高中数学 3.1《数系的扩充和复数的概念》测试 新人教A版选修12

第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1.1 数系的扩充和复数的概念双基达标 限时20分钟1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD.2＋2i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案 A2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )．A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．答案 D 3．下列命题中①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝2＋i 的充要条件是x ＝2，y ＝1； ②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确的命题个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①x ，y ∈C ，x ＋y i 不一定是代数形式，故①错．②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A. 答案 A4．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 答案 0或15．已知(1＋i)m 2＋(7－5i)m ＋10－14i ＝0，则实数m ＝________.解析 把原式整理得(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，∴m ＝－2.答案 －26．实数m 取什么值时，复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 分别是(1)纯虚数；(2)实数．解 (1)复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数．则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－2且m ≠－1，∴m ＝3.即m ＝3时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数， (2)复数为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0， ①m 2＋3m ＋2＝0， ②解②得m ＝－2或m ＝－1， 代入①检验知满足不等式，∴m ＝－2或m ＝－1时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为实数．综合提高 限时25分钟7．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )．A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3 m －1＝3，m 2－5 m －6＝0，∴m ＝－1.答案 B8．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a( )．A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析 因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.答案 D9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案 －410．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x －2>1，log 2x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－2.答案 －211．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 按题意：(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－3a －1＝3，得a ＝－1.12．(创新拓展)若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？ 解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0， 此时z 1与z 2同时为实数， 此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．。

