拉格朗日方程-刚体动力学-振动 习题课共33页文档

分析力学拉格朗日方程分析力学是物理学中的一个重要分支，它主要研究物体的运动规律和力学系统的宏观性质。

拉格朗日力学是分析力学的基础，是分析力学发展过程中的一个重要理论。

它由意大利数学家拉格朗日于18世纪发展而来，利用广义坐标和拉格朗日方程来描述物体的运动学和动力学。

在拉格朗日力学中，系统的运动由极值原理来决定。

这个极值原理是“达朗贝尔原理”，即系统的运动满足使作用量(S)是极值的路径。

作用量是拉格朗日力学中的一个重要概念，它表示物体在运动过程中所受到的所有力的作用。

具体来说，作用量可以表示为：S = ∫ (L - T) dt其中，L是拉格朗日函数，表示系统的动能和势能之差；T是系统的动能，表示物体的运动能量。

积分表示对整个运动过程的积分求和。

根据达朗贝尔原理，系统的运动满足作用量的极值条件，即δS=0。

为了使作用量的变分δS等于零，我们可以通过拉格朗日方程来推导系统的运动方程。

假设系统有n个自由度，我们引入广义坐标q1, q2, ..., qn来描述系统的位置。

每个广义坐标都是关于时间的函数，即q(t)。

拉格朗日函数L也是广义坐标的函数，即L(q, dq/dt, t)。

其中dq/dt表示广义坐标的时间导数。

利用拉格朗日函数，我们可以定义拉格朗日方程：d/dt (∂L/∂(dq/dt)) - ∂L/∂q = 0这个方程就是拉格朗日方程。

其中∂L/∂(dq/dt)表示拉格朗日函数对广义速度的偏导数，∂L/∂q表示拉格朗日函数对广义坐标的偏导数。

该方程描述了系统在广义坐标下的运动规律。

拉格朗日方程的推导过程是基于变分法和哈密顿原理的。

通过对作用量进行变分，我们可以得到极值的条件，即达朗贝尔原理。

然后利用这个极值条件，我们可以推导出拉格朗日方程。

拉格朗日方程在物理学中有着广泛的应用，不仅可以用来描述质点的运动，还可以用来描述刚体的运动、连续介质的运动、以及相对论力学等。

它提供了一种统一的描述物体运动的方法，同时也为我们研究物体的宏观性质提供了一个有力的工具。

定义：拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。

拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。

拉格朗日方程：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。

通常可写成：式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能；Qj为对应于qj 的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。

从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。

而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。

拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。

如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。

通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。

拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。

拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。

拉格朗日插值公式（外文名Lagrange interpolation formula）指的是在节点上给出节点基函数，然后做基函数的线性组合，组合系数为节点函数值的一种插值多项式。

公式线性插值也叫两点插值，已知函数y = f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0)，y1= f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b使它满足条件P1(x0) = y0P1(x1) = y1其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。

拉格朗日动力学方程拉格朗日动力学方程是描述质点或系统的运动的数学方程，它是由法国数学家和物理学家约瑟夫·路易·拉格朗日于18世纪提出的。

拉格朗日动力学方程的基本原理是通过引入称为拉格朗日函数的函数，对基本的物理量进行数学建模和描述。

拉格朗日函数是一个函数表达式，由广义坐标和广义速度组成。

广义坐标是描述系统状态所需的独立变量，而广义速度则是广义坐标随时间的变化率。

拉格朗日函数用于定义系统的动能和势能之间的关系，从而用数学语言描述系统的动力学行为。

根据拉格朗日动力学方程的定义，我们有拉格朗日函数L=L(q_1,q_2,..., q_n, \dot{q_1}, \dot{q_2},..., \dot{q_n}, t)，其中q_i表示广义坐标，\dot{q_i}表示广义速度，而n表示系统的自由度数。

拉格朗日方程可以写成以下形式：\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0这个方程组成系统的拉格朗日动力学方程，通过求解这个方程，我们可以得到描述系统运动的解析解或数值解。

拉格朗日动力学方程的推导是基于哈密顿原理，也称为拉格朗日原理。

哈密顿原理的核心思想是系统的真实运动路径是使作用量最小的路径。

作用量是一个积分，由拉格朗日函数和时间的区间所确定。

通过最小化作用量，我们可以得到拉格朗日动力学方程。

拉格朗日动力学方程在各个科学领域中具有广泛的应用。

在物理学中，它被用于描述刚体的转动、粒子在电磁场中的运动、弹性体的振动等现象。

在工程学中，它被用于机械系统的设计和分析。

在生物学中，它被用于生物力学的研究。

此外，拉格朗日动力学方程也是数学物理的一个重要分支，它为建立系统的数学模型提供了一种优雅和统一的方法。

三、（补）势力场、势能、动能定理从能量的角度来描述物体的运动现象。

现我们将力所作的功的概念进一步推广，可由能量的观点可推出拉格朗日方程。

（一）、势力场与势函数如果质点在某空间内任何位置都受有一个大小，方向完全确定的作用力。

即质点所受到的力仅与质点的位置有关，记为：F x y z (,,) 那么这个空间称之为力场。

将F 向坐标轴投影就有：),,(z y x F X x = , ),,(z y x F Y y = , ),,(z y x F Z z =设上述的函数是单值、连续、并且具有一阶偏导数。

现我们计算F 在力场中运动时所作的功，由功的定义知道：⎰++=Lz y x dz F dy F dx F W )( (其中L 为质点运动的轨迹)一般地讲，这个积分与质点运动的路径有关。

现仅讨论与路径无关的情况。

这对于理解物体运动的本质是很有意义的。

如果上述的线积分仅与质点的起始位置与终了位置有关，而与路径无关。

由高等数学知该微分三项式为某一函数的全微分，即)(dz F dy F dx F dU z y x ++=。

显然U 是坐标x ，y ，z 的函数，则定义： ),,(z y x U U =———力场的势函数。

如果质点从M 0运动到M ，则代入上述的线积分则有：),,(),,(00000z y x U z y x U dU W M M M M -=⎰=→→并且 x U F x ∂∂= ； yU F y ∂∂= ； z U F z ∂∂=（二）、势能、势能函数前面我们纯粹从数学的角度引进了势函数，通过势函数，我们可方便地计算有势力的功。

势函数的概念比较抽象，但在矢量场的分析中具有普遍的意义。

在我们力学分析中，还经常用到物理意义较为明显的势能函数，由势能函数来代替势函数。

现我们来看两者的关系。

首先来定义势能的概念。

所谓势能即：势能——当物体在势力场中某一位置时，具有作功的能量。

显然，势能具有相对的意义。

选取不同的基准位置，则同一位置的势能具有不同的数值。