两圆公切线

作两圆外公切线的原理
纸上画“两圆A和B”的外公切线作法：
（1）作AB线段的中点M点，以M为圆心，AM为半径作圆1，再以A为圆心，圆A、B之半径差为半径作圆2，则此两圆（1、2）交於点Q，连接AQ，则与圆A交于点P，过P点作垂直线，即为公切线。

（2）注意：此处圆A大于圆B，即圆2在大圆内部才能成功。

1、两个不相交的圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

2、和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

初中数学公切线的性质有哪些
公切线是两个圆或两个球体之间的一条直线，具有以下性质：
1. 公切线与两个圆或两个球体的切点构成等腰三角形：
公切线与两个圆或两个球体的切点，以及连接两个切点的直线构成一个等腰三角形。

在这个等腰三角形中，两个切点与切点直线的中点连线相等。

2. 公切线在切点处与切线相切：
公切线在两个圆或两个球体的切点处与切线相切。

切点的切线方向相反且互相垂直。

3. 公切线与切点连线互相垂直：
公切线与两个圆或两个球体的切点连线在切点处互相垂直，即两个切点与切点连线互相垂直。

4. 公切线在切点处的切线长度相等：
公切线在两个圆或两个球体的切点处的切线长度相等，即两个切点与切点连线的长度相等。

5. 外公切线与内公切线：
如果两个圆或两个球体相离，它们之间的公切线是外公切线。

外公切线与两个圆或两个球体的切点在同一侧。

如果两个圆或两个球体内切或相交，它们之间的公切线是内公切线。

内公切线与两个圆或两个球体的切点在不同侧。

6. 公切线上的切点坐标关系：
如果已知两个圆或两个球体的半径和圆心坐标，可以通过求解公切线上的切点坐标来确定公切线的方程。

7. 公切线的应用：
公切线在几何问题中有广泛的应用。

例如，可以利用公切线的性质来求解两个圆或两个球体之间的距离、判断两个圆或两个球体的位置关系、构造切线等。

以上是公切线的一些基本性质。

在实际问题中，还可以通过引入向量、三角函数等概念来更深入地研究公切线的性质和应用。

希望以上内容能够满足你对公切线性质的了解。

两个圆的公切线两个圆的公切线圆上任意⼀点拥有唯⼀的圆⼼⾓根据两个圆的位置关系来确定情况1. 两个圆内含，没有公共点，没有公切线2. 两圆内切，有⼀个条公切线3. 两圆完全重合，有⽆数条公切线4. 两圆相交。

有2条公切线5. 两圆外切，有3条公切线6. 两圆相离，有4条公切线1 与 3 什么都不求，情况2 可以直接求出直线AB的极⾓进⽽转换为圆⼼⾓来求切点，连接切点和圆⼼，旋转90度即可得到切线。

情况 4 有两条外公切线，求出圆⼼距d以及|AG| 即可求出α的⼤⼩，根据→AB的极⾓进⾏旋转即可求出切点，进⽽得到切线情况 5 的内切线类似情况2情况 6 的外公切线与情况4完全⼀样情况 6 的内切线也是先求出圆⼼⾓α，如何求？cosα=A r+B r |AB|struct circle{Point p;double r;// 通过圆⼼⾓求圆上某⼀点Point point(double a){return Point(p.x + cos(a) * r, c.y + sin(a) * r);}}// a[i] 存放第 i 条公切线与圆A 的交点int getTangents(circle A, circle B, Point*a, Point *b){int cnt = 0;// 以A为半径更⼤的那个圆进⾏计算if(A.r < B.r) return getTangents(B, A, b, a);db d2 = (A.p-B.p).len2(); // 圆⼼距平⽅db rdiff = A.r - B.r; // 半径差db rsum = A.r + B.r; //半径和if(d2 < rdiff * rdiff) return 0; // 情况1，内含,没有公切线Vector AB = B.p - A.p; // 向量AB，其模对应圆⼼距db base = atan2(AB.y, AB.x); // 求出向量AB对应的极⾓if(d2 == 0 && A.r == B.r) return -1;// 情况3，两个圆重合，⽆限多切线 if(d2 == rdiff * rdiff){ // 情况2，内切，有⼀条公切线a[cnt] = A.point(base);b[cnt] = B.point(base);cnt++;return 1;}// 求外公切线db ang = acos((A.r - B.r) / sqrt(d2)); //求阿尔法// 两条外公切线a[cnt] = A.point(base+ang); b[cnt] = B.point(base+ang); cnt++;a[cnt] = A.point(base-ang); b[cnt] = B.point(base-ang); cnt++;if(d2 == rsum * rsum){ // 情况5，外切，if⾥⾯求出内公切线a[cnt] = A.point(base); b[cnt] = B.point(pi+base); cnt++;}else if(d2 > rsum * rsum){ //情况6，相离，再求出内公切线db ang = acos((A.r + B.r) / sqrt(d2));a[cnt] = A.point(base + ang); b[cnt] = B.point(pi+base+ang);cnt++; a[cnt] = A.point(base - ang); b[cnt] = B.point(pi+base-ang);cnt++; }// 此时，d2 < rsum * rsum 代表情况 4 只有两条外公切线return cnt;}Processing math: 100%。

