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第09章 组合变形杆件的应力分析与强度计算

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组合变形的强度计算

组合变形的强度计算

§9.1 组合变形概述前面研究了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。

但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。

例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。

我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。

常见的组合变形有：1.拉伸（压缩）与弯曲的组合；2.弯曲与扭转的组合；3.两个互相垂直平面弯曲的组合（斜弯曲）；4.拉伸（压缩）与扭转的组合。

本章只讨论弯曲与扭转的组合。

处理组合变形问题的基本方法是叠加法，将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，然后再叠加起来。

组合变形强度计算的步骤一般如下：(1) 外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况；(2) 内力分析分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并确定危险截面的位置；(3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。

(4) 建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加，然后建立强度条件进行计算。

§9.2 弯扭组合变形强度计算机械中的转轴，通常在弯曲和扭转组合变形下工作。

现以电机为例，说明此种组合变形的强度计算。

图10-1a所示电机轴，在轴上两轴承中端装有带轮，工作时，电机给轴输入一定转矩，通过带轮的皮带传递给其它设备。

带紧边拉力为F T1，松边拉力为F T2，不计带轮自重。

图10-1(1) 外力分析将作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力和一个力偶，如图10-1(b)，其值分别为力F使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶M1和电机端产生M2的使轴扭转，故轴上产生弯曲和扭转组合变形。

(2) 内力分析画出轴的弯矩图和扭矩图，如图10-1(c)、(d)所示。

由图知危险截面为轴上装带轮的位置，其弯矩和扭矩分别为(3) 应力分析由于在危险截面上同时作用有弯矩和扭矩，故该截面上必然同时存在弯曲正应力和扭转切应力，如图10-1(e)，a、b两点正应力和切应力均分别达到最大值，为危险点，该两点正应力和切应力分别为该两点的单元体均属于平面应力状态，图10-1(f)，故需按强度理论建立强度条件。

材料力学-组合变形杆件的强度计算

材料力学-组合变形杆件的强度计算

当压力作用在截面形心附近的一个区域内时，可保证
中性轴不穿过横截面。
截面核心
横截面上不 偏心压缩杆件
出现拉应力
压力必须作用 在截面核心上
截面核心的边界如何确定 ？
当压力作用在截面核心的边界上时，与此 相对应的中性轴正好与横截面相切。
ay ＝－
iz2 yF
az ＝－
iy2 zF
截面核心 是凸区域
yF
向，设钢的 [s ] = 160 MPa。试按第三强度理论校核
轴的强度。
5 kN 1.5 kN·m
12 kN
12.5 kN
2.1 kN
7 kN 9.1 kN
1.5 kN·m
4.5 kN
与P206 例 9-8 略有不同
内力图
作业：
9－17(a)、23
在 xz 平面内
产生平面弯曲
Mz ＝ F ·yF 纯弯曲
在 xy 平面内
产生平面弯曲
压-弯-弯 组合变形
F My
Mz
FN ＝ F
My ＝ F ·zF Mz ＝ F ·yF
FN My
Mz
轴力FN 引起的：
s ＝－ F
A
弯矩 Mz 引起的：
s ＝－ Mz y
Iz
弯矩 My 引起的：
s ＝－ My z
l
y
s F、q 共同引起的： ＝ s ＋ s ＝ FN － M ( x ) y
smax ＝
FN A
＋
Mmax Wz
A
Iz
smin ＝
FN － Mmax A Wz
smin ＝
FN － Mmax A Wz
smax ＞s
smax ＝s

建筑力学 第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算

建筑力学 第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算
建筑力学
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m

组合变形的强度计算

组合变形的强度计算

F yF
③ 求mn截面上B( y, z)点的正应力?
A
my
B n
zF
z
y
x FN y
Mz
B
z
m
O My n
y
截面内力：
FN F Mz mz FyF M y my FzF
B点应力：
B
FN A
F A
B
My Iy
z
FzF Iy
z
B
Mz Iz
y
FyF Iz
y
B
F FzF A Iy
z FyF Iz
时，引起旳变形称为偏心拉伸(或压缩)。
F F
e
A 实质上： 拉伸（压缩）与弯曲 旳组合变形
B
Fz
F的作用点A( yF，zF )
x
yF
偏心拉伸（拉伸与弯曲旳组合)
A
zF
O
y
B
求任意截面上任意一点 的正应力?
m
n
进行强度计算?
求mn截面上B( y, z)点的正应力?
Fz
F的作用点A( yF，zF )
F y
l
4.强度计算
Mz Fy x Fx cos
①外力分解：Fy F cos， Fz F sin
②内力分析：（找危险截面）
M y Fz x Fx sin
固定端截面为危险截面：Mz Fyl Fl cos
M y Fzl Fl sin
z
z
Fz F sin
b
Fz z
y
x
h
z
A
z
F
y
yx
设中性轴与 y轴的夹角为，即
tan z0 I y sin I y tan

