江苏省南通市启东中学2020届高三下学期高考预测卷(一)数学试题

1y=于点N，且和椭圆隔开，使得ABEF 为矩形，EFCD 为正方形，设AB x =米，已知围墙（包括EF ）的修建费用均为800元每平方米，设围墙（包括EF ）的的修建总费用为y 元。

（1）求出y 关于x 的函数解析式；（2）当x 为何值时，设围墙（包括EF ）的的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值。

17. 解：（1）设AD t =米，则由题意 得600xt =，且t x >，故600t x x=>，可得0x << ……………………4分 （说明：若缺少“0x <<2分）则600400800(32)800(32)2400()y x t x x x x=+=+⨯=+，所以y 关于x 的函数解析式为4002400()y x x=+(0x <<.（2）4002400()240096000y x x =+⨯=≥，当且仅当400x x=，即20x =时等号成立.故当x 为20米时，y 最小. y 的最小值为96000元.………………14分18.如图，在平面直角坐标系xOy 中。

椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，右准线为l 。

（1）求到点F 和直线l 的距离相等的点G 的轨迹方程。

（2）过点F 作直线交椭圆C 于点,A B ，又直线OA 交l 于点T ,若2OT OA =，求线段AB 的长； （3）已知点M 的坐标为()000,,0x y x ≠，直线OM 交直线0012x xy y +=于点N ，且和椭圆C 的一个交点为点P ，是否存在实数λ，使得2?OP OM ON λ=⋅，若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由。

ABDCE F 第17题图。

江苏省南通巿启东中学2025届高三第一次高考模拟考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A ．12ω=B ．6282f π+⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．34D ．224．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21r r 6．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．7．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A 5B 5C 10D 10 8．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<9．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．2]B ．(2,3]C ．2,5]D ．3,5]10．i 是虚数单位，21iz i=-则||z =（ ） A ．1 B ．2C 2D ．2211．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>12．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．)+∞B ．[)2,+∞C．(D ．(]1,2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届江苏启东中学高考数学倒计时模拟卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a +++=（ ）A ．58B ．34 C ．54D ．522．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A ．12B ．16C ．20D ．83．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元4．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）A ．6i >，7S S =B ．6i 7S S =C ．6i >，7S S =D ．6i ，7S S =5．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．36．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()⋅f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数 D ．()()f x g x ⋅是奇函数7．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．1 C ．1 D 28．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．917B ．817C ．1735D ．9359．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ） A ．(1,1)- B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞10．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形11．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．12．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省南通市启东中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数f(x) (x∈R)是奇函数，函数g(x) (x∈R)是偶函数，则()A．函数f(x)g(x)是偶函数B．函数f(x)g(x)是奇函数C．函数f(x)＋g(x)是偶函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数参考答案：B略2. 若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．3参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，z有最小值为2×1+3×1=5．故选：C．【点评】本题考查了线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．3. 对于任意，则满足不等式的概率为（）A B C D参考答案：A略4. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，则m=( )A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组即可解得m的值．解答：解：在等比数列中，∵S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，∴a m=S m﹣S m﹣1=﹣11﹣5=﹣16，a m+1=S m+1﹣S m=21﹣（﹣11）=32，则公比q=，∵S m=﹣11，∴，①又，②两式联立解得m=5，a1=﹣1，故选：C．点评：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的计算和应用，考查学生的计算能力．5. 抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．参考答案：B略6. （2﹣i）（﹣2+i）=（）A．﹣5 B．﹣3+4i C．﹣3 D．﹣5+4i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（2﹣i）（﹣2+i）=﹣4+2i+2i﹣i2=﹣3+4i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．7. 函数的最小正周期是（）A． B． C． D．参考答案：B考点：1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.8. 已知m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题是真命题的是（）A．若，，则 B.若，，则C.若，，则D.若，，则参考答案：B对于答案A，有的可能，故不是真命题；对于答案C，直线也可以与平面相交，不是真命题；对于答案D中的直线，有的可能，故不是真命题，应选答案B。

2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学I 卷2020.4一､填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设复数z 满足(z+i)(2+i)=5(i 为虚数单位),则z=___. 2.设全集U={1,2,3,4},集合A={1,3},B={2,3},则B U A ⋂ ___.3.箱子中有形状､大小都相同的3只红球和2只白球,一次摸出2只球,则摸到的2球颜色不同的概率为____.4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高.据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)､第二组[160,165)､…､第八组[190,195],按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上(含180cm)的人数为___.5.阅读如图所示的程序框,若输入的n 是30,则输出的变量S 的值是___.6.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,若曲线C 经过点P(1,3),则其焦点到准线的距离为__.7.抛物线24y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为__.8.已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2,锐角为60°的菱形,侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=3.若点M 是BC 的中点,则三棱锥MPAD 的体积为___.9.以抛物线24y x =的焦点为焦点,以直线y=±x 为渐近线的双曲线标准方程为___.10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍,,则圆锥的体积___是cm³ 11.设f(x)是R 上的奇函数,当x>0时,()2ln ,4x f x x=+记(5),n a f n =-则数列{}n a 前8项和为__.12.过曲线1(0)y x x x=->上一点P(x 0,y 0)处的切线分别与x 轴,y 轴交于点A,B,O 是坐标原点,若△OAB 的面积为1,3则0x =__.13.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O:222211,:(4)4,x y O x y +=-+=动点P 在直线0x b -=上,过P 分别作圆O,1O 的切线,切点分别为A,B,若满足PB=2PA 的点P 有且只有两个,则实数b 的取值范围是___. 14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--.