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第四章 杆件的应力与强度计算

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《工程力学》第四章 杆件的应力与强度计算

《工程力学》第四章 杆件的应力与强度计算
3.内力的分布(The distribution of internal force)
正应力均匀分布 F
FN
4.应力的计算公式：
拉压杆横截面上各点处只产生正应力，且正应力在截面上均匀分布 。
F
FN
A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。
FN
式中：
为横截面上的正应力； FN为横截面上的轴力； A为横截面面积。
解:作出砖柱的轴力图 AB段柱横截面上的正应力
BC段柱横截面上的正应力 最大工作应力为
二、轴向拉压杆斜截面上应力的计算
1.斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
F
F
FNa= F
(2)应力确定：
F
①应力分布——均布 ②应力公式——
F
a
x
a
FNa
pa FNa
pa
FNa Aa
F A
F cosa cosa
b
问题：正应变是单位长度的线变形量？
三、应力与应变关系(胡克定律 )
一点的应力与该点的应变之间存在对应的关系。
1.单向受力试验表明：在正应力作用下，材料沿应
力作用方向发生正应变，若在弹性范围内加载，正
应力与正应变存在线性成正比：
E ——胡克定律
E 称为材料的弹性模量或杨氏模量。 钢的弹性模量： E 200 GPa 铜的弹性模量： E 120 GPa
直角的改变量。
切应变的特点：
1.切应变为无量纲量;
2.切应变单位为弧度（rad）。
K 3.单元体受力最基本、最简单的两种形式:
单向应力状态：单元体仅在一对互相平行的截面上承受正应力； 纯剪切应力状态：单元体仅承受切应力。
正应变与切应变：

第四章杆件的横截面应力

第四章杆件的横截面应力

I max
m in
I y0 z0
Iy
Iz 2
Iy
2
Iz
2
I yz2
过形心的惯性主轴称为形心惯性主轴（形心主惯性轴）。 过图形上的任何一个点，都可以找到一对相互垂直的惯性主 轴。
4-2 应力与应变的概念
m
Fi1
一. 应力
即：单位截面积上作用着的内力
ΔA ΔFn ΔFt
平均应力：
pm
ΔF ΔA
F
FN
max
FN max A
2qxl
d2
qx
l
qx
FN
x
l/2
F qxl / 2 x F
斜截面上的应力:
拉压杆任一斜截面上的
应力也是均匀分布的：
FN
p FN FN cos cos
A A
FN
正应力和切应力：
cos2 sin cos
FN
最大切应力：
45 max 45 45 / 2
经整理后
I y1
Iy
Iz 2
Iy
Iz 2
cos 2
I yz sin 2
I z1
Iy
Iz 2
Iy
Iz 2
cos 2
I yz sin 2
I y1z1
Iy
2
Iz
sin
2
I yz
cos 2
由前面的推导，可以得到
I y I z I y1 I z1 I p
平面图形A对过O点任意方向轴的惯性矩之最大、最小值
FS
于细长梁来说，由此引入的误差很小，故认为，
FS引起的横截面翘曲对变形几何关系的影响较小。
在横力弯曲时，纵向纤维互不挤压的假设也

