江苏省启东中学2018届高三上学期期中考试数学试题+扫描版含答案

江苏省启东市2018—2018学年度第一学期高三期中测试数 学 试 卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y ｜y ＝x 2＋2x ＋2,x ∈R }，集合N ＝{x ｜y ＝log 2（4－x ），y ∈R }，则集合M ∩N 为A ．（2,＋∞）B ．（－∞，3）C ．（1,3）D ．[)4,12．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于 A ．0B ．2C ．－2D ．2tan α3．平在向量a ＝（x,y ），b ＝（x 2, y 2），＝（1,1），＝（2,2），若·＝·＝1，则这样的向量有 A ．1个B ．2个C ．多个2个D ．不存在4．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 3＋a 7＋a 11为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 135．有容积相等的桶A 和桶B ，开始时桶A 中有a 升水，桶B 中无水，现把桶A 的水注入桶B ，t 分钟后，桶A 的水剩余y 1＝am t （升），其中m 为正常数，假设5分钟时，桶A 和桶B 的水相等，要使桶A 的水有16a升，必须再经过 A ．12分钟B ．13分钟C ．14分钟D ．15分钟6．函数y ＝x 21log 的定义域为［a , b ］，值域为［0,2］，则区间［a , b ］的长度为b －a 的最小值是 A ．3B ．43C ．2D ．237．已知圆C 关于y 轴对称，经过点（1,0），且被x 轴分成两段弧长之比为1:2，则圆C 的方程为 A ．34)33(22=+±y xB ．31)33(22=+±y x C ．34)33(222=+±+y y xD ．31)33(222=+±+y y x 8．设双曲线的左、右焦点为F 1、F 2，左、右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切民边F 1F 2的切点的位置是A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能9．若动点P 的横坐标为x ，纵坐标为y 使lg y 、lg ｜x ｜、lg 2xy -成公差不为零的等差数列，则点P 的轨迹图形是10．已知点F 1（－4,0）,F 2（4,0）,又P （x , y ）是曲线13||5||=+y x 上的，则 A ．｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝10 B ．｜PF 1｜＋｜PF 2｜<10 C ．｜PF 1｜＋｜PF 2｜≤10D ．｜PF 1｜＋｜PF 2｜≥10第Ⅱ卷（选择题 共100分）11．函数y ＝x2＋2x 在[－4,3]的最大值为________．12．在算式“1×□＋4×□=30”的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为________．13．已知两P （－1,1）,Q （2,2），若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 没有公共点．．．．．，则m 的取值范围是________．14．已知抛物线y 2＝4x ，过点p （4,0）的直线与抛物线相交于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）两点，则y 12＋y 22的最小值值是_______．15．已知函数f （x ）＝2sin x ，g （x ）＝sin （x -2π），直线x ＝m 与f （x ）、g （x ）的图象分别交于M 、N 点，则｜MN ｜的最大值是_______．16．设O 为坐标原点，A （2,0），P （x , y ）坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x ，则｜OP ｜cos ∠AOP的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点p （3,－1），若此圆过点p 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．18．（本题满分14分）已知二次函数y ＝f （x ）的图像与x 轴交于A ，B 两点，且｜AB ｜＝23,它在y 轴上的截距为4．又对任意的x 都有f （x ＋1）＝f （1－x ）．（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图像都在直线l : y ＝x ＋c 的下方，求c 的取值范围．19．（本题满分14分）已知n OP ＝（2n ,2n ），n ∈N ＋，O 为坐标原点．（1）设＝1OP ＋2OP ＋3OP ＋…＋n OP ，求P 的坐标； （2）求动点P n 的轨迹方程；（3）动点P n 的轨迹上有连续三点P n ，P n ＋1，P n ＋2，求△P n P n ＋1P n ＋2的面积S n ．20．（本题满分14分）如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面4 m ，已在水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点p 0）开始计算时间．（1）将点p 距离水面的高度z （m ）表示为时间t （s ）的函数； （2）点p 第一次到达最高点大约需要多少时间？21．（本题满分16分）已知函数 f （x ）＝a1+x （a ≠0）,对于定义域内任意x 1,x 2（x 1≠x 2），不等式)2(2)()(2121xx f x f x f +>+恒成立．（1）求a 的取值范围；（2）设函数f （x ）＝a 1+x （a≠0）图像上任意不同的三点A ，B ，C ，其横坐标成等差数列，试证明△ABC 是钝角三角形且不是等腰三角形．数学试题参考答案一、选择题1．D 2．A 3．A 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C 9．B 10．C 二、填空题11．15 12．10．5 13．m <31-或m >2114．32 15．5 16．5 三、解答题17．切点为p （3,－1）的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x －y ＝10…………3分∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称 …………7分 ∴两渐近线方程为3x ±y ＝0…………9分设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ，λ（λ≠0）． ∵点p （3,－1）在双曲线上，代入上式可得λ＝80∴所求的双曲线方程为8098022y x -＝1 …………12分18．（1）∵f （x ＋1）＝f （1－x ）又f （x ）为二次函数∴可设f （x ）＝a （x －1）2＋k ,（a ≠0）…………2分又当x ＝0时y ＝4 ∴a ＋k ＝4得f （x ）＝a （x －1）2－a ＋4 令f （x ）＝0得a （x －1）2＝a －4，∴｜AB ｜＝2aa 4- …………6分 ∵｜AB ｜＝23，∴a ＝－2即f （x ）＝－2（x －1）2＋6＝－2x 2＋4x ＋4…………8分解法二：令二次函数y ＝f （x ）的图像与x 轴交于A （x 1,0），B （x 2,0），……1分 则x 1＋x 2＝2，x 2－x 1＝23，得x 1＝1－3，x 2＝1＋3, …………3分 设二次函数f （x ）＝a ［x －（1－3）］［x －（1＋3）］ …………5分 又f （0）＝4得a ＝－2…………7分 则f （x ）＝－2（x －1）2＋6＝－2x 2＋4x ＋4…………8分（2）由条件知－2x 2＋4x ＋4<x ＋c…………10分 即2x 2－3x －4＋c >0对x ∈R 恒成立△＝9＋8（4－c ）>0…………12分使c >841 ∴c 的取值范围是（841，∞） …………14分19．（1）设P （x , y ）则x ＝2（1＋2＋3＋4＋…＋n ），y ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n 即所求P 的坐标为（n （n ＋1），2n ＋1－2）n ∈N ．（2）令P n （x n ，y n ）则⎩⎨⎧==nn n y n x 22 n ∈N ＋，消去n 得轨迹方程y －2x ＝0，x ∈N ＋且x 为偶数…………8分（3）如图，所求面积为22)232(2)22(22)22(412⨯⨯+--⨯--⨯++n n n n n n即S ＝6×2n －2n －4×2n ＝2n ，n ∈N ， …………14分20．（1）如图建立直角坐标系，设角φ)02(<<-φπ是以ox 为始边，op 0为终边的角，op每分钟内所转过的角为t 6)6025(ππ＝⨯，得z ＝4sin 2)6(++φπt 当t ＝0时，z ＝0,得sin φ＝－21，即φ＝6π…………8分故所求的函数关系式为z ＝4sin )66(ππ-t ＋2…………9分（2）令z ＝4sin )66(ππ-t ＋2＝6，得sin )66(ππ-t ＝1取266πππ=-t ，得t ＝4…………13分 故点P 第一次到达最高点大约需要4S…………14分21．（1）因为定义域[)∞-,1所以设－1≤x 1<x 2…………2分得x 1＋1≥0,x 2＋1>0,由基本不等式可得（x 1＋1）＋（x 2＋1）>2)1)(1(21++x x 即2［（x 1＋1）＋（x 2＋1）］>（x 1＋1）＋（x 2＋1）＋2)1)(1(21++x x可化为212122121+++>+x x x x …………6分又∵)2(2)()(2121x x f x f x f +>+即a （212121+++x x ）>a 1221++x x（2）证明：设A （x 1，a ），B （x 2，a 12+x ）,C （x3，a 13+x ），不妨令－1≤x 1<x 2<x 3，其中x 1，x 2，x 3成等差数列，则＝（x 1－x 2，a （11+x －12+x ）），＝（x 3－x 2，a （13+x －12+x ）） ·＝（x 1－x 2）（x 3－x 2）＋a 2［（11+x －12+x ）（13+x －12+x ）］ ∵－1≤x 1< x 2< x 3，∴11+x <12+x ，13+x >12+x 即BA ·BC <0，所以角B 为钝角，△ABC 是钝角三角形………12分若△ABC 是等腰三角形，则只有B Ａ＝BC ，｜｜＝｜｜ ｜｜2＝（x 1－x 2）2＋a 2（11+x －12+x ）2 ｜｜2＝（x 3－x 2）2＋a 2（13+x －12+x ）2 因为x 1，x 2，x 3成等差数列，所以x 1－x 2＝x 2－x 3，又a 2>0，从而得（11+x －12+x ）2＝（13+x －12+x ）2 ………14分 化简得x 1＝x 2，或x 22＝x 1·x 3 若x 1＝x 2，则与x 1<x 2矛盾，若x 22＝x 1·x 3，又2x 2＝x 1＋x 3，得x 1＝x 2＝x 3，也与－1≤x 1<x 2<x 3矛盾 故△ABC 不是等腰三角形综上所述，△ABC 是钝角三角形且不是等腰三角形．…………16分。

