两圆的公切线(2)(2019年8月整理)

两圆的公切线公式两圆的公切线公式，这可是个有趣又有点小复杂的数学知识呢。

咱先来说说啥是两圆的公切线。

想象一下，有两个圆，就像两个小伙伴站在操场上，它们之间可能会有一些线，这些线同时和两个圆都相切，这就是公切线啦。

公切线有内切公切线和外切公切线之分。

内切公切线就像是两个圆拥抱在一起时，它们之间藏着的那条线；外切公切线呢，则像是两个圆手拉手时，外面露着的那条线。

要找到公切线的公式，咱们得一步步来。

假设两个圆的圆心分别是$O_1$和$O_2$，半径分别是$r_1$和$r_2$。

当两圆外切时，公切线的长度可以用这个公式来算：$L =\sqrt{(O_1O_2)^2 - (r_1 - r_2)^2}$ 。

这就好比我们在操场上量两个小伙伴之间的距离和他们各自的“半径范围”，然后就能算出公切线有多长。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮鬼一直搞不明白，皱着眉头问我：“老师，这圆咋这么难呀，这公式咋来的呀？”我笑着跟他说：“你就把这两个圆想象成两个大蛋糕，公切线就是切蛋糕的刀，咱们得知道这刀得有多长才能切得正好呀。

”这小家伙一听，眼睛一下子亮了，好像有点明白了。

再来说说两圆内切的情况。

这时公切线的长度公式是：$L =\sqrt{(O_1O_2)^2 - (r_1 + r_2)^2}$ 。

学习这个公切线公式，可不能死记硬背哦。

得真正理解其中的道理，多做几道题练练手，才能掌握得扎实。

就像上次考试，有一道关于两圆公切线的题目，好多同学都做错了。

我一看，原来是他们没搞清楚到底是内切还是外切，公式用错啦。

我在课堂上又重新给他们讲了一遍，看着他们恍然大悟的表情，我心里可欣慰了。

总之，两圆的公切线公式虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，多思考多练习，一定能把它拿下！就像攻克数学世界里的一个个小城堡，每一次的成功都会让我们更有成就感。

加油吧，小伙伴们，让我们在数学的海洋里畅游，发现更多有趣的知识！。

两个圆的公切线两个圆的公切线圆上任意⼀点拥有唯⼀的圆⼼⾓根据两个圆的位置关系来确定情况1. 两个圆内含，没有公共点，没有公切线2. 两圆内切，有⼀个条公切线3. 两圆完全重合，有⽆数条公切线4. 两圆相交。

有2条公切线5. 两圆外切，有3条公切线6. 两圆相离，有4条公切线1 与 3 什么都不求，情况2 可以直接求出直线AB的极⾓进⽽转换为圆⼼⾓来求切点，连接切点和圆⼼，旋转90度即可得到切线。

情况 4 有两条外公切线，求出圆⼼距d以及|AG| 即可求出α的⼤⼩，根据→AB的极⾓进⾏旋转即可求出切点，进⽽得到切线情况 5 的内切线类似情况2情况 6 的外公切线与情况4完全⼀样情况 6 的内切线也是先求出圆⼼⾓α，如何求？cosα=A r+B r |AB|struct circle{Point p;double r;// 通过圆⼼⾓求圆上某⼀点Point point(double a){return Point(p.x + cos(a) * r, c.y + sin(a) * r);}}// a[i] 存放第 i 条公切线与圆A 的交点int getTangents(circle A, circle B, Point*a, Point *b){int cnt = 0;// 以A为半径更⼤的那个圆进⾏计算if(A.r < B.r) return getTangents(B, A, b, a);db d2 = (A.p-B.p).len2(); // 圆⼼距平⽅db rdiff = A.r - B.r; // 半径差db rsum = A.r + B.r; //半径和if(d2 < rdiff * rdiff) return 0; // 情况1，内含,没有公切线Vector AB = B.p - A.p; // 向量AB，其模对应圆⼼距db base = atan2(AB.y, AB.x); // 求出向量AB对应的极⾓if(d2 == 0 && A.r == B.r) return -1;// 情况3，两个圆重合，⽆限多切线 if(d2 == rdiff * rdiff){ // 情况2，内切，有⼀条公切线a[cnt] = A.point(base);b[cnt] = B.point(base);cnt++;return 1;}// 求外公切线db ang = acos((A.r - B.r) / sqrt(d2)); //求阿尔法// 两条外公切线a[cnt] = A.point(base+ang); b[cnt] = B.point(base+ang); cnt++;a[cnt] = A.point(base-ang); b[cnt] = B.point(base-ang); cnt++;if(d2 == rsum * rsum){ // 情况5，外切，if⾥⾯求出内公切线a[cnt] = A.point(base); b[cnt] = B.point(pi+base); cnt++;}else if(d2 > rsum * rsum){ //情况6，相离，再求出内公切线db ang = acos((A.r + B.r) / sqrt(d2));a[cnt] = A.point(base + ang); b[cnt] = B.point(pi+base+ang);cnt++; a[cnt] = A.point(base - ang); b[cnt] = B.point(pi+base-ang);cnt++; }// 此时，d2 < rsum * rsum 代表情况 4 只有两条外公切线return cnt;}Processing math: 100%。

