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卵形曲线

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卡西尼卵形线二级结论

卡西尼卵形线二级结论

卡西尼卵形线二级结论概述卡西尼卵形线是指由卡西尼椭圆函数描述的一个曲线，其形状类似于椭圆，却有一端延伸得更加细长，如同一个鸟巢的形状。

该曲线的特殊性质引起了科学家的极大兴趣，并且在多个研究领域中发现了相关的二级结论。

本文将对卡西尼卵形线的二级结论进行全面、详细、完整的探讨。

卡西尼椭圆曲线的定义卡西尼椭圆曲线的数学表达式为：(x^2 + y^2)^2 = a^2 * (x^2 - y^2)其中，(x, y)为曲线上任意一点的坐标，a为常数。

卡西尼椭圆曲线具有一个特殊的性质，即曲线上任意一点到两个焦点的距离的乘积等于常数的平方：PF1 * PF2 = a^2卡西尼卵形线的性质卡西尼卵形线具有以下几个重要性质：1.中点切线平行于传方向曲线：卡西尼卵形线的中点切线与焦线的夹角等于传方向曲线与焦线的夹角。

2.对角线交点处切线垂直于传方向曲线：卡西尼卵形线的对角线交点处的切线与传方向曲线垂直。

3.曲线外端点处切线过焦点：卡西尼卵形线的曲线外端点处的切线经过焦点，即焦点是曲线上所有切线的一个公共点。

卡西尼卵形线的二级结论二级结论一：焦点与极限在卡西尼卵形线上，焦点有以下重要性质：1.焦点是曲线的对称中心：任意取曲线上一点P和其对称点P’，则P和P’到焦点的距离之积相等。

2.焦点与曲线的对称轴上有垂直关系：曲线的对称轴与曲线上任意一点到焦点的距离的乘积为常数。

3.曲线上离焦点越远的点，其到焦点的距离趋近于曲线的半径：即当P到焦点的距离无限增大时，这个距离与曲线的半径趋于相等。

二级结论二：卡西尼卵形线与力学在力学领域中，卡西尼卵形线也有一些相关的二级结论：1.卡西尼卵形线的轨迹：如果一个质点被两个力限制在卡西尼卵形线上，那么该质点的轨迹将是卡西尼卵形线。

2.卡西尼卵形线的稳定性：在某些力学系统中，卡西尼卵形线是一个稳定的平衡位置，当质点偏离卡西尼卵形线时，力将会将其拉回。

3.卡西尼卵形线与天体运动的关系：天体的运动轨迹中存在一类特殊情况，即当天体被两个引力中心所限制时，其运动轨迹将形成卡西尼卵形线。

道路卵形曲线上点坐标的严密算法

道路卵形曲线上点坐标的严密算法

Ｙ ２ ＝ Ｌ ｓ １ ／ ２ ／ Ｃ １ Ｊ 一
： Ｌ ｑ ／ ２ ／ Ｃ １ ｝ （ ５ ）
作者简介 ：王兵 （ １ ９ ９ ０年 ２月），男 ，汉，贵州湄潭 ，本科，测绘，贵州地矿测绘院
ｙ ２ ） 与Ｂ 、ｐ 即可求 得卵形线 Ｙ Ｈ１ 一 Ｈ Ｙ ２ 转角为 ｐ 、弦 ￣ ｔ ｆ ｌ — Ｈ Ｙ ２的长度 ｓ以 及弦 Ｙ Ｈ １ 一 Ｈ Ｙ ２ 与导线 Ｊ Ｄ Ｉ － Ｊ Ｄ ２（ 即独立坐标系中 Ｙ Ｈ Ｉ 处切线 ）的夹角 ８，再根 据不对称道路平面曲线的计算方法【 ２ ］ 可求得卵形 曲线要素 （ 切线增长 ｑ 、圆心 内移 值Ｐ 、切线长 Ｔ等 ） 。
１ ． １ 卵形 曲线要素解析
Ｕ 刖 吾
道路平 曲线设计 中，不可避免地会运用到 了卵形 曲线 ，其要素 （ 转角 １ ３ 、切
线增 长 ｑ 、圆心内移值 Ｐ 、 切线 长 Ｔ等 ） 以及卵形线上任意点 高斯坐标 的计算是道
路 平曲线设计与测设 过程中的难点 ，有关文献 给出的计算方法有利用复化 辛普 森 公 式计算ｎ】 、利用双交点法计算等 ，双交点 法是将卵形线分为长度相等 的两段分 别看作等长完 整缓和曲线来进行解算 ，为一种近似算法 ，存在着误差 较大或未能 求 解卵形 曲线要 素的不足。本文给 出了一种补 全卵形线后利用几何性质将 其独 立
，
＝
Ｌ ／ 。 ２ Ｃ
＋－
Ｉ
Ｉ
】 （ ＝ （ ＿ １ ）
ｐ － Ｒ Ｏ－Ｃ ｏ ２ ） ［ ４ ］ ｑ ＝ — Ｒ Ｓ ｉ ｎ ｌ ｆ ｌ
２ ・ ｝ （ １ ） 【
Ｉ
坐标转换为高斯坐标 的计算方法可有效提高计算精度和准确计算 曲线要素 。