10．关于函数 f ( x) 4sin(2 x ) (x R) ，有下列命题： 3
（1） y
4
f(x
) 为偶函数，（ 2）要得到函数 g( x)
3
4sin 2 x 的图像，只需将 f (x) 的
图像向右平移 个单位，（ 3） y f (x) 的图像关于直线 x 3
对称。（ 4） y 12
[0, 2
] 内的增区间为
（1） 求 a1, a3, a5 , a7 ；
（2） 求数列 an 的前 2n 项和为 S2n ；
（3） 设 f (n)
1 sin n (
2 sin n
3) ， Tn
( 1)f (2) ( 1)f (3) ( 1) f (4)
( 1)f (n 1)
+
+
+…
，
a1a2
a3a4
a5a6
a2n 1a2 n
3
3( 1 m) ( m) 0 解得 m
……………………………………………… 9 分
4
（3）∠ C为直角，则 BC AC ，
15
(2 m)( 1 m) (1 m)( m) 0 , 解得 m
……………………………… 11 分
2
综上， m
7 或m
4
3
15
或m
………………………………………………
4
2
x3
5 [0,
] 和 [ 11
,2
] 。其中正确命题的序号为
12 12
f (x) 在
11．若 f（ x）是 R 上的减函数，且 f（ x）的图象经过点 A（ 0，3）和 B（ 3，－ 1），则不等
式|f（x+1）－ 1|＜ 2 的解集是 ___________________. 二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）

江苏省启东中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（ ）A ．（0，）B ．（，1）C ．（1，2）D ．（2，3）2． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I （A ∩B ）等于（ ） A ．{3，4} B ．{1，2，5，6} C ．{1，2，3，4，5，6} D ．∅3． 复数z=（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数=（ ）A ．﹣iB ．﹣﹣iC ． +iD ．﹣ +i4． 如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．5． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）A ．该几何体体积为B ．该几何体体积可能为C ．该几何体表面积应为+D ．该几何体唯一6． 设集合M={1，2}，N={a 2}，则“a=1”是“N ⊆M ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7． 若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线： 011=-+y x 和2l ：01=-+y x 上移动，则AB 中点M 所在直线方程为（ ）A ．06=--y xB ．06=++y xC ．06=+-y xD ．06=-+y x 8． 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）A ．21n a n n =-+B ．(1)2n n n a -=C ．(1)2n n n a += D ．21n a n =+ 9． 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ） A ．15 B ．16 C ．314 D ．1310．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.1110y -+=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．60D ．3012．已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ） A ．（0，4） B ．[0，4） C ．（0，5] D ．[0，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点； ③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点； ④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．14．幂函数1222)33)(+-+-=m m xm m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ． 15．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ▲ ．16．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其中为自然对数的底数）的解集为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。

江苏省启东中学2012届高三期中考试数学试题（选修）2011．11参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ ．2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一 张，则抽到的牌为红心的概率是 ▲ .5． 设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图 象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .6． 给出如下10个数据：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68．根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.566.5，）这组 所对应的矩形的高为 ▲ ．7． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等 式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．设x y >，xy λ=（λ为常数），且22x y x y +-的最小值为λ= ▲ .11．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅,, , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .12．已知正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ．13．设函数e x y =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .14．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , , 且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．16．(本小题满分14分)在如图所示的多面体中，11//AA BB ，11CC AC CC BC ⊥⊥，．（1）求证：1CC AB ⊥； （2）求证：11//CC AA ．17．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．1l2l DABC1l2lDABC（图甲）（图乙）BA1A1B1CC19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间． （1）已知1()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间； （2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．2012届高三年级期中考试 数学（选修历史）2011．11参考答案及评分细则一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1． 已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ ． 2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ .3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 ▲ .5． 设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图 象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .6． 给出如下10个数据：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68．根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.566.5，）这组所对应的矩形的高为 ▲ ．7． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等 式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲. 9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种） 10．设x y >，xy λ=（λ为常数），且22x y x y+-的最小值为λ= ▲ .11．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式： 2111S n n =+，322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .12．已知正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ．（锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）13．设函数e x y =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .14．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .【填空题答案】1. {}1 9，；2. ；3. 0 sin x x x ∀>>，；4. 35 ；；6. 15； 7. (01), ； 8. 8 361，； 9. 充分不必要； 10. 1 ；11. 14；； 13. 6- ； 14. )2⎡-⎣ . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , , 且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积． 【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()BC x y =, , ………………………2分因为//AD BC ，所以(4)x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分（2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++，，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， ………………6分因为AC BD ⊥， 所以(6)(2)x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分 当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162A B C D S A C B D =四边形 …………………12分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162A B C DS A C B D=四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)在如图所示的多面体中，11//AA BB ，11CC AC CC BC ⊥⊥，．（1）求证：1CC AB ⊥； （2）求证：11//CC AA ．【证】（1）因为1CC AC ⊥，1CC BC ⊥， 又AC BC C =I ，AC BC ⊆、平面ABC ，所以1CC ⊥平面ABC ， …………………………4分而AB ⊆平面ABC ， 所以1CC⊥； …………………………………………………………………………………6分（2）因为11//AA BB ，又1AA ⊄平面11BB C C ，1BB ⊆平面11BB C C ， 所以1//AA 平面11BB C C ， ………………………………………………………………………10分而1AA ⊆平面11ACC A ，平面11BB C C I 平面111ACC A CC =，BA1A1B1CC（第16题图）所以11//CC AA ． …………………………………………………………………………………14分17．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>， 化简得()sin ωπ+4 ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()minωπ3π+=44，即min ωπ=2，所以，T 的最大值为8． …………………………………………………………………………6分 （2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+ ()22222sin cos 2sin cos x x x x ωωωω=+-()212sin cos x x ωω=- 211sin 22x ω=-()11cos4122x ω-=-13cos 444x ω=+(0)ω>， (10)分因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos x f x π==+，所以3(1)f =．……………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin 60αα=-，………………………………………2分解得t a α=4分所以，养殖区的面积()()22231sin6091sin6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=； ………………6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈，，则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+，对菱形AB的边长“算两次”得()36sin 180θα=-+，……………………………………8分 1l2lDABC1l2lDABC（图甲）（图乙）解得s i ta 2cθαθ=+，……………………………………………………………………………10分 所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得 4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间． （1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间； （2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x =是[)0 +∞，上的正函数，且()f x =在[)0 +∞，上单调递增， 所以当[]x a b ∈，时，()() fa a fbb⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即a b =，，…………………………………………………3分 解得0 1a b ==，， 故函数()f x 的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分 （2）因为函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的减函数，所以当[] x a b ∈，时，()() g a bg b a⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22 a m b b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，…………………………………………………7分 两式相减得22a b b a -=-，即()1b a =-+， ……………………………………………………9分代入2a m b +=得210a a m +++=，由0a b <<，且()1b a =-+得112a -<<-， ……………………………………………………11分 故关于a 的方程210a a m +++=在区间()11 --，内有实数解，………………………………13分记()21h a a a m =+++，则()()10 10 2h h ->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()31 4m ∈--，． ……………………………………………………………16分20．(本小题满分16分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==．而且当2n ≥时，2n n a S +=， ①112n n a S --+=， ②①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥． 若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列． ………………………………………………4分【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数），当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数）， 而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ， 此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S 的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． ……………………………………16分。

