高中数学1.1空间几何体1.1.4投影与直观图自我小测新人教B版必修

第6课时 1.1.4 投影与直观图课时目标了解投影、中心投影和平行投影的相关概念．C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形答案：D解析：由斜二测画法的规则，可知平行于y 轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D 正确．4．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么用斜二测画法得到的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 答案：D解析：根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②中△A ′B ′C ′所示．易知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .过点C ′作C ′D ′垂直A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12a ×68a ＝616a 2. 5．如图建立坐标系，得到的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )答案：C解析：在A 、B 、D 中，三角形ABC 的直观图的底面边长和高均相等，它们是全等的，只有C 不全等．6．如图所示的正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．6 cmB ．8 cmC ．(2＋32) cmD ．(2＋23) cm答案：B解析：直观图中，O ′B ′＝2，原图形中OC ＝AB ＝22＋12＝3，OA ＝BC ＝1.∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.二、填空题(每个5分，共15分)7.的直观图，那么△′轴，可知∠BAC所以仅为直角三角形而非等腰直角三角形．′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，________．为直角三角形，显然，AC＝1，腰AD＝CB＝2，下底________．所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为可得其高为22－1＝2×(1＋3)×一个水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形DC⊥BC，求原平面图形的面积．.ADCE是矩形，能力提升C′D′是边长为1的正方形，二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．A与O重合，在x轴上取点，连接DE并延长至点B，使′的原图形(也可以过点C，如图所示．为平行四边形，∵AD＝2，AC＝2，∴用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面在底面的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)中，以AD所在的直线为x，BC分别交于M，N两点，如图①所示．。

1.1.4 投影与直观图课时跟踪检测[A组基础过关]1．有下列说法：①从投影的角度看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的说法有( )A．1个B．2个C．3个D．0个解析：由平行投影和中心投影的概念知，以上三种说法都正确，故选C．答案：C2．下列叙述中正确的个数是( )①相等的角，在直观图中仍然相等；②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：从原图到直观图只能保证平行的仍然平行，故只有③正确，正确命题的个数只有1个，故选B．答案：B3．已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′(如图所示)，其中A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，则直角梯形DC边的长度是( )A． 5 B．2 2C．2 5 D． 3解析：将直角梯形还原如图所示，其中AD＝A′D′＝2，BC＝B′C′＝4，AB＝2A′B′＝2，取OC的中点E，连接DE.则DE⊥OC，∴DC＝DE2＋EC2＝4＋4＝2 2.答案：B4．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是( )A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．梯形的直观图可能不是梯形C．正方形的直观图为平行四边形D．正三角形的直观图一定是等腰三角形解析：根据斜二测画法画水平放置的平面图形时的画法原则可得，等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，梯形的直观图还是梯形，正方形的直观图是平行四边形，正三角形的直观图可以是一个钝角三角形，故选C．答案：C5．已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形，若平行四边形中有一条边为4，则此正方形的面积是( )A．16或36 B．36或64C．16或64 D．36解析：若水平的边为4，则正方形的边长为4，面积为16.若斜边为4，则正方形的边长为8，面积为64，故选C．答案：C6．在一张不透明的胶纸上有一个小孔，在这张胶纸前有一高为2 cm的线光源，且离胶纸的距离为4 m，则在胶纸后面的墙上将会有一个长为________ cm的光斑(已知墙离胶纸的距离为8 m)．