怎样确定两圆的内公切线和外公切线答：首先应弄清公切线、内公切线和外公切线等概念．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线图1(1)．两个圆在公切线6d22aeae8db846b70d2b475bba1b063c两旁时，这样的公切线叫做内公切线图1(2)．根据定义可以分清什么是两圆的内公切线，什么是两圆的外公切线．由于两圆的位置不同，这两圆的公切线条数也不相同．下面分别讨论．(1)当两圆外离时，可以作两条外公切线和两条内公切线，故共有4条公切线；(2)当两圆外切时，可以作两条外公切线和1条内公切线，故共有3条公切线；(3)当两圆相交时，可以作两条外公切线，而无法作出内公切线，故共有2条公切线；(4)当两圆内切时，只可作1条外公切线，而无法作两圆的内公切线，故共有1条公切线；(5)当两圆内含时，没有公切线．反过来，若两圆有4条、3条、2条、1条、没有公切线时，也可判定两圆的位置关系分别是外离、外切、相交、内切、内含．介绍两圆相外离时公切线的作法如下．作两圆的公切线，关键是作出切点，解决问题的方法是把它转化为过一点作圆的切线问题．可以想像把两圆中较小的一个圆的半径逐渐变小，最后成为一个点的情况；与小圆半径变小的同时，大圆的半径也相应地变小相等的长度，可结合画图，得到作相离两圆的外公切线转化为过圆外一点作圆(辅助圆)的切线．所以得出要先作出和大圆同心，并且半径等于两半径之差的辅助圆．如图2所示，画两个圆的公切线时，总是以较大的圆的圆心为圆心，先画一个辅助圆．如果是画外公切线．那么辅助圆的半径等于两圆半径的差；如果要画的是内公切线，那么辅助圆的半径等于两圆半径的和．辅助圆画好后，再从较小的圆的圆心作辅助圆的切线，连结切点和较大圆的圆心的线段，使之与较大圆相交于一点(画外公切线时要延长)，然后过这交点画辅助圆的切线的平行线，就得到要画的公切线．总之，画外公切线和画内公切线的方法是一样的，只是辅助圆的半径不同．当两圆外切、两圆相交时两圆外公切线的作法与两圆外离时的作法基本相同．想一想两圆外切时内公切线的作法(过切点作两圆连心线的垂线)．1421-1638-9529-3184。

两圆的公切线方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：两圆的公切线是指能同时切到两个圆的直线或射线。

在解析几何中，我们常常需要研究圆与圆之间的关系，其中两圆的公切线就是一个重要的问题。

本文将讨论两个圆的公切线方程的推导过程和应用实例。

一、两个圆的公切线分类在二维平面上，两个圆可能存在以下几种情况：1. 内含关系：一个圆完全包含在另一个圆内部，此时两圆没有公共切线。

2. 相交关系：两个圆相交于两个点，此时存在两条外公切线和两条内公切线。

3. 外切关系：两个圆相切于外部，此时存在一条外公切线。

4. 内切关系：一个圆完全包含在另一个圆内部且二者相切，此时存在一条内公切线。

下面我们以相交关系为例，推导两个圆的公切线方程。

二、两个圆的公切线方程的推导设两个圆的方程分别为：圆1：(x - a1)² + (y - b1)² = r1²圆2：(x - a2)² + (y - b2)² = r2²(a1, b1)和(a2, b2)分别为两个圆的圆心坐标，r1和r2分别为两个圆的半径。

圆1和圆2相交于两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，则有：(x1 - a1)² + (y1 - b1)² = r1²(x2 - a1)² + (y2 - b1)² = r1²(x1 - a2)² + (y1 - b2)² = r2²(x2 - a2)² + (y2 - b2)² = r2²由上述四个方程可得到两个未知数x1和y1的线性方程组，通过求解线性方程组即可得到两个公切点P1和P2的坐标。

