第三章 杆件的应力与强度计算(拉伸杆)

的能力。
σb ——强度极限（或抗拉强度）
（四）颈缩阶段（DE段）
试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象。
一直到试样被拉断。
伸长率和端面收缩率
试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由
l 变为 l1，横截面积原为 A ，断口处的最小横截面积为 A1 .
伸长率
l1 l 100% l
二、 斜截面上的应力
1. 斜截面上的应力
以 pα表示斜截面 k - k上的 F
k
F

k
应力，于是有
F p A
A A cos
F F
k
F F F p cos cos A A
Fα
k pα
k
将应力 pα分解为两个分量： 沿截面法线方向的正应力

F
C A
F
（2）计算σAB
AB
FN1 260 103 6 10 119.7 MPa 4 A 10.86 2 10
[例2] 起吊钢索如图所示，截面积分别为A1=3cm2，A2=4cm2， l1=l2=50m，P=12kN，ρ=0.028N/cm3，试绘制轴力图，并求 σmax。 解：（1）计算轴力 AB段：取1—1截面
q
C A
钢拉杆
8.5m
B
解： ① 整体平衡求支反力 q
FAx
FAy
钢拉杆
8.5m
FB
F 0 , F m F 0,
x B
Ax
0 FAy 19.5kN
② 局部平衡求 轴力： q FCx FCy
mC F 0 FN 26.3kN
③应力：
FAx
FAy ④强度校核与结论： FN
C 2 B 1 A P A1
1
C
12.98
A2
2
FN1 P A1 x1 (0 x1 l1 )
BC段：取2—2截面
B
A
12
S(kN) FF N
FN2 P A1l1 A2 x2 l1 (l1 x2 l1 ) （2）计算应力 FN B 12.42 103 6 B 10 41.4 MPa 4 A1 3 10 3 FN C 12.98 10 6 C 10 32.45 MPa 4 A2 4 10 max B 41.4 MPa
L x A B
分析：
V ABDLBD;
P C
ABD FN B / ; LBD h / sin 。

h
D
L x
FAx
A
B
FAy

FNB
P
C
解： BD杆内力FN ： 取AC为研究对象，如图
§3-1
问题提出：
引言
P
P
P
P
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
思路（“三方面”法）：变形几何关系、物理关系、静力学关系 变形几何关系：杆件的应变规律←变形规律→假设
物理关系：应力与应变间的关系
静力学关系：内力与应力的关系（内力与外力的关系） 材料的力学性能
许用应力(Allowable stress) 以大于1的因数除极限应力，并将所得结果称为许用应力， 用[]表示.
[ ]
u
n
n — 安全系数 (factor of safety)
塑性材料 (ductile materials) 脆性材料 (brittle materials)
[ ] [ ]
(一）弹性阶段（OA段）
试样的变形完全是弹性的。
即加载变形，卸载后变形能完全恢复。
弹性极限e A点所对应的应力是弹性 阶段的最高值，是材料只 出现弹性变形的最高值。
线弹性阶段（ OA′段）
在弹性阶段内有一段直线段，在该段内σ、ε之间呈线性 关系，称为比例阶段，也称线弹性阶段
E（虎克定律）
倾角，表明这类试件主要 因剪切而破坏。铸铁的抗压 强度极限是抗拉强度极限的 4～5倍.
§3-4 失效、许用应力和强度条件
失效：由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象，称
为失效。
材料的两种失效形式： （1）塑性屈服：指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有 屈服现象。塑性材料如低碳钢等以塑性屈服为标志。 （2）脆性断裂，材料失效时未产生明显的塑性变形而突然断 裂。脆性材料如铸铁等以脆断为失效标志。 极限应力(Ultimate stress)：失效时的应力,并用 u 表示。 塑性材料 —塑性屈服—极限应力σu —屈服极限σs 脆性材料 —脆性断裂—极限应力σu —强度极限σb
（2） 静载: 以缓慢平稳的方式加载
（3） 标准试件：采用国家标准统一规定的试件 圆截面试件：l＝10d，l＝5d
板试件（矩形截面）：
标距：试样上试验段长度
l 11.3 A , l 5.65 A
2.试验设备
（1）万能材料试验机 （2）游标卡尺
二、拉伸试验 低碳钢拉伸时的力学性质
拉伸图 ( P- L曲线 ) 应力应变曲线（ － 图）
E tg
比例极限p A′对应的应力是线弹性 阶段最高值
(二)屈服阶段(AC段) 塑性变形（残余变形）：卸载后不能恢复的变形。 变形特点： σ基本不变，ε显著增加 ——屈服或流动 上屈服极限——不稳定
下屈服极限——稳定——屈服极限（σs）
塑性材料的失效应力:s
滑移线（与轴线成45°夹角）
（三）强化阶段（ CD段） 材料的强化：材料恢复抵抗变形
FN 4P max A d2 4 26.3 103 131MP a 2 3.14 0.016
max
131MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
[例4] 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重
为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应 力为[]。

max



; P f ( FN i )
FN max Amin [ ]
③许可载荷：
FN max A
[例3] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布 集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许
用应力[]=170M Pa。
试校核刚拉杆的强度。
n
（2）当 = 45°时， max 2 min （3）当 = -45° 时， （4）当 = 90°时， 0,


x
2 0
k
三、拉（压）杆的应变.胡克定律
1、纵向变形 纵向变形 纵向应变
2、横向变形
Δl l1 l Δl l
是试样的塑性应变
冷作硬化：在材料强化阶段卸
载后再加载,材料比例极限提高, 而塑性降低的现象。
冷作时效：在常温下把材料预拉到强化阶段，然后卸载，经过 一段时间后再受拉，则其线弹性范围的最大荷载还有所提高。
铸铁在拉伸时的力学性能
/MPa
铸铁拉伸时力学性能特点： 1）无屈服和颈缩现象；
ｂ
α
2）拉断时应力较小； 3）基本无直线段，近似 服从胡克定律，并以割线 的斜 率作为弹性模量。

