弹塑性力学 Microsoft PowerPoint

第1章 绪论1-2
线性弹性力学的发展，出现了许多分支学科，
如薄壁构件力学、薄壳力学、热弹性力学、 粘弹性力学、各向异性弹性力学等。
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弹性力学解法也得到不断发展
数值解法 微分方程的差分解 [迈可斯(1932)] 有限单元法 [1946年]
第1章 绪论1-2
复变函数（20世纪30年代）萨文和穆斯赫利什维利 作了大量的研究工作，解决了许多孔口应力集中等 问题。
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固体材料的弹塑性简单 说明（简单拉伸性能）
弹性极限（屈服 极限）
比例极限
弹性 阶段
塑性阶段（强化）
第1章 绪论
卸加载 （弹性）
弹性应变 塑性应变
低碳钢试件简单拉伸试 验应力—应变曲线图
弹性应变
15
第1章 绪论
• “完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力 和应变之间一一对应的关系。 这种关系与时间无关，也与变形历史无关。
38
钱伟长
钱学森
胡海昌 徐芝伦
39
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
一、体力
分布在物体体积内的力（重力、惯性力） z
大小： 平均集度
体力
lim F f V 0 V
O
x
fz V
F f
fy
fx
P
y
图11a 40
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
方向 f的方向就是ΔF的极限方向
矢量f在坐标轴x、y、z上的投影fx、 f y、 fz ，称为
材料的应力和应变关系通常称为 本构关系
——物理关系或者物理方程
• 线性弹性体和非线性弹性体

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10
§1-2 基本假设和基本规律
2.1基本假设
假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积 内处处充满介质，没有任何间隙。
从材料的微观看此假设不正确。因为粒子 间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分 析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体 的各物理量为连续函数（坐标函数）。
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§1-2 基本假设和基本规律
假设2：物体的材料是均匀的。认为物体内 各点的材料性质相同（力学特性相同），所 以从物体内任一部分中取出微元体进行研究， 它的力学性质代表了整个物体的力学性质。
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§1-2 基本假设和基本规律
假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物 体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。
哑标如：
3
rr1e1r2e2r3e3 riei riei r j e j 3 i1
uu1e1u2e2u3e3 uiei uiei u j e j

i1

33


1e 1 1 e 11e 1 2 e 2 .. ..3.e 3 3 e .3 ie jie jie jie j
排列符号的作用可以简化公式书写，如： 1． 三阶行列式：
A11 A12 A13 AA21 A22 A23eijkAi1Aj2Ak3eijkA1iA2jA3k
A31 A32 A33
（共六项，三项为正，三项为负）。
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§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
2. 基向量的叉积：右手系
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弹塑性力学
授课教师：龙志飞 目录

卸载：指材料产生从塑性状态回到弹性状态的应力改变。
一 、理想材料的加卸载准则
理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。
由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上， 应力增量 d 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。
d 加载
f(ij)0,
弹性状态
d
n
卸载
f 0
f (ij) 0,
)
1 (w v) 2 y z
w
z

• 几何方程张量表示
1 ij 2(ui,j uj,i)
u i, j

u i x j
位移梯度
相对位移矢量对称部分
应变张量是位移梯度的对称化
应变分量的坐标变换 [][][][]T
第四章 本构关系 4.5 常用的屈服条件
1. 最大剪应力条件 Tresca 屈服条件
T 1 2 ＋ T 2 2 ＋ T 3 3 － N 21 22 7 48 2
例1 如图所示，试写出其边界条件。
q
(1) x 0,

u v
s s
0 0
u 0, v 0 y x
h
hx
(2) xa, l 1,m0 X0,Y 0
l(x)s m(xy)s X
M Mi
M Mi
解: 处于弯扭作用下,杆内主应力为
1,321 2 242,
2 0
其中