第三章检测(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a ,b ∈R ,则“a=b ”是“(a-b )+(a+b )i 为纯虚数”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a-b )+(a+b )i 为纯虚数的充要条件是实数a ,b 满足{a -b =0,a +b ≠0,即a=b ,且a ≠-b ,也就是a=b ≠0.故选B .2.如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A.AB.BC.CD.Dz=a+b i(a ,b ∈R ),则其共轭复数为z =a −bi,所以表示z 与z 的两点关于x 轴对称.故选B .3.设i 是虚数单位,若复数a −103-i (a ∈R )是纯虚数,则a 的值为( )A.-3B.-1C.1D.3,得a−103-i =a−10(3+i)(3-i)(3+i)=a−10(3+i)10=a−3−i,∵复数a−103-i为纯虚数,∴a-3=0,即a=3.4.设z=1+i(i是虚数单位),则2z+z2等于()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+iz=1+i,∴2z +z2=21+i+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i,故选D.5.设a,b为实数,若复数1+2ia+bi=1+i,则()A.a=32,b=12B.a=3,b=1C.a=12,b=32D.a=1,b=31+2ia+bi=1+i,可得1+2i=(a-b)+(a+b)i.由两复数相等可以得到{a-b=1,a+b=2,解得{a=32,b=12,故选A.6.设i是虚数单位,复数i3+2i1+i=()A.-iB.iC.-1D.1=-i+2i(1-i)2=1.7.已知复数z=(a 2-a-2)+(|a-1|-1)i(a ∈R )不是纯虚数,则有( )A.a ≠0B.a ≠2C.a ≠0,且a ≠2D.a ≠-1z 为纯虚数,则{a 2-a -2=0,|a -1|-1≠0,解得a=-1. 而已知z 不是纯虚数,所以a ≠-1.故选D .8.已知i 为虚数单位,a 为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M ,则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a )i,所以复数z 在复平面内对应的点M 的坐标为(a+2,1-2a ),所以点M 在第四象限的充要条件是a+2>0,且1-2a<0,解得a >12,故选C .9.投掷两枚骰子,得到其向上的点数分别为m 和n ,则复数(m+n i)(n-m i)为实数的概率为( )A .13B.14C.16D.112(m+n i)(n-m i)=2mn+(n 2-m 2)i 为实数,所以n 2=m 2.因为骰子的点数为正数,所以m=n ,则可以取1,2,…,6,共6种可能.所以所求概率为66×6=16.故选C .10.复数z=(x-2)+y i(x ,y ∈R )在复平面内对应向量的模为2,则|z+2|的最大值为( )A.2B.4C.6D.8|z|=2,所以√(x-2)2+y2=2,即(x-2)2+y2=4,故点(x,y)在以(2,0)为圆心,2为半径的圆上,而|z+2|=|x+y i|=√x2+y2,它表示点(x,y)与原点的距离,结合图形(图略)易知|z+2|的最大值为4,故选B.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.i是虚数单位,计算1-2i2+i的结果为.i12.设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),则z的实部是.i(z+1)=-3+2i,∴z+1=-3+2ii =-2-3i-1=2+3i.∴z=1+3i.故z的实部为1.13.设复数z在对应法则f的作用下和复数w=z·i对应,即f:z→w=z·i,则当w=-1+2i时,复数z=.f:z→w=z·i,且w=-1+2i,∴z·i=-1+2i,则z=2+i.∴z=2−i.-i14.在复平面内,若z=m2(1+i)-m(4+i)-6i所对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是.z=m2-4m+(m2-m-6)i所对应的点在第二象限,∴{m 2-4m <0,m 2-m -6>0,解得3<m<4.15.若关于x 的方程x 2+(2-i)x+(2m-4)i =0有实数根,则纯虚数m= .m=b i(b ∈R ,且b ≠0),方程的实根为x 0,则有x 02+(2−i)x0+(2bi −4)i =0,从而有(x 02+2x0−2b)−(x0+4)i =0.于是{x 0+4=0,x 02+2x 0-2b =0.解得{x 0=-4,b =4.于是m=4i .三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知复数z=(2+i)m 2−6m 1-i−2(1−i),求实数m 取什么值时,复数z 是: (1)零; (2)虚数; (3)纯虚数;(4)复平面上第二、四象限平分线上的点对应的复数.z 化简整理为a+b i(a ,b ∈R )的代数形式,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.m ∈R ,所以复数z=(2+i)m 2-3m (1+i)-2(1-i)=(2m 2-3m-2)+(m 2-3m+2)i .(1)当{2m 2-3m -2=0,m 2-3m +2=0,即m=2时,z 为零. (2)当m 2-3m+2≠0,即m ≠2,且m ≠1时,z 为虚数.(3)当{2m 2-3m -2=0,m 2-3m +2≠0,即m=−12时,z 为纯虚数. (4)当2m 2-3m-2=-(m 2-3m+2),即m=0或m=2时,z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数.17.(8分)设复数z 的共轭复数为z,已知(1+2i)z =4+3i,(1)求复数z z(2)求满足|z 1-1|=|z|的复数z 1对应的点的轨迹方程.)z =4+3i1+2i =(4+3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=2−i.故z=2+i .z=2+i 2-i =3+4i 5=35+45i. (2)设z 1=x+y i(x ,y ∈R ),则|(x-1)+y i |=√5,故(x-1)2+y 2=5.即复数z 1对应的点的轨迹方程为(x-1)2+y 2=5.18.(9分)已知z=1+i,a ,b 为实数.(1)若ω=z 2+3z −4,求|ω|;(2)若z 2+az+b z 2-z+1=1−i,求a,b 的值.∵ω=z 2+3z −4=(1+i)2+3(1−i)−4=−1−i,∴|ω|=√(-1)2+(-1)2=√2.(2)由条件z 2+az+b z 2-z+1=1−i,得(1+i )2+a (1+i )+b(1+i )2-(1+i )+1=1−i, 即(a +b )+(a +2)i i=1−i, ∴(a+b )+(a+2)i=1+i,∴{a +b =1,a +2=1,解得{a =-1,b =2.19.(10分)已知复数z 满足|z|=√2,z2的虚部为2,z 所对应的点在第一象限.(1)求z ;(2)若z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,求cos ∠ABC.设z=x+y i(x ,y ∈R ).∵|z|=√2,∴x2+y2=2.①又z 2=(x+y i)2=x 2-y 2+2xy i,∴2xy=2,∴xy=1.②由①②可解得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.∴z=1+i 或z=-1-i .又x>0,y>0,∴z=1+i .(2)z 2=(1+i)2=2i,z-z 2=1+i-2i=1-i .如图所示,∴A (1,1),B (0,2),C (1,-1),∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3), ∴cos ∠ABC =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√10=2√5=2√55. 20.(10分)已知复数z 1=cos α+isin α,z 2=cos β-isin β,且z 1+1z 2=12+√32i,求复数z1,z2.,再结合三角函数的知识求解.z 1+1z 2=12+√32i, 得cos α+isin α+1cosβ-isinβ=12+√32i,∴cos α+isin α+cos β+isin β=12+√32i,即(cos α+cos β)+i(sin α+sin β)=12+√32i. ∴{ cosα+cosβ=12,sinα+sinβ=√32.∴{ cosα=12-cosβ,sinα=√32-sinβ. ∴cos 2α+sin 2α=(12-cosβ)2+(√32-sinβ)2=1,整理,得cos β=1−√3sin β,① 将①代入sin 2β+cos 2β=1,可解得sin β=0或sin β=√32.当sin β=0时,cos β=1,cos α=−12,sin α=√32;当sin β=√32时,cos β=−12,cos α=1,sin α=0. ∴z 1=−12+√32i,z2=1或z 1=1,z 2=−12−√32i.。