组合变形构件的强度计算

组合变形构件的强度计算

eP
Mz
P
z
y
h
b
竖杆的危险点在横截面的 内侧边缘处 ;
4、计算危险点处的正应力
tmax
FN A
Mz Wz
158MPa
tmax [ ]
立柱满足强度条件。
组合变形构件的强度计算
_+
z ++
_+
++
组合变形构件的强度计算
例2 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示， 材料的许用拉应力[]t＝30MPa，许用压应力[]c＝
吊斗上方的吊杆AE的各段均是38毫米×38毫米的正
方形截面，A、E两处铰接，且ED＝BC＝380毫米，
DC＝1200毫米，BA＝1650毫米。求吊杆AB、BC、
CD各段的最大拉应力。
E
D
B
C
A
组合变形构件的强度计算
7、矩形截面简支梁长度为L＝2米，受均布载荷 q=30KN/m与拉力P＝500KN的联合作用。求梁内 最大正应力和跨度中央截面处中性轴的位置。
22
min
x
y
2
1 2
x
y
2
4
2 xy
1 2 4 2 0
22
1
2
1 2
2 4 2
2 0
3
2
1 2
2 4 2
强度校核
r3 1 3
2 4 2 105MPa [ ], 安全。
组合变形构件的强度计算
组合变形构件的强度计算
1、在矩形截面杆的中间截面挖去t/2=5mm的槽。 P＝10KN， 杆件的许用应力[σ]＝160MPａ。 校核杆件的强度。
P2 e bh2 6

材料力学 第九章组合变形杆件强度计算

材料力学 第九章组合变形杆件强度计算

cos sin y0 + z0 = 0 Iz Iy
—— 中性轴方程(过截面形心的直线) 中性轴方程(过截面形心的直线)
b 中性轴 α
cos sin y0 + z0 = 0 Iz Iy
z
d
设中性轴与水平对称轴 z 的夹角为 ,则: 的夹角为α,
y0 tan α = z0
I z sin I y cos
=9.57mm
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合 拉伸(压缩)
当杆受轴向力F和横向力 共同作用时 当杆受轴向力 和横向力q共同作用时,杆将产 和横向力 共同作用时, 生拉伸(压缩)和弯曲组合变形. 生拉伸(压缩)和弯曲组合变形. q F
A B
F
对于弯曲刚度EI较大的杆, 对于弯曲刚度 较大的杆,由横向力引起的弯 较大的杆 曲变形与截面尺寸相比很小,因此, 曲变形与截面尺寸相比很小,因此,由轴向力在弯 曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计. 曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计. 附加弯矩可以忽略不计 q F F A B w x FA q FS M=FAx-qx2/2-Fw F A M w FN x 附加弯矩 FA
第九章 组合变形杆件 的强度计算
作者:黄孟生
§ 9 -1 概 述
构件发生两种或两种以上基本变形的组合, 构件发生两种或两种以上基本变形的组合,若几种变 形所对应的应力(或变形)属于同一数量级. 形所对应的应力(或变形)属于同一数量级.则构 件的变形称为组合变形. 组合变形.
组合变形的实例: 组合变形的实例
F
y
=
Iz = tan Iy
斜弯曲时, 注:① 当 Iy≠Iz 时,则α≠ .斜弯曲时,中性轴与外力作用
线不垂直. 线不垂直. ② 当Iy = Iz 时,则α= 只发生平面弯曲,而不发生斜 .只发生平面弯曲, 弯曲. 弯曲.

