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第十八章动力学普遍方程和拉格朗日方程_理论力学

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理论力学中的拉格朗日方程

理论力学中的拉格朗日方程

理论力学中的拉格朗日方程在理论力学中，拉格朗日方程是一种重要的数学工具，用于描述系统的运动行为和力学规律。

拉格朗日方程由意大利数学家和物理学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出，被广泛应用于经典力学的各个领域。

1. 拉格朗日方程的引入拉格朗日方程的引入是为了解决在复杂的力学系统中，尤其是多体系统中，求解运动方程困难的问题。

拉格朗日方程通过引入广义坐标和广义速度的概念，将原来的N个质点受力问题转化为2N个一阶偏微分方程组的求解问题。

2. 广义坐标和广义速度在拉格朗日方程中，将系统的坐标由笛卡尔坐标系转化为广义坐标系，这样可以更好地描述系统的自由度。

广义坐标的数目等于系统的自由度，它们可以用来完全描述系统的构型。

广义速度则是对广义坐标的时间导数，表示系统的运动状态。

3. 拉格朗日量在拉格朗日力学中，拉格朗日量是一个以广义坐标、广义速度和时间为变量的函数，代表系统的能量和动力学性质。

拉格朗日量可以通过系统的动能和势能函数得到。

对于自由度为n的系统，拉格朗日量可以表示为L(q, q', t)，其中q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。

4. 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是拉格朗日方程的数学形式，它由拉格朗日原理引出。

欧拉-拉格朗日方程可以描述系统在运动过程中的动力学规律。

它可以表示为d/dt(dL/dq') - dL/dq = 0，其中d/dt表示对时间求导数。

通过求解这个方程组，我们可以得到系统的运动方程。

5. 应用与例子拉格朗日方程在经典力学中的应用非常广泛。

例如，它可以用于求解刚体的运动，弹性体的振动，以及受约束的质点系等问题。

通过将系统的动能和势能函数表示为广义坐标和广义速度的函数，可以得到相应的拉格朗日量，进而求解运动方程。

总结：拉格朗日方程是一种在理论力学中广泛应用的工具，用于描述系统的运动行为和力学规律。

它通过引入广义坐标和广义速度的概念，将系统的受力问题转化为求解一阶偏微分方程的问题。

动力学方程 拉格朗日方程

动力学方程 拉格朗日方程


n Fix i1
xi q
Fiy
yi q
Fiz
zi q


n

i 1


V xi
xi q

V yi
yi q

V zi
zi q

V 1, 2, , s
q
代入基本形式的拉格朗日方程，则
可见广义力的横向分量 Q 是力矩。
方法二：从主动力 所作的虚功来计算
x r sin cos r

y r cos sin r

Wr Qr (F
r r )
0
o
(Fx x Fy y) 0
y
j '
i'
Fx
x
r(Fx sin Fy cos ) rF
则
Q
Wθ
rF
两种方法的结果一致
四、保守力学系的拉格朗日方程
实际上，在很多情况下我们仅遇见保守力学系。
对于保守力学系，存在势能
V V (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , , xn , yn , zn )
则
d dt

L qj


0

pj

L qj

恒量
可见，当L函数中不含某广义坐标 q j 时，这个 q j 即循环坐标
所对应的广义动量
pj

L qj
就是守恒量，称为循环积分。
这表明，对任一循环坐标，都对应有一个循环积分。
[例4] 求一自由质点在有心力场中的循环积分。

动力学普遍方程及拉格朗日方程

动力学普遍方程及拉格朗日方程
C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F

理论力学-拉格朗日方程PPT

理论力学-拉格朗日方程PPT
拉格朗日方程和牛顿方程是等价的，可以通过拉格朗日乘子法将其相互转化，从而更好地理解和解决力 学问题。
拉格朗日方程的推导
拉格朗日方程的推导基于哈密顿原则，通过对系统的运动原理进行最小作用 量的假设，推导出系统的运动方程。
拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程在各个物理学和工程学领域都有广泛的应用，例如刚体动力学、 量子力学、控制理论等。
经典示例：单摆运动
单摆运动是拉格朗日方程应用的经典示例之一，通过建立摆角和摆长的关系，可以得到描述摆动的拉格 朗日方程。
拉格朗日方程的优点
相较于牛顿方程，拉格朗日方程具有独特பைடு நூலகம்优点，如坐标自由度更广、描述力学系统更简洁等。
拉格朗日方程在其他领域的应 用
除了物理学和工程学领域外，拉格朗日方程还在经济学、生物学等领域中有 着广泛的应用，为解决复杂问题提供了新的视角。
理论力学-拉格朗日方程 PPT
欢迎大家来到这个关于理论力学的PPT。本次内容将深入探讨拉格朗日方程的 定义、与牛顿方程的关系、推导方法、应用、经典示例和其他领域的应用。
拉格朗日方程的定义
拉格朗日方程是解决运动的一种优雅方法，通过定义拉格朗日函数和广义坐 标来描述系统的动力学行为。
拉格朗日方程与牛顿方程的关系