2016-2017学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1数系的扩充和复数的概念高效测评 新人教A 版选修1-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．a ＝0是复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： a ＝0时，a ＋b i 不一定为纯虚数，因为a ＝0，b ＝0时，a ＋b i ＝0，但当a ＋b i 为纯虚数时，a ＝0.答案： B2．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( )A ．x ＝0且y ＝3B ．x ＝0且y ＝－3C ．x ＝5且y ＝3D ．x ＝3且y ＝0解析： 由复数相等的条件可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3.答案： A3．下列各数中，纯虚数的个数是( )2＋7，27i,0i,5i ＋8，i(1－3)，0.618 A ．0B ．1C ．2D ．3解析： 根据纯虚数的定义知，27i ，i(1－3)是纯虚数． 答案： C4．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0.A ．0B ．1C ．2D ．3解析： ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题． ②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，∴③是假命题．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若复数z ＝(m 2－5m ＋6)＋(m －3)i 是实数，则实数m ＝________.解析： 复数z 为实数，其虚部为0，则m －3＝0，解得m ＝3.答案： 36．若a －2i ＝b i ＋1(a ，b ∈R )，则b ＋a i ＝________.解析： 根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－2，∴b ＋a i ＝－2＋i.答案： －2＋i三、解答题(每小题10分，共20分)7．设m ∈R ，复数z ＝2m 2－3m －2＋(m 2－3m ＋2)i.试求m 为何值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析： (1)当z 为实数时，则有m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或2.即m 为1或2时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有m 2－3m ＋2≠0，解得m ≠1且m ≠2.即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，解得m ＝－12，即m ＝－12时，z 是纯虚数． 8．(1)已知(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .(2)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值．解析： (1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y ，1＝－3－y ，解得x ＝52，y ＝4. (2)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.9.(10分)已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．解析： 设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0， 解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝2 2. ∴方程的实根为x ＝2或x ＝－2，相应的k 的值为k ＝－22或k ＝2 2.。