江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期第二次月考高三数学试卷(Ⅰ)(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位 置上． 1．已知集合{}02A x x =<≤，集合{}12B x x =-<<，则=B A ▲ ．2．若复数2i (1i)(+i)(,),a b a b R +=+∈其中是虚数单位，则b = ▲ ．3．甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从甲、乙两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为 ▲ ．4．如图所示的流程图，是一个算法流程图,则输出的的值是 ▲ ．5．已知抛物线方程2y =，则抛物线的焦点坐标为 ▲ ． 6．已知函数2()log (21)f x x =-，则函数()f x 的定义域为 ▲ ．7．在△ABC 中， ABC ＝120 ，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点， 则 BD·BE 的值为 ▲ ．8. 已知实数,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为 ▲ ．9. 已知数列{}n a 是等比数列，若3578a a a =-，则155914a a a a +的最小值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2219x y m -=的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为 ▲ ．11．如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝1，BC ＝2，AC = BB1＝3，点D 为侧棱BB1 上的动点．当AD ＋DC1最小时， 三棱锥D －ABC1的体积为 ▲ ．12．若方程22sin sin 0x x m +-=在[)π2,0上有且只有两解，则实数m 的取值范围 ▲ ．13. 已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式λ=∙的点P 有两个，则实数λ的取值范围是 ▲ ．14．已知函数，，，⎩⎨⎧<+>=00ln )(2x x ax x x x f 其中0>a ，若函数()y f x =的图象上恰好有两对关于y 轴对称的点，则实数的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数Rx x x x f ∈-+=),6cos()3cos(2)(ππ.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若锐角A 满足21)(-=A f ，6π=C 且2c =，求ABC ∆的面积.16. (本题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点． 求证：(1)//AB 平面11A B C ； (2)平面1C CM ⊥平面11A B C ．17.（本题满分14分）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为（弧度）的扇形观景水池，其中(0,2)θπ∈，O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边(即：OB OA 、和所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元.(1)若总费用恰好为24万元，则当和分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积； (2)若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少？18．（本题满分16分）已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为，且上焦点为(0,1)F ，过F 的动直线与椭圆C 相交于M 、N 两点．设点(3,4)P ，记PM 、PN 的斜率分别为1k 和2k ．（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线的斜率等于1-，求12k k ⋅的值；（3）探索1211k k +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出1211k k +的取值范围．19．(本题满分16分) 已知数列{an}为等比数列，11,a = 公比为,1,q q ≠且 n S 为数列{an}的前n 项和.（1）若3520,a a +=求84S S ;（2）若调换123,,a a a 的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；（3）是否存在正常数,c q ，使得对任意正整数n ，不等式2nn S S c >-总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．20．(本题满分16分)已知函数()(2)e x f x a x =-，2()(1)g x x =-.(1)若曲线()y g x =的一条切线经过点(0,3)M -，求这条切线的方程. (2)若关于的方程()()f x g x =有两个不相等的实数根x1，x2。

江苏省启东中学2018-2018学年度第一学期期中考试数学试卷一．选择题1．下列运算中计算结果正确的是 （ ） A ．a 4·a 3= a 12 B ．a 6÷a 3= a 2 C ．（a 3 ）2= a 5 D ．a 3· b 3 =（a ·b ）3 2．集合S ={a ，b ，c }，S 的非空子集共有 （ ） A ．4个 B ．6个 C ．7个 D ．8个3．已知命题P 是Q 的逆命题，而R 是P 的逆否命题，则Q 是R 的 （ ） A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．以上均不对 4．函数)2)(2(-+=x x x y 的定义域是 （ ）A ．（－2，2）B ．（2，+∞）C ．（－2，0）∪（0，2）D ．（－∞，－2）∪（2，+∞） 5．函数)40(422≤≤--=x x x y 的值域为 （ ）A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[0，2]D ．[－2，0]6．设不等式|x －a |<b 的解集为{x |－4<x <2}，则a 与b 的值为 （ ）Ａ．a ＝１，b ＝３ Ｂ．a ＝－１，b ＝３ Ｃ．a ＝－１，b ＝－３ Ｄ．a ＝１，b ＝－３ 7．设f （x ），g （x ）都是单调函数，有如下四个命题： （1）若f （x ）单调增，g （x ）单调增，则f （x ）－g （x ）单调递增； （2）若f （x ）单调增，g （x ）单调减，则f （x ）－g （x ）单调递增； （3）若f （x ）单调减，g （x ）单调增，则f （x ）－g （x ）单调递减； （4）若f （x ）单调减，g （x ）单调减，则f （x ）－g （x ）单调递减。

其中正确的命题是 （ ） A ．（1）（2） B ．（1）（4） C ．（2）（3） D ．（2）（4）8．函数y =－x -1（x ≤1）的反函数是 （ ） A ．y =x 2－1（－1≤x ≤0） B ．y =x 2－1（0≤x ≤1） C ．y =1－x 2 （x ≤0） D ．y =1－x 2 （0≤x ≤1）9．函数y =x 2+bx +c （x ∈[0，+∞））是单调函数的充要条件是 （ ） A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b ＞0 D ．b ＜010．设集合M={x|x=412+k ，k ∈Z}，N ={x |x =214+k ，k ∈Z}，则 （ ） A ．M=N B ．M ⊂N C ．M ⊃N D ．M ∩N=φ11．已知集合A={x |a －1≤x ≤a +2}，B={x |3<x <5},则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围( ) A ．（3，4） B ．[3，4] C ．（3，4] D ．φ12．若f (x)和g(x )都是定义在实数集R 上的函数,且方程x －f [g (x )]=0有实数解,则g [f (x )]不可．．能．是 ( ) A ．x2+x －51 B ．x 2+x +51 C ．x 2－51 D ．x 2+51二．填空题13．不等式－x 2+2x －3<0的解集是 。

