两圆的公切线

作两圆外公切线的原理
纸上画“两圆A和B”的外公切线作法：
（1）作AB线段的中点M点，以M为圆心，AM为半径作圆1，再以A为圆心，圆A、B之半径差为半径作圆2，则此两圆（1、2）交於点Q，连接AQ，则与圆A交于点P，过P点作垂直线，即为公切线。

（2）注意：此处圆A大于圆B，即圆2在大圆内部才能成功。

1、两个不相交的圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

2、和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

数学教案－两圆的公切线引言数学中，圆是一种基本的几何形状，而公切线是指两个圆之间的切线。

研究两个圆的公切线对于培养学生的几何思维、分析问题的能力以及解决实际问题有着重要的作用。

本教案将引导学生通过探究两个圆的公切线的性质，加深对圆形和切线的理解。

教学目标1.了解切线的定义和性质。

2.探究两个圆的公切线的存在条件。

3.理解和应用两个圆的公切线的性质。

教学重点1.公切线的定义和性质。

2.两个圆的公切线的存在条件。

3.两个圆的公切线的性质。

教学内容1. 切线的定义和性质切线的定义在平面几何中，给定一个圆和其上的一个点，过这个点可以作出无数条切线。

切线是与圆仅有一个交点的直线。

切线的性质1.切线与半径的垂直关系：切线与过切点的半径垂直。

2.切线与圆弧的夹角：切线和过切点的切线与圆弧之间的夹角为直角。

2. 两个圆的公切线的存在条件外公切线当两个圆半径之和大于两圆心之间的距离时，两圆存在两条外公切线。

#### 内公切线当两个圆半径之差大于两圆心之间的距离时，两圆存在两条内公切线。

3. 两个圆的公切线的性质1.公切线与两个圆心的关系：两个圆的公切线与两个圆心的连线垂直。

2.公切线的切点：两个圆的公切线与两个圆的切点在一条直线上。

3.外公切线和内公切线的夹角：两个圆的外公切线和内公切线的夹角为直角。

教学步骤1.导入知识：回顾切线的定义和性质。

2.提出问题：给定两个圆，请确定它们的公切线是否存在。

3.探究实践：让学生自主探究两个圆的公切线的存在条件。

4.总结归纳：让学生总结并提出存在条件和性质。

5.拓展应用：将所学的知识运用到解决实际问题中。

6.小结复习：对所学知识进行小结和复习。

教学资源•教材：数学教材•演示工具：黑板和粉笔思考题1.两个圆的半径分别为r1和r2，它们的圆心距离为d。

请推导出两个圆的外公切线的长度的表达式。

2.两个圆的半径分别为r1和r2，它们的圆心距离为d。

请推导出两个圆的内公切线的长度的表达式。

∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，
即∠APC＝∠BPD．
反思：（1）作了两圆公切线MN后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视MN的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．
拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）
教学难点：
两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．
教学活动设计
（一）实际问题（引入）
很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）
（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．
教学难点：
综合知识的灵活应用和综合能力培养．
教学活动设计
（一）复习基础知识
教学难点：
两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．
（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）
（二）应用、反思
(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．
2、理解概念：
(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?
(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?
(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．