F
k n
拉伸为正 （2）正应力 压缩为负
F
k

k pα
x
（3）切应力 对研究对象任一点取矩 顺时针为正


pα
逆时针为负
讨
论
p cos cos2
p sin
（1）当 = 0° 时，

2
sin2
max

F k
h 1.5 ~ 3.0 d
d
h
2.低碳钢压缩时的σ-ε曲线
压缩的实验结果表明 低碳钢压缩时的弹性 模量E屈服极限s都与拉 伸时大致相同.
屈服阶段后，试件越
压越扁，横截面面积不断 增大，试件不可能被压断， 因此得不到压缩时的强度 极限.
3.铸铁压缩时的σ-ε曲线
铸铁压缩时破坏端面
与横截面大致成45°～ 55°
断面收缩率
A A1 100% A
≧5%的材料，称作塑性材料 (ductile materials) <5%的材料，称作脆性材料 (brittle materials)
几个概念 卸载定律：把试样拉到超过屈服 极限后卸载，在卸载过程中，应 力和应变按直线规律变化。
p
e 是试样的弹性应变
横向变形
横向应变
3、泊松比 (Poisson’s ratio)


b b1 b b1 b Δb b b
ν 称为泊松比
4、胡克定律 (Hooke’s law)
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此 弹性范围内，正应力与线应变成正比. 由
力学性能也相同，所以它们所受的力也相同。
3.内力的分布 均匀分布 F

FN
4.正应力公式
FN Βιβλιοθήκη Baidu A
拉为正 压为负
5. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
FN ( x) max max( ) A( x)
6. 公式的应用条件： 拉压直杆 杆的截面无突变 截面到载荷作用点有一定的距离
[例1] 如图所示起吊三角架，已知AB杆由2根80×80×7等边角 钢组成，F=130kN，θ ＝30°。求AB杆横截面上的应力。
解：（1）计算AB杆内力 取节点A为研究对象，
FN1
B
FN 2
α
A
由 Fy 0, 得 FN1 sin 30 F 0 FN1 2F 260kN
E
FN A FN l Δl EA
Δl l
上式改写为
式中 E 称为弹性模量 (modulus of elasticity) ，EA称为抗拉
（压）刚度(rigidity).
§3-3 材料在拉伸和压缩时的力学性能
材料的力学性能：也称为材料的机械性能，指材料在外力作
用下表现出的变形、破坏等方面的特性。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件： （1） 常温: 室温
F

F
k n
p cos cos2
沿截面切线方向的剪应力 F
k

k pα
x
p sin

2
sin2


pα

k
2.符号的规定(Sign convention) （1）α角 自 x 转向 n 逆时针时 为正号 顺时针时 为负号
F
7. Saint-Venant原理： 力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横 向尺寸的范围内受到影响<离开载荷作用处一定距离（约为横截 面尺寸），应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响> 。
Saint-Venant原理与应力集中示意图 变形示意图： P a b c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
s
ns
b
nb
理想构件与实际构件之差别 安全系数的选取 材料性质 脆性材料： n=2.0~3.5 加载性质 工作条件 塑性材料：n=1.2~2.5
强度设计准则
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
FN ( x) max max( ) A( x)

其中：[]－许用应力， max－危险点的最大工作应力。 依强度准则可进行三种强度计算： ①校核强度： ②设计截面尺寸：
Mechanics of Materials
§3-1 引言
§3-2 拉（压）杆的应力与应变 §3-3 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §3-4 失效、许用应力和强度条件 §3-6 薄壁圆筒的扭转 §3-7 圆轴扭转时的应力与强度条件 §3-8 纯弯曲时梁的正应力 §3-9 横力弯曲时梁的正应力.弯曲正应力强度条件 §3.10 弯曲切应力.弯曲切应力强度条件 §3-11 梁的合理设计 §3-12 剪切与挤压的实用计算 §3-13 应力集中
O
/%
只有一个强度指标σ
b
E tan 割线斜率
其它金属材料在拉伸时的力学性能

0.2
o
0.2 %

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，当产生的塑性应变 ε ＝0.2%时，所对应的应力作为塑性指标，并用σ P0.2
表示,称为规定非比例伸长应力（名义屈服极限）
三、材料压缩时的力学性能
1.实验试件
§3-2
拉（压）杆的应力与应变
变形前
一、拉（压）杆横截面上的应力
受载后
F F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂 直于轴线. 2.各纵向纤维伸长相同，由均匀性假设，各纵向纤维的