杆件的强度计算

杆件的强度计算

平均应力
循环特征
应力幅
杆件的强度计算
1.6 交变应力与疲劳失效
1.6.1 交变应力及其循环特征
2.交变应力分类 交变应力按其循环特征，可以分为对称循环和非对称循环两种类型。 交变应力的最大应力σmax与最小应力σmin大小相等，符号相反，即σmax＝ －σmin，其循环特征为r=－1，这种应力循环称为对称循环。 r≠－1的应力循环称为非对称循环。在非对称循环中，当σmin=0，r=0 时，这种应力循环称为脉动循环。静载荷可以看作交变应力的特殊情况， 其σmax＝σmin＝σm，σa＝0，r＝1。
工程力学
杆件的强度计算
1.1 拉压杆件的强度条件 1.2 连接件的强度条件 1.3 梁的正应力强度
返回
1.4 圆轴扭转的强度 1.5 圆轴弯扭组合变形的强度 1.6 交变应力与疲劳失效
杆件的强度计算
1.1 拉压杆件的强度条件
返回
由于拉、压杆横截面上的应力是均匀分布的，因此，对于等截面的拉、 压杆，其最大轴力所在的截面是危险截面，拉、压杆强度条件为
式中，FNmax为危险截面的轴力；A为危险截面的面积。
强度条件可解决以下三类强度计算问题： (1)校核强度。(2)设计截面尺寸。(3)确定许可载荷。
杆件的强度计算
1.2 连接件的强度条件
1.2.1 剪切的实用计算
如右图所示，构件的某一截面两侧受
到一对大小相等，方向相反，作用线相距
很近的横向外力F作用，此时构件的相邻两
杆件的强度计算
1.4 圆轴扭转的强度
返回
1.4.1 圆轴扭转时横截面上的切应力
如图(a)、(b)所示分别为实心圆轴和空心圆轴横截面上扭转切应力的分
布规律。

【土木建筑】04杆件的应力、强度和刚度

【土木建筑】04杆件的应力、强度和刚度

I 2 dA
A
dA 2π d
I dA
2 A
R
0
πR4 πD4 2π d 2 32
2
由于 I I z I y ，圆截面对任意通过圆心的轴对称，所以 I z I y 3.13
iz iy
Iz A
πD 4 64
πD 2 D R 4 4 2
第4章
可得：
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
πD4 Iz I y I / 2 64
iz iy Iz A πD 4 64 πD 2 D R 4 4 2
(3) 计算惯性半径
(4) 计算抗弯截面模量：
W
I ymax
πD 4 64 πD3 D2 32
2 A b 2 b 2
图4.6 矩形截面
b3 h z bdx 12
2
(2) 计算矩形截面对z轴和y轴的惯性半径：
iz Iz bh3 /12 h h A bh 12 2 3
iy
Iy
b3 h /12 b b A bh 12 2 3
3.12
第4章
杆件的应力、强度和刚度
图4.8 惯性矩的平行移轴
第4章
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
z zc b
y yc a
根据惯性矩定义，图形对z轴的惯性矩为：
I zc yc2 dA ( yc a)2dA yc2dA 2a yc dA a 2 dA
A A A A A
式中：
yc
图4.2 矩形截面
Ay
i 1 i
n
ci

杆件应力及强度计算

杆件应力及强度计算
2 2
P
BC
FNAB 30 103 149Mpa 6 AAB 201 10
FNBC 26 103 2.6Mpa 4 ABC 100 10
拉伸、压缩与剪切
•斜截面上的应力
P
拉压的内力和应力
有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要进 一步讨论斜截面上的应力。 k 设拉力为P，横截面积 为A， P
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第四章
杆件应力与强度计算
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ａ、几何方面： 根据实验现象，作如下假设：
拉压的内力和应力
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为横截面， 只是沿杆轴产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的改变，说明 只有线应变而无角应变。


o

o

拉伸、压缩与剪切
•高温短期
When t 250o ~ 300o C When t 2时间的影响
以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
b b
& &
在低温情况下。象低碳钢， p 、S增大，减小。即发生冷脆现象。
max
s
拉伸、压缩与剪切
剪切的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
FS A
剪切的强度条件：
P
P
FS [ ] A
Q

） [1 ] （塑性材料） （0.6 ~ 0.8 [] 0.8 ~ 1.0） [1 ] （脆性材料） （ [1 ] 为材料的许用拉应力
拉伸、压缩与剪切
2、选择截面

杆件的应力和强度设计(2)

杆件的应力和强度设计(2)

