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投影、直观图与三视图1、在三视图中，主视图反映物体的 长 与 高的位置关系；俯视图反映物体的 长 与 宽的位置关系；左视图反映物体的高 与 宽的位置关系。
归纳口诀：长对正；高平齐 ；宽相等2、斜二侧画法的一般步骤:(1)画出对应的x '轴、y '轴、z '轴，使得045;90x o y x o z ''''''∠=∠=。
（2）在已知图形中与x 轴y 轴z 轴平行的线段在直观图中仍与坐标轴平行，但长短分别为 原长、一半、原长 。
题型一 与三视图有关的计算问题例1 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+B. 4π+C. 2π D. 4π侧(左)视图正(主)视图俯视图2.（2009浙江卷理）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所 示，则此几何体的体积是 3cm ．【规律总结】1、 主视图反映物体的 长 高 ； 不反映 宽 。
（原因：宽方向与主视的投射方向重合）俯视图反映物体的 长 宽 ； 不反映 高 。
（原因：高方向与俯视的投射方向重合） 左视图反映物体的 高 宽 ； 不反映 长 。
（原因：长方向与左视的投射方向重合） 由此可见：（1）每一视图只能反映物体两个方向的尺寸。
（2）每两个视图反映的相同方向尺寸，具有尺寸等量的内在联系。
2、归纳口诀： 主视、俯视 长对正 主视、左视 高平齐左视、俯视 宽相等题型二 根据三视图解决线面关系问题例、已知四棱锥P ABCD -的三视图及直观图如下图，其中俯视图为正方形，点E 为棱AD 的中点， （1）在棱PC 上是否存在一点F ，使得⊥EF 平面PBC ？若存在，求线段EF 的长度；若不存在，说明理由；1.如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有( )A ．3块B ．4块C ．5块D ．61、在对齐的前提下，自然就有等量关系。
10.2 投影与直观图的画法【知识网络】1、投影，中心投影和平行投影的相关概念，并注意区分中心投影和平行投影。
2、简单组合图形三视图的画法,由三视图想象实物模型,并画模型草图。
3、用斜二测画法画直观图，掌握作图规则，了解平面图形的直观图与空间图形直观图的区别与联系。
4、掌握简单几何体的三视图、直观图之间的相互转化，了解正投影主要用于绘制三视图，中心投影主要用于绘画，斜投影主要用来作几何体的直观图。
【典型例题】（ ）（B ） （C ） 答案：C 。
解析：由斜二测画法规则知。
（2）如图所示，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A ．④③② B ． ②①③ C ． ①②③ D ． ③②④ 答案：A 。
解析：由三视图的画法知。
（3）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为（ ） A ．π34 B ．π38 C ．π316 D ．π332 答案：C 。
解析：由三视图知该几何体是底面半径为1。
（4）水平放置的△ABC 的斜二测直观图如下图⑴所示，已知2,3=''=''C B C A ，则AB 边上中线的实际长度为 。
答案：2.5。
解析：根据直观图的画法规则易求。
（5）如上图⑵所示，用中心投影法作正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的透视图中，若只有一个消点S ，且3211=BB CC ，则=CD D C 11 。
答案：1。
解析：由中心投影法的定义知。
x 'x '例2：在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？答案: 这些正方体货箱的个数为7个例3：（1）如下图⑴所示，已知△ABC 在一个平面内的直观图是△C B A '''，则△ABC 的BC 边上的中线在这个平面内的直观图的作法是 。
空间几何体的三视图与直观图知识集结知识元投影的概念与绘制知识讲解中心投影和平行投影1．投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影与平行投影投影定义特征分类中心投影光由一点向外散射形成的投影投影线交于一点平行投影在一束平行光线照射下形成的投影投影线互相平行正投影和斜投影3(1)中心投影中投影线交于一点.(2)平行投影中:①直线或线段的投影是直线或线段或点,平行直线的投影平行或重合或为两个点.②平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长.③与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.4．中心投影和平行投影具有的区别(1)中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行.(2)在平行投影中,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.(3)画实际效果图一般用中心投影法;画立体几何中的图形一般用平行投影法.5.判断一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投影面的位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断.当图形中的直线或线段不平行于投影线时,平行投影具有下述性质:(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段.(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线.(3)平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长.(4)与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.例题精讲投影的概念与绘制例1.一条直线在平面上的正投影是()A．直线B．点C．线段D．直线或点例2.如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是________.(要求：把可能的图的序号都填上)例3.