卵型曲线计算方法

卵型曲线计算方法

（3）中间缓和曲线起点 坐标计算 ： ）中间缓和曲线起点M坐标计算 回旋线起点M位于 1后方。 位于YH 后方。 ①当R1>R2时：回旋线起点 位于 90( Ls1 + 2 LY 1 ) YH1切线方位角： 切线方位角： φYH1 = φ0 + ξ πR1 坐标推算M坐标 由YH1坐标推算 坐标： M点切线方位角： φ M = φYH − ξβ1 = φYH 点切线方位角： 点切线方位角 1 1
第四节 直接定线
一、直接定线的工作步骤 （一）分段安排路线 在选线布局定下的主要控制点之间， 在选线布局定下的主要控制点之间，沿拟定方向用试坡方 法粗定出沿线应穿应避的一系列中间控制点，拟定路线轮廓 法粗定出沿线应穿应避的一系列中间控制点， 方案。 方案。 （二）放坡，定导向线 放坡， 现场放均坡线。仪器：坡度仪或手水准仪、花杆。 现场放均坡线。仪器：坡度仪或手水准仪、花杆。 （三）修正导向线 （四）穿线交点
L 圆曲线长度 ： Y 1 = R1 (α1 − β 01 − β F 1 ) LY 2 = R2 (α 2 − β 02 − β F 2 )
90 LF πR2
LF = Ls 2 + LY 2 + 2
β F1 =
90 LF πR1
βF2 =
曲线总长度L 曲线总长度 H ： LH 1 = Ls1 + LY 1 + LF 2
2 2 2 2 Ls 2 Ls1 R1 Ls 2 − R2 Ls1 PF = p 2 − p1 = − = 24 R2 24 R1 24 R1 R2
2 2 R1 Ls 2 − R2 Ls1
LF =
R1 − R2
（2）卵型曲线要素及主点里程桩号计算： ）卵型曲线要素及主点里程桩号计算： 切线长度： 切线长度： T = ( R + p ) tan α1 + q T = ( R + p ) tan α 2 + q H1 1 1 1 H2 2 2 2 2 2

卵形曲线计算原理

卵形曲线计算原理

卵形曲线计算原理一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。

三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。

卵形曲线计算

卵形曲线计算

高等级公路卵形曲线的计算方法周烨摘要在高等级公路施工过程中，常遇到卵形曲线，而设计单位的出发点不同，中线的解算方法也大相径庭。

本文着重从卵形中线几种计算方法入手，在此基础之上阐述了卵形曲线的测设。

关键词卵形曲线复曲线匝道桥高等级公路卵形曲线是高等级公路、立交桥匝道常见的曲线形式，它由基本的三部分构成：第一圆曲线段、缓和曲线段和第二圆曲线段。

中间段缓和曲线用来连接两个不同半径的圆曲线。

其中线坐标解算方法有如下几种：1 补全缓和曲线我国公路上采用的缓和曲线为辐射螺旋线，夹在两圆曲线中间的缓和曲线为整个缓和曲线的一部分，缓和曲线上任一点半径与该点至该缓和曲线起点的距离乘积为一定值：R×L＝A，假设R1＞R2，可由两圆半径及两圆间的缓和段长ls，求缓和曲线的总长L。