解析：本题中小孔成像是物理的光学中研究的问题，在数学中可将其视为中心投影，其实质是考查三角形的相似关系．答案：47.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．解析：由题可知△ABC 是直角三角形，如图所示，其中C 为直角，∴AC ＝A ′C ′＝3，BC ＝2B ′C ′＝4， 取AB 边的中点D ，连接CD ，∴AB 边上的中线CD ＝12AB ＝12 AC 2＋BC 2＝52.答案：528．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的直观图．解：画法：(1)画底面．如图①.画x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，以点O ′为中心，在x ′轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ，在y ′轴上取线段PQ ，使PQ ＝32cm ，分别过点M 和N 作y ′轴的平行线，过点P 和Q 作x ′轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(2)画z ′轴．使z ′轴与x ′轴的夹角为90°.(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z ′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图②.[B 组 技能提升]1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BB 1，BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)是( )解析：过△DMN三个顶点D，M，N分别在投影面ADD1A1上作正投影即得．故选A．答案：A2．下列说法中正确的是( )A．正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°B．水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形C．不等边三角形的水平放置的直观图是不等边三角形D．水平放置的平面图形的直观图是平面图形解析：对于A，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“‘二测’——横不变，纵减半”的规则，因而答案不正确；对于B，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于C，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形．答案：D3.如图是水平放置的三角形的直观图，D是△ABC的BC边的中点，AD∥y′轴，那么AB，AD，AC三条线段的长度关系是________．解析：∵AD∥y′轴，根据斜二测画法规则，则在原图形中应有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，AD为BC边上的高，则有AB，AC等长．答案：AB＝AC＞AD4.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形的面积为________．解析：将直观图还原，如图所示是平行四边形OABC，由直观图可知OA ＝O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，∴O ′D ′＝22，∴OD ＝42， ∴S OABC ＝OA ·OD ＝6×42＝24 2. 答案：24 25．如图，画出图中水平放置的四边形OABC 的直观图．解：按斜二测画法画图．(1)画轴：画O ′x ′，O ′y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°. (2)在x ′轴上取点B ′，使O ′B ′＝OB ＝4；在y ′轴上取C ′， 使O ′C ′＝12OC ＝1，在x ′O ′y ′中，对应取A ′，使A ′⎝⎛⎭⎪⎫3，－12. (3)成图：顺次连接C ′，B ′，A ′，O ′，所得四边形O ′A ′B ′C ′就是四边形OABC 的直观图．6．如图所示，A ′B ′C ′D ′是一个水平放置的平面图形的斜二测直观图，已知A ′B ′C ′D ′是一个直角梯形，A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′⊥C ′D ′且B ′C ′与y ′轴平行，又A ′B ′＝6，D ′C ′＝4，A ′D ′＝2，试求梯形A ′B ′C ′D ′的原图形ABCD 的面积．解：由斜二测画法的规则知梯形A ′B ′C ′D ′的原图形ABCD 为梯形且BC ⊥AB .∴AB ＝A ′B ′＝6，DC ＝D ′C ′＝4，BC ＝2B ′C ′＝22A ′D ′＝42，∴S 四边形ABCD ＝12×(6＋4)×42＝20 2.。