动力学普遍方程和拉格朗日方程

动力学普遍方程和拉格朗日方程
d ∂L ∂L & − ∂θ = 0 dt ∂θ
∂L & = mr & ∂r d ∂L = m&& r & dt ∂r ∂L & = mrθ 2 + mg cosθ − k (r − l 0) ∂r ∂L 2 & = mr θ & ∂θ d ∂L 2 & && = 2mrrθ + m r θ& & dt ∂θ ∂L = −mgr sin θ ∂θ
即
v ∂q
∂r
i s
∂r d = ( ri ) dt ∂q
s
也可以写为
v ∂q
∂r
i j
r d ∂ri ) = ( dt ∂q
j
n
或
i =1
r ∂q
∂r
i j
r d ∂ri = ( ) dt ∂q
j
j
( j =1 2...k) ,
对于不变质点系 由
j
G j = −∑ [
∂ d )] • r i (mi vi ∂ dt q
（2） 第二个经典拉格朗日方程 在上式对s个广义坐标 qs (s = 1,2..., k )求偏导数得 ∂r ∂ r v =∑ r & + ∂ r ∂q ∂q ∂q q ∂t∂q r r ∂ ∂r & ∂ ∂r =∑ ( ) q + ∂t (∂q ) ∂q ∂q
k 2 2 i i i s 1 j= j s j s k i i j= 1 j s j s
r 在任意瞬时,加速度为a
i
根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力
r =− r mai Fiq i
则
约束反力的合力

拉格朗日方程

拉格朗日方程
统的自由度数目，选取合适的广义坐标。
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式

整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24

4chap2动力学普遍方程和拉格朗日方程(II)解析

3
4. 拉格朗日方程的初积分(首次积分）
求解二阶微分方程组的积分时常会遇到数学上的困难, 但对于保守系统,在某些条件下,却很容易求得其初积分,使方 程组的求解变得简单起来. 现在,我们在上一节阐明的动能的 广义坐标表达式的基础上,来讨论拉格朗日方程的初积分。 拉格朗日函数可表示为
L = T – V = T2 + T1 + T0 – V
N
H
再根据欧拉齐次式定理(P56)有：
N N N L0 L L2 L1 k k k k 2 L2 L1 q q q q k k k k k 1 q k 1 q k 1 q k 1 q N
带入上式得： （2L2+L1）-（L2+L1+L0）= E 即
d L k 1 dt q k
N N L k 0 q k q q k 1 k
其中
d L k dt q
d L L k k k q q q k q k dt q
由于势能函数 V 仅是广义坐标和时间的函数，因此它是广义速 度的零次函数。设 L2 = T2， L1 = T1， L0 = T0 - V
显然， L2 ， L1 和 L0 分别是广义速度的二次齐次函数、一次齐 次函数和零次齐次函数，得 L=L2+L1+L0
1．广义能量积分—初积分之一
k ，并将这N个 将主动力为有势力时的拉格朗日方程式乘以 q 式子相加，得
3. 动能的广义速度表达式
拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组。应 用拉格朗日方程时,须先计算出以广义坐标和广义速度表示 的系统的动能。为便于应用拉格朗日方程,一般可将质点系 的动能表示为广义速度的代数齐次式结构的形式。

理论力学—拉格朗日方程PPT

m2 cos
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23

理论力学-拉格朗日方程


d dt
(
L qr
)
L qr
0
24
积分得：
L qr
C
(常数)
(rk)
循环积分
因L = T - U，而U中不显含 qr ，故上式可写成
L qr
qr
(T
U
)
T qr
Pr
C
(常数)
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
12 g
W ( ) M
Q
W (
)
M
T
1 6
2P
9Q g
(R r)2
;
d dt
T
1 6
2P
9Q g
(
R
r)
2
;
T
0
15
代入拉氏方程：
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
6M
g
(2P 9Q)(R r)2
积分，得：
3M (2 P 9Q )(R r ) 2
gt
2
C1t
C2
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
16
[例2] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
解：将弹簧力计入主 动力，则系统成为具 有完整、理想约束的 二自由度系统。保守
系统。取x , 为广义