组合变形杆件的强度—斜弯曲梁的应力和强度计算(建筑力学)

6
180 120 2 6
mm 3
4.32 105 mm 3
屋面坡度为1：2，则
tan 1 sin 0.4472
2
cos 0.8944
斜弯曲梁的强度计算
（3）强度校核
max
M zmax M ymax
Wz
Wy
M max cos
Wz
M max sin
Wy
cos sin
M max( Wz
A处的正应力为最大拉应力，点C处的正应力为最大压应力：
yA yC ymax
zA zC zmax
max min
t max
cmax
My Iy
zmax
Mz Iz
ymax
My Wy
Mz Wz
M
sin
Wy
cos
Wz
M z 2.51 0.336 2 3.172 kN m M y 1.256 2 2.215 kN m
斜弯曲梁的强度计算
抗弯截面系数为：
Wz
bh2 6
0.6h h2 6
0.1h3
Wy
hb2 6
h (0.6h)2 6
0.06h3
由强度条件：
max
Mz Wz
My Wy
3.172 106 0.1h3
2.512 106 0.06h3
73.587 106 h3
≤[
]
h ≥ 3 73.587 106 194.5(mm) 10
取h = 200mm，b = 120mm。
斜弯曲梁的应力计算 一、斜弯曲的概念
对称截面梁在水平和铅垂两纵向 对称平面内同时承受横向外力的作用， 这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵 对称面内发生对称弯曲，称为斜弯曲 （即为两个相互垂直平面内的弯曲） x

杆件应力及强度计算

2 2
P
BC
FNAB 30 103 149Mpa 6 AAB 201 10
FNBC 26 103 2.6Mpa 4 ABC 100 10
拉伸、压缩与剪切
•斜截面上的应力
P
拉压的内力和应力
有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要进 一步讨论斜截面上的应力。 k 设拉力为P，横截面积 为A， P
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第四章
杆件应力与强度计算
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ａ、几何方面： 根据实验现象，作如下假设：
拉压的内力和应力
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为横截面， 只是沿杆轴产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的改变，说明 只有线应变而无角应变。


o

o

拉伸、压缩与剪切
•高温短期
When t 250o ~ 300o C When t 2时间的影响
以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
b b
& &
在低温情况下。象低碳钢， p 、S增大，减小。即发生冷脆现象。
max
s
拉伸、压缩与剪切
剪切的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
FS A
剪切的强度条件：
P
P
FS [ ] A
Q

） [1 ] （塑性材料） （0.6 ~ 0.8 [] 0.8 ~ 1.0） [1 ] （脆性材料） （ [1 ] 为材料的许用拉应力
拉伸、压缩与剪切
2、选择截面

第9章应力应变分析及应力应变关系

(1) 绘制各内力分量的内力图时，取x轴平行于杆件轴线，用x坐标表示横 截面位置； (2) 根据内力方程的分段确定各段内力的区间，求出每段内力图在两端控 制面上的内力值，以确定该段内力图两端的控制点； (3) 再根据每段内力方程的函数形式确定该段内力图的曲线形状，并根据 绘图需要在该段曲线上选取若干代表点（如：最大、最小值点及曲线 的拐点）计算出内力值； (4) 最后将各点用确定形状曲线连接起来，标明内力的“+，-”号及各控 制点、代表点的内力绝对值，并在图内打上垂直于x轴方向的平行线， 即绘制得到所需的内力图。
扭矩 T
沿x轴方向的内力偶矩 M 的分量称为扭矩（其作用面为杆件的横截
面）。
18
弯矩 M y , M z
(M M y M z )
沿y轴和z轴方向上的内力偶矩分量称为弯矩（其作用面分别为xz和xy平 面）。 轴力、剪力、扭矩、弯矩四种内力分别对应于变形体静力学中的所研究 的杆件的四种基本形式，轴向拉压、剪切、扭转、弯曲。 在变形体静力学中，对这些内力分量不需要进行矢量运算，强调的是它 们的变形效应，所以只需用其在自身方向上的投影表示即可。
工程实际中，构件受到载荷作用，要保证构件能正常、安全地工作，必 须解决以下3个问题：
3
变形固体静力学要解决3个方面的问题 1. 强度
指构件承受外力而不发生破坏的能力。 例如：房屋倒塌、飞机坠落、高压容器爆破等都是由于强度不够所导致。
2. 刚度
指构件抵抗变形的能力。 若变形过大，即使构件没有破坏，但也不能正常工作。 例如： 机床主轴变形过大，会影响加工精度。
(4) 外力作用下，一般杆件的内力分析。
2
第9章 变形固体静力学概述及 一般杆件的内力分析
§9.1 变形固体静力学的任务

知识资料材料力学知识资料应力状态分析和强度理论(三)组合变形压杆稳定(新版)