1．1．4 投影与直观图对应学生用书P11知识点一平行投影与中心投影1．下列说法正确的是( )A．矩形的平行投影一定是矩形B．正方形的平行投影一定是矩形C．正方形的平行投影一定是菱形D．梯形的平行投影一定是梯形或线段答案 D解析矩形的平行投影可能是矩形，也可能是线段；正方形的平行投影可能是线段，也可能是正方形；梯形的平行投影一定是梯形或线段．2．下列命题：①空间图形在平行投影和中心投影后有不同的图形；②正方形的直观图可能是平行四边形；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行直线有可能变成相交直线；④互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析由平行投影、中心投影的概念与性质知，命题①②③正确；命题④中假设这两条直线为共面垂直，则当投射线平行于这两条直线所确定的平面时，得到的直观图是一条直线，故④错误．知识点二斜二测画法解(1)如图①，画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．(2)以点O′为EF的中点，在y′轴上截取EF＝1．5 cm，以点E为CD的中点画CD∥O′x′，并使CD＝3 cm；再以点F为AB的中点画AB∥O′x′，并使AB＝3 cm．连接AD，BC．(3)过点A，B，C，D分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长为4 cm的线段AA′，BB′，CC′，DD′．(4)顺次连接A′，B′，C′，D′，A′，并擦去作为辅助线的坐标轴及点E，F，就得到正四棱柱的直观图，如图②所示．知识点三与直观图有关的问题4．如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图形中△ABC是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案 C解析本题主要考查由直观图还原为原图，将斜二测画法逆用，即与x′O′y′坐标轴平行的线在xOy 系中与坐标轴垂直，且AB ＝2A′B′，AC ＝A′C′．如图．故选C ．5．已知正△ABC 的边长为a ，以它的一边为x 轴，对应的高线为y 轴，画出它的水平放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′的面积是( )A ．34a 2 B ．38a 2 C ．68a 2 D ．616a 2 答案 D解析 本题考查水平放置的平面图形的直观图，因此要正确作出直观图，如图．则有A′B′＝AB ＝a ，O′C′＝12OC ＝12·32a ＝34a ，∠B′O′C′＝45°，∴S △A′B′C′＝12A′B′·O′C′·sin45°＝12a×34a×22＝616a 2，故选D ．对应学生用书P11一、选择题1．当图形中的直线或线段不平行于投影线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是( )A ．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B．平行直线的平行投影仍是平行的直线C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比答案 B解析根据平行投影的意义可知，平行直线的平行投影是平行或重合的直线，故选B．2．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形答案 C解析如图，原图中∠BAC>90°，故选C．3．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )A．内心的平行投影还是内心B．重心的平行投影还是重心C．垂心的平行投影还是垂心D．外心的平行投影还是外心答案 B解析三角形的重心是三条中线的交点，三角形平行投影后各边的中点位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的重心．4．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)是( )答案 A解析 过△DMN 三个顶点D ，M ，N 分别在投影面ADD 1A 1上作正投影即得．故选A ． 5．已知两个圆锥底面重合在一起(底面平行于水平面)，若其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2．5 cmD ．5 cm 答案 D解析 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间的距离为2＋3＝5(cm)，因为在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，所以仍为5 cm ．二、填空题6．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．答案 52解析 原图是AC ＝3，BC ＝4的直角三角形，故斜边上的中线长为1232＋42＝52．7．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO ，在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．答案22解析 点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d ，而O′A′＝12OA ＝1，∠C′O′A′＝45°(或135°)，所以d ＝22O′A′＝22． 8．在等腰梯形ABCD 中，上底边CD ＝1，AD ＝CB ＝2，下底边AB ＝3，按平行于上、下底边取x 轴，则直观图A′B′C′D′的面积为________．答案22解析 等腰梯形ABCD 的高为1，而直观图A′B′C′D′仍为梯形，其高为12sin45°＝24，故面积为12×(1＋3)×24＝22．三、解答题9．用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形的直观图．解 解法一：(1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°． 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm ， 在y′轴上截取O′A′＝12OA ＝ 3 cm ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示． 解法二：(1)如图③所示，以BC 边所在的直线为y 轴，以BC 边上的高AO 所在的直线为x 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°． 