Δl＝L－ls(1)Δl就是夹在两圆曲线间缓和段省去的部分，由YH点补长Δl至o点，以o点为该缓和曲线起点，起点的切线方向为x轴，与之垂直的曲线内侧方向为y轴方向建立坐标系（图1）。

缓和曲线公式（推导过程略）如下：(2)(3)图 1利用x、y值可以求得o—YH弦与x轴的夹角：β＝3δ。

α1为YH点的切线方位角，则ox的方位：α＝α1±β。

o点的坐标可由几何关系求得为（x0，y）。

缓和段上任一点统一坐标可求得：(4)y=yo+xsinα±ycosα(5)2 曲率推算缓和曲线段曲率半径由第一段圆曲线半径R1变为第二段曲率半径R2（假设R1＞R2），则缓和曲线曲率半径变化为：(6)其中ls为中间段缓和曲线长，为求缓和曲线方程，现建立以缓和曲线起点为坐标原点，起点的切线方向为x轴，与之垂直的曲线内侧方向为y 轴的坐标系（图2），设P点为缓和曲线上任一点，距原点的曲线长为l，该点附近的微分弧长为dl，缓和曲线偏角为β，则有dx=dlcosβ(7)dy=dlsinβ(8)图 2由于将其代入上式并进行积分可得缓和曲线方程：(9)(10)中间缓和段统一坐标计算为：(11)xsinα±ycosα(12)Y＝yYHα为曲线YH点切线方位。

卵形曲线设计运用

卵形曲线设计运用

卵形曲线设计运用摘要：近年来，伴随我国城市化进程的快速发展，我国的城市基础设施建设工程的数量和规模也有了明显增加，其中，道路工程作为区域间经济文化交流的纽带，其建设质量更是得到了社会各界的广泛关注。

文章对卵形曲线设计运用进行了研究分析，以供参考。

关键词：卵形；曲线设计；运用1前言现如今，社会飞速发展，人们的出行需求也在不断增加。

大量车辆在道路上造成道路交通拥堵，造成一系列交通问题，影响道路交通安全。

此外，大型城镇不断扩张，中小城镇快速发展，城市的结构和规模发生了巨大的变化。

因此，研究城市道路交通分析和交通工程设计显得尤为重要。

2卵形曲线从结构上来看，卵形曲线是由一段回旋线将两段圆曲线组合在一起的一种曲线形式。

该曲线主要用于无法在相同方向的网曲线中插入直线的情况。

事实上，卵形曲线的设计原型是基本型单曲线，且基本型但曲线的应用范围要比卵形曲线更加广阔。

这主要是因为卵形曲线极易受到地形、路面设置和其他特殊条件的限制。

此外，C形曲线也是以单曲线为原型发展出来的一种曲线形式，其具体表现形式为由两段圆曲线在曲率为零处相连接。

由于C形曲线线路会给车辆的正常行驶造成影响，因此应用范围也较为狭窄，尽在部门特殊路段使用。

与C形曲线相比，卵形曲线的过渡方式更加优良，为汽车的行驶提供了更多的便利，因此在选择使用卵形曲线或者是C形曲线时，多以卵形曲线为主。

在设计卵形曲线时，为了发挥卵形曲线的优势应该将卵形曲线的回旋线参数设置在规定之上，连接两侧的圆曲线半径比例不应超过五倍，网曲线之间的距离应控制在极小的界限范围之内。

从卵形曲线的类型来看，通常将一道回旋线连接两道网曲线的组合形式规定为基本形式，在此基础上添加其他圆曲线，则依次被成为卵形曲线、四心卵形曲线等。

3卵形曲线采用的相关规定在公路勘测设计工作进行的过程中，之所以需要使用到卵形曲线，是为了可以让两个同向圆曲线直线插入长度不充足这个问题得到有效地解决，应用缓和曲线将两个同向圆曲线相互连接在一起，为了规避处于中间位置上的缓和曲线长度过大，或者曲率变化速度过快，一般情况下 R2/R1=0.2 ～ 0.8；缓和曲线各项参数的取值范围一般情况下是 0.5R2. 为宜，这是为了使连接两个同向圆曲线的回旋线曲率的变化不致过于急促；两圆曲线的间距 D 取值为 0.003 R2 ～ 0.03 R2 为宜。

卵形曲线辅助点计算(即完整缓和曲线起点的支距)解算步骤.