若集合{|(1)()0,}x f x f x x -->∈=∅R ,则实数a 的取值范围为___. 二､解答题;本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC 中,三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知m=(sinB-sinC,sinC-sinA),n=(sinB+sinC,sinA),且m ⊥n. (1)求角B 的大小;(2)若b=c·cosA,△ABC 的外接圆的半径为1,求△ABC 的面积.16.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱,1111ABCDA B C D 中,E,F 分别是AB,BC 的中点,11A C 与11B D 于点O.(1)求证:11,,A C F,E 四点共面;(2)若底面ABCD 是菱形,且1,OD A E ⊥求证:OD ⊥平面11.A C FE 17.(本小题满分14分) 已知函数2()2 1.f x x ax =-+(1)若函数()log [()](0,1)a g x f x a a a =+>≠的定义域是R ,求实数a 的取值范围; (2)当x>0时,恒有不等式()ln f x x x>成立,求实数a 的取值范围.18.(本小题满分16分)如图,墙上有一壁画,最高点A 离地面4m,最低点B 离地面2m,观察者从距离墙xm(x>1),离地面高am(1≤a≤2)的C 处观赏该壁画,设观赏视角∠ACB=θ.(1)若a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角θ最大? (2)若1tan ,2θ=当a 变化时,求x 的取值范围.19.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆22221(0)x y a b n b+=>>的离心率是e,定义直线by e =±椭圆的“类准线”.已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程;(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上),过点P 作圆O 22:3x y +=的切线1,过点O 且垂直于OP 的直线与1交于点A,问点A 是否在椭圆C 上?证明你的结论.20.(本小题满分16分)已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列,偶数项是公差为2d 的等差数列,n S 数列{}n a 的前n 项和,121, 2.a a ==(1)若54516,,S a a ==求a 10;(2)已知15815,S a =且对任意n ∈N *，有1n n a a +<恒成立,求证:数列{}n a 是等差数列;(3)若1213(0),d d d =≠且存在正整数m,n(m≠n),使得.n m a a =求当1d 最大时,数列{}n a 的通项公式.21.[选做题]本题包括A ､B ､C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A.[选修4--2:矩阵与变换](本小题满分10分)求矩阵3113⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量.B.[选修4--4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C :x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数).以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线1的极坐标方程为(cos )40ρθθ+=).求曲线C 上的点到直线1的最大距离,C.[选修4--5:不等式选讲](本小题满分10分) 设x,y 均为正数,且x>y,求证:22122 3.2x y x xy y +≥+-+[必做题]第22题､第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱111ABCA B C 中,AC=3,BC=4,AB=5,1 4.AA =(1)设,AD AB λ=异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为求λ的值; (2)若点D 是AB 的中点,求二面角1DCB B 的余弦值.23.(本小题满分10分) 设*(,)(1),.n f x n x n =+∈N (1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项;(2)*n ∈N 时,化简01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----+++++ (3)求证:21132132n n n n n n C C C nC n -++++=⨯绝密★启用前2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学Ⅰ卷 参考答案与解析2020.4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. (本小题满分5分) 【答案】2－2i 2. (本小题满分5分) 【答案】{2} 3. (本小题满分5分) 【答案】354. (本小题满分5分) 【答案】1445. (本小题满分5分) 【答案】2406. (本小题满分5分) 【答案】927. (本小题满分5分) 【答案】358. (本小题满分5分) 【答案】3 9. (本小题满分5分) 【答案】x 212－y 212＝110. (本小题满分5分) 【答案】3π 11. (本小题满分5分) 【答案】－16 12. (本小题满分5分) 【答案】5【解析】P(x 0，y 0)处的切线斜率为1＋1x 20，则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0－1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0) ，当x ＝0时，y ＝－2x 0；当y ＝0时，x ＝2x 0x 20＋1.S △OAB ＝12×2x 0 ×2x 0x 20＋1＝13，则x 0＝ 5.本题考查了导数的几何意义、直线方程，属于中等题． 13. (本小题满分5分) 【答案】⎝⎛⎭⎫－203，4 【解析】设P 点坐标为(x ，y)，∵ PB ＝2PA ，∴ PB 2＝4PA 2，即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)，整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.(方法1)该方程表示一个圆，圆心⎝⎛⎭⎫－43，0，r ＝83.因为P 点有且只有两个，所以直线和圆相交，故⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83，解得b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.(方法2)因为P 在直线x ＋3y －b ＝0上，所以3y ＝－x ＋b ，代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0，得4x 2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为P 点有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整理得3b 2＋8b －80<0，所以b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.本题考查了直线与圆的位置关系，以及一元二次不等式的解法，突出了方程思想和解析法，其中方法1是利用方程对应的几何图形解决问题；方法2用代数方法算方程根的个数．本题属于难题． 14. (本小题满分5分) 【答案】⎝⎛⎦⎤－∞，16 【解析】∵ {x|f(x －1)－f(x)>0，x ∈R }＝∅ ，∴ f(x －1)－f(x)≤0恒成立，即f(x －1)≤f(x)．(1) 当a ≤0时，当x ≥0时，f(x)＝12x ，又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴ 函数f(x)是在R 上的解析式为f(x)＝12x ，而f(x －1)是由f(x)向右平移1个单位，则函数f(x)和f(x －1)的图象有下图关系：通过图象观察，当a ≤0时，f(x －1)≤f(x)恒成立；(2) 当a>0时，当x ≥0时，f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈-∈-=),2[,3)2,[,),0[,)(a x a x a a x a a x x x f ∵ 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ f(x)在R 上的图象为(如下图)：要使f(x －1)≤f(x)，两图象只要满足：由图知，只要满足－3a ＋1≥3a ，即0<a ≤16时，f(x －1)≤f(x)恒成立．综上可得，当a ≤16时，f(x －1)≤f(x)恒成立．本题考查了集合、分段函数、函数的图象与性质、不等式等内容的综合运用，体现了数形结合思想和分类讨论的思想．本题属于难题． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 因为m ⊥n ，所以sin 2B －sin 2C ＋sinA(sinC －sinA)＝0，即sinAsinC ＝sin 2A ＋sin 2C －sin 2B.(2分)由正弦定理得ac ＝a 2＋c 2－b 2，所以cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.(4分)因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(6分)(2) 因为c·cosA ＝b ，所以b c ＝b 2＋c 2－a22bc，即b 2＝c 2－a 2.(8分)又ac ＝a 2＋c 2－b 2，b ＝2RsinB ＝3，(10分) 解得a ＝1，c ＝2.(12分)所以S △ABC ＝12acsinB ＝32.(14分)16．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 连结AC ，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线，所以EF ∥AC.(2分)由直棱柱知AA 1平行等于CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1.(5分)所以EF ∥A 1C 1，故A 1，C 1，F ，E 四点共面．(7分)(2) 连结BD ，因为直棱柱中DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以DD 1⊥A 1C 1.(9分)因为底面A 1B 1C 1D 1是菱形，所以A 1C 1⊥B 1D 1.又DD 1∩B 1D 1＝D 1，所以A 1C 1⊥平面BB 1D 1D.(11分) 因为OD ⊂平面BB 1D 1D ，所以OD ⊥A 1C 1.又OD ⊥A 1E ，A 1C 1∩A 1E ＝A 1，A 1C 1平面A 1C 1FE ，A 1E ⊂平面A 1C 1FE ，所以OD ⊥平面A 1C 1FE.(14分) 17．