My J
32M
d3


Mir J0
16dM3i
(1) 由最大剪应力条件(特雷斯卡)给出
并考虑安全系数
r31 30s
d0.10m 9
(2) 由最大畸变能条件(米泽斯)给出

可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或

工程弹塑性力学
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA

几何连续规律：要求变形前连续的物体，变形后仍为连续物 体，由这个规律建立几何方程或变形协调方程，均为微 分方程。
物理(本构)关系：应力 (内力)与应变 (变形)之间的关系，根据 材料的不同性质来建立，最常见的为各向同性材料。
平衡方程和几何方程都与材料无关，塑性 力学与弹性力学的主要区别在于本构方程
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在研究方法上的不同。材料力学为简化计算，对构件的应 力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略 和近似的；而弹塑性力学研究通常不引入上述假设，从而 所得结果比较精确，并可验证材料力学结果的精确性。
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01 绪 论
第2节 基本假设和基本规律
弹塑性力学的定义：弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性体和弹塑性体在载荷作用下应力分布规律和变形规律的一门
学◆科新。理论－实损伤际、混问沌等题； 由多方面因素构成，分析极为复杂。应按照物体
的性质，以及求解范围，忽略一些暂时可不考虑的因素， 混合法（同时以应力和位移为未知量）
19世纪70年代，建立了各种能量原理，并提出了这些原理的近似计算方法。
第混2合节法（基同本使时假以设我应和力基们和本位规研移律为究未知的量）问题限定在一个方便可行的范围内。
对工科来说，弹性力学的任务，和材料力学、结构力学 的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应 力和应变，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性， 并寻求或改进它们的计算方法。
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01 绪 论
弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与 塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；

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§6-3 平面问题的基本解法
其中
2
2 x2
2 y2
平面应变问题：
G 2uG 1 12u, f0
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§6-3 平面问题的基本解法
边界条件：位移边界
u u , v v 在Su上
力的边界
X lx myx
Y lxymy （在S 上）
（应力需要用位移微分表示）
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
力的边界条件： X n
Xlx myx
Ylxymy （在S上）
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§6-3 平面问题的基本解法
3.1 位移法 基本未知函数：u(x,y) , v(x,y)
基本方程两个：用 u , v 表示的平衡微分方程。 平面应力问题：
G 2uG 1 1 u, f0
2. 无体力作用时，应力函数及其一阶偏导数 的边界值可分别由边界的面力的主矩和主矢 量来确定。
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§6-3 平面问题的基本解法
( x)B ( x )A A B F y d S A B Y d S R y
B
B
( y)B( y)AAF xd SAX d SR x
y
x
c3
1
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§6-4 多项式应力函数运用举例
3. 取为三次项： (x,y)d1x3d2 x2yd3x2y d4y3
62 2 6
代入 4 =0， 满足。
将 代入应力分量与应力函数的关系式，得
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§6-4 多项式应力函数运用举例
x 2y2 d3xd4y

d
p
|
cos
0
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
工程弹塑性力学·塑性位势理论
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
p
ij
0
0 ij
WD
(ij
adij
0 ij
)d
p
ij
0
1 a 1 2
当
0 ij
时,略去无穷小量
ij
( ij
0 ij
)d
p ij
0
当
0 ij
ij时，
d
ij
d
p ij
0
屈服面的外凸性
塑性应变增量方向 与加载曲面正交
工程弹塑性力学·塑性位势理论
1 屈服曲面的外凸性
( ij
0 ij
)dijp
|
A0 A||
不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值， 则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。
工程弹塑性力学·塑性位势理论
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
弹塑性力学本构关系
1
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(1) 稳定材料与非稳定材料

J 2 = s 2 13=2s
（1） 管的两端是自由的；
应力状态为，z = 0， = pR/t，r=0，zr=r=z=0
J2 = =
1 [(zr)2+(r)2+(z)2+6( 2 2 2z )] zr r 6
1 1 2]= [2(pR/t) (pR/t)2 3 6
z
2
z 2
2 z = s
将其展开后得
z f2 = 2
z 2 2 z ( s ) =0 2
2
2 f 2 = s z s z z s2 = 0
2
从(5.4-4)式可知，弯矩 M 与曲率 k 呈线形关系，且
M k= EI z
将它代入式 x = E = Eky
式(5.4-5)与材料力学的结果完全一样，表明应力 x
My x = Iz
(5.4-5)
在梁的横截面呈线性分布，即与 y 成比例，且随着弯矩 M 的增加，梁的上下最外层最先达到屈服应力，对应的弯矩称为弹性 极限弯矩，记为 M e 。由(5.4-5)式可得弹性极限弯矩为
压应力 y 主要由载荷 q 产生的, 现因 q 为常数, 所以,可以假定,对于不
6 z = s 7
将该式微分，得
时达到屈服．
( s )d z ( s z )d 2 z d z = 0
1 d z d 2 d z = d ( s ) E
1 d d z 2 d = d ( s z ) E
对AB面
f1 d = d1 = d1 1 f1 p d 2 = d1 = d1 2 f d 3p = d1 1 = 0 3