强度计算
等截面杆： FN，max s
A
smax—拉(压)杆的最大工作应力， [s]—材料拉伸(压缩)时的许用应力。
强度条件的应用
三类常见的强度问题
•校核强度：已知外力，s ，A，判断
s max＝
FN A
max
？

s
是否能安全工作？
•截面设计：已知外力，s ，确定
F 4.25 kN
三、圆轴扭转应力
m

m
通过试验、观察变形、
作出假设（平面假设）
t

T
I
t max
T Wt
1）纵向线都倾斜了一个夹角， 且仍为直线 （有切应力）
2）圆周线间的间距没有改变 （无正应力）
3）圆周线的大小和形状均未改 变（切应力方向垂直于径向）
结论：圆轴扭转时，横截面上
只有切应力且垂直于径向。
合理安排梁的载荷
P
L
5L
6
6
Mmax

5 PL 36
q
L
Mmax

1 2
qL2
合理安排梁的约束
q
L
Mmax

1 8
qL2
P/ L
L
1 Mmax 8 PL
q
L 5
3 5
L
L 5
Mmax

1 qL2 40
3. 合理设计梁的外形
等强度梁：梁的每个横 截面上的最大正应力都 等于许用应力的梁。
smaxW Mzxxs
A FN，max
s
•确定承载能力：已知A，s ，确定
FN ＝As
例 一空心圆截面杆, 外径 D 20 mm ,内径 d 15 mm ,承受

第四章 杆件的应力与应力计算


(25 103 ) N 10102 2
m2
0.80MPa
(拉应力)
2.2 轴向拉压杆横截面上的正应
力计算
如图所示，做轴力图并求各个截面应力。
3 f30 E A B1 f20 C 2 f10 D
4kN
6kN
2kN
3kN
1
2
3 5kN
FN 1kN
+

1kN
2kN
+
X
|FN|max=5kN
10
3

2

m
2
15.92MPa
2

2

(压应力) (拉应力) CD

FNCD A1

(110 3 ) N



10
10
3

2
m2
2

12.74MPa
DE

FNDE A3

(2 10 3 ) N

A 1B
F1
1 F2
2 C 3D
2 F3 3 F4
解：计算各段的轴力。 AB段
F1
FN1
BC段
FN2
F1
F2
FN3
CD段
F4
2.1 轴向拉压杆拉伸时横截面上 的正应力特点
F
F
平面
F
F
横向线缩短
纵向线伸长
2.1 轴向拉压杆拉伸时横截面上 的正应力特点
F

FN
如果杆的横截面积为：A
FN
A
轴向拉压杆横 截面上的内力
FN1 = 50kN FN2 = - 30kN FN3 = 10kN FN4 = - 20kN ② 绘制轴力图

第4章 材料力学基础

I p d 3 Wt r 16
4 π π D I p (D4 d 4 ) (1 4 ) 32 32
（4-32）
3 Ip π π D Wt ( D4 d 4 ) (1 4 ) （4-33） r 16D 16
4.4 梁的弯曲
4.4.1 梁的弯曲内力
图4-12 剪切
4.2.2 挤压与挤压应力
图4-13 剪切与挤压
图4-14 挤压应力的分布
4.2.3 剪切与挤压的强度
1．剪切强度计算
由于受剪构件的变形及受力比较复 杂，剪切面上的应力分布规律很难用理 论方法确定，因而工程上一般采用实用 计算方法来计算受剪构件的应力。
在这种计算方法中，假设应力在剪 切面内是均匀分布的。 若以A表示销钉横截面面积，则应 力为 FQ （4-19）
图4-11 应力集中现象
4.2 剪切和挤压
4.2.1 剪切与剪应力
在工程实际中，经常遇到剪切和挤压 的问题。 剪切变形的主要受力特点是构件受到 与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、 作用线相距很近的一对外力的作用，如图 4-12（a）所示。
构件的变形主要表现为沿着与外力 作用线平行的剪切面（ m-n面）发生相 对错动，如图4-12（b）所示。
第4章 材料力学基础
4.1
轴向拉伸与压缩
4.2
剪切和挤压
4.3
圆轴扭转
4.4
梁的弯曲
4.5
组合变形的强度计算
【学习目标】 1．掌握受拉压杆件的强度及变形量的计 算方法 2．理解剪切与挤压的特点和实用计算 3．理解受扭转杆件的应力特点
4．理解受纯弯曲梁的内力及应力特点， 掌握弯矩图的作法 5．理解组合变形的类型及特点，了解强 度理论的涵义及应用特点