在x′轴上截取O′A′＝OA ，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝12OC ＝1 cm ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图④所示．10．水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图所示，其中对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是一个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形，并求出其面积．解四边形ABCD的真实图形如图．因为A′C′在水平位置，且四边形A′B′C′D′ 为正方形，所以四边形ABCD中，DA⊥AC，BC⊥AC．由DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，得S四边形ABCD＝AC·AD＝22．。

1.1.4 投影与直观图课堂探究探究一平行投影性质的应用1．在应用平行投影性质时，要注意投射线、投射面之间的位置关系，尤其不要忽视投射线平行于所给平面图形的情形．2．常见图形的平行投影①矩形的平行投影一定是矩形；②梯形的平行投影一定是梯形；③两条相交直线的平行投影可能平行；④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的三角形的中位线．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：当投射线与投射面垂直，矩形所在平面与投射面平行时，矩形的平行投影是矩形；当投射线与矩形所在平面平行时，投影是一条线段；当投射线与矩形不平行，矩形所在平面与投射面不平行时，其投影一般情况下为平行四边形，①错误；当投射线与梯形所在平面平行时，投影是一条线段；当梯形所在平面与投射线不平行时，梯形的平行投影一定是梯形，②错误；当投射线与两相交直线所在平面平行时它的投影是一条直线；当投射线与两相交直线确定的平面不平行时，它的投影仍是两条相交直线，③错误；“一个三角形的平行投影仍是三角形”，说明投射线与三角形所在的平面不平行，故可以用平行投影的性质“在平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比”来判断，④是正确的．答案：B探究二画平面图形的直观图1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定顶点的位置．2．建立平面直角坐标系时，结合图形的结构特征，尽量使原平面图形的顶点在坐标轴或与坐标轴平行的线段上．3．原图中不与x 轴或y 轴平行的线段，可以先作坐标轴的平行线为辅助线画出其端点然后再连线．【典型例题2】 画出水平放置的等腰梯形的直观图．思路分析：根据斜二测画法的规则，首先在原来的等腰梯形中建立平面直角坐标系，要使尽可能多的顶点和线段在坐标轴上，这样作起图来较为方便，然后按横线相等，竖线是原来的一半的原则，作出对应的各个顶点，连线即成．画法：(1)如图①，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD ．(3)连接B ′C ′，D ′A ′，并擦去辅助线x ′轴和y ′轴及O ′点、E ′点，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图③．探究三 画空间图形的直观图1．画棱柱、棱锥直观图的步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z 轴建系．(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z 轴平行或在z 轴上的线段确定有关顶点．(4)成图：擦去辅助线，连线成图．2．画棱台的直观图的四个步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z 轴建系．(2)画下底面．(3)画高，画上底面．(4)连线成图．【典型例题3】 有一个正三棱锥，底面边长为3 cm ，高为3 cm ，画出这个正三棱锥的直观图．思路分析：根据斜二测画法，先建立恰当的坐标系画出正三角形的直观图，再确定出正三棱锥的顶点即可．解：(1)先画出边长为3 cm 的正三角形水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正三角形的中心O ′建立z ′轴，画出正三棱锥的顶点V ′，使V ′O ′＝3 cm ，连接V ′A ′，V ′B ′，V ′C ′，如图②所示；(3)擦去辅助线，被遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图③．点评正棱锥的直观图在今后的学习中经常要用到，应该掌握正棱锥直观图的画法思路，以便在今后的学习中，可以较快、较准确地画出正棱锥的草图．画草图的步骤为：画底面、找底面的中心、作高连线．探究四 直观图的还原直观图的还原其实是画直观图的逆过程，只要明确角与边的转化关系，即可简化解答相关问题．(1)角的关系：原图形 斜二测直观图形∠xOy ＝90°∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)． (2)长度关系：与x 轴平行的线段相等相等画后对应线段；与y 轴平行的线段2缩短为原长的一半伸长为原来的倍画后对应线段．【典型例题4】 (1)水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为__________．解析：分析易知△ABC 为以∠C 为直角的直角三角形，且AC ＝3，BC ＝2×2＝4，所以AB ＝5，故AB 边上的中线长为52．答案：5 2(2)已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为__________．解析：如图所示，过C′作y′轴的平行线C′D′，与x′轴交于点D′，则C′D′＝2sin45．又C′D′是原△ABC的高CD的直观图，所以CD a，故S△ABC＝12AB·CD2．2探究五易错辨析易错点：混淆了直观图与平行投影的区别而致误【典型例题5】关于利用斜二测画法画直观图有以下结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3错解：A错因分析：混淆了直观图与平行投影的区别，直观图是利用平行投影的性质画出来的一种能反映原物体整体特征的图示，而平行投影的情况就较多了．正解：正方形、菱形的直观图通常为平行四边形而不具有其他性质，即③④不正确，故选C．答案：C。