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 由题意得，对任意x ∈R ，恒有f(x)＋a ＞0，即恒有x 2－2ax ＋1＋a ＞0，(2分) 于是Δ＝4a 2－4(1＋a)＜0，(3分)即a 2－a －1＜0，解得1－52＜a ＜1＋52.(3分)因为a ＞0，a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52.(5分)(2) 当x ＞0时，不等式f （x ）x ＞lnx 等价于x －2a ＋1x ＞lnx ，即2a ＜x ＋1x－lnx ，(7分)设g(x)＝x ＋1x －lnx ，则g′(x)＝1－1x 2－1x ＝x 2－x －1x 2.(9分)令g′(x)＝0，得x ＝1＋52，当0＜x ＜1＋52时，g ′(x)＜0，g(x)单调减，当x ＞1＋52时，g ′(x)＞0，g(x)单调增，(11分)故当x ＝1＋52时，g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＝5－ln 1＋52，(13分)所以2a ＜5－ln 1＋52，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52－12ln 1＋52.(14分) 18．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD －∠BCD ，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分)又tan θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分)(2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，(4分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q(x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23，则k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0，(7分)所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝3（2y 0－3）6－3y 0，即A(6x 06－3y 0，3（2y 0－3）6－3y 0)．(11分)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋（3（2y 0－3）6－3y 0）23＝9（3－y 20）＋3（4y 20－43y 0＋3）3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．(14分)当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程， 所以点A 在椭圆C 上．(16分)20．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 由题意，得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1＋d 1＝1＋d 1，a 4＝a 2＋d 2＝2＋d 2，a 5＝a 3＋d 1＝1＋2d 1.(2分)因为S 5＝16，a 4＝a 5，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝7＋3d 1＋d 2＝16，2＋d 2＝1＋2d 1.所以d 1＝2，d 2＝3，(4分)所以a 10＝2＋4d 2＝14.(5分)(2) 证明：当n 为偶数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2＜1＋n 2d 1，n2(d 2－d 1)＋1－d 2＜0恒成立，所以d 2－d 1≤0且d 2＞1.(7分) 当n 为奇数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即1＋n －12d 1＜2＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1d 2，(1－n)(d 1－d 2)＋2＞0恒成立，所以d 1－d 2≤0，于是有d 1＝d 2.(9分)因为S 15＝15a 8，所以8＋8×72d 1＋14＋7×62d 2＝30＋45d 2，所以d 1＝d 2＝2，a n ＝n ，所以数列{a n }是等差数列．(11分)(3) 解：若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n(m ≠n)，使得a m ＝a n ，由题意得，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为a m ＝a n ，所以1＋m －12d 1＝2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2.(13分) 因为d 1＝3d 2，所以d 1＝63m －n －1. 因为m 为奇数，n 为偶数，所以3m －n －1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1.(15分)所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧32n －12，n 为奇数，12n ＋1，n 为偶数.(16分)2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学Ⅱ卷（附加题） 参考答案与解析2020.421．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题。

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）（4月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1，3，5}，B={2，3}，则集合A∪B中的元素个数为______．2.已知复数z=a+3i（i为虚数单位），若z2是纯虚数，则实数a的值为______．3.已知双曲线C：x2-y2=1，则点（4，0）到C的渐近线的距离为______．4.设命题p：x＞4；命题q：x2-5x+4≥0，那么p是q的______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．5.函数f（x）=的定义域为______．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A=______．7.设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和为S n，若a4+a10=0，2S12=S2+10，则d的值为______．8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1-BB1D1D的体积为______．9.已知函数f（x）=sin x（x∈[0，π]）和函数g（x）=tan x的图象相交于A，B，C三点，则△ABC的面积为______．10.设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是______．11.设x＞0，y＞0，向量=（1-x，4），=（x，-y），若∥，则x+y的最小值为______．12.已知函数f（x）=e x-e-x-2x，则不等式f（x2-4）+f（3x）＞0的解集为______．13.已知函数，若函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．14.已知直线l：y=kx+3与圆C：x2+y2-2y=0无公共点，AB为圆C的直径，若在直线l上存在点P使得，则直线l的斜率k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）若角β满足，求cosβ的值．16.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60°，AC=BC，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求证：平面A1DC⊥平面ABC．17.已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E经过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．18.某海警基地码头O的正西方向30海里处有海礁界碑A，过点A且与AO成60°角（即北偏东30°）的直线l为此处的一段领海与公海的分界线（如图所示）．在码头O 的正西方向且距离O点12海里的领海海面P处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发．若巡逻艇以可疑船的航速的λ倍（λ＞1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点Q处截获可疑船．（1）若可疑船的航速为10海里/小时，λ=2，且可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间．（2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求λ的最小值．19.已知函数f（x）=ax3+bx2+4a，（a，b为常数）（1）若a=1，b=3．①求函数f（x）在区间[-4，2]上的最大值及最小值．②若过点（1，t）可作函数f（x）的三条不同的切线，求实数t的取值范围．（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤f（x）≤4x2恒成立，求a+b的取值范围．20.已知正项等比数列{a n}的前n项和为，且a3=a2+2，a2•a4=16．数列{b n}的前n项和为T n，且．（1）求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n；（2）证明数列{b n}为等差数列，并求出{b n}的通项公式；（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：4解析：解：∵集合A={1，3，5}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3，5}，∴集合A∪B中的元素个数为4．故答案为：4．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：±3解析：解：∵z=a+3i，∴z2=（a+3i）2=（a2-9）+6ai，由z2是纯虚数，得，解得：a=±3．故答案为：±3．由已知求得z2，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：2解析：解：双曲线C：x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0，点（4，0）到C的渐近线的距离为d==2．故答案为：2．求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题．4.答案：充分不必要解析：【分析】本题考查的知识点是充分必要条件的判定，不等式的解法，难度中档．