怎样确定两圆的内公切线和外公切线答：首先应弄清公切线、内公切线和外公切线等概念．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线图1(1)．两个圆在公切线6d22aeae8db846b70d2b475bba1b063c两旁时，这样的公切线叫做内公切线图1(2)．根据定义可以分清什么是两圆的内公切线，什么是两圆的外公切线．由于两圆的位置不同，这两圆的公切线条数也不相同．下面分别讨论．(1)当两圆外离时，可以作两条外公切线和两条内公切线，故共有4条公切线；(2)当两圆外切时，可以作两条外公切线和1条内公切线，故共有3条公切线；(3)当两圆相交时，可以作两条外公切线，而无法作出内公切线，故共有2条公切线；(4)当两圆内切时，只可作1条外公切线，而无法作两圆的内公切线，故共有1条公切线；(5)当两圆内含时，没有公切线．反过来，若两圆有4条、3条、2条、1条、没有公切线时，也可判定两圆的位置关系分别是外离、外切、相交、内切、内含．介绍两圆相外离时公切线的作法如下．作两圆的公切线，关键是作出切点，解决问题的方法是把它转化为过一点作圆的切线问题．可以想像把两圆中较小的一个圆的半径逐渐变小，最后成为一个点的情况；与小圆半径变小的同时，大圆的半径也相应地变小相等的长度，可结合画图，得到作相离两圆的外公切线转化为过圆外一点作圆(辅助圆)的切线．所以得出要先作出和大圆同心，并且半径等于两半径之差的辅助圆．如图2所示，画两个圆的公切线时，总是以较大的圆的圆心为圆心，先画一个辅助圆．如果是画外公切线．那么辅助圆的半径等于两圆半径的差；如果要画的是内公切线，那么辅助圆的半径等于两圆半径的和．辅助圆画好后，再从较小的圆的圆心作辅助圆的切线，连结切点和较大圆的圆心的线段，使之与较大圆相交于一点(画外公切线时要延长)，然后过这交点画辅助圆的切线的平行线，就得到要画的公切线．总之，画外公切线和画内公切线的方法是一样的，只是辅助圆的半径不同．当两圆外切、两圆相交时两圆外公切线的作法与两圆外离时的作法基本相同．想一想两圆外切时内公切线的作法(过切点作两圆连心线的垂线)．1421-1638-9529-3184。

2 1 0 0 0
2 2 2 1 0
4 3 2 1 0
1.和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线 和两个圆都相切的直线， 和两个圆都相切的直线 2.两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线 两个圆在公切线的同旁时， 两个圆在公切线的同旁时
3.两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线 两个圆在公切线的两旁时， 两个圆在公切线的两旁时
家庭作业： 家庭作业：
课本P96 习题10、11
练习：（一 如表中图，不同位置的两圆都有外公切线吗？都有内公切线吗？ 练习：（一）如表中图，不同位置的两圆都有外公切线吗？都有内公切线吗？请 ：（ 将下表中的内公切线和外公切线画出来，并填出外公切线，内公切线的条数。 将下表中的内公切线和外公切线画出来，并填出外公切线，内公切线的条数。 位 置 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 图形 内公切 线数 外公切线 数 公切线 总条数
C O2
AБайду номын сангаас
O1
过 O1作O1C⊥O2B，垂足C， 则四边形O1ABC为矩形， 于是有 O1C⊥C O2，O1C= AB，O1A=CB． 在Rt△O2CO1中 O1O2=13，O2C= O2B- O1A=5 O1C=
2 13 −52
=12 (cm)．
∴AB=12 cm
练习（三）：已知，⊙O1、⊙O2的半径分别为15cm和5cm， 它们外切于点T， 求外公切线AB的长。
两圆的公切线
朱唐庄中学 王娟
复习
1、两圆的位置关系
2、圆和直线的位置关系
相离
相切
相交
３.两圆外离，你能否作一条直线使它与两圆都相切？
两圆的公切线
1.和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线 2.两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线