1.1.4 投影与直观图1.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形;②正方形的直观图一定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是( B )(A)①② (B)①(C)③④ (D)①②③④解析:①正确.②正方形的直观图是平行四边形.③等腰梯形的直观图是梯形.④菱形的直观图是平行四边形.选B.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中两条线段结论错误的是( B )(A)原来相交的仍相交 (B)原来垂直的仍垂直(C)原来平行的仍平行 (D)原来共点的仍共点解析:斜二测画法保平行,保相交,保平行线段的比,但不保垂直.选B.3.如图所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是( C )解析:由直观图知,平面图形中靠右侧一边与y轴平行,满足这一特征的只有 C.4.△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( D )(A)AB (B)AD (C)BC (D)AC解析:由于直观图中,∠x′O′y′=45°,所以∠A′B′C′=45°,故∠ABC=90°,所以AC最长.故选D.5.如图,△A′O′B′为水平放置的△AOB的直观图,且O′A′=2,O′B′=3,则△AOB的周长为( A )(A)12 (B)10 (C)8 (D)7解析:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,底面边长OB=3,高OA=2O′A′=4,AB=5, 所以直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.6.如图所示,正方形O′A′B′C′的边长为 1 cm,它是一个水平放置的平面图形的直观图,则原图形的周长为.解析:由于平行性不变,O′A′∥B′C′,故在原图形中,OABC,所以四边形OABC为平行四边形,且对角线OB⊥OA,对角线OB=2,则AB==3.所以原图形的周长为l=3×2+1×2=8.答案:8 cm7.已知正三角形AOB的边长为a,如图所示,把它放在平面直角坐标系中,则它的水平放置的平面直观图的面积为( B )(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2解析:在直观图△A′B′O′中,O′A′=a,O′A′边上的高为××a=a,故△A′B′O′的面积为S=×a×a=a2.8.如图所示是水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则由斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为( A )(A)(B)1 (C) (D)2解析:由斜二测画法规则画出直观图如图所示,作B′E⊥x′轴于点E,在Rt△B′EC′中,B′C′=1,∠B′C′E=45°,B′E=B′C′sin 45°=1×=.9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积为.解析:由图形知,原图形是一个直角梯形,上底BC=1,下底OA=×2+1=1+,高h=OC=2,故S=×(1+1+)×2=2+.答案:2+10.如图,画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.解:画法:如图.(1)在等腰梯形ABCD中,以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy,并画相应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点,过E′作D′C′平行于x′轴,并使D′C′=DC,连接A′D′,B′C′,所得梯形A′B′C′D′即为水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.11.已知△ABC的面积为a2,它的水平放置的直观图为△A′B′C′是一个正三角形,根据给定的条件作出△A′B′C′的原图形,并计算△A′B′C′的面积.解:(1)取B′C′所在的直线为x′轴,过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴,建立坐标系x′O′y′;(2)过A′点作A′M′∥y′轴交x′轴于M′点.在△A′B′C′中,设它的边长为x,因为O′A′=x,∠A′M′O′=45°,所以O′A′=O′M′=x,故A′M′=x;(3)在直角坐标系xOy中,在x轴上O点左右两侧,取到点O距离为的点B,C,在x轴O点左侧取到原点O距离为x的点M,过M在x轴上方作y轴的平行线并截取MA=x,连接AB,AC,则△ABC为△A′B′C′的原图形,由S△ABC=a2,得x×x=a2,所以x=a,故△A′B′C′的面积为a2.。