第4章杆件的变形和刚度


拉刚度为EA，B点处受F作用，试求B点位移B。
a
【解】 M A 0，
F

L

1 2
L
cos

FCD
FNCD

2F
cos
FNCD
A
C
C
αD
F
B
LCD

FNCD LCD EA

2Fa
EAcos2
C1
L/2
L/2
B1
CC1
CC LCD
cos cos
B

BB1

2CC1
形。实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变x与 横向应变y之间存在下列关系：
y x
为材料的一个弹性常数，称为泊松比(Poisson ratio)。
第4章 杆件的变形和刚度
拉压杆件 的变形分析
【例4-1】 变截面直杆，ADE段为铜制，EBC段为钢制；
在A、D、B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的
第4章 杆件的变形和刚度
拉压杆件 的变形分析
【例4-2】 已知杆长L=2m，杆直径d=25mm，=300，材料
的 弹 性 模 量 E=2.1×105MPa ， 设 在 结 点 A 处 悬 挂 一 重 物
F=100kN，试求结点A的位移A。
【解】 1． 求轴力
Fx 0，
FNAC sin FNAB sin 0
B1
2C
FNAB FNAC
αα
Fy 0,
FNAC cos FNAB cos F 0
FNAC

FNAB

F
2 cos
A

杆件的强度计算公式

杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能力，指的是什么？答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。

(1)足够的强度。

即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。

(2)足够的刚度。

即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。

(3)足够的稳定性。

即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。

2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？答：内力在一点处的集度称为应力。

垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。

应力的单位为Pa。

1 Pa=1 N／m2工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=109Pa3.应力和内力的关系是什么？答：内力在一点处的集度称为应力。

4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。

单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。

单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。

5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？ 答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。

对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l∆=ε（4-2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。

线应变是无量纲（无单位）的量。

（2）横向应变拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。

设杆件变形前的横向尺寸为a ，变形后为a 1，则横向变形为a a a -=∆1 横向应变ε/为a a∆=/ε（4-3）杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。

因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。

（3）横向变形系数或泊松比试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之比为一常数。

此比值称为横向变形系数或泊松比，用μ表示。

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杆
即拉杆所有纵向纤维的伸长均相等
件
材料均匀，各纵向纤维力学性能相同
的 应
结论：正应力均匀分布在横截面上
力
与 强
PP
度
计
算
受力相同
PP
§4-1 拉压杆的应力
横截面上的应力
第 四
P
P
章
杆
件
的 应
FN dA dA A
力
A
A
与
强 度 计
FN
算
A
§4-1 拉压杆的应力 关于公式的几点说明
BC

FNBC ABC

26103 100 104
2.6Mpa
§4-1 拉压杆的应力
斜截面上的应力
有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要 进一步讨论斜截面上的应力。

设拉力为P，横截面 P
积为A，则
P A
P
取k-k斜截面，夹角为， P
则A A / cos ， 而F P，
定
转动趋势为正，
反之为负
§4-1 拉压杆的应力
斜截面上的应力
P
k
k





(1 cos 2 2 sin 2
2
)
1、When 0

达到最大

max
2、When


45o


达到最大

max 2
3、When 90o 0
章 成标准试样(standard specimen);然后将试样安装在试验机上，
杆 使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自 件 动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲 的 线，称为应力-应变曲线(stress-strain curve)。 应
力 与
长试件 短试件
强 度
圆截面：
面积。
力
与
延伸率和截面收缩率的数值越大，表明材料的韧性
强 越好。
度 计 算
工程上一般认为δ>5％者为韧性材料（塑性材料）； δ＜5％者为脆性材料。
上有孔或槽时，在截面曲率突变处的应力要比其它处的应力
第 大得多，这种现象称为应力集中。
四
章
理论应力集中因素
杆
Kt
max m
件
的
应
力
与
强
度
计
算
§4-2 材料拉压时的力学性能
力学性能: 材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方
面的特征。需由实验测定。
常温静载试验
第
四
进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制
§4-1 拉压杆的应力
横截面上的应力
① 静力学关系：
第
四
章
dFN dA
杆
件
的
应
力
与 强
P
度
计
算
FN dA A P
Y
dA
Z
§4-1 拉压杆的应力
横截面上的应力
② 几何关系
第 根据实验现象，作如下假设：
四
平面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为平面，
章 且仍垂直于轴线，只是沿杆轴产生了相对的平移。
即纵截面上无任何应力。
4、When 1 90o
1