第三章 数系的扩充与复数的引入3. 1数系的扩充和复数的概念3 . 1.1 数系的扩充和复数的概念UUCYEGUIFAIMKUNLIAN ■■・■■・■・■・・・■■・・・■・'活页规范训练双基达标 ② 纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；2 2③ 若(Z 1— Z 2)+(Z 2— Z 3)= 0,贝U Z 1 = Z 2= Z 3.正确的命题个数是A. 0 C. 2 ④错，故选A.答案4.已知复数Z =吊(1 + i) — m 讨i)( R)，若Z 是实数，则 m 的值为03 * 限时20分钟1.以3i — _ 2的虚部为实部, 以 3i 2+ 2i 的实部为虚部的复数是A. 3 — 3iB. 3 + iC. — **'2 +』2i 3i — 2的虚部为 解析D. 2+ 2i3,3i 2+ 2i =— 3 + 2i 的实部为一3，故选 A.答案2 .若复数 cos 0 + isin 0 和sin 0 + icos 0相等，则 0值为 A.— B —或 4 n4 4C. 2k n+ 丁 ( k € Z) 4D. k n + cos 0 = sin 0解析 由复数相等定义得 sin 0 = cos 0• 0 = n :k n+ ; ( k € Z).4答案 D••• tan 0 = 1,①若 x , y € C ,贝U x + y i 的充要条件是 x = 2, y = 1;B. 1D. 3解析 ①x , y € C , x + y i 不一定是代数形式, 故①错.②③错；对于④,a = 0 时，a i 71 3 .下列命题中n Jk € Z )n . 52 2 2 2 2解析z= m+ m i —m—m = (m—m)i m—m= 0,m= 0 或1.答案0或1_ 25 .已知(1 + i) m + (7 —5i)耐10—14i = 0,则实数 m= __________ .解析把原式整理得(m+ 7m^ 10) + (吊一5mr 14)i = 0,2m+ 7m+10= 0,■/ m€ R,「. 2• n=—2.m—5m-14= 0,答案—26 .实数m取什么值时，复数lg(吊―2m- 2) + ( m+ 3m^ 2)i分别是(1)纯虚数;解(1)复数lg( m—2mr 2) + ( m+ 3m^ 2)i 为纯虚数.2m—2ri—2 = 1, m= 3 或m=—1,则 2 •- 口m+ 3m^ 2工0, m^—2 且m^—1,• m= 3.即m= 3 时，lg( m—2r—2) + ( nn+ 3m+ 2)i 为纯虚数，(2)复数为实数，2m—2 m—2>0, ①则2 ―m+ 3m^ 2 = 0, ②解②得m= —2或m=—1,代入①检验知满足不等式，2 2•m=—2或rr=—1 时，lg( m —2m—2) + (m+ 3m^2)i 为实数.综合提高限时25分钟7 .已知集合M= {1 , (m—3m—1) + (用一5m—6)i} , N= {1,3} , Mn N= {1,3},值为A. 4B. —1C. 4 或—1D. 1 或62 _ . _m—3 m—1 = 3,解析由题意2•- m=—1.m—5 m—6= 0,答案B&如果关于x的方程x2—2x —a= 0的一个根是i，那么复数aA. —定是实数B. —定是纯虚数C. 可能是实数，也可能是虚数⑵实数.则实数m的( ).( ).D. —定是虚数，但不是纯虚数解析 因为i 是方程x 2— 2x -a = 0的根，故代入整理得:a = x 2— 2x = i 2 — 2i =— 1 — 2i ，故选 D.答案 D9 •若4 — 3a — a 2i = a 2 + 4a i ，则实数a 的值为 ________ .4 — 3a = a 2,解析易知 2解得a =— 4.—a = 4a ,答案 —410. ___________________________________________________________________ 若 log 2(x 2 — 3x — 2) + ilog 2(x 2+ 2x + 1)>1，则实数 x 的取值范围是 ______________________解析 ■/ log 2(x 2— 3x — 2) + ilog 2(x 2+ 2x + 1)>1 ,2 log 2 x — 3x — 2>1, 2 二 x =— 2.log 2 x + 2x + 1= 0, 答案 —211. 已知 A = {1,2 , (a 2— 3a — 1) + (a 2 — 5a — 6)i} , B = { — 1,3} , A n B = {3},求实数 a 的值.解 按题意：(a — 3a — 1) + ( a — 5a — 6)i = 3,12. (创新拓展)若 m 为实数，乙=吊+ 1 + (用+ 3m + 2m i , Z 2 = 4m + 2 + (吊一5m + 4n )i ,那么使Z 1>Z 2的m 值的集合是什么？使乙<Z 2的m 值的集合又是什么?3 2 解 当乙€ R 时，m + 3m + 2n = 0 ,n = 0, — 1, — 2 ,乙=1 或 2 或 5.3 2当 Z 2 € R 时，m — 5m + 4m= 0 ,m= 0,1,4 , Z 2= 2 或 6 或 18.上面m 的公共值为m= 0 ,此时Z 1与Z 2同时为实数，此时 Z 1 = 1, Z 2 = 2.所以Z 1>Z 2时m 值的集合为空集，Z 1<Z 2时m 值的集合为{0}. a — 5a —6 =a — 3a — 1 = ,得 a =— 1.。