进一步，我们可以根据两点式求得直线P1P2的方程，即为两个圆的公切线方程。

计算两个圆的圆心坐标和半径：圆1：圆心坐标(2, 3)，半径4圆2：圆心坐标(-1, -1)，半径3根据上述推导方法，可以求得两个公切点P1(1, 2)和P2(-0.5, -0.5)的坐标，进而求得公切线P1P2的方程。

两圆的公切线（篇⼆）两圆的公切线第⼀课时（⼀）教学⽬标：（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；（2）培养学⽣的归纳、总结能⼒；（3）通过两圆外公切线长的求法向学⽣渗透“转化”思想．教学重点：理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．教学难点：两圆外公切线和两圆外公切线长学⽣理解的不透，容易混淆．教学活动设计（⼀）实际问题（引⼊）很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以⼀条直线和两个同时相切的形象．（这⾥是⼀种简单的数学建模，了解数学产⽣与实践）（⼆）概念1、概念：教师引导学⽣⾃学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．2、理解概念：(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?(2)公切线的长与公切线⼜有何区别与联系?(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地⽅，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对⼀个圆来说的，且这条线段的⼀个端点是切点，另⼀个端点是圆外⼀点． (2)公切线是直线，⽽公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．（三）两圆的位置与公切线条数的关系组织学⽣观察、概念、概括，培养学⽣的学习能⼒．添写教材P143练习第2题表．（四）应⽤、反思、总结例1、已知：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆⼼距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B．求：公切线的长AB．分析：⾸先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直⾓梯形AO1O2B．⼀般要把它分解成⼀个直⾓三⾓形和⼀个矩形，再⽤其性质．（组织学⽣分析，教师点拨，规范步骤）解：连结O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．过 O1作O1C⊥O2B，垂⾜为C，则四边形O1ABC为矩形，于是有O1C⊥C O2，O1C=AB，O1A=CB．在Rt△O2CO1和．O1O2=13，O2C=O2B- O1A=5AB=O1C= (cm)．反思：（1）“转化”思想，构造三⾓形；（2）初步掌握添加辅助线的⽅法．例2*、如图，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长．分析：因为线段AB是△APB的⼀条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直⾓三⾓形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△PAB是直⾓三⾓形，只需证△APB中有⼀个⾓是90°(或证得有两⾓的和是90°)，这就需要沟通⾓的关系，故过P作CD如图，因为AB是，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP．因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直⾓三⾓形，此题得解．解：过点P作CD∵ AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点∴∠CPA=∠BAP ∠CPB=∠ABP⼜∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°∴∠CPA+∠CPB=90° 即∠APB=90°在Rt△APB中，AB2=AP2+BP2说明：两圆相切时，常过切点作，沟通两圆中的⾓的关系．（五）巩固练习1、当两圆外离时，外公切线、圆⼼距、两半径之差⼀定组成( )(A)直⾓三⾓形 (B)等腰三⾓形 (C)等边三⾓形 (D)以上答案都不对．此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)2、外公切线是指(A)和两圆都祖切的直线 (B)两切点间的距离(C)两圆在公切线两旁时的公切线 (D)两圆在公切线同旁时的公切线直接运⽤外公切线的定义判断．答案：(D)3、教材P141练习（略）（六）⼩结（组织学⽣进⾏）知识：、外公切线、内公切线及公切线的长概念；能⼒：归纳、概括能⼒和求外公切线长的能⼒；思想：“转化”思想．（七）作业：P151习题10，11．第⼆课时（⼆）教学⽬标：（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连⼼线的夹⾓或公切线的交⾓；（2）培养的迁移能⼒，进⼀步培养学⽣的归纳、总结能⼒；（3）通过两圆内公切线长的求法进⼀步向学⽣渗透“转化”思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连⼼线的夹⾓或公切线的交⾓求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长学⽣理解的不透，容易混淆．教学活动设计（⼀）复习基础知识（1）概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且⼀⼀对应）（⼆）应⽤、反思例1、（教材例2）已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为4厘⽶和2厘⽶，圆⼼距为10厘⽶，AB是⊙O1和⊙O2的⼀条内公切线，切点分别是A，B．求：公切线的长AB。