5800卵形曲线坐标计算歪哥收集整理50卵形曲线辅助点计算（即完整缓和曲线起点的支距）解算步骤卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线，计算前只需要把不完整的缓和曲线（也就是卵型曲线）补充完整即可。

在计算小半径的缓和曲线或卵形曲线坐标时,由于切线支距公式取项少而造成计算精度低,现有书中一般介绍也就只有2~4项,为提高计算精度就需要将支距公式多展开几项。

以下计算卵型曲线的完整缓和曲线长支距模型：重在学习掌握解算流程，现在空间里有更好的计算程序。

曲线参数A2=LS×R1×R2÷(R2-R1)=卵形曲线长×小半径×大半径÷（大半径-小半径）在同一段回旋线内,它的参数永远是不变的。

LS=卵型曲线长. （已知）完整缓和曲线长L= A2÷R1=曲线参数÷小半径当L=LS时：代入完整缓和曲线切线支距公式：(式中R均为小半径R1)E=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10]F=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] 完整缓和曲线切线角（即两切线交角）L所对应玄长C=√（E2+F2）大半径处偏角P1=tan- 1(F2÷E2)小半径处偏角P3=180- P1-(180- p2)O=小半径处切线方位角（已知）小半径处至完整缓和曲线起点方位角Q=O±P3 (右向取+号；左向取-号)完整缓和曲线（起点）坐标：X=A+CcosQY=B=CsihQ完整缓和曲线（起点）处切线方位角：O=Q+180±p2 (右向取+号；左向取-号)以起点为基点用回旋线编程计算卵型曲线上任意桩号的中边桩点位坐标。

卵形曲线

[转]ROAD-2程序特殊应用04——卵形曲线的处理2012-2-9 23:02阅读(0)转载自王中伟ROAD-2程序特殊应用04——卵形曲线的处理今天讨论的是有关ROAD-2程序特殊应用的最后一个主题了，就是卵形曲线的处理。

一、什么是卵形曲线什么是卵形曲线？这种曲线有何特别之处？在路线线型布置方面有什么优点？计算方面有什么不一样的地方？这一系列问题，有必要先弄清楚。

1．基本型曲线我们对比一下基本型曲线和卵形曲线的图形，先看基本型曲线：在描述基本型曲线的特点之前，我们先把一个概念描述清楚，就是：完整缓和曲线。

我们规定，凡是缓和曲线的一个端点的曲率为0（半径无穷大）的，不论长短，以及另一端曲率大小，都称为完整缓和曲线。

基本型曲线的特点是：它由三个曲线元素组成：第一缓和曲线+圆曲线+第二缓和曲线，用符号表达，就是：Ls1+Ly+Ls2，其中最关键的一点是关于缓和曲线的，不论是Ls1还是Ls2，都必须是完整缓和曲线，它连接直线和圆曲线，其中连接直线的那一端的曲率即为0。

基本型曲线是各种等级公路主线使用最多的线型，因此它的计算是最基本的要求。

凡是满足基本型曲线的定义的，其曲线要素、中桩坐标等均可使用同一套公式进行计算。

基本型曲线可以衍生出以下各种类型的曲线：（1）纯圆曲线：Ls1=Ls2=0（2）对称基本型曲线：Ls1=Ls2（3）凸形曲线：Ly=0（4）一侧带缓和曲线：Ls1=0，或者Ls2=0以上曲线的计算均可按基本型曲线公式计算。

也就是说，要使用基本型曲线公式计算，要么不带缓和曲线，如果要带，必须是完整缓和曲线。

两个基本型曲线直接相连的复曲线，均可按独立的两个基本型曲线进行计算，其中，两个同转向的基本型曲线直接连接的称为C型曲线，而两个相反转向的基本型曲线直接连接的称为S型曲线。