人教新课标A版选修1-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步检测（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）(2020·西安模拟) 复数的虚部为（）A . —1B . —3C . 1D . 22. （2分）复数的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·南阳模拟) 若复数 ,则复数在复平面内对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分）已知复数，为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·深圳月考) 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分） (2016高二下·广州期中) 在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中O为坐标原点，则 =（）A .B . 2C .D . 47. （2分）复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是（）A . |a|＝|b|B . a<0且a＝－bC . a>0且a≠bD . a<08. （2分）复数（i为虚数单位）的模是（）A .B .C . 5D . 89. （2分） (2016高二下·会宁期中) 复数z= 的共轭复数是（）A . 2+IB . 2﹣IC . ﹣1+ID . ﹣1﹣i10. （2分）若复数是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=（）A . 2B .C .D . -211. （2分） (2017高二下·西安期中) 设a，b为实数，若复数，则（）A .B . a=3，b=1C .D . a=1，b=312. （2分）复数z=（a2﹣9）+（a+3）i是纯虚数，则a=（）A . ﹣3B . ±3C . 3D . ∅13. （2分）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（）A . 0B . -1C . 1D . -i14. （2分）已知复数f（n）=in（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 无数15. （2分）若复数是纯虚数，则的值为（）A . -7B .C . 7D . -7 或二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）(2020·南京模拟) 设复数，其中为虚数单位，则 ________.17. （1分）(2019·和平模拟) 如果（表示虚数单位），那么________.18. （1分）设复数z满足i（z﹣4）=3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为________19. （1分） (2017高二上·红桥期末) 设i为虚数单位，若复数z=（2m﹣8）+（m﹣2）i是纯虚数，则实数m=________．20. （1分） (2019高二下·上海月考) 若复数z满足（i是虚数单位），则＝________．三、解答题 (共5题；共30分)21. （5分） (2016高二下·浦东期末) 设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．22. （5分）含有参数形式的复数如：3m+9+（m2+5m+6）i，（m∈R）何时表示实数、虚数、纯虚数？23. （10分） (2018高二上·陆川期末) 已知复数 .（1）求；（2）若，求实数，的值.24. （5分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．25. （5分）已知复数满足:求的值.参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共30分) 21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、25-1、。

高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。

3.1 数系的扩充和复数的概念典型例题:1．设z ＝i a a a a a )152(54522-++-+-为实数时，实数a 的值是（ A ） A.3 B.－5C.3或－5D.－3或52．设关于x 的方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ,若方程有实数根，则锐角θ和实数根______________________________________.解：0)1(2tan 2=+---i x x x θ原方程可化为， 4,10102tan 2ππθθ+=-=⎩⎨⎧=+=--k x x x x 解得 3．设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=，试求m 取何值时（1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数； （3）Z 对应的点位于复平面的第一象限解：是实数时，或－。

即或－解得Z m m m m m m 1212023022)1(22-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++>--。

是纯虚数时，。

即解得＝Z m m m m m m 33023122)2(22==⎪⎩⎪⎨⎧≠++--。

时，－或。

即－或解得2323023122)3(22<=><>⎪⎩⎪⎨⎧>++>--m m m m m m m m Z 对应的点位于复平面的第一象限。

练习:一．选择题：1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为,21,2,21i i i --+-+那么第四 个顶点对应的复数是（ ）（A ）i 21- （B ）i +2 （C ）i -2 （D ）i 21+-2．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足 （ ）（A ）m ≠－1 （B ）m ≠6 (C) m ≠－1或m ≠6 (D) m ≠－1且m ≠63．下列命题中，假命题是( )（A ）两个复数不可以比较大小 （ B ）两个实数可以比较大小（ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小二．填空题：4．复数2(2)(11)()a a a ia R --+--∈不是纯虚数，则有__________________. 5．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =三．解答题：6．已知复数1Z ，2Z 满足2122212510Z Z Z Z =+，且212Z Z +为纯虚数，求证：213Z Z - 为实数。