2018届江苏省南通市启东中学高三上期初数学试卷数学试题一、填空题1.已知集合223|}0{,A x x xx Z =<-∈﹣，集合{}|0B x x =>，则集合A B =I _____. 【答案】{}1,2 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】求解不等式2230x x --<可得：13x -<<， 结合题意可得：{}0,1,2A =， 利用交集的定义可得：{}1,2A B =I . 故答案为：{}1,2.【点睛】本题主要考查了集合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.从1,2,3,4,5共五个数字中,任取两个数字,取出数字之和为偶数的概率是_______ 【答案】25【解析】【详解】任取两个数字的可能为：25C 种，这个数为偶数的种数为：2232C C + ，结合古典概型公式可得，所求概率为：22322525C C p C +== . 3.函数()ln f x x x =-的单调递增区间为_______. 【答案】【解析】函数有意义，则：0x > ，且：()1'1f x x=- ，由()'0f x > 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为()0,1，故答案为()0,1.4.若函数R ，则m 的取值范围是 ；【答案】［0，4］ 【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一一一一恒成立，所以0{0m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.5.若()22lg x xf x a -=+是奇函数，则实数a =_____________．【答案】110【解析】试题分析：依题意可得()0022lg 1lg 0f a a -=+=+=,1lg 1,10a a ∴=-∴=． 考点：奇函数．6.已知cos()63πθ-=，则25cos()sin ()66ππθθ+--=__________．【答案】23-- 【解析】由题意可知25ππcos θsin θ66⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=πcos θ6⎛⎫-- ⎪⎝⎭+2π cos θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭-1=23，填23-． 7.若直线y kx =与函数2xy e =的图像内相切，则实数k 的值为__________． 【答案】2e 【解析】设切点为(x 0,y 0)，则002xy e =一 一y ′=(2e x )′=2e x ，∴切线斜率02x k e =一 又点(x 0,y 0)在直线上，代入方程得y 0=kx 0一 即00022x x ex e =⨯一解得x 0=1一 一k =2e .点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.8.已知()1122sin 22x x x xxf x +--++=+的最大值和最小值分别是M 和m ，则M m +=_____. 【答案】4 【解析】 【分析】首先将函数整理化简得sin ()222x x x f x -=++，设()sin 22x xxg x -=+，判断函数()g x 为奇函数，从而可得()g x 的最大值与最小值，且互为相反，进而可求出()f x 的最大值与最小值之和.【详解】()11222sin 22sin sin ()2222222x x x x x x x x x xx x x f x -+----++++===++++， 设()sin 22x xxg x -=+，则()()sin 22xxxg x g x --=-=-+， 即()g x 为奇函数， 可设()g x 最大值为t ，则最小值为t -，可得2M t =+，2m t =-+， 即有4M m +=. 故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的奇偶性应用，考查了分析能力与计算能力，属于基础题.9.设实数1,1a b >>，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的_________条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空） 【答案】充要 【解析】试题分析:设函数,因为,所以函数是上的单调递减的函数,故当时,,即,也即ln ln a b a b ->-,所以“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的充分条件；反之,若ln ln a b a b ->-,即,则,而以函数是上的单调递减函数,故,即“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的必要条件.故应填答案充要.考点：充分必要条件的判定．【易错点晴】充分必要条件是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查充分必要条件的判定和对数函数等有关知识的灵活运用.求解时先依据充分必要条件判定方法和定义构造函数,运用导数的知识得到函数是上的单调递减函数,然后分别推断条件其充分性和必要性,从而将问题进行等价转化,从而使得问题巧妙获解. 10.设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则()1f '＝__________． 【答案】2 【解析】试题分析：令x t e =，()ln (0)f t t t t =+>，所以()ln ,(0)f x x x x =+>，1()1+f x x='，()12f '=，所以答案应填：2． 考点：导数的运算．11.已知O 是ABC ∆外接圆的圆心，若4560OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则cosC =__________．【答案】4【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，所以456OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r，则2222162540cos 36R R R AOB R ++∠=，即8cos 1AOB ∠=-，即28(2cos 1)1C -=-，解得cos 4C =. 12.二次函数()f x 满足()()33f x f x -=+，又()f x 是[]03，上的增函数，且()()0f a f ≥，那么实数a 的取值范围是____________一 【答案】[]06，【解析】二次函数()f x 满足()()33f x f x -=+得函数的对称轴为3，又()f x 是[]03，上的增函数，所以函数是开口向下得二次函数，因为()()0f a f ≥，又(0)(6)f f =，所以[0,6]a ∈一故答案为[]0,6.13.已知函数()xf x e =，将函数()f x 的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数()g x 的图象，函数6(1)2,5()42,5xe x x h x e x --+≤⎧=⎨+>⎩，若对任意的[3,]x λ∈一3λ>），都有()()h x g x ≥，则实数λ的最大值为__________． 【答案】9ln 22+ 【解析】由()xf x e =的图象向右平移3个单位后得到3x e -再向上平移2个单位，可得()32x eg x -+=当[]3,x λ∈（3λ>）时，()g x 为增函数， ()()32max g x g e λλ-∴==+函数()()612,542,5xe x x h x ex -⎧-+≤=⎨+>⎩当[]3,5x ∈时，()()12h x e x =-+是增函数，此时53λ≥> ()()322min h x h e ==+则3222e e λ-+≤+ 解得24ln λ≤+53λ≥>Q∴实数λ的最大值为24ln +当()5x ∈-∞，时，()642xh x e -=+是减函数，此时5λ<()2?42h x e ∴<<+则322e λ-+≤ 解得λ∈∅综上可得：实数λ的最大值为24ln +点睛：本题中根据()f x 平移后求解()g x ，从而得到了[]3,x λ∈（3λ>）时，()g x 为增函数，()g λ为最大值，()()612,542,5xe x x h x ex -⎧-+≤=⎨+>⎩，对于任意的[]3,5x ∈和5λ<进行讨论()h x 的最小值，根据()()min max h x g x ≥，即可求得实数λ的最大值．14.已知函数()()sin coscos 262x x f x A x πθ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭（其中A 为常数，(),0θπ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<；②312x x π-<；③()()()123f x f x f x ==，则θ的值为 . 【答案】23π- 【解析】试题分析：因为()()()13sin coscos sin sin 26223x x f x A x A x x ππθθ⎛⎫⎛⎫=+--=+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当()1sin sin 023A x x πθ⎛⎫+-+≠ ⎪⎝⎭时，()y f x =的周期为2π，由123x x x <<及()()()123f x f x f x ==得312x x π-≥与312x x π-<矛盾，所以()1sin sin 023A x x πθ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为(),0θπ∈-，故23πθ=-考点：三角函数的图像和性质【名师点睛】本题考查三角函数的图像和性质，属中档题.解题的关键在于正确化简已知函数解析式，正确理解已知条件在解题中的作用，对学生思维有较高要求二、计算题15.已知命题[]2:2,4,220p x x x a ∀∈--≤恒成立，命题()2:1q f x x ax =-+在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(][),14,-∞⋃+∞． 【解析】试题分析：根据函数恒成立问题，求出p 为真时的a 的范围，根据二次函数的性质求出q 为真时的a 的范围，从而判断出p 、q 一真一假时的a 的范围即可,最后求两范围的并集即可． 试题解析：若p 为真命题，则4a ≥，若q 为真命题，则1a ≤由题意知p 、q 一真一假，当p 真q 假时，4a ≥；当p 假q 真时，1a ≤， 所以a 的取值范围为(][),14,-∞⋃+∞． 考点：复合命题的真假．16.设事件A 表示“关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实根”，其中a ，b 为实常数.（Ⅰ）若a 为区间[0，5]上的整数值随机数，b 为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）若a 为区间[0，5]上的均匀随机数，b 为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）23;（Ⅱ）35. 【解析】 试题分析：(1)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得满足题意的概率值为23一 (2)利用题意画出概率空间，结合几何概型公式可得满足题意的概率值为35.试题解析：（Ⅰ）当a ∈{0，1，2，3，4，5}，b ∈{0，1，2}时，共可以产生6×3=18个一元二次方程. 若事件A 发生，则a 2－4b 2≥0，即|a |≥2|b |. 又a ≥0， b ≥0，所以a ≥2b .从而数对（a ，b ）的取值为（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12组值.所以P （A ）=122183=. （Ⅱ）据题意，试验的全部结果所构成的区域为D={(a ，b)|0≤a ≤5，0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为A={(a ，b)|0≤a ≤5，0≤b ≤2，a ≥2b }. 在平面直角坐标系中画出区域A 、D ，如图，其中区域D 为矩形，其面积S （D ）=5×2=10，区域A 为直角梯形，其面积S （A ）=15262+⨯=. 所以P （A ）=()()63105S A S D ==. 17.