1.1.4投影与直观图．一、选择题1．给出以下说法，其中不正确的是________．①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形．A．①②B．②③C．③④D．①④答案 A解析由斜二测画法规则可知①②不正确，故选A.2．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为()A．90°，90°B．45°，90°C．135°，90°D．45°或135°，90°考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案 D解析根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()答案 C解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．4．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()答案 C解析设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，根据斜二测画法在直角坐标系中先做出对应的A点和B点，再由平行于x′轴的线段在原图中平行于x轴，且长度不变，作出原图可得C.5．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm答案 B解析由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.6．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形答案 B解析由直观图的性质知B正确．7．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案 A解析直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A 项满足条件，故A正确．8.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，边BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为()A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm2答案 C解析依题意可知，∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上，下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD 高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.二、填空题9．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．答案(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2)．10．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则直观图梯形的高为________ cm.答案22解析 作CD ，BE ⊥OA 于点D ，E ，则OD ＝EA ＝OA －BC2＝2，∴OD ＝CD ＝2，∴直观图中梯形的高为12×2×22＝22(cm)．11.如图所示，四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0,0)，A (2,4)，B (4,0)，C (4，－2)，则该图形直观图的面积为________．答案 3 2解析 由S 原＝12×4×(4＋2)＝12，则S 直＝24S 原＝24×12＝3 2. 三、解答题12．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．解 画法：(1)如图a 所示，在梯形ABCD 中， 以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点， 建立平面直角坐标系xOy .如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°. (2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图b 中， 在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．13．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm ，高为2 cm) 解 (1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC ，其中O 为△ABC 的重心，BC ＝2 cm ，线段AO 与x 轴的夹角为45°，AO ＝2OD .(2)过O 作z 轴，使∠xOz ＝90°，在z 轴上截取OO ′＝2 cm ，作上底面等边三角形的直观图△A ′B ′C ′，其中B ′C ′＝1 cm ，线段A ′O ′与x 轴的夹角为45°，A ′O ′＝2O ′D ′，连接AA ′，BB ′，CC ′，得正三棱台的直观图． 四、探究与拓展14.如图所示为水平放置的△ABO 的直观图△A ′B ′O ′，由图判断在原三角形中，AB ，BO ，BD ，OD 由小到大的顺序是________________．答案OD<BD<AB<BO15.如图为一边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形原来的图形，并求出其面积．解(1)在正方形A′B′C′D′中建系如图a，建立直角坐标系xOy如图b.(2)在x轴上截取AO＝A′O′，OC＝O′C′.(3)过点A作AD∥y轴，并截取AD＝2A′D′.过点C作CB∥y轴，并截取CB＝2C′B′.(4)连接DC，AB.四边形ABCD为原图形．因为A′C′在水平方向，A′B′C′D′为正方形，所以在四边形ABCD中，DA⊥AC. 所以DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。