第三课时两圆的公切线（三）教学目标：（1）理解两圆公切线在解决相关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的水平．教学重点：会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．教学难点：综合知识的灵活应用和综合水平培养．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念．（2）切线的性质，弦切角等相关概念．（二）公切线在解题中的应用例1、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B，C为切点．若连结AB、AC会构成一个怎样的三角形呢？观察、度量实验（组织学生实行）猜测：（学生猜测）∠BAC=90°证明：过点A作⊙O1和⊙O2的内切线交BC于点O．∵OA、OB是⊙O1的切线，∴OA=OB．同理OA=OC．∴OA=OB=OC．∴∠BAC=90°．反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作两圆的公切线是常见的一种作辅助线的方法．例2、己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：∠APC＝∠BPD．分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线O1O2，或作外公切线．证明：过P点作两圆的公切线MN．∵∠MPC=∠PDC，∠MPN=∠B，∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，即∠APC＝∠BPD．反思：（1）作了两圆公切线MN后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视MN的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆⊙O1的弦AB与小圆⊙O2相切于C点．是否有：∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．答案：有∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4．（三）练习练习1、教材145练习第2题．练习2、如图，已知两圆内切于P，大圆的弦AB切小圆于C，大圆的弦PD过C点．求证：PA·PB=PD·PC．证明：过点P作两圆的公切线EF∵AB是小圆的切线，C为切点∴∠FPC=∠BCP，∠FPB=∠A又∵∠1=∠BCP-∠A ∠2=∠FPC-∠FPB∴∠1=∠2 ∵∠A=∠D，∴△PAC∽△PDB∴PA·PB=PD·PC说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易．（三）总结学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(假如存有)在连心线上．2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形．3、常用的辅助线：（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线．4、自己要有深入研究问题的意识，持续反思，持续归纳总结．（四）作业教材P151习题中15，B组2．探究活动问题：如图1，已知两圆相交于A、B，直线CD与两圆分别相交于C、E、F、D．(1)用量角器量出∠EAF与∠CBD的大小，根据量得结果，请你猜测∠EAF与∠CBD的大小之间存有怎样的关系，并证明你所得到的结论．(2)当直线CD的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由．(3)假如将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点A”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明．提示：（1）（2）（3）都有∠EAF+∠CBD=180°．证明略（如图作辅助线）．说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，实行数据分析，归傻贸霾孪耄っ鞑孪氤闪ⅲ庖彩?a href=://teachercn/Class/034/ target=_blank>数学发现的一种方法．第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化．第(3)题中若CD移动到与两圆相切于点C、D，那么结论又将变为∠CAD＝90°．数学教案－两圆的公切线。

两圆公切线的分类
• 按照与圆心的位置关系分类： * 外公切线：与两个圆心都在圆外 * 内公切线：与两个圆心都 在圆内 * 外内公切线：与一个圆心在圆外，另一个圆心在圆内
• * 外公切线：与两个圆心都在圆外 • * 内公切线：与两个圆心都在圆内 • * 外内公切线：与一个圆心在圆外，另一个圆心在圆内
圆心距小于两圆半径之和（差）
定义：当两圆的圆心距小于两圆半径之和（差）时，两圆相交
求法：利用两圆相交的条件，通过求解两圆方程的公共解来求得两圆的交点
性质：两圆相交时，两圆之间的距离为两圆半径之差
应用：在几何学、物理学等领域中，两圆相交的情况经常出现，因此求两圆的交点对于解 决相关问题具有重要意义
两圆公切线的应用
在几何作图中的应用
确定两圆的交点： 通过两圆公切线 可以确定两圆的 交点位置，从而 求解相关问题。
判断两圆的位置 关系：通过观察 两圆公切线的条 数和形态，可以 判断两圆的位置 关系，如相切、 相离、相交等。
求解与圆相关的 几何问题：利用 两圆公切线可以 求解与圆相关的 几何问题，如求 圆的半径、面积 等。
《两圆公切线》PPT课件
汇报人：PPT
汇报时间：20XX/XX/XX
YOUR LOGO
目录
CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 课件封面 3 目录 4 两圆公切线的定义与性质 5 两圆公切线的求法
6 两圆外切与内切的判断方法
单击此处添加章节标题
课件封面
标题
课件名称：《两圆公切线》 课件版本：XX 制作单位：XXX 制作时间：XXXX年XX月XX日
回顾本节课的主要内容 总结两圆公切线的性质和定理 强调两圆公切线在几何中的应用 回顾与思考：如何更好地理解和掌握两圆公切线

公切线的条数怎么看
公切线的条数怎么看的方法如下：
若两圆相离，则有4条公切线。

若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）。

两圆相交，则有2条公切线（外切）。

若两圆内切，则有1条公切线。

若两圆内含，则有0条公切线。

公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。

公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。

如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。

公切线的条数与两圆的位置关系如下：若两圆相离，则有4条公切线；若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）；两圆相交，则有2条公切线（外切）；若两圆内切，则有1条公切线；若两圆内含，则有0条公切线。