求解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：命题q：x2-5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，x＞4成立，则x≤1，或x≥4，一定成立，反过来x≤1，或x≥4成立，则x＞4不一定成立，故p是q的充分不必要条件，故答案为充分不必要.5.答案：[e2，+∞）解析：解：要使f（x）有意义，则：ln x-2≥0；∴x≥e2；∴f（x）的定义域为：[e2，+∞）．故答案为：[e2，+∞）．可以看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足ln x-2≥0，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，对数函数的单调性，增函数的定义．6.答案：解析：【分析】由已知利用正弦定理可得sin B的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值，根据三角形内角和定理可求A的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【解答】解：∵，∴由正弦定理，可得：sin B===，∵b＜c，B∈（0，），∴B=，∴A=π-B-C=π--=．故答案为：．7.答案：-10解析：【分析】由已知条件结合等差数列的通项公式和求和公式，求解即可得答案．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．【解答】解：由a4+a10=0，2S12=S2+10，可得，解得d=-10，故答案：-108.答案：解析：【分析】本题考查几何体体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥A1-BB1D1D的底面是矩形，边长分别为1和，四棱锥的高：A1C1=,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为：=．故答案为：．9.答案：π解析：【分析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．根据题意，令sin x=tan x，结合x∈[0，π]求出x的值，得出三个点A，B，C的坐标，即可计算△ABC的面积．【解答】解：根据题意，令sin x=tan x，则sin x（1-）=0，解得sin x=0或1-=0，∴sin x=0或cos x=．又x∈[0，π]，∴其中两点坐标分别为A(0，0)，B(π，0)，由，得，则点，∴△ABC的面积为，故答案为.10.答案：②④解析：解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：②④．在①中，α与β相交或平行；在②中，由面面垂直的判断定理得α⊥β；在③中，n∥α或n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.答案：9解析：【分析】本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用，属于基础题．先根据向量平行得到+=1，再利用基本不等式即可求出最值．【解答】解：因为∥，所以4x+（1-x）y=0，又x＞0，y＞0，所以+=1，故x+y=（+）（x+y）=5++≥9．当=，+=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．故（x+y）min=9．故答案为9．12.答案：{x|x＞1或x＜-4}解析：【分析】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断以及应用，注意利用导数分析函数f（x）的单调性，属于基础题．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e x-e-x-2x，有f（-x）=e-x-e x-2（-x）=-（e x-e-x-2x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）=e x+e-x-2=e x+-2≥0，即函数f（x）在R上为增函数，则f（x2-4）+f（3x）＞0⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞f（-3x）⇒x2-4＞-3x，即x2+3x-4＞0，解可得：x＞1或x＜-4，故答案为{x|x＞1或x＜-4}．13.答案：（1，2]解析：【分析】本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.把函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，转化为方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，作出y=f（x）与y=a的图象，数形结合得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，即方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，作出y=f（x）与y=a的图象如图：由图可知，要使函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（1，2]．故答案为（1，2]．14.答案：（-，-1]∪[1，）解析：解：直线l：y=kx+3与圆C：x2+y2-2y=0无公共点，可得＞1，解得-＜k＜，设P（m，n），由题意可得+=2，两边平方可得2+2+2•=42，即为2[m2+（n-1）2+1]+2=4（m2+（n-1）2），化为m2+（n-1）2=2，即有P在直线l上，又在圆x2+（y-1）2=2上，可得≤，解得k≥1或k≤-1，综上可得k∈（-，-1]∪[1，）．故答案为：（-，-1]∪[1，）．由直线和圆无交点可得d＞r，求得k的范围，设出P（m，n），由题意可得+=2，两边平方，结合向量的数量积的性质和两点的距离公式，可得P在圆x2+（y-1）2=2上，又在直线l上，由直线和圆有交点的条件，解不等式可得所求范围．本题考查直线和圆的位置关系，注意运用向量的中点表示和向量数量积的性质，考查直线和圆有交点的条件，化简运算能力，属于中档题．15.答案：解：（1）∵角α的终边经过点，∴∴…………（4分）∴…………（7分）（2）∵，∴…………（9分）∵β=（α+β）-α，∴cosβ=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα∴当时，；…………（11分）当时，…………（13分）综上所述：或…………（14分）解析：（1）由角α的终边经过点P，结合三角函数的定义可求sinα，cosα，然后结合两角和的正弦公式可求（2）由，结合同角平方关系可求cos（α+β），然后根据β=（α+β）-α，及两角差的余弦可求本题主要考查了三角函数的定义及两角和的正弦公式，同角平方关系，两角差的余弦公式等知识的综合应用，属于中档试题．16.答案：（1）证明：连结C1A，设AC1∩A1C=E，连结DE．∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形，∴E为AC1中点在△ABC1中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC1．∵DE⊂平面A1DC，BC1不包含于平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC（2）证明：∵ABB1A1为菱形，且∠A1AB=60°，∴△A1AB为正三角形∵D是AB的中点，∴AB⊥A1D．∵AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD．∵A1D∩CD=D，∴AB⊥平面A1DC．∵AB⊂平面ABC，∴平面A1DC⊥平面ABC．解析：（1）连结C1A，设AC1∩A1C=E，连结DE．由三角形中位线定理得到DE∥BC1．由此能证明BC1∥平面A1DC．（2）由已知条件得△A1AB为正三角形，从而得到AB⊥CD，进而得到AB⊥平面A1DC，由此能证明平面A1DC⊥平面ABC．本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.答案：解：（1）因为椭圆焦点坐标为，且过点，所以，所以a=2，…………（3分）从而，故椭圆的方程为．…………（6分）（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），因为A（-2，0），且A，D，M三点共线，所以，解得，所以，…………（8分）同理得，…………（10分）因此，=，…………（12分）因为点M（x0，y0）在椭圆上，所以，即，代入上式得：．∴四边形ABCD的面积为2．…………（14分）解析：（1）由椭圆的离心率及椭圆经过点，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），由A，D，M三点共线，解得，，同理得，可得=2本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，18.答案：解：（1）因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为10海里/小时，所以巡逻艇的航速为20海里/小时，且OQ=2PQ，设PQ=a，则OQ=2a；又可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，所以∠QPO=120°，在△OPQ中，有OQ2=OP2+PQ2-2OP PQ cos∠OPQ，即4a2=a2+144-2×12a cos120°，故a2-4a-48=0，解得（负值舍去）；所以巡逻艇成功拦截可疑船所用时间为小时；（2）以O为坐标原点，AO的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则P（-12，0），A（-30，0），设Q（x，y），因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的λ倍，所以OQ=λPQ，故x2+y2=λ2[（x+12）2+y2]，即；故可疑船被截获的轨迹是以为圆心，以为半径的圆；又直线l的方程为，即，要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则：圆心在直线下方，且Q的轨迹与直线l至多只有一个公共点，所以且；即，解得，故要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则．解析：本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了数学模型应用问题，属于中档题．（1）由题意在△OPQ中，利用余弦定理列方程求出PQ的值，再计算巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间；（2）以O为坐标原点，AO的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，利用坐标表示点与直线，求出可疑船被截获的轨迹是圆，以及要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船所满足的条件，从而求出λ的取值范围和最小值．19.答案：解：（1）因为a=1，b=3，所以f（x）=x3+3x2+4，从而f'（x）=3x2+6x．①令f'（x）=0，解得x=-2或x=0，列表：x-4（-4，-2）-2（-2，0）0（0，2）2f'（x）+-+f（x）-12↗8↘4↗24所以，（）max（），（）min．