S型曲线在各种公路的平面线型中经常使用，而C型曲线则很少有使用的，究其原因，是因为其线型不好，仔细看一看吧，两曲率不相同的圆曲线之间缓和曲线的连接不合理。

公路卵型曲线坐标计算

为节 约 土 地 资 源 ， 应 汽 车 转 弯 时 的行 车 轨 迹 ， 除 曲率 突 变 ， 适 消 增 进 线 形 美 观 及 行 车 的安 全 、 适 性 ， 设计 线 形 较 为复 杂 ， 舒 。 其 常
２ ． ２完整缓和 曲线坐标计算 ２ ． 直 角坐标 ．１ ２ 建立 以 ０ ｆＨ 点为坐标原点 ， Ｚ ） Ｚ 过 Ｈ点的缓和 曲线切线 为 Ｘ轴 ， Ｚ 过 Ｈ点上缓和 曲线的半径为 Ｙ轴 的直角坐标系。如图 １
百 家论坛 ｌ —
公 路卵型 曲线坐标计算
王寿武 ，李厚贤
（ ． 南 云 桥 建设 股 份 有 限公 司 ， 云 南 昆 明 ６ ００ ； １ 云 ５ １１ ２中 国水 利 水 电第 十 四 工程 局 有 限 公 司 ， 云 南 昆 明 ６０ ０ ） ． ５ １１
摘 要 ： 在公路线形设计 中，卵型曲线上任 意点坐标计算较为 困难 ，文章 以某高速公路立交区 Ｃ匝道卵形曲线 为 例， 介绍卵形曲线上任意一点的直角坐标 、 大地坐标和方位角的计算方法 ， 其在工程应用中具有指导作用。
特殊性。常用 的计算方法是将 卵型 曲线的一端顺延至 曲率半径 为无穷大的直缓点处 ， 根据完整缓和 曲线公式计算卵型曲线上 任一点 的直 角坐标 ， 再通 过坐标体 系转换 ， 算 出直缓点 的大 计
地 坐 标 及切 线 方位 角 ， 而 依 据 直 缓 点 大 地 坐标 及切 线 方位 角 进
当 Ｒ１Ｒ 时 ： ＜２
或
０＝ ２Ｉｐ ｏ０＋・ ２
（ ６）
（Ｈ Ｈ ） 任意一点的大地坐标可 由公 式（ ） Ｚ ＾ Ｙ段 ３ 计算。
０＝ ｌ ＋ ・ ｌ ｏ０＋ ＩＢ 盯
或
０＝ ２＇ ＩＢ ｏ０＋ｒ ・ ２ ｒ ＋

公路路线设计中卵形曲线的运用张泽

公路路线设计中卵形曲线的运用张泽发布时间：2021-09-30T07:53:59.561Z 来源：《防护工程》2021年14期作者：张泽[导读] 卵形曲线是由一个回旋线连接两个同向圆曲线的组合形式。

其组成形式为直线—缓和曲线(A1)—圆曲线(R1)—缓和曲线—圆曲线(R2)—缓和曲线(A2)—直线的顺序组合构成的路线线形。

本文根据相关规范以及设计经验，经过计算论证对卵形曲线从设置条件、计算方法、交通安全性评价三方面对其运用探析，以期能在相关工作中提供参考。

张泽四川公路工程咨询监理有限公司四川成都 610000摘要：卵形曲线是由一个回旋线连接两个同向圆曲线的组合形式。

其组成形式为直线—缓和曲线(A1)—圆曲线(R1)—缓和曲线—圆曲线(R2)—缓和曲线(A2)—直线的顺序组合构成的路线线形。

本文根据相关规范以及设计经验，经过计算论证对卵形曲线从设置条件、计算方法、交通安全性评价三方面对其运用探析，以期能在相关工作中提供参考。

关键词：卵形曲线；回旋线；回旋线参数；卵形曲线计算；交通安全性评价0引言平面线形的三要素为直线、圆曲线和缓和曲线，在路线平面线形设计中通过灵活运用基本要素可组合成多种平面线形的组合形式。