已知(cos ,sin )a αα=v，(cos ,sin )b ββ=v ，0βαπ<<<.（1）若a b -=vv a b ⊥v v ；（2）设(0,1)c =v ，若a b c +=v v v ，求,αβ的值.【答案】（1）证明略；（2）56πα=，6πβ=． 【解析】试题分析：（1）把a b -=r r 2222a a b b -⋅+=r r r r ，由于22221a b a b ====r r r r ，所以0a b ⋅=r r .从而证得a b ⊥rr；（2）由a b c +=rrr可得cos cos 0{sin sin 1αβαβ+=+=，由0βαπ<<<得0αβπ<-<，整理得1sin sin 2αβ==，结合范围即可求得,αβ的值. 试题解析：（1）证明：由题意得22a b -=r r ，即()22222a b a a b b -=-⋅+=rr r r r r ，又因22221a b a b ====r r r r所以222a b -⋅=r r ，即0a b ⋅=rr .故a b ⊥rr. （2）因()()cos cos ,sin sin 0,1a b αβαβ+=++=rr ，所以cos cos 0{sin sin 1αβαβ+=+= 由此得cos cos()απβ=-，由0βπ<<得0αβπ<-<，又0απ<<故απβ=-代入1sin sin 2αβ==，而αβ>，所以5,66ππαβ==. 考点：平面向量垂直关系的证明及已知三角函数值求角.18.已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数． (1)求()f x 的表达式；(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+．【答案】（1）()2x f x =（2）见证明；（3）1{|2}2x x -<<- 【解析】 【分析】(1)根据指数函数定义得到，2331a a -+=检验得到答案. (2) ()22x x F x -=-，判断(),()F x F x -关系得到答案. (3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）∵函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，0a >且1a ≠， ∴2331a a -+=，可得2a =或1a =（舍去），∴()2x f x =； （2）由（1）得()22xxF x -=-， ∴()22xx F x --=-，∴()()F x F x -=-，∴()F x 是奇函数；（3）不等式：22log (1)log (2)x x ->+，以2为底单调递增， 即120x x ->+>， ∴122x -<<-，解集为1{|2}2x x -<<-． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.19.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45︒方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则曲线符合函数9)y x x =+剟模型，设PM x =，修建两条道路PM ，PN 的总造价为()f x 万元，题中所涉及的长度单位均为百米． （1）求()f x 解析式；（2）当x 为多少时，总造价()f x 最低？并求出最低造价．【答案】（1）232()5()(19)f x x x x =+剟；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元． 【解析】 【分析】（1）求出P 的坐标，直线OB 的方程，点P 到直线0x y -=的距离，即可求()f x 解析式； （2）利用导数的方法最低造价．【详解】解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为9)y x x =+剟， 所以点P坐标为(,x x ， 直线OB 的方程为0x y -=， 则点P 到直线0x y -=2|(||4x x x -=， 又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米． 则两条道路总造价为22432()5405()(19)f x x x x x x =+=+g 剟． （2）因为22432()5405()(19)f x x x x x x=+=+g 剟， 所以333645(64)()5(1)x f x x x-'=-=， 令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为232(4)5(4)304f =+=． 答：（1）两条道路PM ，PN 总造价()f x 为232()5()(19)f x x x x=+剟； （2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．的20.已知0,1a a >≠，函数()()21,ln x f x a g x x x a =-=-+. （1）若1a >，证明：函数()()()h x f x g x =-在区间()0,∞+上是单调增函数；（2）求函数()()()h x f x g x =-在区间[]1,1-上的最大值；（3）若函数()F x 的图像过原点，且()F x 的导数()()F x g x '=，当103a e >时，函数()F x 过点(1,)A m 的切线至少有2条，求实数m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）当1a >时,最大值为()11ln h a a-=+；当01a <<时,最大值为()11ln h a a-=+（3）43 【解析】【分析】（1）由题()()()21ln x h x f x g x a x x a =-=-+-,利用导函数求单调区间即可； （2）利用导数可以推导得到()h x 在区间[)1,0-上是减函数,在区间(]0,1上是增函数,则当11x -≤≤时,()h x 的最大值为()1h -和()1h 中的最大值,作差可得()()()1111ln ln 2ln h h a a a a a a a ⎛⎫--=--+=-- ⎪⎝⎭,设()12ln ,0G a a a a a =-->,再次利用导数推导()G a 的单调性,进而得到[]1,1-上的最大值；（3）由题可得()3211ln 32F x x x a =-+,设切点为3200011,ln 32B x x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则B 处的切线方程为：()()3220000011ln ln 32y x x a x x a x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭,将(1,)A m 代入可得32000211ln ln 32m x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,则将原命题等价为关于0x 的方程至少有2个不同的解,设()32211ln ln 32x x a x x a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,进而利用导函数判断()x ϕ的单调性,从而求解即可【详解】（1）证明：()()()21ln x h x f x g x a x x a =-=-+-,则()()1ln 2x h x a a x '=-+, 1,a >∴Q 当0x >时,10,ln 0x a a ->>,∴()0h x '>,即此时函数()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数.（2）由（1）知,当1a >时,函数()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数,当0x <时,10x a -<,则()1ln 0x a a -<,()0h x '∴<,则()h x 在区间(),0-∞上是单调减函数； 同理,当01a <<时,()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数,在区间(),0-∞上是单调减函数；即当0a >,且1a ≠时,()h x 在区间[)1,0-上是减函数,在区间(]0,1上是增函数,则当11x -≤≤时,()h x 的最大值为()1h -和()1h 中的最大值，()()()1111ln ln 2ln h h a a a a a a a ⎛⎫--=--+=-- ⎪⎝⎭Q , ∴令()12ln ,0G a a a a a=-->, 则()22121110G a a a a ⎛⎫'=+-=-≥ ⎪⎝⎭, ∴()12ln G a a a a=--在()0,∞+上为增函数, ()1112ln10G =--=Q ,∴当1a >时,()0G a >,即()()11h h >-,此时最大值为()1ln h a a =-；当01a <<时,()0G a <,即()()11h h ->,此时最大值为()11ln h a a-=+. （3）Q ()()2g ln F x x x x a '==-+, ∴()3211ln 32F x x x a c =-++, Q ()F x 的图像过原点,()00F ∴=,即0c =,则()3211ln 32F x x x a =-+, 设切点为3200011,ln 32B x x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则B 处的切线方程为：()()3220000011ln ln 32y x x a x x a x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭,将(1,)A m 代入得()()3220000011ln x ln 132m x x a x a x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭, 即32000211ln ln 32m x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（※）, 则原命题等价为关于0x 的方程（※）至少有2个不同的解,设()32211ln ln 32x x a x x a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭, 则()()()()222ln ln 12ln x x a x a x x a ϕ'=-++=--,令()0x ϕ'=,12ln 1,2a x x ∴==, 103ln 5,123a a e >∴>>Q , 当(),1x ∈-∞和ln ,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭时,()0x ϕ'>,此时函数()x ϕ为增函数； 当ln 1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0x ϕ'<,此时函数()x ϕ减函数, ∴()x ϕ的极大值为()211111ln ln ln 3223a a a ϕ=--+=-, ()x ϕ的极小值为322321111111ln ln ln 1ln ln ln ln 212422244a a a a a a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设ln t a =,则103t >,则原命题等价为321111ln ln ln 24423a a m a ≤≤-+-,即32111124423t m t t ≤≤-+-对103t >恒成立, ∴由1123m t ≤-得43m ≤ 设()3211244s t t t =-+,则()2111118224s t t t t t ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭, 令()0s t '=,则10t =,24t =,当10,43t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0s t '>；当()4t ,∈+∞时,()0s t '<, ,即()s t 在10,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()4,+∞上单调递减, ()s t ∴的最大值为()443s =,∴43m ≥, 故43m =, 综上所述,当103a e >时,函数()F x 过点()1,A m 的切线至少有2条,此时实数m 的值为43【点睛】本题考查利用导函数证明函数的单调性,考查利用导函数求最值,考查导数的几何意义的应用,考查运算能力,考查分类讨论思想和转化思想.。