如图，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号).例4.设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四面体的面BCD 上的射影可能是（）A．B．C．D．根据三视图分析几何体空间结构知识讲解空间几何体的三视图1．三视图的基本概念三视图概念规律正视图光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图2旋转体是由某个平面图形绕着旋转轴旋转形成的,显然它是关于旋转轴对称的一类几何体.当旋转体的底面水平放置时(除球外),它的三视图比较简单,这时常见的三视图分别为:(1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆;(2)圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆心;(3)圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆.例题精讲根据三视图分析几何体空间结构例1.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是()A．5个B．4个C．3个D．2个例2.已知如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，点P，Q分别在棱BB1，DD1上，且=，过点A，P，Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的正视图的是()A ．B．C．D．例3.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积S的取值范围是________.根据空间几何体绘制三视图知识讲解空间几何体的三视图1．三视图的基本概念三视图概念规律正视图光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图2旋转体是由某个平面图形绕着旋转轴旋转形成的,显然它是关于旋转轴对称的一类几何体.当旋转体的底面水平放置时(除球外),它的三视图比较简单,这时常见的三视图分别为:(1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆;(2)圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆心;(3)圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆.例题精讲根据空间几何体绘制三视图例1.如图，下列四个几何体中，它们的三视图(正视图、俯视图、侧视图)有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是________.(1)棱长为2的正方体(2)底面直径和高均为2的圆柱(3)底面直径和高均为2的圆锥例2.'画出如图所示的几何体的三视图．'例3.已知点E，F，G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上.以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P-MNQ的俯视图不可能是()A．B．C．D．例4.'用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？'绘制水平放置的平面图形的直观图知识讲解空间几何体的直观图1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．例题精讲绘制水平放置的平面图形的直观图例1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形例2.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是() A．B．C．D．例3.'画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．'绘制空间几何体的直观图知识讲解空间几何体的直观图1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．例题精讲绘制空间几何体的直观图例1.'如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出四边形ABCD的直观图.'例2.'有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．'例3.'一几何体的三视图如图：（1）画出它的直观图；（2）求该几何体的体积．'直观图的还原知识讲解空间几何体的直观图1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．例题精讲直观图的还原例1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°例2.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，则△ABC中AB边上的中线的长度为()A．B．C．5D．例3.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC中∠ABC的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°根据空间几何体的直观图进行相关计算知识讲解空间几何体的直观图1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．例题精讲根据空间几何体的直观图进行相关计算例1.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′=4，且△AOB的面积为16，A′B′∥y′轴，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′=__________.例2.如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′⊥x′轴，且B′C′=3，则△ABC的边AB上的高为__________.例3.'在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形ABCD并求出其面积.'