主要有：基本型、S形、C形、卵形、凸形、回头曲线和复合型等。

设计中对于曲线的选择主要以基本型、S形为主，低等级道路设计中对于回头曲线的采用也较为常见，而C形、卵形、凸形、复合型曲线除了卵形在砸道设计中常见，一般仅在地形条件特殊困难，路线严格受限时采用。

对与各种曲线组合的使用在《公路路线设计规范》（JTG D20-2017）（以下称《规范》）中对其使用条件均作了相关规定。

卵形曲线的应用除匝道设计中使用外在低等级道路设计中因其较C形和凸形曲线安全性、驾驶体验较好。

通常在地形地貌、地质水文、建设规模受限时采用卵形曲线，因卵形曲线具有连续的曲率，能保持较好的线形协调性，受到了设计者的青睐，在道路设计中被越来越多的采用。

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2 lh 3 lh
40R2
6R
在缓和曲线中R1= R2(L1+L2) ,使用此公式 求的所补缓和曲线的长度。 利用缓和曲线的切线角公式求得YH点切线 与x轴夹角β ，而δ=1β/3。α1为 YH 点 的切线方位角，则 ox 的方位角α＝α1β。o-YH的坐标方位角α2 =α+δ+180°。 使用缓和曲线的参数方程求得YH点在自定 义坐标系下的坐标，进一步求得o-YH的距 离，o 点的坐标可由几何关系求得为（ x0 ， y0 ），缓和段上任一点统一坐标可根据o点 求出。
D
A
1 δ = β = 4O 45'04.75" 3 c点切线方位角α1 = 271032' 44.86"
x轴的坐标方位角
C
O
Y
根据缓和曲线参数方程 求得 c点的坐标为（ 61 .316 ,5.094） 则 o − c的距离为 61 .527 根据 c点坐标（1230 .682 , 2677 .114） 则o(ZH )点坐标为（ 1239.199,2738.049）
D
A
C
B
（注：图中粉色曲线为卵形曲线）
定义：
卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插 入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本 身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉 了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一 条完整的缓和曲线。
（注：图 中曲线为 缓和曲线）
H
I
计算卵形曲线上点坐标的方法
一般坐标计算
辛甫生公式
y
辛甫生公式讲解 n=2
3
i
4
2 1 4
4
A
路段名称
OA AB BC CD DE EF FG
曲线类型
直线 缓和曲线 圆曲线 缓和曲线 圆曲线 缓和曲线 直线
曲线长度及曲率半径（m)
L=34.000 L=74.000 L=117.840，R=124 L=65.810 L=88.176，R=60 L=81.667 L=62.507
Y
xi = m + R × sin α yi = p + R − R × cos α l圆 α = ÷ π ×1800 + β 0 R
BC段坐标 79.034 88.291 97.215 105.746 113.830 121.413 128.448 134.887 140.689 145.816 150.236 153.918 154.514 9.215 12.989 17.497 22.709 28.591 35.105 42.209 49.856 57.997 66.580 75.547 84.841 86.582 1275.149 1267.741 1260.897 1254.663 1249.078 1244.180 1239.999 1236.564 1233.896 1232.014 1230.928 1230.646 1230.682 2775.631 2768.918 2761.630 2753.815 2745.523 2736.808 2727.726 2718.338 2708.703 2698.885 2688.947 2678.953 2677.114
坐标 装换
将自定义下 坐标系坐标 转换到施工 坐标系
坐标转换
x
旧
X新
∆y
∆x
ZH
α
p
X新 = ∆x旧cosα + ∆y旧sinα + xZH Y新 = −∆x旧sinα + ∆y旧cosα + yZH
y 旧
Y新
ο旧
X 新 = ∆ x旧 cos 160 0 9 ' 25 .42 " + ∆y旧 sin 160 0 9 ' 25 .42 " + x ZH Y新 = − ∆x旧 sin 160 0 9 ' 25 .42 " + ∆ y旧 cos 160 0 9 ' 42 " + y ZH
组员：刘树金、张新、孟海滨 指导老师：尹辉增
卵形曲线的应用
