÷π÷2=50°42’26.37”其它各点依次代入公式计算，结果见下表:切线方位角图示1将计算出的数据代入公式（1）求得+223.715中桩坐标如下：X=9880.438+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos71°24’18.5”+4(cos61°37’52.22”+cos38°38’0.96”)+2cos50°42’26.37”+ cos25°24’35.99”)=9910.5975 (设计值：9910.603)Y=10100.904+(223.715-271.881)÷2÷6×(sin71°24’18.5”+4(sin61°37’52.22”+sin38°38’0.96”) +2sin50°42’26.37”+ sin25°24’35.99”)=10136.7945 (设计值：10136.791)（二）由+223.715推算Zi=+271.881的坐标，n取2等分用公式(3)计算+247.798处曲线及方位角:ρ+247.798=1÷50+(1÷75-1÷50)(247.798-223.715)÷(271.881-223.715)=.01666666666666667a+247.798=205°24’33.6”+ (0.016666667+1÷50)(247.798-223.715)×180÷π÷2=230°42’23.98”其它各点依次代入公式计算，结果见下表:切线方位角图示2X=9910.603+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos205°24’33.6”+4(cos218°37’58.87”+cos241°37’49.83”)+2cos230°42’23.98”+ cos251°24’16.11”)=9880.4431 (设计值：9880.438)Y=10136.791+(271.881-223.715)÷2÷6×(sin205°24’33.6”+4(sin218°37’58.87”+sin241°37’49.83”)+2sin230°42’23.98”+ sin251°24’16.11”)=10100.9008 (设计值：10100.904)由上可知，利用复化辛卜生公式计算路线坐标时可顺向或逆向计算。

卵形曲线要素及其上任意点坐标的严密算法任克林【摘要】针对公路中线(平曲线)卵形曲线测设与计算,将卵形曲线补全为完整缓和曲线,并利用其几何性质推证了卵形曲线要素及其上任意点高斯平面直角坐标的计算公式.【期刊名称】《长春工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(014)003【总页数】3页(P67-69)【关键词】卵形曲线;缓和曲线;高斯平面直角坐标【作者】任克林【作者单位】四川省冶金地质勘查局测绘工程大队,成都610212【正文语种】中文【中图分类】TB220 引言公路平曲线设计中，常用到卵形曲线。

其要素（缓和曲线切线角β、切线增量q、圆曲线内移值m、切线长T等）以及卵形线上任意点高斯平面直角坐标（以下简称高斯坐标）的计算是公路中线（平曲线）设计与测设的难点，有关文献给出的计算方法有利用复化辛普森公式计算［1］、利用双交点法计算［2］等。

其中复化辛普森公式算法为拟合算法，且公式复杂不利于编程计算；双交点法是将卵形线分为长度相等的两段分别看作等长完整缓和曲线来进行解算，也为一种近似算法。

故上述方法存在着编程困难、误差较大或未能求解卵形曲线要素的不足。

本文推证出一种补全卵形线后利用几何性质将其平面独立坐标转换为高斯坐标的计算方法，可有效解决上述两类方法的不足。

1 推证思路如图1所示，已知弧ZH－HY1为IP1处前缓和曲线，弧HY1－YH1为IP1处圆曲线，半径为R1；弧HY2－YH2为IP2处圆曲线，半径为 R2，弧YH2－HZ为IP2处后缓和曲线，长度为Ls2，卵形线（IP2处前缓和曲线）YH1－HY2曲线长度为Lh，起点（YH1）处曲率半径为R1，终点（HY2）处曲率半径为R2。

交点IP2处路线转角为α。

交点IP1高斯坐标为（XIP1，YIP1），交点IP2高斯坐标为（XIP2，YIP2）。

设IP2处圆曲线HY2－YH2圆心位置为A，过A点作垂线A－V1垂直线段IP2－HZ于V1，作垂线A－V2垂直线段IP1－IP2于V2；连接A与IP2点，由几何关系（线段A－V2垂直线段IP1－IP2，线段A－V1垂直线段IP2－HZ）可知α1＋α2＝α。

高速公路立交匝道卵形曲线的坐标计算瑞国二航局分公司测试中心摘 要：高速公路立交匝道平曲线普遍采用卵形曲线形式，关于其坐标的计算的原理与方法在众多书籍中介绍的较繁琐或不甚全面，笔者结合施工经历，利用工程实例对卵形曲线的坐标计算进展推导及验证。

关键词：高速公路 立交匝道 卵形曲线 坐标计算1 引言近年来，随着城市的开展需要，我国也逐渐加大对各城市的高速公路建立的资金投入，高速公路已占据我国公路网中的主要地位，设计单位为了使高速公路中立交匝道的线型美观和流畅，不可防止的需要插入卵形曲线，所以对于测量人员而言，掌握卵形曲线的坐标计算原理与方法显得尤为重要，本文通过对卵形曲线原理的分析以及公式推导，并结合工程实例进展计算验证，以此运用于高速公路的施工测量工程实践。

2 卵形曲线的概念卵形曲线是指在两个半径不等的同向圆曲线间插入一段非完整的缓和曲线而构成的复曲线。

即卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

在计算包含卵形曲线的立交匝道时，将卵形曲线转化成完整的缓和曲线后按照缓和曲线公式计算，问题与难点便迎刃而解。

3 卵形曲线坐标计算原理对于初学者，判定某段缓和曲线是否为卵形曲线的技巧为：将该段的缓和曲线参数平方除以该段缓和曲线的长度，计算出数值是否等于与其相连接的圆曲线半径，用公式表达为R LA 2,假设该公式结果成立，那么为正常缓和曲线，假设结果不成立，那么为卵形曲线。

如图1所示，在半径为1R 与2R 的两圆曲线间插入长度为F L 的非完整缓和曲线，此段缓和曲线的端点分别为YH 和HY 点，首先计算出整条完整缓和曲线的起点桩号'ZH 或终点桩号'HZ 〔该图1中计算出点桩号'HZ 〕、'HZ 的坐标)Y ,(X C C 、'HZ 的切线方位角C W 〔即图1中CD 的方位角〕，最后根据以上条件求得卵形曲线上任意一点桩号的坐标和切线方位角。