怎样确定两圆的内公切线和外公切线答：首先应弄清公切线、内公切线和外公切线等概念．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线图1(1)．两个圆在公切线6d22aeae8db846b70d2b475bba1b063c两旁时，这样的公切线叫做内公切线图1(2)．根据定义可以分清什么是两圆的内公切线，什么是两圆的外公切线．由于两圆的位置不同，这两圆的公切线条数也不相同．下面分别讨论．(1)当两圆外离时，可以作两条外公切线和两条内公切线，故共有4条公切线；(2)当两圆外切时，可以作两条外公切线和1条内公切线，故共有3条公切线；(3)当两圆相交时，可以作两条外公切线，而无法作出内公切线，故共有2条公切线；(4)当两圆内切时，只可作1条外公切线，而无法作两圆的内公切线，故共有1条公切线；(5)当两圆内含时，没有公切线．反过来，若两圆有4条、3条、2条、1条、没有公切线时，也可判定两圆的位置关系分别是外离、外切、相交、内切、内含．介绍两圆相外离时公切线的作法如下．作两圆的公切线，关键是作出切点，解决问题的方法是把它转化为过一点作圆的切线问题．可以想像把两圆中较小的一个圆的半径逐渐变小，最后成为一个点的情况；与小圆半径变小的同时，大圆的半径也相应地变小相等的长度，可结合画图，得到作相离两圆的外公切线转化为过圆外一点作圆(辅助圆)的切线．所以得出要先作出和大圆同心，并且半径等于两半径之差的辅助圆．如图2所示，画两个圆的公切线时，总是以较大的圆的圆心为圆心，先画一个辅助圆．如果是画外公切线．那么辅助圆的半径等于两圆半径的差；如果要画的是内公切线，那么辅助圆的半径等于两圆半径的和．辅助圆画好后，再从较小的圆的圆心作辅助圆的切线，连结切点和较大圆的圆心的线段，使之与较大圆相交于一点(画外公切线时要延长)，然后过这交点画辅助圆的切线的平行线，就得到要画的公切线．总之，画外公切线和画内公切线的方法是一样的，只是辅助圆的半径不同．当两圆外切、两圆相交时两圆外公切线的作法与两圆外离时的作法基本相同．想一想两圆外切时内公切线的作法(过切点作两圆连心线的垂线)．1421-1638-9529-3184。

公切线公式
（最新版）
目录
1.公切线的定义
2.公切线公式的推导
3.公切线的应用
正文
1.公切线的定义
公切线是指在两个圆之间，同时与两个圆相切的直线。

这条直线与两
个圆的切点构成的线段长度相等，且方向相同。

2.公切线公式的推导
假设有两个圆，圆心分别为 O1 和 O2，半径分别为 R1 和 R2，且 R1 > R2。

公切线与两个圆的切点分别为 A、B、C、D。

连接 O1A、O2B、O1C、
O2D，可以得到四个直角三角形。

根据勾股定理，我们可以得到：O1A = sqrt(R1^2 - (R2 - R1)^2)
O2B = sqrt(R2^2 - (R1 - R2)^2)
O1C = sqrt(R1^2 - (R2 + R1)^2)
O2D = sqrt(R2^2 - (R1 + R2)^2)
由于 O1A = O2B，O1C = O2D，所以可以得到公切线长度的公式为：公切线长度 = 2 * sqrt(R1 * R2)
3.公切线的应用
公切线在许多情况下都有应用，比如在机械加工中，两个旋转的轴之
间的距离可以通过公切线长度来计算。