例4.'一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原平面图形的面积．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“空间几何体的直观图与三视图”的题目补充.例题精讲备选题库例1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）D．64+8πA．64+B．64+C．64+例2.已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）B．20 C．D．A．例3.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π例4.'某几何体的直观图如图1，其按一定比例画出的三视图如图2，三视图中的长度a对应直观图中2cm．（1）结合两个图形，试指出该几何体中相互垂直的面与相互垂直的线段，并指出相关线段的长度；（2）求AB与CD所成角的大小：（3）求二面角A-BD-C的平面角的正切值；（4）计算该几何体的体积与表面积．'例5.'ABCD是长方形，四个顶点在平面α上的射影分别为A′、B′、C′、D′，直线A′B′与C′D′不重合．①求证：A′B′C′D′是平行四边形；②在怎样的情况下，A′B′C′D′是长方形？证明你的结论．'当堂练习单选题练习1.已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．4C．D．练习2.一个三棱锥的三视图如图所示．则该三棱椎的表面积是（）A．B．C．D．练习3.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）D．8A．B．C．练习4.如图是某几何体的视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．练习5.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π练习1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___．练习2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是___；表面积是_____．解答题练习1.'已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），（1）求这个几何体的体积；（2）求这个几何体的表面积．'（Ⅰ）给定线段AB=4，用斜二测画法作正方体ABCD-A1B1C1D1；（Ⅱ）设P是棱A1B1上一点，，求多面体P-BCC1B1的体积．'练习3.'一个多面体的三视图和直观图如下：（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求证：MN⊥AH；（3）求多面体A-CDEF的体积．'。
中心投影与平行投影以及直观图的画法[转载]重难点：理解中心投影、平行投影的概念，掌握三视图的画法规则及能画空间几何体的三视图并能根据三视图判断空间几何体的形状和结构，了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式的推理过程．考纲要求：①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；②会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；③会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．经典例题：下图是一个多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）这个几何体是什么体？（2）如果面A在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？（3）如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一个面会在上面？（4）从右边看是面C，面D在后面，那么哪一个面会在上面？当堂练习：1．下列投影是中心投影的是（）A．三视图B．人的视觉C．斜二测画法D．. 人在中午太阳光下的投影2．下列投影是平行投影的是（）A．俯视图B．路灯底下一个变长的身影C．将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上D．以一只白炽灯为光源的皮影3．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体可能是（）A．圆柱B. 三棱柱C. 圆锥D.球体4．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（）A．球和圆柱B．圆柱和圆锥C．正方体的圆柱D．球和正方体5．一个含的圆柱、圆锥、圆台和球的简单组合体的三视图中，一定含有（）A．四边形B．三角形C．圆D．椭圆6．如果用表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么下图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是（）A．B．C．D．7．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（）A．平行且相等B．平行但不相等C．. 相等但不平行D．既不平行也不相等8．下列说法中正确的是（）A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形9．如图中“斜二测”直观图所示的平面图形是（）A．直角梯形B．等腰梯形C．不可能是梯形D．平行四边形10．如下图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A．3 B．C．6 D．. 311．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，若其直观图的面积是原三角形面积的（）A．倍B．2倍C．倍D．倍12．如下图，直观图所表示的平面图形是（）A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形13．