…………（分）②设曲线f（x）切线的切点坐标为，则，故切线方程为，因为切线过点（1，t），所以，即，…………（6分）令，则，所以，当x0∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，g'（x0）＞0，此时g（x0）单调递增，当x0∈（-1，1）时，g'（x0）＜0，此时g（x0）单调递减，所以g（x0）极小值=g（1）=t-8，g（x0）极大值=g（-1）=t，要使过点（1，t）可以作函数f（x）的三条切线，则需，解得0＜t＜8．…………（9分）（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3+bx2+4a≤4x2等价于，………（11分）令，则，所以，当x∈（1，2）时，h'（x）＜0，此时函数单调递减；当x∈（2，4）时，h'（x）＞0，此时函数单调递增，故h（x）min=3，h（x）max=5．…………（13分）若a=0，则0≤b≤4，此时0≤a+b≤4；若a≠0，则，从而a+b=2（3a+b）-（5a+b）∈[-4，8]；综上可得-4≤a+b≤8．…………（16分）解析：（1）①代入a，b的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；②设出切点坐标，表示出切线方程，结合函数的单调性得到关于t的不等式组，解出即可；（2）问题等价于，令，结合函数的单调性求出函数的最值，求出a+b的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20.答案：解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则由a2•a4=16，得，从而a3=4，又由a3=a2+2，得a2=2，因此，，所以，．（2）方法一：因为，所以，从而数列是以为首项，为公差的等差数列，故，故，当n≥2时，，且n=1时适合，因此，b n=n，从而当n≥2时，b n-b n-1=1为常数，所以，数列{b n}为等差数列．方法二：因为，所以，当n≥2时，有，两式相减得：nT n+1=2nT n-nT n-1+n，即T n+1=2T n-T n-1+1，故T n+1-T n=T n-T n-1+1，即b n+1=b n+1，又由得T2=2T1+1=3，从而b2=T2-T1=2，故b2-b1=1，所以，数列{b n}为等差数列．（3）因为，所以，假设存在存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列，则，即，令，则原问题等价于存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），使得，即2d n'=d m'+d l'成立．因为（因为n≥3），故数列{d n}单调递增，若l'-n'≥2，即l'≥n'+2，则d l'≥d n'+2，从而，即d l'＞2d n'，而2d n'=d m'+d l'，因此，d m'＜0，这与d m'＞0恒成立矛盾，故只能有l'-n'=1，即l'=n'+1，从而，故，即，（*）①若n'为奇数，则记，从而，因为数列单调递增，所以数列单调递减，故当n'≥4时，，而2m'∈N*，故t∉N，因此，（*）式无正整数解．②若n'为偶数，则记，即，同理可得（*）无正整数解．综上，不存在存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），使得c m'，c n'，c l'成等差数列，也即不存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列．解析：（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式和数列的前n项和．（2）利用等差数列的定义和递推关系式求出数列的通项公式．（3）利用存在性问题的应用，利用数列的等差中项进行判断求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的通项公式和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．。

2020届江苏省南通市启东中学高三下学期高考预测卷（一）数学试题一、填空题1．命题“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是_______. 【答案】x ∀∈R ，212x x +≥【解析】原命题为特称命题，其否定为全称命题. 【详解】“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是x ∀∈R ，212x x +≥ 故答案为：x ∀∈R ，212x x +≥ 【点睛】本题考查对特称命题进行否定. 对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．2．复数41i 2i 1i z -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭的共轭复数z =__________． 【答案】12i -【解析】由题意得，41i 2i 1i z -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭12i =+ ，则12z i =-3．根据如图所示伪代码，最后输出的i 的值为______．【答案】7【解析】按照伪代码运行程序，直到满足10S ≥时输出i 即可. 【详解】按照伪代码运行程序，输入1S =，1i =，则112S =+=，123i =+=，不满足10S ≥，循环；235S =+=，325i =+=，不满足10S ≥，循环；5510S =+=，527i =+=，满足10S ≥，输出7i =.故答案为：7. 【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.4．“中国式过马路”的大意是凑够一撮人即可走，跟红绿灯无关.部分法律专家的观点为“交通规则的制定目的就在于服务城市管理，方便行人，而‘中国式过马路’是对我国法治化进程的严重阻碍，反应了国人规则意识的淡薄.”某新闻媒体对此观点进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“中立”和“不支持”态度的人数如表所示：支持中立不支持 20岁以下70045020020岁及以上 200150300在所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取100人，则持“支持”态度的人中20岁及以上的有_________人 【答案】10【解析】参与调查人数共2000人，抽取100人，抽样比为1001200020=，据此按分层抽样即可求出结果. 【详解】因为参与调查人数共2000人，抽取100人， 所以抽样比为1001200020= 根据分层抽样知，在持“支持”态度的人中20岁及以上的有12001020⨯=人， 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了分层抽样，数据处理实际问题，属于容易题.5．已知x ，y 满足约束条件20x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则+2+1y z x =的取值范围为______.【答案】2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义求得范围． 【详解】根据约束条件作出可行域如下图所示：，由2x y x y =⎧⎨+=⎩得点()11A ，，由20x y y +=⎧⎨=⎩得()20B ，，由0x yy =⎧⎨=⎩得()00O ，， +2+1y z x =的几何表示可行域内的动点与定点()12P ，--的连线的斜率， 所以202022,10123OP PB k k ----====----， 所以+2+1y z x =的取值范围为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查一元一次不等式组表示的可行域，求非线性之斜率型目标函数的最值，属于中档题．6．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______.【答案】2【解析】利用二倍角公式化简已知条件，并转化为只含tan α的表达式，由此求得tan α的值，进而求得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=，化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，23tan 2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯. 故答案为：2 【点睛】本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基础题.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点,E F 分别为,PA PD 的中点，则平面BCFE 将四棱锥P ABCD -所分成的上下两部分的体积的比值为______．【答案】35【解析】先连接,FA FB ，则下面部分几何体的体积为58F ABCD B AEF V V V --+=，上面部分几何体的体积为5388V V V -=，然后运算即可得解. 【详解】解：设四棱锥P ABCD -的体积为V ， 连接,FA FB ，则下面部分几何体的体积为F ABCD B AEF V V --+， 其中12F ABCD V V -=，B AEF V -=11112448B APF B ADP P ABD V V V V ---===， 所以58F ABCD B AEF V V V --+=，则上面部分几何体的体积为5388V V V -=，故平面BCFE 将四棱锥P ABCD -所分成的上下两部分的体积的比值为35， 故答案为：35．【点睛】本题考查空间几何体的体积．重点考查了利用体积分割的方法求解，属中档题． 8．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著.其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈.已知直三棱柱111A B C ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，153AA =，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为______. 【答案】33:50π【解析】根据题意，先确定阳马，鳖膈几何体的结构特征，再分别求得鳖膈的体积与其外接球的体积即可. 【详解】 如图所示：阳马为四棱锥 C 1A 1B 1AB ，鳖膈为三棱锥C 1-ABC ， 因为AB BC ⊥，3AB =，4BC =，153AA = 所以鳖膈的体积为1111134531033232V AB BC CC =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 其外接球的半径为：()22111553522R AC ==+=，体积为：34500533ππ⨯=， 鳖膈的体积与其外接球的体积之比为：50010333503ππ=， 故答案为：3350π 【点睛】本题主要考查棱柱的结构特征以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-+.当01x <≤时，2020()log f x x =-，则1()(2019)(2020)2020f f f ++=__________. 