a* 2a
18
3.材料加工硬化的修正
考虑材料加工硬化，当 s 200 ~ 400MPa 时，低
碳钢取
f
1 2
(
s
b)
代替 s 。其中 f
为流变应力。
b 为材料的抗拉强度。
综合考虑上述3部分内容
D－B模型的计算公式
8 f a* ln sec[ (M )]
E
2 f
19
§4.5 J积分的定义和特性
主要包括COD理论和J积分理论.
3
§4.1 小范围屈服条件下的COD 一.COD
COD(Crack Opening Displacement) 裂纹张开位移。 裂纹体受载后，裂纹尖端附近的塑性区导致裂纹尖端表面 张开——裂纹张开位移：表达材料抵抗延性断裂能力
c —COD准则
裂纹失稳扩展的临界值
第四章 弹塑性断裂 力学
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸
弹塑性断裂力学 大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸，
如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的
接管部位.
2
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以 便利用理论建立起这些参量与裂纹几何特性、外加载荷之 间的关系，通过试验来测定它们，并最后建立便于工程应 用的断裂准则。
( 12
x1
22
x2
)
u2 x1
11
2u1 x12
12
2u2 x12
21
2u1 x1x2
22
2u2 x1x2
)]dx1dx2

精确满足时，也可在此部分边界上以静力等效的力 上都逐点满足边界条件往往存在很大难度。
某种材料制成匀分布的表面力作用，假定圆环材料为理想弹塑
的边界条件代替加以求解； 性，屈服时符合Tresca准则，试确定该圆筒所能承受的弹性极限载荷(以及极限载荷）。
关于圣维南原理在求解弹性力学问题中的意义：
在数学上弹性力学问题被称为边值问题，其待求的未 知量（应力、应变、位移）完全满足基本方程并不困难， 但是，要求在全部边界上都逐点满足边界条件往往存在很 大难度。圣维南原理的存在，可以使问题得到简化： （1）.在符合圣维南原理的那部分边界上，可以放弃严格 的逐点边界条件，而改为满足另一组静力等效的合力形式 表示的整体边界条件； （2）.当物体一小部分边界上仅仅知道物体所受外力的合 力而不知其分布方式时，可以在这部分边界上直接写合力 条件进行求解；
可以近似判断应力分布、应力集中情况。 为保证物体的连续性，物体内部的应变分量一定要满足（变形协调方程、本构方程）。
材料进入塑性状态后，应力与应变之间（是、不是）一一对应的，某一应力对应的应变与（温度、加载历史）有关。 某种材料制成的圆环如图所示，其内半径为a，外半径为b，在内边界承受集度为q的均匀分布的表面力作用，假定圆环材料为理想弹塑 性，屈服时符合Tresca准则，试确定该圆筒所能承受的弹性极限载荷(以及极限载荷）。 利用圣维南原理有时在工程结构受力分析中可以近似判断应力分布、应力集中情况。 无论使用什么解法，只要解答满足全部方程、边界条件以及多连体的位移单值条件，就是正确、唯一的答案。 在符合圣维南原理的那部分边界上，可以放弃严格的逐点边界条件，而改为满足另一组静力等效的合力形式表示的整体边界条件； 平衡微分方程是通过在物体内任一点取个微元体，建立所有（ 力、应力）之间的平衡条件导出的。 材料进入塑性状态后，应力与应变之间（是、不是）一一对应的，某一应力对应的应变与（温度、加载历史）有关。