两个圆的公切线
和两圆都相切的直线,叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线。

两个圆在公切线的两旁时,这样的公切线叫做内公切线。

公切线性质：
1.两圆的两条外公切线长相等。

2.两条内公切线的长也相等。

3.两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。

位置关系：
公切线的条数与两圆的位置关系如下：
若两圆相离，则有4条公切线。

若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）。

两圆相交，则有2条公切线（外切）。

若两圆内切，则有1条公切线。

若两圆内含，则有0条公切线。

两圆的公切线教案两圆的公切线教案「篇一」教学目标：（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）（二）应用、反思例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b．求：公切线的长ab。

组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．过 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c。

则o1c=ab，o1a=bc．在rt△o2co1和．o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6∴o1c=(cm)．∴ab=8（cm）反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数．解：(略)反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．组织学生进行，教师引导．归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．（三）巩固训练教材p142练习第1题，教材p145练习第1题．学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．（四）小结（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．（五）作业教材p153中12、13、14．第三课时两圆的公切线（三）教学目标：（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．教学重点：会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．教学难点：综合知识的灵活应用和综合能力培养．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念．（2）切线的性质，弦切角等有关概念．（二）公切线在解题中的应用例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点．若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？观察、度量实验（组织学生进行）猜想：（学生猜想）∠bac=90°证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o．∵oa、ob是⊙o1的切线。

两圆的公切线(二)引言在上一篇文章中，我们讨论了两个圆的公切线的概念以及求解公切线的方法。

本文将进一步探讨两个圆的公切线，并介绍几个实际问题中的应用。

求解两个圆的公切线假设有两个圆C1和C2，它们的圆心分别为O1和O2，半径分别为r1和r2。

我们的目标是求解这两个圆的公切线。

情况一：两个圆相交当两个圆相交时，存在两条内公切线和两条外公切线。

内公切线内公切线示意图内公切线示意图如图所示，设两个圆的半径分别为r1和r2，圆心之间的距离为d。

对于内公切线，设切点分别为A和B。

根据几何性质可知，AO1、BO1是两个圆的半径，且垂直于相应的切线。

因此，我们可以得到以下等式：(O1A)^2 + (O1O2)^2 = r1^2 —-(1)(O2B)^2 + (O1O2)^2 = r2^2 —-(2)将公式(1)和(2)相减，可以消去O1O2：(O1A)^2 - (O2B)^2 = r1^2 - r2^2根据O1A和AO2的互为相反数的关系，可得：(O1A + O2B)(O1A - O2B) = r1^2 - r2^2由于O1A + O2B = AB，我们可以得到：AB(O1A - O2B) = r1^2 - r2^2由于AB是切线的长度，而O1A - O2B是两个圆心之间的距离，即d。

因此，我们可以得到： AB = (r1^2 - r2^2) / d外公切线外公切线示意图外公切线示意图对于外公切线，同样设切点为A和B。

根据几何性质可知，AO1、BO1是两个圆的半径，且垂直于相应的切线。

因此，我们可以得到以下等式：(O1A)^2 - (O1O2)^2 = r1^2 —-(3)(O2B)^2 - (O1O2)^2 = r2^2 —-(4)将公式(3)和(4)相减，可以消去O1O2：(O1A)^2 - (O2B)^2 = r1^2 - r2^2同样由于O1A + O2B = AB，我们可以得到： AB = (r1^2 - r2^2) / d情况二：两个圆外切当两个圆外切时，存在两条内公切线和两条外公切线。

两圆的公切线（二）在前一篇文章中，我们介绍了两个圆的公切线的概念及求解方法。

在本篇文章中，我们将进一步探讨两个圆公切线的性质和一些特殊情况的解法。

1. 两个圆的外公切线当两个圆不相交且不包含的时候，它们之间存在两条外公切线。

我们将分别讨论这两种情况。

1.1. 外公切线的性质两个圆的外公切线具有以下性质：•外公切线与两圆的切点的连线垂直于两个圆的半径。

•外公切线的切点共线，与两个圆心的连线垂直于外公切线。

•外公切线的两个切点的连线垂直于两个圆心的连线。

1.2. 外公切线的求解方法方法一：勾股定理设两个圆的半径分别为 r1 和 r2，它们的中心距离为 d。

根据勾股定理，我们可以得到外公切线的长度 t：t = sqrt(d^2 - (r1 - r2)^2)外公切线的斜率为 k：k = (r2 - r1) / d两个切点的坐标分别为：(x1, y1) = ((d * r1 + t * (r1 - r2)) / d, (t * (r1 - r2)) / d)(x2, y2) = ((d * r1 - t * (r1 - r2)) / d, (-t * (r1 - r2)) / d)方法二：几何关系另一种求解外公切线的方法是利用几何关系。