如下图，用斜二测画法作ABC水平放置的直观图形得A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在ABC中，下列四个结论中正确的是（）A．AB=BC=AC B．AD BC C．AC>AD>AB>BC D．AC>AD>AB=BC14．主视图与左视图的高要保持______，主视图与俯视图的长应_________，俯视图与左视图的宽度应_________．15．如果一个几何体的视图之一是三角形, 那么这个几何体可能有___________________(写出两个几何体即可)．16．一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四边形的面积是________________．17．斜二测画法所得的直观图的多边形面积为, 那么原图多边形面积是_____________．18．如图是由小立方块描成几何体同的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出它的主视图和左视图．19．画出如图的三视图(单位:mm)．20．已知斜二测画法得得的直观图A/B/C/是正三角形,画出原三角形的图形．21．如下图, 如果把直角坐标系放在水平平面内, 用斜二测画法, 如何可以找到坐标为(的点P在直观图中的位置P/ ?参考答案：经典例题：长方体; (2) 面F ; (3)面E; (4) 面F (可用一个长方体的橡皮, 按题意标上A,B,C,D,E,F , 旋转到适当位置即可是到答案.)当堂练习：1.B;2.A;3.C;4.D;5.C;6.B;7.A;8.D;9.A; 10.C; 11.A; 12.D; 13.C; 14. 平齐，对正，相等; 15. 圆锥、三棱锥、三棱柱; 16. ; 17. ;18. 画主视图时，先看俯视图从左至右共几列：共3列命名为A、B、C(命名的目的是为了下文叙述，具体画图时，可以不命名)，并横画连续的三个正方形(如图1) 接着看各列上的最大数字，A、B、C三列上，从上至下分别画4、3、3个正方形(包括图1中正方形) 如图2. 画左视图时，假设观察者站在俯视图的左例。
10.2 投影与直观图的画法【知识网络】1、投影，中心投影和平行投影的相关概念，并注意区分中心投影和平行投影。
2、简单组合图形三视图的画法,由三视图想象实物模型,并画模型草图。
3、用斜二测画法画直观图，掌握作图规则，了解平面图形的直观图与空间图形直观图的区别与联系。
4、掌握简单几何体的三视图、直观图之间的相互转化，了解正投影主要用于绘制三视图，中心投影主要用于绘画，斜投影主要用来作几何体的直观图。
【典型例题】（）（B）（C）答案：C。
解析：由斜二测画法规则知。
（2）如图所示，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④答案：A 。
解析：由三视图的画法知。
（3）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为（）A．π34B．π38C．π316D．π332答案：C。
解析：由三视图知该几何体是底面半径为1。
（4）水平放置的△ABC的斜二测直观图如下图⑴所示，已知2,3=''=''CBCA，则AB边上中线的实际长度为。
答案：2.5。
解析：根据直观图的画法规则易求。
（5）如上图⑵所示，用中心投影法作正方体ABCD—A1B1C1D1的透视图中，若只有一个消点S，且3211=BBCC，则=CDDC11。
答案：1。
解析：由中心投影法的定义知。
x'x'例2：在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？答案: 这些正方体货箱的个数为7个例3：（1）如下图⑴所示，已知△ABC 在一个平面内的直观图是△C B A '''，则△ABC 的BC 边上的中线在这个平面内的直观图的作法是 。
⑴ ⑵（2）如上图⑵所示，现有一水平放置的边长为1的正方形D C B A ''''，其中对角线C A ''在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积。
答案:（1）取C B ''的中点M '，连结M A ''即可。
（2）解：四边形ABCD 的真实图形如图所示。
∵C A ''在水平位置，D C B A ''''为正方形，∴在四边形ABCD 中，DA ⊥AC ，且DA=2,22=''==''C A AC A D 。
∴22=⋅=AD AC S ABCD 四边形。
例4：一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； （Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组拼？试证明你的结论； （Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱CC 1的中点为E, 求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面 角的余弦值.答案： 解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的 正方形，高为CC 1=6，故所求体积是 7266312=⨯⨯=V（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体， 其拼法如图2所示.证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的 正方形，于是D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立（Ⅲ）方法一：设B 1E ，BC 的延长线交于点G ，A 'B 'C ''D 'BA C D 正视图 侧视图俯视图 ABCDC 1图1AB CDD 1 A 1 B 1 C 1 图2连结GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ， 连结HB 1，则B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与 平面ABC 所成二面角或其补角的平面角. 在R t △ABG 中，180=AG ，则512180126=⨯=BH ，5182121=+=BB BH H B ， 32cos 11==∠HB HB HB B ，故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±. 