两个圆的公切线
和两圆都相切的直线,叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线。

两个圆在公切线的两旁时,这样的公切线叫做内公切线。

公切线性质：
1.两圆的两条外公切线长相等。

2.两条内公切线的长也相等。

3.两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。

位置关系：
公切线的条数与两圆的位置关系如下：
若两圆相离，则有4条公切线。

若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）。

两圆相交，则有2条公切线（外切）。

若两圆内切，则有1条公切线。

若两圆内含，则有0条公切线。

从边长分别为a、b（a>b）的矩形纸片上
剪下一个最大的圆，然后再从剩下的余料
中又剪下一个尽可能大的圆，求第二次剪
下的圆的直径。
A
D
计算题： 两圆外切，通常
a
O1
辅助线的添法是
M
O2
连结两圆圆心，
B
b
C
平移外公切线，
构成直角三角形， a
利用勾股定理计
算。 b
如大求如A切求，图圆证图线证B，的：，，：C是弦⊙∠⊙BA、B⊙AOAO⊥辅CBP11O和和为C交A1＝助C和⊙⊙切小∠⊙OO点线圆B22O。于内外P：2DC的切切。、作公于于DP公。，切线O COAB DBAO Q NPMOC 切已(要公计两从径如 求计两如已(C公如通（1求C思要两两3求（两 （求求公（如求 求（求两两两求（两求计两4的1已(两两两切两 已(两（公已(从径两C（AAAAA、 、 、 、AAA线知做切算圆边。图证算圆图知切图常2证想做圆圆证1圆1证证切2图证证2证圆圆圆证2圆证算圆高知个圆圆线圆知圆2切知边。圆1)))))33333的的的） ） ） ） ） ） ⊙ ） ）如如如长 两 一 线 题 外 长 ，： 题 外 ， 两 线 ， 构 ： ： 一 半 外 ： 半： ： 线 ， ：： ： 半 在 内 ： 外 ： 题 外 ， 两 圆 内 半 长 半两 在 线 两 长 在延延延B图图若求当B设O图 B求有圆个数：切分⊙ A：切⊙圆数⊙造（构个径切（径 ∠∠数⊙A∠∠径公切（切（：切交圆是切径有径 圆公数圆分公DDD1长长长，，小证DE， 证CCAAAA(((((是222什半如量，别O，O半量O直1造如分时1分 量O分切时1时1，F半否时分什分 半切量半别切BBBBBFCPPPP∥线线∥线＝＝＝⊙）⊙）圆：））⊙ ：G1111=)))))△么径图&通为通径&角直图别，别 &＝别线，，通径一，别么别 径线&径为线CCCCBB22222和 和和和交交交于xDDD的四四△△△OOAO两两两两＝＝＝＝DDA，定分那常常分三角那为内为 为的内内常分定内为定为 分的分的a5aBAAA⊙ ⊙⊙⊙111⊙⊙M⊙。。半边边、TT，T、B圆圆圆圆∠∠∠∠···和和⊥和写理别样辅辅别角三样公两（公辅别有（理别同别同55555CCC，DDDCOOOOOOOBBBB径形形b和和 T和和和 b位位位位(((((⊙⊙A⊙DDD出CCC的？