我们可以通过构造一个与两个圆心相连的直角三角形，以及一个与该直角三角形的斜边平行的直线来求解。

具体求解过程如下：•连接两个圆心，得到线段 AB。

•分别从两个圆心向外作两条与 AB 相切的线段 AC 和 BD，使得 AC 和 BD 与圆的切点分别为 C 和 D。

•连接 CD，得到直线 L。

•直线 L 即为两个圆的外公切线。

2. 两个圆的内公切线当两个圆相交的时候，它们之间存在两条内公切线，我们将分别讨论这两种情况。

2.1. 内公切线的性质两个圆的内公切线具有以下性质：•内公切线与两圆的切点的连线垂直于两个圆的半径。

•内公切线的切点共线，与连结两圆心的直线的延长线垂直于内公切线。

两相交圆的公切线画法
一、啥是两相交圆的公切线
嘿，小伙伴们！咱们先来说说啥是两相交圆的公切线哈。

简单来说，就是和两个相交的圆都相切的直线，这线可神奇啦，能同时挨着两个圆，就像一个公平的裁判，不偏不倚。

二、准备工具
要画这公切线，咱得先把工具准备好。

铅笔、直尺、圆规，这三样可不能少。

铅笔用来画草图，直尺保证线直溜溜的，圆规能帮咱们画出漂亮的圆。

三、开始画咯
1. 先画两个相交的圆
这可得仔细点，圆的大小和位置都要心里有数。

画的时候别手抖，不然圆就不圆啦。

2. 找圆心和交点
圆心可重要啦，找到了圆心，才能更好地找到公切线。

还有两个圆相交的点也得找到。

3. 连接圆心和交点
这一步就像搭桥梁，把圆心和交点连起来。

4. 作垂线
在刚才连的线上作垂线，这垂线可就是公切线的雏形啦。

5. 延长垂线
把垂线延长，让它穿过两个圆，这就是咱们要的公切线啦。

四、多练练手
画这公切线可不是一次就能完美的，得多练练，熟能生巧嘛。

每次画完，自己检查检查，看看哪里不对，下次改进。

怎么样，小伙伴们，是不是觉得也没那么难啦？赶紧动手试试吧！。

如图，无论是改变两圆的大小，还是圆心距，直线和圆的关系保持不变，即直线始终是两圆的外公切线。

二、思路分析我们在寻求外公切线的作法以前，先看看下图，是否能想起过圆外一个作圆的切线的的尺规作法以PO为直径作圆（先作线段OP的中点，找到圆心）→作两圆的交点C、D（这一步可省）→作直线PC、PD。

是不是很简单？然后看右图，是不是想起外公切线的尺规作图（其实质就是把两圆的外公切线转化为内公切线），想不起试着分析一下。

如果还不行的话，就看看下图：资料个人收集整理，勿做商业用途如果还不行的话，就看下面的操作步骤吧。

三、操作步骤1、任画两圆（A,D）（B，C）2、度量两圆的半径，并计算它们的差3、以AB为直径画圆4、画圆（A，（半径⊙AD）－（半径⊙BC＝0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于E（其中一个交点）。

资料个人收集整理，勿做商业用途5、作直线BE；作直线（A，E）交圆（A,D）于F6、作平行线（F，直线BE）7、作直线FG关于线段BA的对称直线四、拓展研究1、这样尺规作图外公切线的作法，有缺点，当⊙A D的半径小于半径⊙BC时，外公切线不见了（您知道为什么吗？），如何完善？资料个人收集整理，勿做商业用途如图：只要在大圆内重复上述步骤，就搞定了，具体如下(1)、计算两圆半径的差（注意是大圆半径减小圆半径）(2)、画圆（B，（半径⊙BC）－（半径⊙AD＝0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于I（其中一个交点）。

资料个人收集整理，勿做商业用途(3)、作直线(A,I)；作直线（B，I）交圆（B,C）于H(4)、作平行线（H，直线AI）(5)、作已作切线关于线段BA的对称直线，即另一条切线。

如下图就算这样作，仍不完善，当两圆半径相等时，切线会不见了。

您能继续完善吗？（见文件）2、尺规作图得分三种情况（半径之间大于、小于、等于），有没有更简单的作法，有，下面讲一种非尺规作图的方法资料个人收集整理，勿做商业用途如上图，分析一下作法。