动力学方程拉格朗日方程教学内容


mi
பைடு நூலகம்
ri q
ri
q
q
q
1
s
1
n i 1
mi
ri q
优r学ti课堂q
1 2
n i 1
mi
ri t
2
22
n
i1
n
i1
n
i1
mi
ri q
mi
ri q
mi
ri t
ri q
a
ri t
a
2 a
则
T
1 2
s
1
a
q
q
s
a q
可见广义力的径向分量就是的径向分量，说明 Qr 是一个力。
另外 x r sin , x r cos
优学课堂
10
Q
Fx
x
Fy
x
r(Fx sin Fy cos )
上式 括号中的第一项为 Fx
在 j 方向的投影，第二项 是 Fy在 j 方向的投影。
所以两者之和就是 F 在 j
y
Fy
视广义坐标的选择而定。 n 而广义力： Q i1
Fi
ri q
广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而
定。计算广义力的方法可以有两种：一种方法是从上定义式直
接计算，另一种方法是从主动优力学课所堂 作的虚功来计算。
6
1、从主动力所作的虚功来计算
W
n i 1
Fi
ri
s 1
s
1
d dt
T q
q
s
T
1 q
q
s
V
1 q
q
其中第一项中
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∴
（18-6）
这就是动力学普遍方程在广义坐标中的表达式，其文字表达式为：广义力与广义惯性力 相平衡。
2. 拉格朗日方程 进一步研究 的表达式（18-5）。由式（18-3）得
用直接代入法可以证明下述关系式成立
（18-7）
, 上二式称为拉格朗日关系式，它们在下面的推导中起重要作用。
（18-8）
引入质系动能
解：（1）解法一：考虑整个系统，引入惯性力 Fg 及惯性力偶 ，
方向如图，
大小为
,
,
其中 ， ， 为轮Ⅱ中心的加速度及二轮的角加速度。 由动力学普遍方程
由约束关系有
,
①
代入上式
系统有二自由度， 与 相互独立，故有
,
解之得 （2）解法二：加惯性力后，按下法给虚位移。
令
，
，计算虚功(考虑约束关系)
∴
令
的小球沿
圆环运动。忽略所有摩擦。初始时小球静止位于最高位置，
圆环转速 。
；求小球在微小扰动下落至
时相对圆环的速度 及圆环角速度
解：系统具有完整、理想、稳定约束，主动力(重力)有势，具有二个自由度，选 ，
为广义坐标。
系统具有两个初积分。对循环坐标 的循环积分
及能量积分
将初始条件代入
,
当
时有
∴
讨论： 在本题中，循环积分的物理意义是系统对 能守恒。
（18-14）
∴ 上式称为拉氏方程的循环积分。有几个循环坐标就有几个循环积分。 注意到
（18-15）
（18-16） 称为广义动量，式(18-5)表明：对于循环坐标，广义动量守恒。 2. 能量积分 对受完整、理想约束且主动力有势系统，如果拉氏函数 中不显含时间
，即
则 拉氏方程为 将每个拉氏方程乘以 再相加得 或
＝ 则有
代入式（18-6）
＝
( )+
（18-9）
（18-10）
这就是完整系统中的拉格朗日第二类方程，通常称为拉格朗日方程。 3. 关于拉格朗日方程的几点说明 ★ 适用于完整、理想约束系统，用广义坐标描述系 统运动；
★ 方程中不出现约束反力，直接建立主动力与运动之间的关系； ★ 得到的是常微分方程组，每个方程都是二阶的，方程数与自由度数相同； ★ 是建立非自由质系动力学数学模型的规范方法；
§18-1 动力学普遍方程
质系由 n 个质点组成。根据达朗伯原理，在每个质点的主动力 Fi、约束力 及惯性
力
平衡。再根据虚位移原理，它们在质系虚位移上元功之和应为零。即
对受理想约束系统
有 (18-1)
上式称为达朗伯-拉格朗日原理或动力学普遍方程，其直角坐标表达式为
(18-2)
例 18-1 动滑轮上悬挂重物质量为 ，另一重物质量为 ，忽略轮、绳的质量及轮 轴摩擦，求 下降的加速度。