需要课件请或强度理论（一）强度理论的概念1．材料破坏的两种类型材料破坏型式不仅与材料本身的材质有关，而且与材料所处的应力状态、加载速度温度环境等因素有关。

材料在常温、静载荷下的破坏型式主要有以下两种：脆性断裂材料在无显然的变形下骤然断裂。

塑性屈服(流动) 材料浮上显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力。

2．强度理论在复杂应力状态下关于材料破坏缘故的假设，称为强度理论。

研究强度理论的目的，在于利用容易应力状态下的实验结果，来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。

（二）四个常用的强度理论四个常用强度理论的强度条件可以统一地写成式中σr称为相当应力，其表达式为最大拉应力理论σr1＝σ1(第一强度理论)最大拉应变理论σr2＝σ1－ν(σ1+σ2)(第二强度理论)最大剪应力理论σr3＝σ1－σ3(第三强度理论)形状改变比能理论(第四强度理论)[σ]为材料的许用应力。

第1 页/共18 页对于工程上常见的一种二向应力状态如图5—9—3所示，其特点是平面内某一方向的正应力为零。

设σy=0，则该点的主应力为代入(5—9-15)式得：第三强度理论(最大剪应力理论)的相当应力为第四强度理论(形状改变比能理论)的相当应力为最大拉应力理论、最大拉应变理论是关于脆性断裂的强度理论；最大剪应力理论、形状改变比能理论是关于塑性屈服的强度理论。