【答案】1【解析】由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，再结合(1)(1)f x f x +=-+可得()f x 的周期为4，然后利用函数的性质将自变量化简到(0,1]上进行求解 【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，且(0)0f =.又因为(1)(1)f x f x +=-+，所以(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-， 可得(4)()f x f x +=，所以奇函数()f x 的周期为4， 所以202011()(2019)(2020)log (1)(0)20202020f f f f f ++=-+-+ 20201(1)(0)1log 101f f =-+=++=.故答案为：1. 【点睛】此题考查函数的奇偶性、周期性，考查运算能力，属于中档题10．1T 是一个边长为1的正三角形，2T 是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形，依次类推1n T +是对n T 中所含有的所有正三角形都去掉中间一份（如图），记n S 为n T 的面积，12n n Q S S S =++⋅⋅⋅+，则n Q =________33(1())4n-【解析】由图结合归纳推理可得数列{}n S 3为首项，34为公比的等比数列，然后结合等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】解：由图可知，后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的三倍， 即第n 个图形中剩下的三角形个数为13n -，又后一个图形中剩下的三角形的边长是前一个的12倍， 所以第n 个图形中剩下的每一个三角形的边长为11()2n -11()4n -， 即n S=13)4n -， 即数列{}n S34为公比的等比数列，则1214n n Q S S S =++⋅⋅⋅+==-3())4n -，3())4n-.【点睛】本题考查了等比数列的综合应用，重点考查了归纳推理，属中档题.11．已知A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且以AB 为直径的圆过F ，当6ABF π∠=，该椭圆的离心率是_______.1【解析】根据题意，由圆的圆周角的性质得出90AFB ∠=，且2AB c =，由于6ABF π∠=，则AF c =，BF =，利用椭圆的定义得2AF BF a +=，即可得出a 和c 的关系，从而可求出椭圆的离心率.【详解】解：由题意知，以AB 为直径的圆过F ，点F 为椭圆的右焦点， 则90AFB ∠=，且2AB c =， 又6ABF π∠=，则AF c =，BF =，设椭圆的左焦点为E ，由椭圆的对称性可得AE BF =由椭圆的定义得2AF BF AE AF a +=+=，则2c a +=，即：1==c a ，所以31e =-. 故答案为：31-.【点睛】本题考查椭圆的离心率和简单几何性质，以及椭圆定义的应用和圆的性质的应用. 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:24C x y -+=，点A 是直线20x y -+=上的一个动点，直线,AP AQ 分别切圆C 于,P Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为______．【答案】)22,4⎡⎣【解析】设AC x =，利用点到直线距离公式可知22x ≥，将PQ 长表示为关于x 的函数，求得函数值域即为所求范围. 【详解】由圆的方程知：圆心()2,0C ，半径2r ，设AC x =，则20222x -+≥=,AP AQ 为圆C 的切线，CP AP ∴⊥，CQ AQ ⊥，2224AP AQ AC r x ∴=-=-AC 是PQ 的垂直平分线，22444241AP PC x PQ AC x⋅-∴=⨯==-，22x ≥214112x∴≤-<，224PQ ∴≤<，即线段PQ 长的取值范围为)22,4⎡⎣.故答案为：)22,4⎡⎣. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到圆的切线的性质；解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用函数求值域的方法求得结果.13．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．【答案】0 【解析】【详解】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+． 由PQ 与MN 共线，所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈，再根据向量的数量积运算求解．（2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++两式相加得到1()2MN DC AB =+．14．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________ 【答案】1.4【解析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件，再根据二次函数性质求xy 的最小值. 【详解】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+()1121x y x y ∴-++≥=-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、解答题15．如图，矩形ACMN 所在平面与菱形ABCD 所在平面互相垂直，交线为AC ，ACBD O =，E 是MN 的中点.（1）求证：//CE 平面NBD ；（2）若点F 在线段CM 上，且OF NO ⊥，求证：NO ⊥平面FBD . 【答案】（1）见详解；（2）见详解【解析】（1）证出四边形OCEN 是平行四边形，进而得到//ON CE ，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）证出ND NB =，又O 是BD 中点，可得NO BD ⊥，又已知OF NO ⊥，借助线面垂直的判定定理，即可得证. 【详解】（1）连接ON ，OF ，如图，ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点，又E 是矩形ACMN 的边MN 的中点，//EN CO ∴且EN CO =，∴四边形OCEN 是平行四边形，//ON CE ∴，又ON ⊂平面NBD ，CE ⊄平面NBD ， //CE ∴平面NBD .（2）平面ACMN ⊥平面ABCD ，且平面ACMN ⋂平面ABCD AC =， 又NA ⊂平面ACMN ，且NA AC ⊥，NA ∴⊥平面ABCD ，NA AD ∴⊥，NA AB ⊥，由勾股定理知：2222,ND NA AD NB NA AB =+=+，ND NB ∴=，又O 是BD 中点， NO BD ∴⊥，又OF NO ⊥且OFBD O =，NO ∴⊥平面FBD .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.16．如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转π3得1OP ，1OP 逆时针旋转π3得2OP ，…，1n OP -逆时针旋转π3得n OP ．（1）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求点1P 的横坐标；（2）若点2020P 的横坐标为45，求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（12）2425- 【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cos α、sin α的值，再利用两角和的余弦公式即可求解；（2）根据得2020P 的横坐标4cos(2020)35πα+⨯=的值，化简得π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系和二倍角公式可求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【详解】（1）因为点034,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，根据三角函数的定义可得4sin 5α，3cos 5α=根据题意可知点1P 的横坐标为πππ3143cos cos cos sin sin 333525210ααα-⎛⎫+=-=⨯-⨯=⎪⎝⎭ （2）根据题意可知点2020P 的横坐标为2020π4π4cos cos 335αα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以2πππ24sin 22sin cos 33325ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式、诱导公式、两角和的余弦公式，属于中档题．17．我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多.某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角πAOB 3∠=，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证(如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内)在圆弧的两端点A ，B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里．()1求海域ABCD 的面积；()2现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点19.判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由． 【答案】（1）2200π(3平方海里)； （2）这艘不明船只没进入了海域ABCD ．. 【解析】()1利用扇环的面积公式求出海域ABCD 的面积；()2由题意建立平面直角坐标系，利用坐标求出点P 的位置，判断点P 是否在海域ABCD 内． 【详解】()π1AOB 3∠=，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD ，AB 100=AD BC 20∴==，OA OB AB 100===， OD OA AD 10020120∴=+=+=， ()()2222ABCDπ12200π3S πOD OA π120100(2π63∴=⋅-=-=平方海里)，()2由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P 在圆B 上，即22(x 100)y 7600-+=⋯①， 点P 也在圆A 上，即22(x 50)(y 503)1600-+-=⋯②； 由①②组成方程组，解得30303x y =⎧⎪⎨=⎪⎩903x y =⎧⎪⎨=⎪⎩又区域ABCD 内的点满足22x y 1000022x y 14400+≥⎧⎪+≤⎨⎪⎩，由2230(303)360010000+=<，∴点()30,303不在区域ABCD 内，由2290(503)1560014400+=>，∴点()90,503也不在区域ABCD 内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD ．