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平面应力问题求解的结果中弹性系数也如此
替换，则可得到平面应变问题解。
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.5 边界条件
位移边界条件：u u (=1,2）
u u , v v （在Su上）
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
力的边界条件： X n
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第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
平面问题 二
平面应力问题 平面应变问题
维 柱形杆扭转
问 题
轴对称问题
平板弯曲问题
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§6-1平面问题的分类
▪ 平面问题在工程中极为常见，而且平面 问题的解析解在整个弹性力学解析解中占有 较大比重。因此必须给予足够的重视。
xy
但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以
不考虑。
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.4 本构方程（3个）
平面应力问题
x
1 E
( x
y ),
xy
2(1
E
) xy
y
1 E
( y
x ),
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.4 本构方程（3个）
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第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
弹性体都是三维的，而受力（外力）一般 也是空间力系，但如果所研究弹性体具有某 种特殊形状，并且承受某种特殊规定的外力 和约束 。
弹性力学三维问题可以近似的简化为二 维问题处理，这将使分析和计算大大简化， 而所得结果也能满足工程上对精度的要求。
1.1 平面应力问题
由物体几何特点和受力特点知：
在 z 2t处，X Y Z 0 z=zx=zy=0。
▪ 由于薄板很薄，表面三个应力分量为零，则
近似认为在 V 内
z=zx=zy=0。
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§6-1平面问题的分类
1.1 平面应力问题
▪ 应 力 分 量 仅 存 三 个 : x=x(x,y), y=y(x,y),xy=xy(x,y),均为x,y的函数。
▪ 平面问题分为平面应力问题和平面应变问 题两类。
▪ 下面将它们分类简要说明一下。
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§6-1平面问题的分类
1.1 平面应力问题
固体的形状特点：
物体一个方向
尺 寸 比 其 它 两 个 方 x2
向尺寸小的多（等
厚度薄板）。
o
x1
x2
x3
t
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§6-1平面问题的分类
1.1 平面应力问题
▪ 受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
布，体力 f3 = fz = 0 , 面力 X 板表面无面力，坐标系（x1 ,
3 x2
Z ,
0 ，在薄
x3）放在板
厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板
面。满足上述条件的问题称为平面应力问题
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§6-1平面问题的分类
荷载和约束，则此对称面处的位移和变形为 零，即
w=0(z=0), zx=zy=0
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§3-1平面问题的分类
1.2 平面应变问题 平面应变问题：
应变分量仅有三个 x ,y , xy=yx
位移分量两个：u(x,y) , v(x,y)
应力分量：x , y ,xy , z（其中 z 不独立）
X l x m yx
Y l xy m y （在S上）
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§6-3 平面问题的基本解法
3.1 位移法
基本未知函数：u(x,y) , v(x,y)
基本方程两个：用 u , v 表示的平衡微分方程。
平面应力问题：
G 2u
G1 1
u ,
f
0
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§6-3 平面问题的基本解法
平面应变问题
x
(1 2 )
E
( x
1
y ), y
(1
E
2)
( y
1
x ),
xy
2(1 E
)
xy
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
两个平面问题的基本方程仅物理方程有所
不同，将平面应力物理方程中弹性系
数
E E
1 2
，
1
，则平面应力问题的物理
方程变为平面应变问题的物理方程。所以按
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§6-1平面问题的分类
1.2 平面应变问题 形状特点：物体一个方向尺寸（z 或x3）比其 它两个方向（x,y 或 x1 ,x2 ）大的多，如水坝、 涵洞。
x1 (x)
x3 (z)
x2 (y)
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§6-1平面问题的分类
1.2 平面应变问题
▪ 受 体 = 力c力onf和3s=t约f面z束=均情0可，况看面：成力沿对zX称(3或面x，Z3）对轴称0，方结这向构样无受x变对3 =化称z，
2.2 几何方程（3个）
两平面问题一致：
1 2 (u,
u , )
x
u x
,
y
v y
,
xy
u y
v x
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.3 相容方程（1个）
两平面问题一致：
2 x
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
对于平面应力问题还应有
2 z
x2
0,
2 z
y 2
0,
2 z 0
▪ 存在四个应变分量(待求量)：x , y , xy ,z （其中 z 不独立）
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§6-1平面问题的分类
1.1 平面应力问题 ▪ 位移分量待求量： u(x,y) , v(x,y)（考虑 平面内位移）. ▪ 平面应力问题待求未知函数一共八个：
3个应力＋3个应变＋2个位移
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平面应变问题待求未知函数仍然八个：
3应力＋3应变＋2位移。
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.1 平衡微分方程（2个）
两个平面问题一致： ,+f=0, , =1,2
x yx X 0 xy y Y 0
x y
x y
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
其中
2
2 x 2
2 y 2
平面应变问题：
G 2u
G 1
1 2
u ,
f
0
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第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类 §6-2平面问题的基本方程和边界条件 §6-3平面问题的基本解法 §6-4多项式应力函数运用举例
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第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
▪ 在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法： 位移法和应力法，并结合简单的三维问题， 根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移 解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移 法的基本方程和边界条件，满足则为问题真 解。