是的助助是形角的切旁外切助是公外？是旁是旁CCCCC（（2222PPPP111C且为33F333FC∽∽∽。。。置置置置外 外内外于于于)))))DDDDOO：O矩外你方线线方的形线）线线方切）你方方VV———11111a，， ，，， aEEA；△ △ △。。。。r形形关关关关>>切 切切22切2DDDHH，DT形接猜程的的程知，的公的的程线公猜程程———且且 且且且内外内bbTTT。。A。GG＝架架系系系系于 于于于））EAAAF圆想添添识利长切长添？切想xx内xx外x外＝两两 两两两切切切是是22222EDBBB(((((6，，点 点AP的的DDDDD，公法法点用怎线怎法线公公公公-----2圆圆 圆圆圆，H于；于；；于＝矩矩，，77777))))):将将AA矩矩G3xxxxx与无无无无无切是是：勾样的样是的切切切切共共 共共共BTPT形形、 两大、+++++时两两的形形C，，，⊙线连连垂股？长？连长线线线线55555有有 有有有；；B圆圆B，＝=====个个面纸纸⊙⊙AO的结结径定此怎此结怎的CC三三 三三三00000的的求8为钢钢积的的的的的1为 为片片OO长两两定理时样时两样长条条 条。条条内外弦A⊙11管管y两两两两两两 两上上相圆圆理，？，圆？相公公 公公公B与的的切公AO托托根根根根根圆 圆剪剪的应圆圆、外外圆应B切切 切切切x弦弦求于切1起起之交，，，，，外 外下下长上有心心切公公心有线线 线线线TT证点线，，间小圆圆圆圆圆公公AA一一。一什，，线切切，什，，，，，：AB、、已已的圆心 心 心 心 心切 切个个点的么平平长线线平么C则则 则则则大TT知知函于距距距距距线 线切最最，⊙性移移定长长移性BB两两 两两两圆钢钢数C分分为为为为为， ，⊙大大AO质外外理是是外质圆圆 圆圆圆的、B管管关别别77777BOB2的的？公公、两两公？的的 的的的切，，，，，半交、 D、1的的系交交圆圆写切切公圆圆切写于圆圆 圆圆圆。⊙那那那那那径ACC外外式⊙⊙，，B出线线切直直线出点心心 心心心为 为O么么么么么R于径径及OO然然结，，线径径，结=2B距距 距距距切 切两两两两两22于2F分分定，后后论构构的的构论于于等等 等等等点 点r，圆圆圆圆圆。B别别义切再再并成成比比成并CC于于 于于于， ，交,公公公公公交为为域和和⊙从从证直直例例直证AAA切切切切切⊙；22DDODD剩剩C明角角中中角明00线线线线线。。为 为2O于00下下。三三项项三。于的的的的的1mm⊙ ⊙G的的于角角，，角Cmm条条条条条，OO,余余E形形怎怎形和和连数数数数数11。。 。。。E，料料直 直，，样样，88结F是是是是是B00⊥中中径 径利利证证利AmmP（（（（（BB又又， ，、mm用用明明用C、，，剪剪A勾勾？？勾，）））））AP求求下下股股股垂C的VV；一一定定定足延形形个个理理理为长角角1尽尽计 计 计E线αα，可可算算算的的分1G能能。。。度度别H大大数数交⊥的的。。⊙B圆圆CO，，，12、垂求求足⊙第第为O二二2H次次于，剪剪CA下下、D2是的的D。△圆圆A的的B直直C

