第5章杆件应力和强度计算

第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。

二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。

变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。

三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。

四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。

变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。

五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。

2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。

3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。

4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。

5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。

六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。

（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。

（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。

2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。

3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。

（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。

2、固定铰支座——有二个约束反力。

3、可动铰支座——有一个约束反力。

（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。

超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。

§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。

求：距A 端x 处截面上内力。

解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。

第5章 杆件的强度与刚度计算5-1 如图所示的钢杆，已知：杆的横截面面积等于100mm 2，钢的弹性模量E=2×105MPa ，F=10kN ，Q=4kN 。

要求：（1）计算钢杆各段的应力、绝对变形和应变； （2）计算钢杆的纵向总伸长量。

解：（1）计算钢杆各段内的轴力、应力、绝对变形和应变从左到右取3段，分别为1-1、2-2、3-3截面，则根据轴力的平衡，得各段内的轴力：（左）N 1=F=10kN （中）N 2=F-Q=10-4=6kN （右）N 3=F =10=10kN 各段内的应力：（左）MPa Pa S N 1001010010100101066311=⨯=⨯⨯==-σ （中）MPa Pa S N 6010601010010666322=⨯=⨯⨯==-σ （右）MPa Pa S N 1001010010100101066333=⨯=⨯⨯==-σ 各段内的绝对变形：（左）mm m ES L N l 1.0101.0)10100()102(2.0)1010(3653111=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--∆ （中） mm m ES L N l 06.01006.0)10100()102(2.0)106(3653222=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--∆ （右）mm m ES L N l 1.0101.0)10100()102(2.0)1010(3653333=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--∆ 各段内的应变：（左）41111052001.0-⨯==∆=L l ε 题5-1图1 2 3 123（中）422210320006.0-⨯==∆=L l ε （右）43331052001.0-⨯==∆=L l ε （2）计算钢杆的总变形26.01.006.01.0321=++=∆+∆+∆=∆l l l l mm （3）画出钢杆的轴力图 钢杆的轴力图见下图。

Nx5-2 试求图示阶梯钢杆各段内横截面上的应力以及杆的纵向总伸长量。

eBook工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书）(第5章)范钦珊 唐静静2006-12-18第5章轴向拉伸与压缩5－1试用截面法计算图示杆件各段的轴力，并画轴力图。

解：(a)题(b)题(c)题(d)题习题5－1图F NxF N(kN)x-3F Nx A5－2 图示之等截面直杆由钢杆ABC 与铜杆CD 在C 处粘接而成。

直杆各部分的直径均为d ＝36 mm ，受力如图所示。

若不考虑杆的自重，试求AC 段和AD 段杆的轴向变形量AC l Δ和AD l Δ解：()()N N 22ssππ44BCAB BC AB ACF l F l l d dE E Δ=+33321501020001001030004294720010π36.××+××=×=××mm ()3N 232c100102500429475286mm π10510π364..CDCD AD AC F l l l d E ΔΔ×××=+=+=×××5－3 长度l ＝1.2 m 、横截面面积为1.10×l0－3 m 2的铝制圆筒放置在固定的刚性块上；-10F N x习题5－2图刚性板固定刚性板A E mkN习题5－4解图直径d ＝15.0mm 的钢杆BC 悬挂在铝筒顶端的刚性板上；铝制圆筒的轴线与钢杆的轴线重合。

若在钢杆的C 端施加轴向拉力F P ，且已知钢和铝的弹性模量分别为E s ＝200GPa ，E a ＝70GPa ；轴向载荷F P ＝60kN ，试求钢杆C 端向下移动的距离。

解： a a P A E l F u u ABB A −=−（其中u A = 0）∴ 935.0101010.11070102.1106063333=×××××××=−B u mm钢杆C 端的位移为33P 32s s601021100935450mm π20010154...BC C B F l u u E A ×××=+=+=×××5－4 螺旋压紧装置如图所示。

