1.1.4投影与直观图

1．1．4 投影与直观图三维目标1．知识与技能(1)了解中心投影和平行投影的原理．(2)会用斜二测画法画水平放置的平面图形以及空间几何体的直观图．(3)会画简单空间几何组合体的直观图．2．过程与方法学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．3．情感、态度与价值观：(1)提高空间想象力与直观感受．(2)体会对比在学习中的作用．(3)感受几何作图在生产活动中的应用．重点、难点重点：(1)中心投影、平行投影的概念与特点；(2)水平放置的平面图形直观图画法．难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图．重难点突破：通过动画演示投影的形成过程，使学生直观、生动地感悟，使抽象问题具体化，加速学生对投影概念的理解．通过变换投影点及物体的摆放位置，让学生明确：同一物体的投影会随着投影光线或者物体摆放的变换不断地发生变化；不同物体的投影也不一定不相同．以学生熟知的水平放置的平面图形的直观图为切入点，先让学生观察直观图与平面图的区别与联系，发现共同点，总结规律，教师适时点拨，引导学生切实理解“斜”和“二测”的含义，并通过典例训练加深对直观图画法的理解，重点得以突破．在此基础上，通过正方体直观图的画法，总结用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤，在此过程中让学生体会平面图形直观图和空间几何体直观图的画法的联系与区别，从而难点得以化解．教学建议由于本节知识具有由抽象到具体再到抽象、空间思维难度较大的特点，建议采用直观教学法、启导发现法进行讲解．以多媒体播放手影表演、皮影戏的动画为切入点，激发学生的学习兴趣，引出投影的概念．在此基础上，画出空间几何体的直观图是学好立体几何的前提和基础，是解决学生识图难及画图难的关键，故本节课在整个立体几何教学中有着不可替代的作用．鉴于本节知识的特点，教学时可以大胆放手让学生通过自主的学习进行归纳总结，教师在此过程中适时引导和点拨．如在平面图形直观图的画法中，给学生指出确定坐标系的关键性；引导学生发现平面图形的直观图的画法其实质是确定点位置的画法；在从平面图形的直观图过渡到空间几何体的直观图中，要引导学生进行对比学习；最后通过例题及练习辅助教学，澄清学生学习本节知识的疑难点，提升学生的认知能力．知识梳理1．平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：(1)直线或线段的平行投影仍是______或______；(2)平行直线的平行投影是______或______的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段________且________；(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形________；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比________这两条线段的比．2．斜二测画法运用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，主要步骤如下：(1)在已知图形中取水平平面，作相互垂直的轴__________，使∠xOy＝90°；(2)画直观图时，把轴Ox，Oy画成对应的轴____________，使____________(或135°)，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；(3)已知图形中，平行于______轴、______轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴．并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．(4)已知图形中，平行于______轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于______轴的线段，长度变为原来的一半．(5)画图完成后，擦去作为轴助线的坐标轴，就得到了水平放置的平面图形的直观图．3．中心投影一个__________把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．知识点1 投影的概念【问题导思】请同学们看下面几个常见的自然现象，考虑它们是怎样得到的？【提示】光照射到手上，在墙上(或屏幕上)留下的影子．1．投影的概念(1)定义：由于光的照射，在物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影．(2)投影线：．(3)投影面：．2．投影的分类(1)中心投影：光由向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于．(2)平行投影：在一束光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的是平行的．例1 下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3规律方法总结1．考察一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．2．平行投影需注意图形、投射线、投射面之间的位置关系，位置发生改变，一般情况下投影也会改变．3．中心投影与人的视觉效果一致，解题时可结合生活实际作出判断．变式训练1 如图1－1－32所示，这是圆桌正上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成的阴影(圆形)的示意图．已知桌面的直径为1.2 m，桌面距离地面1 m，若灯泡距离地面3 m，则地面上阴影部分的面积为________．(忽略桌脚)图1－1－32知识点2 斜二测画法【问题导思】正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？【提示】没有都画成正方形．1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则2．立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度，其他同平面图形的画法.例2 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．【思路探究】画轴―→画底面―→画顶点―→成图规律方法总结1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”变式训练2 画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)例3 如图1－1－33，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．图1－1－33【思路探究】解答本题可先由斜二测画法的逆步骤来作，先确定点，再连线画出原图．解答本题过程中容易把OB或AB画成O′B′或A′B′的2倍而造成错误．由直观图恢复到平面图形时应注意角度的改变、平行性不变、长度的变化，关键是点的确定．变式训练3 (2013·临沂高一检测)直观图(如图1－1－34)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为 2 cm，则在xOy坐标中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.图1－1－34课堂小结1．理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所形成的影子，研究两者的不同之处．另应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直线或线段不平行于投影线的情况．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.作业设计一、选择题1．下列命题正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的投影可能平行D ．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 2．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍然相等； ③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行． 其中正确的有( )A ．①②B ．①④C ．③④D ．①③④3．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cm4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A ．12＋22B ．1＋22C．1＋ 2 D．2＋2二、填空题7．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．三、解答题10．试画出底面边长为1．2 cm，高为1．5 cm的正四棱锥的直观图．11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．能力提升12．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．反思感悟1．直观图与原图形的关系斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系，在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍． 2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．答案知识梳理1．(1)直线 线段 (2)平行 重合 (3)平行 等长 (4)全等 (5)等于2．(1)Ox ，Oy (2)O ′x ′，O ′y ′ ∠x ′O ′y ′＝45° (3)x y (4)x y 3．点光源知识点1 （1）不透明 影子 （2）光线 （3）留下影子的屏幕例1【自主解答】 平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．故3种说法都正确．故选D 。