电路的拉格朗日动力学方程

以约瑟夫·刘易斯·拉格朗日命名的拉格朗日方程是拉格朗日力学的主要方程。

它可以用来描述物体的运动，特别适合于理论物理学的研究。

拉格朗日方程的功能等效于牛顿力学中的牛顿第二定律。

拉格朗日方程：对于一个完整的系统，用广义坐标表示的动力学方程通常指第二种拉格朗日方程，该方程首先由法国数学家J.-L.拉格朗日推导。

通常可以这样写：
其中，t是由广义坐标QJ和广义速度q'j表示的系统动能；QJ 是与QJ对应的广义力；n（= 3n-k）是整个系统的自由度；n是系统的质点数；K是完全约束方程的数量。

完整系统的拉格朗日方程
完整系统的拉格朗日方程
从虚拟位移原理，我们可以得到没有约束力的具有理想约束的粒子系统的平衡方程，而动态静态方法（D'Alembert原理）则采用静态方法来建立粒子系统的动力学方程。

通过将两者结合起来，可以得到没有约束力的粒子系统动力学方程，这是一般的动力学方程。

拉格朗日方程是广义动力学方程在广义坐标系下的具体表达。

拉格朗日方程可用于建立无约束力的动力学方程，也可用于求解在给定运动定律下作用于系统的有功力。

如果要查找约束力，可以将拉格朗日方程与动态和静态方法或动量定理（或质心的运动定理）结合起来。

通常，我们将基于牛顿定律和基于牛顿定律的力学理论称为牛顿力学（也称为矢量力学），将拉格朗日方程和基于其的理论称为拉格朗日力学。

拉格朗日力学描述了机械系统在配置空间中的运动，适合研究受约束粒子系统的运动。

拉格朗日力学在解决微振动和刚体动力学问题中起着重要作用。

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·26·第3章拉格朗日方程以动力学普遍方程为基础，拉格朗日导出了两种形式的动力学方程，分别称为第一类和第二类拉格朗日方程。

将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立起动力学普遍方程，避免了理想约束力的出现；再把普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，导出了第二类拉格朗日方程，实现了用最少数目的方程描述动力系统；应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程，是第一类拉格朗日方程，便于程式化处理约束动力系统问题。

拉格朗日方程是分析力学得以发展之源。

3.1 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程是分析力学中最重要的动力学方程，它给出动力学问题一个普遍、简单而又统一的解法。

拉格朗日方程只适用于完整约束的质点系。

3.1.1 几个关系式的推证为方便起见，在推导拉格朗日方程前，先推证几个关系式。

质点系由n 个质点、s 个完整的理想约束组成，它的自由度数为k ＝3n –s ，广义坐标数与自由度数相等。

该系统中，任一质点M i 的矢径r i 可表示成广义坐标q 1，q 2，…，q k 和时间t 的函数，即r i ＝r i (q 1，q 2，…，q k ，t )i ＝1,2,…,n它的速度t q q t i h h i kh i i i ∂∂∂∂r r r r υ+===∑= 1d d (3-1)i ＝1,2,…,n式中 qq t h h =d d 称为h 个广义坐标的广义速度，t q i h i ∂∂∂∂rr 、分别为广义坐标和时间的函数，与广义速度 q h 没有直接的关系。

式(3-1)对 q h 求偏导数，则有h ih i q q∂∂∂∂r υ=(3-2)这是推证的第一个关系式，它表明，任一质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数。

为推证第二个关系式，将式(3-1)对广义坐标q j 求偏导数，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∑∑==j i h j i h k h j i h h j i k h j i q t q q q t q q q q q ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂r r r r υ 1221 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j ij i q t q ∂∂∂∂r υd d ∴ 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛=h i h i q t q ∂∂∂∂r υd d (3-3)这是第二个关系式，它表明，任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于其矢径对广义坐标的·27·偏导数，再对时间的一阶导数。

定义：拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。

拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。

拉格朗日方程：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。

通常可写成：式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能；Qj为对应于qj 的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。

从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。

而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。

拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。

如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。

通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。

拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。

拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。

拉格朗日插值公式（外文名Lagrange interpolation formula）指的是在节点上给出节点基函数，然后做基函数的线性组合，组合系数为节点函数值的一种插值多项式。

公式线性插值也叫两点插值，已知函数y = f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0)，y1= f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b使它满足条件P1(x0) = y0P1(x1) = y1其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。

我们要找出LC电路的拉格朗日方程。

首先，我们需要了解什么是拉格朗日方程以及LC电路的基本原理。

拉格朗日方程是描述一个系统动力学的方程，它基于系统的动能和势能。

对于LC电路，其动能和势能分别为：
1. 电容器的电场能量：0.5×C×V^2
2. 电感器的磁场能量：0.5×L×I^2
其中，C是电容，L是电感，V是电压，I是电流。

拉格朗日方程的一般形式为：
dL/dt = d(KE)/dt - d(PE)/dt
其中，L是拉格朗日函数，KE是动能，PE是势能。

对于LC电路，我们可以将上述的动能和势能代入拉格朗日方程中，得到：
d(0.5×C×V^2 + 0.5×L×I^2)/dt = 0
这就是LC电路的拉格朗日方程。

计算结果为：d(KE)/dt = d(PE)/dt
所以，对于LC电路，其拉格朗日方程为：d(KE)/dt = d(PE)/dt。

电路的拉格朗日的动力学方程拉格朗日方程拉格朗日方程:对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。

从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。

而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。

拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。

如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。

通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。

拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。

拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。

为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程拉格朗日方程，需要先导出达朗伯－拉格朗日方程。

一、达朗伯－拉格朗日方程设受完整约束的力学体系有n 个质点，体系中每一个质点都服从如下形式的牛顿运动定律，设第i 个质点受主动力，受约束反力，则n i R F r m ii i i , ,2 ,1 , =+=n i R F r m i i i i , ,2 ,1 ,0 ==++-称为达朗伯惯性力或称有效力这个达朗伯惯性力与力学中定义过的惯性力不是一个概念，那里的惯性力是对某一非惯性系而言的，而上式中各质点的并不相等，所以这里并不存在一个统一的非惯性系。

以i r δ点乘上式后，再对i 取和，得)(1=⋅++-∑=i i i i i n i r R F r mδ理想约束条件下：1=⋅∑=i n i i r Rδ则)(1=⋅+-∑=i i i i n i r F r mδ这是达朗伯原理与虚功原理的结合，称为达朗伯——拉格朗日方程，由于存在约束，各 i r δ 并不彼此独立，因此不能令上式中 i r δ 前面的所有乘式都等于零，否则就成为自由质点的运动微分方程了。