拉伸杆件的许用应力计算公式拉伸杆件是一种广泛应用于工程领域的机械构件，通常由金属材料制成。

因其受力状态主要为拉伸状态，所以其许用应力计算也是非常重要的。

一般来说，拉伸杆件在受外力拉伸时，将承受拉伸力的作用，这时，杆件上出现的应力为拉应力，其计算公式为σ=F/A，其中F表示拉力，A表示截面积。

根据拉伸性质，拉应力不会超过材料的抗拉强度，因此，杆件的许用应力计算就是要根据抗拉强度来确定。

许用应力是指杆件所能承受的最大拉应力，通常也叫做极限拉应力。

对于轴对称的杆件，其许用应力计算公式为σmax=F/S，其中，F表示拉力，S表示应力集中系数与截面积的乘积。

应力集中系数是由于杆件悬臂长度不同，所致使应力不均匀分布，而引起的系数。

若杆件为圆柱形，则应力集中系数等于1。

当杆件为正方形、矩形、槽形或其他异形时，应力集中系数需要根据截面形状确定。

而许用应力则需要根据材料的抗拉强度和安全系数来确定。

对于非轴对称的杆件，其许用应力计算公式需要根据实际情况而定。

需要注意的是，杆件的长度也是影响其许用应力的因素之一，一般来说，长度越长，杆件所能承受的拉应力就越小。

因此，在实际使用过程中，需要根据杆件的长度及使用环境来确定合适的许用应力。

除了考虑杆件自身的许用应力，还需要根据实际情况来确定安全系数。

安全系数是指将许用应力与实际所受载荷的比值。

一般来说，安全系数越大，杆件的安全性就越高，但同时也会降低其承载能力。

因此，在实际使用过程中，需要根据实际情况来确定合适的安全系数。

综上所述，拉伸杆件的许用应力计算公式需要根据杆件自身的形状、长度以及材料的抗拉强度和安全系数来确定。

在实际使用过程中，需要根据实际情况来确定合适的许用应力和安全系数，以确保杆件的安全性和承载能力。

§5-1 杆件拉伸和压缩时的强度条件及应力集中课时计划：讲授3学时教学目标：1.掌握杆件拉伸和压缩时的强度条件；2.理解应力集中的概念。

教材分析:1.重点为杆件拉伸和压缩时的强度条件；2.难点为利用拉压强度条件解决工程中的强度问题。

教学设计：本节课的主要内容是讲解杆件拉伸和压缩时的强度条件以及应力集中现象。

重点为杆件拉伸和压缩时的强度条件，在前几章的基础上引出拉压强度条件，并通过对教材例题的讲解，使学生在此过程中进一步理解拉压强度条件，进而学会用其解决校核强度、设计截面和确定许用载荷三类常见工程中的强度问题。

最后列举若干工程实际中变截面杆件的例子，使学生理解应力集中的概念及影响。

第1学时教学内容：一、杆件拉伸和压缩时的强度条件等截面直杆轴向拉伸和压缩时，截面上的应力是均匀分布的，即横截面上各点处的应力大小相等，其方向与横截面上轴力一致，垂直于横截面，故为正应力，如下图所示。

为了保证拉伸和压缩的杆件满足强度要求，必须使杆件内的最大应力不超过材料的许用应力。

则有杆件拉伸和压缩时的强度条件为：][max σσ≤=AF N 杆件的最大应力max σ称为工作应力。

最大应力所在的截面称为危险截面。

工作应力小于等于许用应力，就认为强度足够；工作应力大于许用应力，就认为强度不够。

例题5-1 如图所示的悬臂吊车，尺寸如图。

斜拉杆D C '和水平线的夹角 30=α，材料为Q235低碳钢的无缝钢管，外径D =分析：校核斜拉杆D C '的强度，就是计算该杆件的应力是否超过材料的许用应力。

该杆件的许用应力ns σσ=][ ，由§4-1知Q235低碳钢MPa s 235=σ，由§4-2塑性材料MPa n s118][==σσ。

力c c F F ='可选梁AB 为研究对象列平衡方程求得。

外力：铰链'C 和该杆两端受力KN F F c c 150'==；内力：因为斜杆是二力杆件，其轴力等于两端受力KN F F c N150'==。

杆件的强度计算公式资料讲解杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能⼒，指的是什么？答：构件满⾜强度、刚度和稳定性要求的能⼒称为构件的承载能⼒。

(1)⾜够的强度。

即要求构件应具有⾜够的抵抗破坏的能⼒，在荷载作⽤下不致于发⽣破坏。

(2)⾜够的刚度。

即要求构件应具有⾜够的抵抗变形的能⼒，在荷载作⽤下不致于发⽣过⼤的变形⽽影响使⽤。

(3)⾜够的稳定性。

即要求构件应具有保持原有平衡状态的能⼒，在荷载作⽤下不致于突然丧失稳定。

2.什么是应⼒、正应⼒、切应⼒？应⼒的单位如何表⽰？答：内⼒在⼀点处的集度称为应⼒。

垂直于截⾯的应⼒分量称为正应⼒或法向应⼒，⽤σ表⽰；相切于截⾯的应⼒分量称切应⼒或切向应⼒，⽤τ表⽰。

应⼒的单位为Pa。

1 Pa=1 N／m2⼯程实际中应⼒数值较⼤，常⽤MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=109Pa3.应⼒和内⼒的关系是什么？答：内⼒在⼀点处的集度称为应⼒。

4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。

单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表⽰。

单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表⽰横向应变。

5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松⽐？答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表⽰。

对于轴⼒为常量的等截⾯直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l?=ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。

线应变是⽆量纲（⽆单位）的量。

（2）横向应变拉(压)杆产⽣纵向变形时，横向也产⽣变形。

设杆件变形前的横向尺⼨为a，变形后为a1，则横向变形为aaa-=1横向应变ε/为a a=/ε（4-3）杆件伸长时，横向减⼩，ε/为负值；杆件压缩时，横向增⼤，ε/为正值。

因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。

（3）横向变形系数或泊松⽐试验证明，当杆件应⼒不超过某⼀限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之⽐为⼀常数。

此⽐值称为横向变形系数或泊松⽐，⽤µ表⽰。