启东中学2018－2019学年度第二学期期中考试高二化学试卷注意事项：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共120分。

考试时间100分钟。

2．将选择题的答案填涂在答题卡的对应位置上，非选择题的答案写在答题卡的指定栏目内。

可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 O—16 Mg—24 Al—27选择题 (50分)单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．下列说法中正确的是( )A．在气体单质分子中，一定含有σ键，可能含有π键B．烯烃比烷烃的化学性质活泼是由于烷烃中只含σ键，而烯烃含有π键C．等电子体结构相似，化学性质相同D．共价键的方向性决定了苯分子空间构型和分子组成C6H62．下列有机物命名正确的是( )3．下列现象与氢键有关的是( )①NH3的熔、沸点比第ⅤA族其他元素氢化物的熔、沸点高②碳原子数较少的醇、羧酸可以和水以任意比互溶③常温下H2O为液态，而H2S为气态④水分子高温下也很稳定A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①4．下列关于A Z X和A＋1Z X＋两种粒子的叙述正确的是( )A．质子数一定相同，质量数、中子数一定不同B．因为是同一种元素的粒子，化学性质一定相同C．一定都由质子、中子和电子构成D．核电荷数和核外电子数一定相同5．为了提纯下表所列物质(括号内为杂质)，有关除杂试剂和分离方法的选择均正确的是( )6①晶体中原子呈周期性有序排列，有自范性；而非晶体中原子排列相对无序，无自范性②含有金属阳离子的晶体一定是离子晶体③共价键可决定分子晶体的熔、沸点④MgO的晶格能远比NaCl大，这是因为前者离子所带的电荷数多，离子半径小⑤晶胞是晶体结构的基本单元，晶体内部的微粒按一定规律作周期性重复排列⑥晶体尽可能采取紧密堆积方式，以使其变得比较稳定⑦干冰晶体中，一个CO2分子周围有8个CO2分子紧邻A．①②③ B．②③④ C．④⑤⑥ D．②③⑦7．下列说法正确的是( )A．分子式为C4H10O的醇，能在铜催化和加热条件下被氧气氧化为醛的同分异构体共有4种B．2­氯丁烷与NaOH乙醇溶液共热的反应产物中一定不存在同分异构体C．3­甲基­3­乙基戊烷的一氯代物有5种D．分子式为C7H8O的有机物，能与氯化铁溶液发生显色反应的同分异构体共有3种8．某有机物的结构简式为。

江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期第二次月考高三数学试卷(Ⅰ)(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位 置上． 1．已知集合{}02A x x =<≤，集合{}12B x x =-<<，则=B A Y ▲ ．2．若复数2i (1i)(+i)(,),a b a b R +=+∈其中是虚数单位，则b = ▲ ． 3．甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从甲、乙两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为 ▲ ．4．如图所示的流程图，是一个算法流程图,则输出的的值是 ▲ ．5．已知抛物线方程242y x =，则抛物线的焦点坐标为 ▲ ． 6．已知函数22()log (21)x f x x -=-，则函数()f x 的定义域为 ▲ ．7．在△ABC 中，ABC ＝120，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点， 则BD·BE 的值为 ▲ ．8. 已知实数,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为 ▲ ．9. 已知数列{}n a 是等比数列，若3578a a a =-，则155914a a a a +的最小值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2219x y m -=的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为 ▲ ．11．如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝1，BC ＝2，7AC = BB1＝3，点D 为侧棱BB1 上的动点．当AD ＋DC1最小时， 三棱锥D －ABC1的体积为 ▲ ．12．若方程22sin sin 0x x m +-=在[)π2,0上有且只有两解，则实数m 的取值范围 ▲ ． 13. 已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式λ=•PB PA 的点P 有两个，则实数λ的取值范围是 ▲ ．A CBA1B1 C1D（第11题图）开始0←n2n n ←+202>n输出n 结束 （第4题）NY14．已知函数，，，⎩⎨⎧<+>=00ln )(2x x ax x x x f 其中0>a ，若函数()y f x =的图象上恰好有两对关于y 轴对称的点，则实数的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数R x x x x f ∈-+=),6cos()3cos(2)(ππ.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若锐角A 满足21)(-=A f ，6π=C 且2c =，求ABC ∆的面积.16. (本题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点． 求证：(1)//AB 平面11A B C ； (2)平面1C CM ⊥平面11A B C ．17.（本题满分14分） 园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为（弧度）的扇形观景水池，其中(0,2)θπ∈，O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边(即：OB OA 、和所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元.(1)若总费用恰好为24万元，则当和分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积； (2)若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少？ABCA1B1C1M（第16题）18．（本题满分16分）已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为，且上焦点为(0,1)F ，过F 的动直线与椭圆C 相交于M 、N 两点．设点(3,4)P ，记PM 、PN 的斜率分别为1k 和2k ．（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线的斜率等于1-，求12k k ⋅的值；（3）探索1211k k +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出1211k k +的取值范围．19．(本题满分16分) 已知数列{an}为等比数列，11,a = 公比为,1,q q ≠且nS 为数列{an}的前n 项和.（1）若3520,a a +=求84S S ;（2）若调换123,,a a a 的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；（3）是否存在正常数,c q ，使得对任意正整数n ，不等式2nn S S c >-总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．20．(本题满分16分)已知函数()(2)e x f x a x =-，2()(1)g x x =-.(1)若曲线()y g x =的一条切线经过点(0,3)M -，求这条切线的方程. (2)若关于的方程()()f x g x =有两个不相等的实数根x1，x2。

江苏省启东中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 函数f （x ）＝kx ＋bx ＋1，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．42． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）A.4πB.C. 5πD. 2π+【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．3． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A 1CA B A.直线 B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 4． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 5． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．2 6． 已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：04422222=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）.A ．),3[]1,2(+∞--B ．),3()1,35(+∞-- C ．),3[]1,35[+∞-- D ．),3()1,2(+∞-- 7． 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1C D8． 过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2218-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．23y x =【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．9． 如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个 圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．π1B ．π21 C ．π121- D ．π2141- 【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．10．ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，OA AB AC ++为零向量，且||||OA AB =，则CA 在BC 方向上的投影为（ ）A ．-3 B． C ．3 D11．已知命题:()(0x p f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44q x ππ∀∈，sin cos x x >.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧ 12．已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三 项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为（ ） A ．9 B ．8 C.7 D ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.14．当0,1x ∈（）时，函数()e 1xf x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．15．圆心在原点且与直线2x y +=相切的圆的方程为_____ .【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.16．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为（ ） A ．1 B ．±1C D ．DABCO【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．三、解答题（本大共6小题，共70分。