【点睛】本题考查了圆的方程模型应用问题，是中档题．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>.（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为32，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围；（3）如图，过原点O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于P ，Q ，R ，S 四点，设原点O 到四边形PQRS 一边的距离为d ，试求1d =时a ，b 满足的条件.【答案】（1）2214x y +=；（2）32,,2⎛⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）22111a b +=. 【解析】（1）由题意可得22224a c e a abc =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得即可；（2）直线l 的方程为2y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．与椭圆方程联立，由△0>，解得k 的取值范围．可得根与系数的关系．若AOB ∠为锐角，则0OA OB >，把根与系数的关系代入又得到k 的取值范围，取其交集即可．（3）当P 在y 轴上，Q 在x 轴上时，直线PQ 的方程为1x y a b+=，由1d =得22111a b +=；当P 不在y 轴上时，设直线PS 的斜率为k ，()11,P x kx ，则直线RQ 的斜率为1k-，221,Q x x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用面积公式，即可得答案；【详解】解：（1）由题意可得222242a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b ==，，所以椭圆的标准方程为2214x y += （2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线l ：2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()221416120kx kx +++=. ∵2OP OQ ⋅=-，∴,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）又1221614k x x k-+=+，1221214x x k =+ 由0900AOB OA OB ︒<∠<︒⇔⋅>，∴12120OA OB x x y y ⋅=+> 所以()()()()212121212121222124OA OB x x y y x x kx kx k x x k x x ⋅=+=+++=++++∴22k -<<（2），综上由（1）（2）得2,22k ⎛⎛⎫∈--⋃⎪⎝⎭⎝⎭. （3）由椭圆的对称性可知PQSR 是菱形，原点O 到各边的距离相等.当P 在y 轴上，Q 在x 轴上时，直线PQ 的方程为1x y a b+=，由1d =得22111a b +=，当P 不在y 轴上时，设直线PS 的斜率为k ，()11,P x kx ，则直线RQ 的斜率为1k-，221,Q x x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭由22221y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222111k x a b =+（1），同理22222111x a k b =+（2） 在Rt OPQ △中，由1122d PQ OP OQ ⋅=⋅，即222PQ OP OQ =⋅ 所以()()22222222121112x x x x kx x kx x k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤-++=+⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 化简得22222211k k x x +=+，222222221111k k k ak b a b ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，即22111a b +=.综上，1d =时a ，b 满足条件22111a b+=. 【点睛】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、直线的点斜式、分类讨论思想方法等是解题的关键． 19．已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e=的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式； （2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围.【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e= 可知()a f x x '=，1y x e'=， 两图象在点(),P s t 处有相同的切线， 所以两个函数切线的斜率相等，即1as e s⨯=，化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =，综合上述两式可解得1a =， 所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+，()()22221m x x mx x g x x-+=-='+， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根， 由根与系数的关系知121x x =+，122mx x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<，()()2222111ln g x x m x x x -+=， 将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-，令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得t =当12t ⎛∈⎝时，()0h t '<，()h t在12⎛ ⎝单调递减；当t ⎫∈⎪⎭时，()0h t '>，()h t在⎫⎪⎭单调递增； 所以()min 11h t h ===， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.20．设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等差数列，（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭（2）13144323n n n n T -=--⋅⋅（i ）（ii ）(9,2)及(3,3).【解析】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，将已知条件用1,a d 表示，解方程组，即可求出n a ；令1111,,2,n n n n b S n b S S -==≥=-，得出{}n b 为等比数列，即可求出通项； （2）（i ）由题意121,,,,,n n n nn n b x x x b +成等差数列，求出nk x 的通项公式，进而求出1,3nnk n n k n x T ==∑就为数列{}3n n的前n 项和，利用错位相减法即可求解； （ii ）根据已知得出,m n 的函数关系，利用**,m N n N ∈∈，结合函数值的变化，即可求解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 则由条件369a a a +=，可得()()111258a d a d a d +++=+，1a d ∴=，又由25796a a a +=，可得()()()21114668a d a d a d +++=+， 将1a d =代入上式得254954d d d +=，24949d d ∴=01n d d a n ≠∴=∴=由423n n S b += ①当2n ≥时，11423n n S b --+= ②①-②得：14220n n n b b b -+-=11(2)3n n b b n -∴=≥又111142302b b b +=∴=≠ {}n b ∴是首项为12，公比为13的等比数列，故()1*1123n n b n N -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫∴==∈ ⎪⎝⎭（2）①在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,,n n nn x x x ，因为121,,,,,n n n nn n b x x x b +成等差数列，设公差为n d则11111112323(2)113(1)nn n n n n b b d n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-+-++， 则111233(1)n nk n n nkx b kd n -⎛⎫=+=-⎪+⎝⎭， 11111(1)233(1)23n nnk nn k n n nx n n -=+⎛⎫∴=⋅-⋅= ⎪+⎝⎭∑， 11212212211333n n n nn n nT x x x x x x ∴=+++++++=+++ ① 则231111133333n n n n n T +-=++⋯++ ② ①-②得：2111111332111111133333323313nn n n n nn n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++-=-=--⎪⎝⎭-， 13144323n n n n T -∴=--⋅⋅ ②若12m n ma T a +=，因为n a n =，所以m a m =， 则13111144323222n n n m m m -+--==+⋅⋅， 1111443232n n n m---=⋅⋅，从而3321432n n n m--=⋅， 故()23234623462323323323n n n n n n n n m n n n --++⋅+===+------， 当1n =时，*10232m N =+=-∉-， 当2n =时，*14292m N =+=∈， 当3n =时，*213m N =+=∈，下证4(*)n n N ≥∈时，有32346n n n -->+， 即证3690n n -->， 设()369(4)xf x x x =--≥，则4()3ln 3636360xxf x '=->-≥->，()f x ∴在[4,)+∞上单调递增，故4n ≥时，43693649480n n -->-⨯-=>即4601323n n n +<<--，从而4n ≥时，m 不是整数故所求的所有整数对为(9,2)及(3,3). 【点睛】本题考查等差数列的通项基本运算和前n 项和，考查由前n 项求等比数列的通项，考查错位相减法求前n 项和，以及不定方程的求解，考查计算、推理能力，属于较难题. 21．已知二阶矩阵M 有特征值14λ=及属于特征值4的一个特征向量123e ⎛⎫= ⎪⎝⎭并有特征值21λ=-及属于特征值1-的一个特征向量211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，11α-⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求矩阵M ； （2）求5M α.