1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图知识梳理1.用平面图形表示空间图形的方法(1)平行投影:所有的投射线都互相平行,这样的投影称为平行投影.图1-1-(4,5)-1(2)中心投影:投射线汇交于一点的投影叫中心投影.图1-1-(4,5)-22.平行投影的性质(1)直线或线段的平行投影是直线或线段.(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线.(3)平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且相等.(4)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.(5)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.3.平行投影的应用(1)斜二测画法:画图时,Oz轴铅直放置,Ox轴水平放置,Oy轴与水平线成45°角,凡平行于x 轴和z轴的线段按1∶1量取,平行于y轴的线段按1∶2量取.(2)正等测画法:画圆的直观图时使用(了解即可).4.三视图(1)正投影:在物体的平行投影中,如果投射线和投射面垂直,则称这样的平行投影为正投影.(2)正投影除了具有平行投影的性质外,还具有下列性质:①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点.②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.(3)通常都是选择三个两两垂直的平面作为投射面.一个投射面水平放置,叫做水平投射面.投射到这个面的图形叫做俯视图.一个投射面放置在正前方,这个投影面叫做直立投射面,投射到这个面的图形叫做主视图.和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面.通常把这个平面放置在直立投射面的右面,投射到这个面的图形叫做左视图.将空间图形向这三个平面作正投影,然后把这三个正投影按一定的布局放在一个平面内,这样构成的图形叫做空间图形的三视图.知识导学正投影是反映立体几何性质的一个重要概念,也是用平面图形表示空间图形的基础.要学会画正投影,结合实际几何体进行观察加深对这一部分知识的认识.对于三视图需要理解其含义,而几何体直观图的画法,主要掌握斜二测画法的规则,在理解的基础上加以应用,也可以通过实际图形加深对几何体及空间概念的认识.疑难突破1.画物体三视图的作图步骤是什么？剖析:(1)根据物体的复杂程度及大小,确定图幅和比例；(2)确定主视图的观察方向(使其主要表面平行或垂直于投影面,能表达更多的结构形状)；(3)布置各视图的位置(画出基准线、对称中心线、轴线)；(4)按照三等规律画其三视图(可见轮廓线画实线,不可见轮廓线画虚线)；(5)校核有无错漏,擦去多余线条；(6)按标准图线加深视图,顺序为:圆形、圆弧、水平线、垂直线、斜线.2.学习立体几何知识时需要注意运用哪些重要的数学方法？剖析:立体几何是初中平面几何的延续和扩充.空间图形中的一些元素的计算都可以依据平面几何中的一些结论和方法来解决,因此,等价转化的数学思想贯穿整个立体几何的始终.立体几何知识是建立在平面几何知识基础上的,因此把立体几何问题通过化归的数学思想转化为平面几何问题来解决是学好立体几何的基本方法.教材中处处都渗透了这种转化的数学思想,比如通过三视图(平面图形)来表示空间图形,通过几何体的侧面展开求表面积等.3.由物体的三视图确定物体的空间形状.剖析：一个物体的三视图从不同侧面反映了物体的基本特征,要根据三视图确定物体的形状,首先要理解三视图及其特点、从各个面所体现的投影,并运用空间想象能力对三视图进行分析,还要结合具体实际进行判断,因为同样的三视图对应的几何体不一定只有一个.这就要求我们平时多训练观察事物、总结规律的能力.对于一些由多个几何体构成的几何体更应该多观察,分析每一部分的特点,得出相应的结论.要确定物体的空间形状,至少要有三面投影.如图图1-1-(4,5)-3.图1-1-(4,5)-3这三个互相垂直的投影面,称为三面投影体系,其中:正立投影面,简称正立面,用“V”标记；侧立投影面,简称侧立面,用“W”标记；水平投影面,简称水平面,用“H”标记.三投影面之间两两的交线,称为投影轴,分别用Ox、Oy、Oz表示,三根轴的交点O称为原点.现将物体放在三面投影体系中,将物体分别向三个投影面作投影,就得到物体的三视图.注意:三视图是以正投影法为依据的,但具体绘制时,是用人的视线代替投影线的.将物体向三个投影面作投影,即从三个方向去观看,从前向后看,即得V面上的投影,称为主视图；从左向右看,即得在W面上的投影,称为左视图；从上向下看,即得在H面上的投影,称为俯视图,如图1-1-(4,5)-4.图1-1-(4,5)-4为使三视图位于同一平面内,需将三个互相垂直的投影面摊平.方法:V面不动,将H面绕Ox轴向下旋转90°,W面绕Oz轴向右旋转90°,如图1-1-(4,5)-5.图1-1-(4,5)-5三视图的投影关系:图1-1-(4,5)-6由三视图可以看出,俯视图反映物体的长和宽,正视图反映它的长和高,左视图反映它的宽和高.因此,物体的三视图之间具有如下的对应关系:主视图与俯视图的长度相等,且相互对正,即“长对正”；主视图与左视图的高度相等,且相互平齐,即“高平齐”；俯视图与左视图的宽度相等,即“宽相等”.在三视图中,无论是物体的总长、总宽、总高,还是局部的长、宽、高都必须符合“长对正”“高平齐”“宽相等”的对应关系.。