两圆的公切线教学目标：1．理解两圆公切线、外公切线、内公切线、公切线长的概念。

2．理解两圆位置关系和公切线条数之间的关系。

3．理解两圆的外公切线长相等、内公切线长相等。

4．理解两圆公切线长、两圆半径、圆心距之间的关系及其推导方法，并能运用其进行简单计算。

教学重点：两圆公切线的概念及相关计算教学难点：灵活运用切线相关性质及定理进行计算。

教学过程：1．开门见山，理解公切线概念定义：和两圆都相切的直线称为两圆的公切线。

如图，请画出图中两圆所有公切线。

（请一同学上台借尺完成，台下同学思考并补充）两圆的公切线共有几条？答：4条；或答：和两圆的位置关系有关。

（简单复习两圆的五种位置关系）请作图探究，两圆位置关系发生变化时，两圆的公切线条数会发生怎样的变化？学生练习纸上作图，请两位同学同时在台上作图。

定义：两圆在公切线同旁，公切线叫做外公切线；定义：两圆在公切线两旁，公切线叫做内公切线；边看黑板，一边完成书上45页表格，齐声作答。

（填空判断小练习）2．两圆公切线的实际模型与计算实际生活中我们也经常可以看到两圆公切线的模型，例如自行车的链条、机床驱动用的皮带、修正带等等。

在设计这些实物的过程中，需要对其尺寸大小加以计算。

定义：两圆公切线上两切点间距离叫做公切线的长。

例：如图，已知自行车前驱齿轮半径为3分米，后驱齿轮半径为1分米，两齿轮轴间距8分米，求上方链条长（即公切线AB的长）思考1：若链条重力不计（即不考虑链条下沉），下方链条长为多少？思考2：若已知条件不变，改为求内公切线长，结果如何？两条内公切线长大小关系如何？思考3：若已知条件变为两圆半径分别为r1，r2，圆心距为d，则如何表示外公切线及内公切线的长？例题解答过程：学生上台添线口述（鼓励不同解法）思考1：口答思考2：学生上台添线口述（鼓励不同解法）思考3：可先组织学生讨论，确定大方向。

推导、最后汇总。

（公式直接运用小练习）观看板书小结：1．公切线的相关概念、公切线条数和两圆位置的关系、公切线长的概念。

两圆的公切线教案两圆的公切线教案「篇一」教学目标：（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）（二）应用、反思例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b．求：公切线的长ab。

组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．过 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c。

则o1c=ab，o1a=bc．在rt△o2co1和．o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6∴o1c=(cm)．∴ab=8（cm）反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数．解：(略)反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．组织学生进行，教师引导．归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．（三）巩固训练教材p142练习第1题，教材p145练习第1题．学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．（四）小结（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．（五）作业教材p153中12、13、14．第三课时两圆的公切线（三）教学目标：（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．教学重点：会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．教学难点：综合知识的灵活应用和综合能力培养．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念．（2）切线的性质，弦切角等有关概念．（二）公切线在解题中的应用例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点．若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？观察、度量实验（组织学生进行）猜想：（学生猜想）∠bac=90°证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o．∵oa、ob是⊙o1的切线。

d 2 (R r)2
d 2 (R r)2
当两圆外切时，外公切线长＝ 2 Rr 。
3．公切线的运用：
两圆公切线不但在生产上有其具体应用，在几何证 题中的应用更是屡见不鲜的。 例1 如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的 公切线，B、C为切点 . 求证： AB ⊥ AC .
A
O1
B
A
D O2
O2 D
O1
C
C
B
2.两圆的位置与公切线条数的关系
位置
相离
图形
内公切线数
外公切线数
2
2 2 2 1
外切
相交 内切
1
0 0
内含
0
0
(2)公切线长的概念： 公切线上两个切点的距离叫公切线的长。 (3)公切线的性质： ①两圆的两条外公切线长相等，两圆的两条内公切线长相等。 ②如果两圆有两条公切线，并且相交，那么交点一定在两圆 的连心 线上，连心线平分两条公切线的夹角。 (4)公切线长的计算： 内、外公切线长的计算，都是利用直线和圆相切的性质， 通过作出过切点的半径，再连结两圆的圆心,把问题转化为 解一个直角三角形来解决。 设大圆半径为R、小圆半径为r，连心线长为d， 则两圆外离时：外公切线长＝ 内公切线长＝
两圆相交 两圆内切
两圆有且只有四条公切线。 两圆有且只有三条公切线。
两圆有且只有两条公切线。 两圆有且只有一条公切线。
在两圆相交或者相切时，有下列规律：
①当两圆相切时，往往需要作出它们的公切线，找出相等的角。
②当两圆相交时，除考虑公切线外，还需要作出它们的公共弦， 再利用公共弦的性质，找角和弦的关系解决问题。 ③在求两圆的公切线时，需要平移公切线，构造以圆心距为斜 边，以公切线长以及两圆半径差(求外公切线长时)或者两圆半 径和(求内公切线长时)为直角边的直角三角形。然后再解此三 角形。