方法二：以C 为原点，CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E （0，0，3），B 1（0，6，6），A （6，6，0）. 设向量n =（x ，y ，z ），满足n ⊥1EB ，n ⊥1AB ，于是⎩⎨⎧=+-=+066036z x z y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==z y zx 21.取z =2，得n =（2，-1，2）. 又=1BB （0，0，6），321812||||,cos 111==>=<BB n BB n 故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±. 【课内练习】1．一个圆柱随位置放置不同其主视图可能发生变化，但不可能是下面的那一个？（ ） A ．长方形 B. 圆 C. 正方形 D.三角形 答案: D 。
2．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形。
以上结论，正确的个数是 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 答案：B 。
解析：①②正确。
3．下列说法错误的是 （ ） A 、正投影主要用于绘制三视图 B 、在中心投影中，平行线会相交 C 、斜二测画法是采用斜投影作图的 D 、在中心投影中最多只有一个消点 答案：D 。
解析：在中心投影中可以有多个消点。
4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为_______。
答案：2和32。
5．一个几何体的三个视图都是全等的正方形，则这个几何体是_______;一个几何体的三视图都是半径相等的圆，则这个几何体是_______.答案:正方体；球。
主视图 俯视图左视图6．在用斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图时，若∠A 的两边平行于x 轴、y 轴且 ∠A=90°，则在直观图中，∠A=________。
答案：45°或135°。
解析：根据斜二测画法规则知。
7．一个物体的三视图是下面三个图形，该物体的名称为________.答案:长方体。
8．一个几何体的主视图和左视图如图所示，它是什么几何体？请补画这个几何体的俯视图.答案: 三棱柱9．画出水平放置的正六边形的直观图。
答案：解如图所示 乙 丙（1）在已知正六边形ABCDEF 中，取对角线AD 所在直线为x 轴，取对称轴GH 为y 轴，画对应x '轴、y '轴，使∠='''y O x 45°。
（2）以点O '为中点，在x '轴取AD D A =''，在y '轴上取GH H G 21=''，以点H '为中点画E F ''平行于x '轴，并等于FE ；再以G '为中点画C B ''平行于x '轴，并等于BC 。
（3）连结A F E D D C B A '''''''',,,，所得的六边形F E D C B A ''''''就是正六边形ABCDEF 的直观图。
10．下图是一个容器的三视图，认真观察，说明它是由哪几种基本几何体组合而成的，并根据图中数据计算该容器上下两部分的容积.主视图 左视图主视图 左视图 俯视图'x B 'A 'C 'F 'E 'D '俯视图答案:该容器是由一个圆锥，一个圆台，一个圆柱组合而成的)(431233132cm V ππ=⋅⋅⋅=）（圆锥，)(164232cm V ππ=⋅⋅=圆柱【作业本】A 组1．下面是一个物体的三视图，该物体是所给结果中的（ ）A.正方体B.长方体C.圆锥D.四棱锥答案:D2．在用斜二测画法画水平放置图形的直观图时，下面的说法正确的是 （ ） A 、水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B 、两条相交直线的直观图可能是平行直线 C 、互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 D 、平行四边形的直观图仍是平行四边形 答案：D 。
解析：由斜二测画法规则可知。
0.5cm主视图左视图俯视图3．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图 和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值 分别为（ ）A ．9与13B ．7与10C ．10与16D ．10与15 答案：C 。
4．如图⑴所示，正四面体D —ABC （四个面是全等的等边三角形，每个顶点在底面的投影是这个等边三角形的中心），S 为AD 的中点，Q 为BC 上异于中点和端点的任一点，则△SQD 在四个面的射影可能是 （把你认为正确的序号都填上，正四面体及在四个面的射影如图⑵所示，射影为①②③④中阴影部分三角形）。
① ② ③ ④ ⑴ ⑵ 答案：②③。
5．棱长为1cm 的小正方体组成如图所示的几何体， 那么这个几何体的表面积是 2cm 答案：36cm 2。
6．四面体PABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，则P 在平面ABC 的正投影是△ABC 的 。
答案：垂心。
7．找出与下列几何体对应的三视图，在三视图的横线上填上对应的序号．答案：解：（3），（4），（6），（1），（8），（5），（2），（7）．8．一个几何体的三视图如图所示：其中，正视图中△ABC 的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，请画出该几何体的直观图，并求出它的体积.。
主视图 俯视图A BC D Q S 俯视图 侧视图B 组1．如图一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图是全等的等腰直角三角形，且直角边的边长为1，那么这个几何体的体积等于 A ．241 B ．121C ．61D ．31答案：C 。
解析：该几何体是三条棱两两互相垂直，交于一点且棱长为1的三棱锥，故16V =。
2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A 、2221+B 、221+ C 、21+ D 、22+答案：D 。