4．已知函数 f（x）=
的定义域是一切实数，则 m 的取值范围是
二.计算题 15．已知命题 p：∀x∈[2，4]，x22x2a≤0 恒成立，命题 q：f（x）=x2ax+1 在
区间 值范围．
上是增函数．若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数 a 的取
16．设事件 A 表示“关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b2=0 有实根”，其中 a，b 为实
（1）求 f（x）的表达式；
（2）判断 F（x）=f（x）f（x）的奇偶性，并加以证明
（3）解不等式：loga（1x）＞loga（x+2） 19．如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东 45°方向的一条公路，某风
景区的一段边界为曲线 C．为方便游客光，拟过曲线 C 上的某点分别修建与公
率为 ． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【分析】根据题意，用列举法求出从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中任取 2 个数 字的情况数目，分析其中 2 个数字之和为偶数的情况数目，由古典概型公式计 算可得答案． 【解答】解：从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中任取 2 个数字，有 1、2，1、3，1、4，1、5，2、3，2、4，2、5，3、4，3、5，4、5；共 10 种 情况． 其中 2 个数字之和为偶数即取出的两个数均为奇数或偶数的情况有： 1、3，1、5，3、5，2、4，共 4 种情况；
常数．
（Ⅰ）若 a 为区间[0，5]上的整数值随机数，b 为区间[0，2]上的整数值随机
数，求事件 A 发生的概率；
（Ⅱ）若 a 为区间[0，5]上的均匀随机数，b 为区间[0，2]上的均匀随机数，
求事件 A 发生的概率．
17．已知向量

江苏省启东中学2018届高三期中考试数学试题Ⅱ（选修）附加题部分21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B , ，AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、、 、 四点共圆． B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n , 的值．C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O ,，()P π ，求以OP 为直径的圆的极坐标方程． D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>，若棱1C C 上存在点P满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．PCD1A 1B 1C 1D M PABO CD（第21—A 题）23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，， 的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的 个数，求n B ．数学Ⅱ（选修物理）附加题部分 参考答案及评分细则21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、、 、 四点共圆． 【证明】因为PA ，PB 为圆O 的两条切线，所以OP 垂直平分弦AB ， 在Rt OAP∆中，2OM MP AM ⋅=， …………………………4分在圆O 中，AM BM CM DM ⋅=⋅， 所以，M PABO CD（第21—A 题）OM MP CM DM ⋅=⋅， …………………………8分又弦CD 不过圆心O ，所以O C P D , , , 四点共圆． ………………………10分B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n , 的值．【解】由题意得0110000002011mn m n⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , …………………………6分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩,, ,,所以12m n =⎧⎨=⎩,.…………………………10分 C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π ，求以OP 为直径的圆的极坐标方程． 【解】设点()Q ρθ, 为以OP 为直径的圆上任意一点，在Rt OQP ∆中，()4ρθπ=-，故所求圆的极坐标方程为()2c o s 4ρθπ=-． …………………………10分D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【证明】由2123a ab b --++=得()2113ab a b --=+-， …………………………3分PA BCD1A 1B 1C1D （第22题图）（第22题图）y又正实数a ，b 满足1a b -+≥即1ab -≤()214a b -+，（当且仅当a b =时取“=”） …………………………6分所以()213a b-+-≤()214a b -+，即证1a b -+≤2． …………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．【解】如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD , , 分别为x y z , , 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()000D , , ，()110B , , ，()110A λ, , ， 设()01P x , , ，其中[]0x λ∈, ， …………………………3分 因为1A P ⊥平面PBD ，所以10A P BP ⋅=，即()()11100x x λ--⋅-=, , , , ， …………………………化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈, ， …………………………故判别式24λ∆=-≥0，且0λ>，解得λ≥2． …………………………10分23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=， 所以，2222nn n A =⨯⨯个相乘； …………………………4分 （2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-， 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,, ， 不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）； 同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， …………………………6分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0， 所以，12C 2n nn nnB --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+…………………………8分 11222(2+C 2C 2C )22n n n nn n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ 2(12)22n n =+-⨯2(32)n n =-． …………………………10分。

江苏省启东中学2018届高三期中考试数学试题Ⅰ（选修）2018．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图 象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011x x <()a ⊆-∞,，则整数a 的最小值为 ▲ . 8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅,, , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e x y =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤ {}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , , 且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（第11题图）（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+． （1）求sin b B c的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．1l2lDABC1l2lDABC（图甲）（图乙）19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间． （1）已知1()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间； （2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．2018届高三年级期中考试 数学Ⅰ（选修物理）2018．11参考答案及评分建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1． 已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()f x =式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a = ▲.7． 若集合{}22011x x <()a ⊆-∞,，则整数a 8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、372、327、354、361、345、337，则打印出的第59． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+= （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .（第11题图）12．已知函数e x y =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .【填空题答案】1. {}1 9，；2. ；3. 0 sin x x x ∀>>，； 4. ； 5. (01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 14；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡-⎣ ； 14. 1 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , , 且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积． 【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()BC x y =, , ………………………2分因为//AD BC ，所以(4)x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分（2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++，，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， ………………6分因为AC BD ⊥， 所以(6)(2)x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分 当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162A B C D S A C B D =四边形 …………………12分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162A B C DS A C B D=四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>， 化简得()sin ωπ+4 ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()minωπ3π+=44，即min ωπ=，所以，T 的最大值为8．…………………………………………………………………………6分（2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+ ()22222sin cos 2sin cos x x x x ωωωω=+-()212sin cos x x ωω=- 211sin 22x ω=-()11cos4122x ω-=-13cos 444x ω=+(0)ω>， (10)分因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos 424x f x π==+，所以3(1)4f =．……………………………………………………14分17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+． （1）求sin b B c的值； （2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．【解】（1）由222b ac bc =-+得2221cos 22b c a A bc +-==， 在△ABC 中，A π=3， ……………………………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a B c c =，由正弦定理得sin sin a B A =， 所以，s i n b B c ………………………………………………………………………………7分（2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知 不失一般性，可设1c =， 则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=，所以1b =，1a =，即证．…………………………………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-，………………………………………1l2l DABC1l2lDABC（图甲）（图乙）2分解得t a α=4分所以，养殖区的面积()()22231sin6091sin6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=； ………………6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈，，则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+，对菱形AB的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+，……………………………………8分 解得s i ta 2cθαθ=+，……………………………………………………………………………10分 所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得 4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间． （1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间； （2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x=是[)0+∞，上的正函数，且()f x=在[)0+∞，上单调递增，所以当[]x a b∈，时，()()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即ab=，，…………………………………………………3分解得01a b==，，故函数()f x的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分（2）因为函数2()g x x m=+是() 0-∞，上的减函数，所以当[]x a b∈，时，()()g a bg b a⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22a m bb m a⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，…………………………………………………7分两式相减得22a b b a-=-，即()1b a=-+，……………………………………………………9分代入2a m b+=得210a a m+++=，由0a b<<，且()1b a=-+得112a-<<-，……………………………………………………11分故关于a的方程210a a m+++=在区间()11--，内有实数解，………………………………13分记()21h a a a m=+++，则()()10102hh->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()314m∈--，．……………………………………………………………16分20．(本小题满分146分)设()kf n为关于n的k()k∈N次多项式．数列{a n}的首项11a=，前n项和为nS．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥． 若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列． ………………………………………………4分【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数）， 而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ， 此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． ……………………………………16分。