1.1.4投影与直观图一、非标准1.晚上放学后,当你走路回家经过一盏路灯时,你会发现自己的身影是()A.变长B.变短C.先变长再变短D.先变短再变长解析:由中心投影的性质知,身影先变短后变长.答案:D2.如果图形所在的平面不平行于投射线,那么下列说法正确的是()A.矩形的平行投影一定是矩形B.梯形的平行投影一定是梯形C.正方形的平行投影一定是矩形D.正方形的平行投影一定是菱形解析:结合平行投影的性质去判断.答案:B3.如图所示,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形,则原来图形的形状是()答案:A4.利用斜二测画法,作出直线AB的直观图如图所示,若O'A'=O'B'=1,则直线AB在平面直角坐标系中对应的函数表达式是()A.y=-x+1B.y=x-1C.y=-2x+2D.y=2x-2解析:由直观图还原规律可得A,B在平面直角坐标系中的位置如图所示.令函数表达式为y=kx+b,将A(1,0),B(0,-2)代入上式得{k+b=0,b=-2,解得{k=2,b=-2,故函数表达式为y=2x-2.答案:D5.如图所示,是水平放置的三角形的直观图,D为△ABC中BC边上的中点,则AB,AD,AC三条线段中()A.最长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AC,最短的是AD解析:逆用斜二测画法把直观图还原,原图还原后为∠B是直角的直角三角形,如图,则AB为一条直角边,从图上可以看出,AC>AD>AB.答案:B6.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则该平面图形的面积等于()A.12+√22B.1+√22C.1+√2D.2+√2解析:建立如图所示的坐标系x'O'y',梯形为A'B'C'D'.所以梯形A'B'C'D'的底A'B'=1+√2,对应还原到xOy中图形为下图.梯形为直角梯形ABCD,所以AB=A'B'=1+√2,AD=2A'D'=2,DC=D'C'=1.所以S=12(CD+AB)×AD=12(1+1+√2)×2=2+√2,故选D.答案:D7.如图所示,矩形A'B'C'D'是水平放置的图形ABCD的直观图,其中A'B'=6,A'D'=2,则图形ABCD的形状为.答案:菱形8.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图的面积为.解法一:实际图形和直观图如图所示,根据斜二测画法规则可知,A'B'=AB=a,O'C'=12OC=√34a,作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=√22O'C'=√68a.所以△A'B'C'的面积=12A'B'·C'D'=12×a×√68a=√616a2.解法二:由于该正三角形面积为S=√34a2,所以由公式S'=√24S可得其平面直观图面积S'=√34a2·√24=√616a2.答案:√616a29.给出下列说法:①正方形的直观图是一个平行四边形,其相邻两边长的比为1∶2,有一内角为45°;②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变,高为原三角形高的一半的三角形;③水平放置的不等边三角形的直观图是不等边三角形;④水平放置的平面图形的直观图是平面图形.写出其中正确说法的序号.解析:对于①,若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴,则结论正确;但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴,由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行,则其直观图中相邻两边长的比不为1∶2;对于②,水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变,高比原三角形高的一半还要短的三角形;对于③,只要坐标系选取的恰当,水平放置的不等边三角形的直观图可以是等边三角形.答案:④10.用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图.解:如图所示.(1)画x'轴,y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°,x'轴,y'轴与xOy坐标系中对应轴的单位长度相同.(2)在x'轴上取点H,使O'H=3,作HA'∥y'轴,并取A'H=1,在y'轴上取C',使O'C'=1,在x'轴上取B',使O'B'=4.(3)顺次连接O',A',B',C',便得到四边形OABC的直观图O'A'B'C'.11.用斜二测画法画出底面边长为4cm,高为3cm的正四棱锥(底面是正方形,并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥)的直观图.解:(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD,使∠BAD=45°,AB=4cm,AD=2cm.(2)过O'作z'轴,使∠x'O'z'=90°,在z'轴上截取O'S=3cm.(3)连接SA,SB,SC,SD,得到如图②的图形就是所求的正四棱锥的直观图.12.如图所示,在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D',其中对角线A'C'在水平位置.已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.解:四边形A'B'C'D'的真实图形如图所示,因为A'C'在水平位置,A'B'C'D'为正方形,所以在四边形ABCD中,DA⊥AC.因为DA=2D'A'=2,AC=A'C'=√2,所以S四边形ABCD=AC·AD=2√2.。