人教新课标A版选修1-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步检测D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）(2020·西安模拟) 复数的虚部为（）A . —1B . —3C . 1D . 22. （2分）复数Z1=3-2i,Z2=1+i，，则z=Z1Z2在复平面内的对应点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）已知，若(m+mi)6=-64i，则m等于（）A . -2B .C .D . 44. （2分）若复数满足，则复数对应的点在复平面的（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5. （2分）已知复数z=﹣i+2，则z的虚部为（）A . iB . ﹣1C . 1D . ﹣i6. （2分）在复平面内，复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A .B . 1C .D . 28. （2分） (2016高二下·宜春期末) 集合（其中i是虚数单位）中元素的个数是（）A . 1B . 2C . 4D . 无穷多个9. （2分） (2018高三上·沧州期末) 下面关于复数的四个命题：的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为的虚部为-1其中的真命题是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高三上·湖北月考) 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值是（）A .B . 或C . 或D .11. （2分） (2017高二下·西安期中) 设a，b为实数，若复数，则（）A .B . a=3，b=1C .D . a=1，b=312. （2分） (2016高二下·衡水期中) 设复数w=（） 2 ，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（）A . ﹣B . ﹣C .D .13. （2分） (2017高三·银川月考) 已知复数，其中，是虚数单位，则（）A . -1-3iB .C . 10D .14. （2分）复数的共轭复数是（）A .B .C .D .15. （2分）若复数是纯虚数，则的值为（）A . -7B .C . 7D . -7 或二、填空题 (共5题；共7分)16. （2分）(2018高二下·丽水期末) 已知 ,(是虚数单位)，则________, ________．17. （2分）(2017·浙江) 已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=________，ab=________．18. （1分）(2012·江苏理) 设a，b∈R，a+bi= （i为虚数单位），则a+b的值为________．19. （1分）复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2 ，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2＝________.20. （1分） (2019高三上·大庆期中) 已知，i是虚数单位，若（1 i）（1 bi）=a，则的值为________.三、解答题 (共5题；共40分)21. （10分） (2018高二下·如东月考) 已知复数，（是虚数单位，，）（1）若是实数，求的值；（2）在（1）的条件下，若，求实数的取值范围.22. （10分） (2018高二下·葫芦岛期中) 设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.（1）求z的实部的取值范围；（2）设u＝，那么u是不是纯虚数？并说明理由．23. （10分） (2019高二下·宁夏月考) 已知复数（是虚数单位）．（1）求复数的模；（2）若，求的值．24. （5分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．25. （5分）已知复数满足:求的值.参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共7分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共40分) 21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、25-1、。

达标测试
1.在2+,i,8+5i,(1-)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.因为2+为实数,i为纯虚数,8+5i为虚数,(1-)i 为纯虚数,0.618为实数,所以纯虚数只有2个.
2.(1+)i的实部与虚部分别是( )
A.1,
B.1+,0
C.0,1+
D.0,(1+)i
【解析】选C.根据复数的代数形式的定义可知(1+)i=0+(1+)i,所以其实部为0,虚部为1+,故选C.
3.以3i-1的虚部为实部,以-2+i的实部为虚部的复数是( )
A.-2+3i
B.-2i+3
C.-3+i
D.1-3i
【解析】选 B.3i-1的虚部为3,-2+i的实部为-2,所以所求复数为3-2i.
4.如果复数-a+2i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,则a的值等于________.
【解析】因为实部为-a,虚部为2,所以a=2.
答案:2
5.若y为纯虚数,x为实数,且满足1+y=2x-1+2i,求x,y的值. 【解析】设y=ai(a是不为0的实数),则1+ai=2x-1+2i,
所以得所以x=1,y=2i.。