【答案】（1）1232M ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）511α-⎛⎫= ⎪⎝⎭M . 【解析】（1）利用矩阵的运算法则进行求解；（2）利用矩阵的乘法法则进行求解．【详解】 （1）设a b M c d ⎛⎫=⎪⎝⎭， 则22843312a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴2382312a b c d +=⎧⎨+=⎩①又()1111111a b c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴11a b c d -=-⎧⎨-=⎩② 由①②可得1a =，2b =，3c =，2d =，∴1232M ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）易知()210131α⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，∴()65111M αα-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，0απ≤≤）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l 的极坐标方程是6πθ=.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求OA OB ⋅的值. 【答案】（1）24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭；（2）1 【解析】（1）先将曲线C 的参数方程通过消去参数α得出其普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立射线l 与曲线C 的极坐标方程，得出121ρρ=，根据极坐标的定义即可求解OA OB ⋅的值. 【详解】（1）消去参数α得()()22230x y y -+=≥，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得22(cos 2)(sin )3ρθρθ-+=，即24cos 10ρρθ-+=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭.（2）将6πθ=代入24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭得210ρ-+=， 设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则121ρρ=，于是121OA OB ρρ⋅==. 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，以及对极坐标的定义的理解. 23．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征()MERS 和严重急性呼吸综合征()SARS 等较严重疾病. 而今年出现的新型冠状病毒()19COVID -是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株. 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等. 在较严重病例中感染可导致肺奖、严重急性呼吸综合征、贤衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性. 根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为()01p p <<，现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下三种方案: 方案一：逐个化验；方案二：四个样本混在一起化验； 方案三: 平均分成两组化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.（1）若14p =，求2个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率； （2）若14p =，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、 三中哪个最“优”?（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的取值范围.【答案】（1）716；（2）方案二最“优”，理由见解析；（3）0,12⎛- ⎝⎭. 【解析】（1）可求得2个疑似病例均为阴性的概率，再利用对立事件的概率公式可求得事件“2个疑似病例样本混合化验结果为阳性”的概率；（2）分别计算出方案一、二、三中将该4例疑似病例样本进行化验所需次数的数学期望，比较三种方案中检测次数的期望值大小，可得出最“优”方案；（3）求出方案二的数学期望，可得出关于p 的不等式，进而可求得实数p 的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，2个疑似病例均为阴性的概率为2191416⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此，该混合样本呈阳性的概率为9711616-=； （2）方案一：逐个检验，检验次数为4；方案二：混合在一起检测，记检测次数为X ，则随机变量X 的可能取值为1、5，()4181114256P X ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，()8117551256256P X ==-=， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，方案二的期望为()811752391525625664E X =⨯+⨯=； 方案三：由（1）知，每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1，概率为916；若呈阳性则检测次数为3，概率为716. 设方案三的检测次数为随机变量Y ，则Y 的可能取值为2、4、6，()2981216256P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭，()129712641616256P Y C ==⋅⋅=，()2749616256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭. 所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：所以，方案三的期望为()8112649152462562562564E Y =⨯+⨯+⨯=. 比较可得()()4E X E Y <<，故选择方案二最“优”；（3）方案二：记检测次数为X ，则随机变量X 的可能取值为1、5，()()411P X p ==-，()()4511P X p ==--，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为()()()()4441511541E X p p p ⎡⎤=-+⨯--=--⎣⎦，由于“方案二”比“方案一”更“优”，则()()45414E X p =--<，可得()4114p ->，即()2112p ->，解得012p <<-，故当012p <<-时，方案二比方案一更“优”. 【点睛】本题考查事件概率的计算，同时也考查了利用数学期望进行决策，考查计算能力，属于中等题.24．如图，已知点P 是x 轴下方（不含x 轴）一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ=，PE EB λ=，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M ．（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点，求证：若1l 和2l 的斜率都存在，则1l 与2l 的交点N 在直线PM 上；（3）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值．【答案】（1）230x y -+=；（2）详见解析；（3）证明详见解析，定值为1+λλ． 【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，得到211230x x --=和222230x x --=，即得,A B 的坐标，即得弦AB 所在的直线方程；（2）先求出1:690l x y --=，2:210l x y ++=，再求出交点(1,3)N -，即得证；（3）先求出直线PM 的方程为0x x =，得到200(12)(1)M x y y λλλ+-+=，20Q y x =，即得线段PQ 与QM 的比. 【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =，3PE EB =，可得111323(,)44x y D +-+，221323(,)44x y E +-+， 由D 点在C 上可得：2112313()44y x -++=，化简得：211230x x --=，同理可得：222230x x --=，∵A 、B 两点不同，不妨设(3,9)A ，(1,1)B -， ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=．（2）由（1）可知，(3,9)A ，(1,1)B -，设11:9(3)l y k x -=-，与2:C y x =联立，并令0∆=，可得16k =，同理2l 的斜率22k =-，∴1:690l x y --=，2:210l x y ++=，解方程组得交点(1,3)N -，而直线PM 的方程为1x =，得证．（3）设00(,)P x y ，211(,)A x x ，222(,)B x x ，由PD DA λ=，得20101(,)11x x y x D λλλλ++++，代入2yx ，化简得：22101002(1)0x x x y x λλλ-++-=， 同理可得：22202002(1)0x x x y x λλλ-++-=，显然12x x ≠，∴1x 、2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根，∴1202x x x +=，20012(1)y x x x λλ+-⋅=，∴1202M x x x x +==，即直线PM 的方程为0x x =， ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==，20Q y x =， ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=，200Q P y y x y -=-，所以线段PQ 与QM 的比为200200(1)(1)1Q PM Q y y x y y x y y λλλλλ-==+-+--+∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+．【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程的求法，考查抛物线的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.。