系统势能(选 原点为重力势能基准点，原长处为弹性力势能基准点)
拉格朗日函数
代入拉氏方程
并考虑到
，得系统运动微分方程式
例 18-4 图示系统中，物块 与球 看成两个质点，质量分别为 及 ，用质量
不计 程。
的长为 的杆相连。水平面光滑，求系统的运动微分方
解：系统受理想约束，主动力(重力)有势。系统有二自由度，选 ， 选为广义坐标。
解：（1）考虑整个系统为研究对象，系统具有理想约束，主动力为重力 g 及 g。
引 入 假 想 的 惯 性 力 Fg1 及 Fg2 ， 方 向 如 图 ， 其 大 小 为
，
则系统平衡。
（2） 给系统以虚位移 及 ，则由动力学普遍方程(18-2) 有
系统具有一个自由度，由约束关系
代入上式 ，故有
例 18-2 二均质轮的 ， 相同，用轻质绳缠绕连接如图。求在重力作用下轮Ⅱ中心 的加速度。
第十八章 动力学普遍方程和拉格朗日方程 1.将达朗伯原理与虚位移原理相结合，可得动力学普遍方程
其应用范围是理想约束系统。对于非理想约束，可将作功的约束力视为主动力，仍可应 用本原理。 2. 由动力学普遍方程可推导出完整、理想约束系统的拉氏方程
当主动力有势时，可引入拉氏函数 则拉氏方程有如下形式
3. 拉氏方程是建立完整系统运动微分方程的规范化方法，其优点是不涉及约束力，直接建
，
，计算虚功
∴ 与前面一样可解出
§18-2 拉格朗日方程 1. 动力学普遍方程在广义坐标中的表达式 设系统的广义坐标为
,则有 （18-3）
代入动力学普遍方程（18-1）
（18-4）
引入
,
（18-5）
其中 按第十七章称为广义力；仿此，称 为广义惯性力。
∴ 受完整约束的系统中， 相互独立，上式中 前的系数必为零。
轴的动量矩守恒，能量积分是系统的机械
立主动力与运动的关系，方程数与自由度数相等。此外，为写出动能 的表达式，只需作 速度分析，而不需作更为复杂的加速度分析。 4. 拉式方程有两类初积分
当
时，有循环积分
当
时，有广义能量积分
(对稳定约束为
)
达朗伯原理能将动力学问题转化为静力学问题，虚位移原理是分析静力学的普遍原理；因而， 两者结合就能导出分析动力学的普遍方程。对完整系统，拉格朗日方程是实用的建立动力学 方程的方法。
★ 当主动力有势时，势能
，根据式(17-15)
拉氏方程(18-10) 有形式 或
（18-11）
其中 称为质系的拉格朗日函数。
（18-12） （18-13）
例 18-3 圆轮 ， 的半径均为 ，质量均为 ，重物 质量为 ，弹簧刚度 ， 圆轮 只滚不滑。求系统的运动微分程。
解：系统具有理想约束，主动力(重力、弹簧力)有势。系统具有一个自由度，选重物 的位移 为广义坐标，其原点在平衡位置处。系统动能
作级数展开，并略去所
消去
其解
即为系统作微振动时的固有频率； ★ 当系统初始速度为零时，系统质心只作上下运动。此时球的运动轨迹为椭圆的一段。 故名椭圆摆。 §18-3 拉格朗日方程的初积分 1. 循环积分 对受完整、理想约束且主动力有势系统，如果拉氏函数 不显含某一广义
坐标 ，即
则 称为循环坐标。由拉氏方程(18-12)得
（18-17）
得拉氏方程的初积分
（18-18）
现考察上述积分的物理意义。设约束为稳定的，则系统的动能 为广义速度 齐次式
的二次
∴ 代入(18-18)
这是系统的能量积分，因而式(18-18)称为(在非稳定约束情况下的)广义能量积分。 例 18-5 半径为 的圆环可绕铅直轴 自由转动，对 轴转动惯量为 ；质量为
代入拉氏方程
得系统运动微分方程 讨论： ★ 系统有二自由度，因此拉氏方程给出二个微分方程； ★ 二个方程是耦合的，惯性项(质量与加速度乘积项)的耦合系数一定相等，本题中是
。这可以作为检验推导的一种方法；
★ 运动微分方程是严重非线性的，一般需求助数值解。但在微幅振动情况下，可求得 解析解.
设 ， ， ， ， ， 均为小量，将上式的 ， 有二阶以上的小量，即得线性化方程