两圆的公切线教学目标：1．理解两圆公切线、外公切线、内公切线、公切线长的概念。

2．理解两圆位置关系和公切线条数之间的关系。

3．理解两圆的外公切线长相等、内公切线长相等。

4．理解两圆公切线长、两圆半径、圆心距之间的关系及其推导方法，并能运用其进行简单计算。

教学重点：两圆公切线的概念及相关计算教学难点：灵活运用切线相关性质及定理进行计算。

教学过程：1．开门见山，理解公切线概念定义：和两圆都相切的直线称为两圆的公切线。

如图，请画出图中两圆所有公切线。

（请一同学上台借尺完成，台下同学思考并补充）两圆的公切线共有几条？答：4条；或答：和两圆的位置关系有关。

（简单复习两圆的五种位置关系）请作图探究，两圆位置关系发生变化时，两圆的公切线条数会发生怎样的变化？学生练习纸上作图，请两位同学同时在台上作图。

定义：两圆在公切线同旁，公切线叫做外公切线；定义：两圆在公切线两旁，公切线叫做内公切线；边看黑板，一边完成书上45页表格，齐声作答。

（填空判断小练习）2．两圆公切线的实际模型与计算实际生活中我们也经常可以看到两圆公切线的模型，例如自行车的链条、机床驱动用的皮带、修正带等等。

在设计这些实物的过程中，需要对其尺寸大小加以计算。

定义：两圆公切线上两切点间距离叫做公切线的长。

例：如图，已知自行车前驱齿轮半径为3分米，后驱齿轮半径为1分米，两齿轮轴间距8分米，求上方链条长（即公切线AB的长）思考1：若链条重力不计（即不考虑链条下沉），下方链条长为多少？思考2：若已知条件不变，改为求内公切线长，结果如何？两条内公切线长大小关系如何？思考3：若已知条件变为两圆半径分别为r1，r2，圆心距为d，则如何表示外公切线及内公切线的长？例题解答过程：学生上台添线口述（鼓励不同解法）思考1：口答思考2：学生上台添线口述（鼓励不同解法）思考3：可先组织学生讨论，确定大方向。

推导、最后汇总。

（公式直接运用小练习）观看板书小结：1．公切线的相关概念、公切线条数和两圆位置的关系、公切线长的概念。

两圆的公切线教案两圆的公切线教案「篇一」教学目标：（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）（二）应用、反思例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b．求：公切线的长ab。

组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．过 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c。

则o1c=ab，o1a=bc．在rt△o2co1和．o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6∴o1c=(cm)．∴ab=8（cm）反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数．解：(略)反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．组织学生进行，教师引导．归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．（三）巩固训练教材p142练习第1题，教材p145练习第1题．学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．（四）小结（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．（五）作业教材p153中12、13、14．第三课时两圆的公切线（三）教学目标：（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．教学重点：会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．教学难点：综合知识的灵活应用和综合能力培养．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念．（2）切线的性质，弦切角等有关概念．（二）公切线在解题中的应用例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点．若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？观察、度量实验（组织学生进行）猜想：（学生猜想）∠bac=90°证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o．∵oa、ob是⊙o1的切线。

两圆的公切线(二)引言在上一篇文章中，我们讨论了两个圆的公切线的概念以及求解公切线的方法。

本文将进一步探讨两个圆的公切线，并介绍几个实际问题中的应用。

求解两个圆的公切线假设有两个圆C1和C2，它们的圆心分别为O1和O2，半径分别为r1和r2。

我们的目标是求解这两个圆的公切线。

情况一：两个圆相交当两个圆相交时，存在两条内公切线和两条外公切线。

内公切线内公切线示意图内公切线示意图如图所示，设两个圆的半径分别为r1和r2，圆心之间的距离为d。

对于内公切线，设切点分别为A和B。

根据几何性质可知，AO1、BO1是两个圆的半径，且垂直于相应的切线。

因此，我们可以得到以下等式：(O1A)^2 + (O1O2)^2 = r1^2 —-(1)(O2B)^2 + (O1O2)^2 = r2^2 —-(2)将公式(1)和(2)相减，可以消去O1O2：(O1A)^2 - (O2B)^2 = r1^2 - r2^2根据O1A和AO2的互为相反数的关系，可得：(O1A + O2B)(O1A - O2B) = r1^2 - r2^2由于O1A + O2B = AB，我们可以得到：AB(O1A - O2B) = r1^2 - r2^2由于AB是切线的长度，而O1A - O2B是两个圆心之间的距离，即d。