2
sin
2(
900 )


2
sin
2


切应力互等定律：在两个互相垂直的界面上，切应力必成对
出现，数值相等，方向为共同指向或背离两垂直面的交线。
§4-1 拉压杆的应力
应力集中的概念
拉压杆横截面的应力并不完全是均匀分布的，当横截面
B
PHale Waihona Puke 解： FX 0FNAB 2P 30kN
FY 0
FNBC 3P 26kN
杆C
件 的 应 力 与
30O
B
a
P
AAB


4
d
2

201mm2
AB

FNAB AAB

30 103 201106
149Mpa
强
度 计 ABC a2 100cm2 算
的 应 力 与 强 度 计 算
应力将不再是均匀的。如果截
P
P/2
面变化比较缓慢时，可以近似
应用公式。 (x) FN(x)
A(x)
P/2 P
A

5、等直杆
max

FN max A
§4-1 拉压杆的应力
例：已知 P=15kN，d=16mm，a=10cm。求各杆的应力。
A
第 四 章
d
FNAB FNBC
计
矩形截面：
算
§4-2 材料拉压时的力学性能
常温静载拉伸试验
为了得到应力-应变曲线，需要将给定的材料做成
第 四
标准试样（specimen）,在材料试验机上，进行拉伸或 压缩实验（tensile test, compression test）。
章
杆
件
的
应
力
与
强
度
计
试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验
第四章 杆件的应力与强度计算
杆件的应力与强度计算
§4-1 拉压杆的应力 §4-2 材料拉压时的力学性能 §4-3 许用应力 安全因素 强度条件 §4-4 连接件的实用计算 §4-5 圆轴扭转切应力 强度条件 §4-6 梁的弯曲正应力 强度条件 §4-7 梁的弯曲切应力 切应力强度条件 §4-8 梁的合理强度设计 §4-9 两相互垂直平面内的弯曲 §4-10 拉伸（压缩）与弯曲的组合 截面核心
k
k
k
p
k k p
k
P
F
p

F A

P A

P cos
A
cos


p p
cos sin


csoins2cos2(1
2
cos 2) s in 2
正 拉应力为正
负
号 规
绕研究对象体内 任一点有顺时针
1、正负号同轴力，拉应力为正，压应力为负。
2、外力合力的作用线必须与杆的轴线重合。
3、公式只在杆件距力作用点较远部分才成立。
第 四
圣维南（Saint-Venant)原理
章
力作用于杆端的方式不同，只会使作用点附近不大的
范围内受到影响。 杆
4、杆件必须是等截面直杆。
件
若杆截面变化时，横截面上的
延伸率 截面收缩率
b e p
s
上屈服极限
下屈服极限
o
弹性阶段 屈服阶段
强化阶段 颈缩阶段
§4-2 材料拉压时的力学性能
衡量材料韧性性能的指标—— 延伸率和截面收缩率：
第
＝l1 l 100%
四
l
章
＝ A A1 100%
杆
A
件 的 应
其中，l为试样原长（规定的标距）；A为试样的初始横截面面积；l1和 A1分别为试样拉断后长度(变形后的标距长度)和断口处最小的横截面
算 机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。
§4-2 材料拉压时的力学性能
※ 材料在拉伸时的力学性能
加载方式 常温静载试验
材料 低碳钢（A3钢）
第 四
(含碳量<0.3%)
章 三个极限 p(e)，s，b
杆
件
的 应
四个阶段
力
与
弹性阶段， 屈服阶段，
强化阶段， 颈缩阶段
强 度 计 算
二个指标