强度理论的选用在三向拉应力作用下，材料均产生脆性断裂，故宜用第一强度理论；而在三向压缩应力状态下，材料均产生屈服破坏，故应采用第三或第四强度理论。

当材料处于二向应力状态作用下时：脆性材料易发生断裂破坏，宜用第一或第二强度理论；塑性材料易发生塑性屈服破坏，宜用第三或第四强度理论。

[例5-9-1] 已知构件上某点的应力单元体如图5-9-4(a)，(b)所示(图中应力单位为MPa)。

试求指定斜截面上的应力。

[解] 图示单元体处于平面应力状态。

(1)在图示坐标中代人公式(5-9-1)、(5-9-2)得σα、τσ方向如图中所示。

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.
9.2 斜弯曲
9.2.1 正应力计算 9.2.2 中性轴的位置、最大正应力和
强度条件
.
工程中，外力不作用在梁的纵向对称 平面（或形心主惯性平面）内，梁变形 后轴线不位于外力作用平面内，这种弯 曲称为斜弯曲。
e
z
y
f
x
A( y, z ) l
x
Fz
Fy F
斜弯曲是两个相互正交. 的平面弯曲的组合。
轴并切于截面周边的两条直线，切
o
z
点D1和D2即为产生最大正应力的点。
D2
危险点处于单向应力状态，故强度条件： y
tmaxt
c max. c
例9–1 如图所示悬臂梁，采用25a号工字钢。
在竖直方向受均布荷载q=5kN/m 作用，在自由
端受水平集中力F =2kN作用。已知截面的几何
性质为：I z =5023.54cm4，W z =401.9cm3，I y =280.0cm4，W y =48.28cm3。试求梁的最大拉 应力和最大压应力。
F
固定端截面有最大弯矩，为x危险截面，按叠
y 加原理，该截面的上、下边缘处各点可能是危险点，
其正应力为
x l
a)
max FN M(x)y
min A
Iz
''
dm) ax
''mea)x ' .
m f)ax
''
d)
e)
f)
在这三种情况下，横截面的中性轴分别在横
截面内、横截面边缘和横截面以外。
M z F y ( l x ) F ( l x ) c o s M c o s
M y F z ( l x ) F ( l x ) s in M s in
MF(lx)——力F引起的x截面上的弯矩。
（1）在Fy单独作用下
' MzyMcosy
Iz
Iz
（2）在Fz单独作用下
''
Myz Iy
.
Msin
对圆形、正多边形截面，Iy=Iz，即α=，中性轴
与F力方向垂直，即是平面弯曲。
.
横截面上的最大正应力，发生在离中性轴最远 的点。
角点b产生最大拉应力，角点c产生最大压应力，
分别为
b
tm axM (co Isz ym ax中 性s轴iIn y zm ax)M W zzM W y y
a
z
cmax
A
Mz Wz
My Wy
Fl Wz
1ql2 2 Wy
(428.218031026
15103
4201.9106)N/m2
=107.7MPa
B
Mz Wz
My Wy
107.7MPa
.
9.3 轴向拉压与弯曲的组合变形
对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的 尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略 去不计。杆在拉伸(压缩)和弯Fra bibliotek组合变形下的强度条
件为
t max t cmax c
A
q＝5kN/m
z
x
y
B
F＝2kN
l ＝2m
.
a)
w
z
y b)
解：均布荷载q 使梁在xy平面内弯曲，集中力F使 梁在xz平面内弯曲，故为双向弯曲问题。两种 荷载均使固定端截面产生最大弯矩，所以固定 端截面是危险截面。由变形情况可知，在该截 面上的A 点处产生最大拉应力，B 点处产生最 大压应力，且两点处应力的数值相等。
9.2.1 正应力计算
e
z
y
f
x
A( y, z ) l
Fz
Fy F
x
Fy Fcos
Fz Fsin
F与竖向形心主轴
夹角为
设F 力作用在梁自由端截面的形心, Fy、Fz为F 沿两形心轴的分量，杆在Fy和Fz单独作用下，将分别 在xy平面和xz平面内产生平面弯曲。
.
在梁的任意横截面上，由Fy和Fz引起的弯矩为
(Mz Wz
My Wy
)
z
o 中性轴 d
F 力作用方向
c
对于有凸角的截面，例如a) y矩形、工字形截面b)，y
根据斜弯曲是两个平面弯曲组合的情况，最大正
应力显然产生在角点上。
.
对于没有凸角的截面，可用作图法确定产生最 大正应力的点。
如图所示椭圆形截面，当确定
D1
了中性轴的位置后，作平行于中性 中性轴
.
9.1 基本概念与工程实例
F z
o
q1
y
eF
q2
FT1 Ft1
F1 m1
FT 2 Ft2
m2
F2
a)
b)
c)
d)
这些杆件同时发生两种或两种以上基本变 形，且不能略去其中的任何一种，称为组合变 形杆件。
.
分析方法——叠加法
组合变形是属于小变形时，且材料是在线弹 性范围内工作。
将作用于杆件上的荷载分解或简化成几组荷 载，每组荷载只产生一种基本变形；单独计算每 一种基本变形下杆件的内力、应力和变形，结果 叠加起来得到组合变形下的内力、应力和变形。
Iy
z
考察距固端为x的横截面上A点的正应力：
e
z
y
f
x
A( y, z ) l
x
Fz
Fy F
应用叠加法
'''M (co IszysiInyz)F引y， 和起F的z在正 A分应点别力处为
.
9.2.2 中性轴的位置、最大正应力和强度条件
设中性轴上任一点的坐标为y0和z0 。因中性轴 上各点处的正应力为零，即
可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上 的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在轴向拉 伸(压缩)和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。
.
z A( y, z)
y
F
x
x l
a)
'
''
上图悬臂梁受轴向拉力及均布荷载，以此为
例来说明拉伸(压缩)和弯曲组合变形下的正应力及
强度计算方法。
)
c)
d)
e)
f)
第9章 组合变形杆件的应力分 析与强度计算
.
本章主要介绍杆在斜弯曲、拉 伸(压缩)和弯曲、偏心压缩(偏心拉 伸)以及弯曲和扭转等组合变形下的 应力和强度计算。
.
9.1 基本概念与工程实例 9.2 斜弯曲 9.3 轴向拉压与弯曲的组合变形 9.4 偏心压缩（拉伸） 9.5 截面核心 *9.6 弯曲与扭转组合
.
（1）该杆受轴向力F 拉伸时，任一横截 面上的正应力为
' FN A
'
（2）杆受均布荷载作用时，距固定端为
x 的任意横截面上的弯曲正应力为
'
y x
''
b)
'' M (x) y
Iz
（3）叠加得x截面上第一象限中一b) 点A(y,z)处的c)
正应力为
'''FNM(x)y
A Iz
.
z
A( y, z)
M(coIszy0siInyz0)0
因M≠0，故
coIszy0siInyz0 0 ——中性轴方程
上式表明，中性轴是一条通过横截面形心的直 线。
.
设中性轴与z 轴成 角，则由上式得到 中性轴
tan y0 Iz tan
z0 Iy
z
F 力作用方向
y a)
对矩形截面，IyIz，即α，因而中性轴与F力
方向并不相互垂直。这是斜弯曲的一个重要特征。