两圆的公切线(二)引言在上一篇文章中，我们讨论了两个圆的公切线的概念以及求解公切线的方法。

本文将进一步探讨两个圆的公切线，并介绍几个实际问题中的应用。

求解两个圆的公切线假设有两个圆C1和C2，它们的圆心分别为O1和O2，半径分别为r1和r2。

我们的目标是求解这两个圆的公切线。

情况一：两个圆相交当两个圆相交时，存在两条内公切线和两条外公切线。

内公切线内公切线示意图内公切线示意图如图所示，设两个圆的半径分别为r1和r2，圆心之间的距离为d。

对于内公切线，设切点分别为A和B。

根据几何性质可知，AO1、BO1是两个圆的半径，且垂直于相应的切线。

因此，我们可以得到以下等式：(O1A)^2 + (O1O2)^2 = r1^2 —-(1)(O2B)^2 + (O1O2)^2 = r2^2 —-(2)将公式(1)和(2)相减，可以消去O1O2：(O1A)^2 - (O2B)^2 = r1^2 - r2^2根据O1A和AO2的互为相反数的关系，可得：(O1A + O2B)(O1A - O2B) = r1^2 - r2^2由于O1A + O2B = AB，我们可以得到：AB(O1A - O2B) = r1^2 - r2^2由于AB是切线的长度，而O1A - O2B是两个圆心之间的距离，即d。

因此，我们可以得到： AB = (r1^2 - r2^2) / d外公切线外公切线示意图外公切线示意图对于外公切线，同样设切点为A和B。

根据几何性质可知，AO1、BO1是两个圆的半径，且垂直于相应的切线。

因此，我们可以得到以下等式：(O1A)^2 - (O1O2)^2 = r1^2 —-(3)(O2B)^2 - (O1O2)^2 = r2^2 —-(4)将公式(3)和(4)相减，可以消去O1O2：(O1A)^2 - (O2B)^2 = r1^2 - r2^2同样由于O1A + O2B = AB，我们可以得到： AB = (r1^2 - r2^2) / d情况二：两个圆外切当两个圆外切时，存在两条内公切线和两条外公切线。

⊙ 02分别切于点A、B。
求外公切线的长AB。 （2001武汉中考题；6分）
4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知

1．内公切线的概念：
在上一讲的学习中，我们已经知道：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线，若两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
当两圆外离时，有两条内公切线，当两圆外切时有一条内公切线，两圆相交，内切或内含时无内公切线。
2．内公切线的性质：
3．内公切线长的计算：
9．若⊙O1与⊙O2外离，A、B是一条内公切线与两条外公切线的交点，则 AB的长( )来自A．等于一条外公切的长。
B．等于内公切线长与外公切线长的平均数。
C．等于内公切线长与外公切线长的比例中项。
D．当且仅当两圆为等圆时等于一条外公切线的长。
10．已知：如图，两圆外切于P，直线MN与两圆分别切于M、N，过P作一直 线交两圆于A、B，
A．一条外公切线长的二倍。
B．两条内公切线长的和。
C．一条外公切线长和一条内公切线长的和。
D．两条内公切线长和一条外公切长的和的一半。
9．设相离的半径分别为4cm和2cm，且它们的两条内公切线互相垂直，则内公切线的长为_______cm。
10．若两外切，内公切线和一条外公切线相交成60°的角，则小圆半径与大圆半径之比为_______ 。
解：
∴O1C＝AB＝6cm，O1A＝BC
∴O2C＝O2B＋BC＝O2B＋O1A＝8cm
分析：
例3 如图5，已知⊙O1和⊙O2的内公切线CD和外公切线AB分别与连心线O1O2相交于P、Q，
直接证明这个比例式较困难，
注意CD为内公切线，
连O1C、O2D可得O1C∥O2D，
连O1B、O2A可得O1B∥O2A，
而O1C＝O2B，O2A＝ O2D，
证明：连结O1C、O1B、O2A、O2D
∵CD为⊙O1和⊙O2的内公切线