西直门立交桥是北京市 二环路西北的一座立交 桥，位于北京市老城墙 西北角， 西北角，原北京内城西 直门原址上。 1994年 直门原址上。从1994年 开始， 开始，北京市政工程设 计研究院用了整整4 计研究院用了整整4年的 时间， 时间，做出了新立交桥 的设计。1999年 投资2 的设计。1999年，投资2 个亿的崭新的西直门立 交桥拔地而起…… 交桥拔地而起…… 仅仅过了两年， 仅仅过了两年，这 里成了北京最堵车的地 方之一。 方之一。
α oA = 200
0
X
结合实例进行曲线的计 算，增加更深刻的理解。
F
G
O
E
A
B
D
C
O
Y
喇叭型曲线
X
124l1 = 60(l1 + 65.810)求得l1 = 61.697
总长L = l1 + l2 = 127.507
l1 180O β= × = 14O15'14.25" 2 RL π
2
F
G
O
E B
1346.264450893 1336.873764810 1327.521189093 1318.248182221 1309.102898904 1300.143538192 1291.441691594 1283.085691188 1279.863662733
2811.321315 2807.884056 2804.344694 2800.602344 2796.55856 2792.11855 2787.192397 2781.696278 2779.320827
切 线 支 距 法
圆曲线坐标计算法
切线支距法是以曲线的起点（ZY）或中点（YZ）为坐标原点，通 过曲线上该点的切线为X轴，已过原点的半径的方向为Y轴，建立 直角坐标系，从而测定各加桩点的坐标的方法。
x
P点坐标： 点坐标： 点坐标
R
o
α
R
p
x = R × sin α y = R − R × cos α
α = α1 − β = 257 o17'30.61" o − c(YH )的坐标方位角为
α 2 = α + δ = 2620 02'35.36"
则c − o的坐标方位角为
α 2 − 1800 = 820 02’ .36" 35
其它补全缓和曲线坐标 算法一样
由公式：
X
xp = l − yp = l3 6Rlh
0.000 10.000 19.999 29.993 缓和曲线 39.970 49.907 59.769 69.501 73.341
0.000000000 0.018163325 0.145306597 0.490409765 1.162452775 2.270415577 3.923278117 6.230020343 7.360215054
l5 40R l
2 2 h
F
G
O
E
A
B
D
C
O
中桩 10.000 19.999 29.993 39.970 49.907 59.769 69.501 73.341 0.018 0.145 0.490 1.162 2.270 3.923 6.230 7.360 1336.874 1327.521 1318.248 1309.103 1300.144 1291.442 1283.086 1279.864 2807.884 2804.345 2800.602 2796.559 2792.119 2787.192 2781.696 2779.321
CD 缓 和 曲 线 段
辛甫生公式
341.84 350 360 370 380 390 400 407.65
1230.681718 1231.181779 1232.625844 1235.092356 1238.676429 1243.44352 1249.417301 1254.784623 2677.113537 2668.970551 2659.079399 2649.393646 2640.064854 2631.283148 2623.275263 2617.831019
X
F
G
O
E
B
D
A
C
O
Y
当我们遇到坐标系不一样怎么办？？ 当我们遇到坐标系不一样怎么办？？
（我们实际的施工坐标系和计算坐标系不一 样）
坐标转换步骤
自定义坐 标系
以缓和曲线起点 ZH为原点，以过 该点的切线为x 轴，垂直于切线 的方向为y轴
计算在自 定义坐标 系下各点 坐标
根据公式计 算各点在自 定义坐标系 下坐标
补全缓和曲线 x
Байду номын сангаас
l
β
2
YH
缓和曲线 r1l1 = r2 (l1 + l2 ) r2l2 l1 = (r1 − r2 )
y
l
δ
1
r1
O
缓和曲线坐标计算
xp = l − l5 40R2l 2
h
yp =
l3 6Rlh
称为缓和曲线的参数方程
当l = lh ,即得缓和曲线的终点坐标值
xh = lh − yh =
坐标转换
341.84 350 360 缓和 曲线 370 380 390 400 407.65 1230.679 1231.179 1232.623 1235.090 1238.674 1243.441 1249.414 1254.781 2677.114 2668.971 2659.080 2649.394 2640.065 2631.281 2623.267 2617.812