因此，我们可以得到： AB = (r1^2 - r2^2) / d外公切线外公切线示意图外公切线示意图对于外公切线，同样设切点为A和B。

根据几何性质可知，AO1、BO1是两个圆的半径，且垂直于相应的切线。

因此，我们可以得到以下等式：(O1A)^2 - (O1O2)^2 = r1^2 —-(3)(O2B)^2 - (O1O2)^2 = r2^2 —-(4)将公式(3)和(4)相减，可以消去O1O2：(O1A)^2 - (O2B)^2 = r1^2 - r2^2同样由于O1A + O2B = AB，我们可以得到： AB = (r1^2 - r2^2) / d情况二：两个圆外切当两个圆外切时，存在两条内公切线和两条外公切线。

两圆的公切线（二）在前一篇文章中，我们介绍了两个圆的公切线的概念及求解方法。

在本篇文章中，我们将进一步探讨两个圆公切线的性质和一些特殊情况的解法。

1. 两个圆的外公切线当两个圆不相交且不包含的时候，它们之间存在两条外公切线。

我们将分别讨论这两种情况。

1.1. 外公切线的性质两个圆的外公切线具有以下性质：•外公切线与两圆的切点的连线垂直于两个圆的半径。

•外公切线的切点共线，与两个圆心的连线垂直于外公切线。

•外公切线的两个切点的连线垂直于两个圆心的连线。

1.2. 外公切线的求解方法方法一：勾股定理设两个圆的半径分别为 r1 和 r2，它们的中心距离为 d。

根据勾股定理，我们可以得到外公切线的长度 t：t = sqrt(d^2 - (r1 - r2)^2)外公切线的斜率为 k：k = (r2 - r1) / d两个切点的坐标分别为：(x1, y1) = ((d * r1 + t * (r1 - r2)) / d, (t * (r1 - r2)) / d)(x2, y2) = ((d * r1 - t * (r1 - r2)) / d, (-t * (r1 - r2)) / d)方法二：几何关系另一种求解外公切线的方法是利用几何关系。

我们可以通过构造一个与两个圆心相连的直角三角形，以及一个与该直角三角形的斜边平行的直线来求解。

具体求解过程如下：•连接两个圆心，得到线段 AB。

•分别从两个圆心向外作两条与 AB 相切的线段 AC 和 BD，使得 AC 和 BD 与圆的切点分别为 C 和 D。

•连接 CD，得到直线 L。

•直线 L 即为两个圆的外公切线。

2. 两个圆的内公切线当两个圆相交的时候，它们之间存在两条内公切线，我们将分别讨论这两种情况。

2.1. 内公切线的性质两个圆的内公切线具有以下性质：•内公切线与两圆的切点的连线垂直于两个圆的半径。

•内公切线的切点共线，与连结两圆心的直线的延长线垂直于内公切线。

两圆的公切线方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：两圆的公切线方程是解析几何中的一个重要概念，它可以帮助我们研究两个圆之间的关系以及它们之间的相互作用。

在数学领域中，圆是一种几何图形，具有一定的特定形状和性质。

而两个圆之间的公切线则是指相切于这两个圆的直线，也就是同时与两个圆相切的一条直线。

通过求解两个圆的公切线方程，我们可以得到关于两圆的一些重要性质和结论，进而为我们的研究和分析提供依据。

在解析几何中，我们通常将两个圆分别表示为两个圆心分别为（a，b）和（c，d），半径分别为r1和r2的圆。

现在我们来研究两个圆之间的公切线。

对于一个与两个圆都相切的公切线，我们可以将其表示为y=kx+m，其中k为斜率，m为截距。

公切线同时与两个圆相切，意味着公切线上的任意一点都满足圆的切线条件。

圆的切线条件是指：圆心到切点的距离等于半径，即（中文维基百科“公切线”一词解释：两个圆的公共切线，相对于两个圆在共同的一个切线。

两个固定圆，存在两个现实的共同切线，并在除开这两个半径正好即的地方，圆心的连线在不发生穿插），公切线的形成条件如下：两个圆的圆心之间的距离等于两个圆半径之差或之和。

根据两个圆的圆心和半径的不同相对位置，可以分为以下几种情况：1. 两个圆外切：当两个圆外切时，它们之间存在4条公共外切线。

这些外切线的斜率以两圆心之间的连线为基准，可以通过简单的几何推导来得到。

3. 一个圆包含另一个圆：当一个圆完全包含另一个圆时，它们之间不存在公共切线。

对于两个圆外切的情况来说，两个圆之间的公切线方程可以通过如下的方法得到。

我们可以设公切线的斜率为k，截距为m。

然后，我们可以根据圆的切线条件，得到两个方程：（a-c）² + (b-d)² = (r1+r2)² （1）y = kx + m （2）将公切线方程（2）代入圆的切线条件方程（1）中，并解方程组，就可以得到两个圆外切时的公切线方程。