启东市高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 若集合A={x|﹣2＜x ＜1}，B={x|0＜x ＜2}，则集合A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1＜x ＜1} B ．{x|﹣2＜x ＜1} C ．{x|﹣2＜x ＜2} D ．{x|0＜x ＜1}2． 若函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称，且当12172123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）ABD3． 设i是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z =2（+i ），则z=（ ）A ．﹣1﹣iB ．1+iC ．﹣1+iD ．1﹣i4． “a ＞0”是“方程y 2=ax 表示的曲线为抛物线”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5． 如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A． B． C． D．6．设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k 的值等于（ ）A．﹣ B．﹣ C． D．7． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．08． 已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ） A ．14 B ．12C ．D ． 9． 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．α∥β，l ⊂α，n ⊂β⇒l ∥n B ．α∥β，l ⊂α⇒l ⊥β C ．l ⊥n ，m ⊥n ⇒l ∥m D ．l ⊥α，l ∥β⇒α⊥β10．曲线y=e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A． e 2 B ．2e 2 C ．e 2D． e 2班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________11．已知命题p ；对任意x ∈R ，2x 2﹣2x+1≤0；命题q ：存在x ∈R ，sinx+cosx=，则下列判断：①p 且q是真命题；②p 或q 是真命题；③q 是假命题；④¬p 是真命题，其中正确的是（ ） A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④12．过点（0，﹣2）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•=24，则△ABC 的面积是 ．14．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．15．下列函数中，①；②y=；③y=log 2x+log x 2（x ＞0且x ≠1）；④y=3x +3﹣x ；⑤；⑥；⑦y=log 2x 2+2最小值为2的函数是 （只填序号）16．函数f （x ）=x 2e x 在区间（a ，a+1）上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ．17．已知集合M={x||x|≤2，x ∈R}，N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}，那么M ∩N= ．18．设向量=（1，﹣3），=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2），若表示向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的坐标是 ．三、解答题19．已知函数()21ln ,2f x x ax x a R =-+∈． （1）令()()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；（2）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明12x x +≥．20．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，E 为BB 1中点．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）求DE与平面AD1E所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．21．（1）计算：（﹣）0+lne﹣+8+log62+log63；（2）已知向量=（sinθ，cosθ），=（﹣2，1），满足∥，其中θ∈（，π），求cosθ的值．22．已知函数f（x）=a﹣，（1）若a=1，求f（0）的值；（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若函数f（x）为奇函数，判断|f（ax）|与f（2）的大小．23．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．24．等差数列{a n}的前n项和为S n．a3=2，S8=22．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．启东市高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题13． 4．14． 30° ．15． ①③④⑥16． （﹣3，﹣2）∪（﹣1，0） ．17． {1，﹣1} ．18． （﹣2，﹣6） ．三、解答题19．（1）当0a ≤时，函数单调递增区间为()0,+∞，无递减区间，当0a >时，函数单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 20． 21．22．23．24．。

启东中学2018届高三上学期第一次月考数学（理）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则 ▲ ． 2．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是 ▲ ．3．设幂函数()f x kx =α的图象经过点()4,2，则k +=α ▲ ．4．计算121lg lg 251004-⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭▲ ．5．已知F 为双曲线C ：2224(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ▲ .6.已知,x y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a 的值为 ▲ .7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为 ▲ ． 9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．10. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ . 11. 如图所示的梯形ABCD 中，,2,234,//MD AM CD AD AB CD AB ====，，如果 AD AB BM AC ⋅-=⋅则,3= ▲ .12. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[－π4，π4]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ . 13. 已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1＜x ≤1，1－|x －2|，1＜x ≤3．若函数y ＝f (x )－m |x|恰有10个不同零点，则实数m 的取值范围为 ▲ .14.已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x－a |＋a _x001F_22，当x ∈[0，ln3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若)2cos(sin B A -=π,2,3==c a（1）求⋅的值；（2）求)23tan(B C-+π的值为.16.（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中， 已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD且3===CA BC AB ,1==CD AD . （1）求证：;1AA BD ⊥（2）若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .17.（本小题满分14分）合的直线l 交椭圆于A,B 两点（1）若ΔABF 2为正三角形，求椭圆的标准方程；1AECDBA1D1B1C 第16题18.（本小题满分16分）如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当 地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且∠MON ＝30°．（1）若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．19.（本小题满分16分）设1a >,函数()2(1)x fx x e a =+-.（1）证明()x f 在()0,1a -上仅有一个零点；（2）若曲线()x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:321m a e≤--20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111()N n n n S a λ*++=∈，λ为常数． （1）是否存在数列{}n a ，使得0λ=？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由． （2）当1λ=时，求证：1111n n a a ++≥． （3）当12λ=时，求证：当3n ≥时，803n a <≤．江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期第一次月考高三数学试题（附加题）21.（本小题满分10分，矩阵与变换） 设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵1M -．22.（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()13πρθ+=. 以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. 若直线l 与圆C 相切，求r 的值.23. （本题满分10分）从4,3,2,1,0这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y 为所组成的三位数各位数字之和.（1）求Y 是奇数的概率；（2）求Y 的概率分布和数学期望.24．（本题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BFBAλ=． （1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值； （2）当CF 与平面ACD 所成角的正弦值为10时，求λ的值.O参考答案1.(),3-∞ 2.1x ∃>，23x < 3.324.20-5. 26. 2 7．198．382π9．310．50231 11.23 12.{13，56，43}． 13.(16，8－215) 14.5215. .解:1）在ABC ∆中,B B A sin )2cos(sin =-=πΘ,由正弦定理BbA a sin sin =,得b a =B A b a ===∴,3 由余弦定理AC AB ⋅=223322cos 222222=-+=-+=⨯⨯a b c A b c -------7分2）π=+=++C B C B A 2ΘC B Ctan )23tan(=-+∴π 972cos 222=-+=ab c b a C Θ924cos 1sin 2=-=∴C C -------10分 ==∴C C C cos sin tan 724 -------14分 16.证明：⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C I 平面ABCD AC =， BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ， 又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥． ⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥， 又因为在四边形ABCD 中，3AB BC CA ===，1DA DC ==，所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以AE P DC ，因为DC ⊂平面11D DCC ，AE ⊄平面11D DCC ，所以AE P 平面11D DCC ． 17.解：（Ⅰ）因为2ABF ∆为正三角形，所以22AF BF =∴AB x ⊥轴2122,2b AB F F a ==Q 且有123AB F F =，所以232b a=化为23230a a --=解得3a =2b ∴=故椭圆的标准方程为22132x y +=………………6分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y，因为0e <<1c =，所以a > ① 当直线AB 与x 轴垂直时，可证tan ∠AOB>1AOB ∴∠为钝角.………………………8分②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =+，代入22221x y a b+=，整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-=，22122222a k x x b a k -+=+，222212222a k a b x x b a k -=+1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++ 2221212(1)()x x k k x x k =++++22222242222222()(1)2()a k a b k a k k b a k b a k -+-++=+ 2222222222()k a b a b a b b a k +--=+24222222(31)k a a a b b a k -+--=+………………12分令42()31m a a a =-+-，可证()0m a <， AOB ∴∠恒为钝角.………………14分18.解：（1）在△OAB 中，因为OA ＝3，OB ＝33，∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°． 在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝7， 所以OM ＝7，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝277，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝277．在△OMN 中，由MN sin30°＝OM sin ∠ONA ，得MN ＝7277×12＝74．（2）解法1：设AM ＝x ，0＜x ＜3．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9，所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x 2x 2－3x ＋9，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°) ＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9． 由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA，得ON ＝36－x2x 2－3x ＋9·32＝33x 2－3x ＋96－x． 所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·x 2－3x ＋9·33x 2－3x ＋96－x ·12＝33(x 2－3x ＋9)4(6－x )，0＜x ＜3．令6－x ＝t ，则x ＝6－t ，3＜t ＜6，则S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334(t －9＋27t )≥334·(2t ·27t －9)＝27(2－3) 4． 当且仅当t ＝27t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4．所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是 27(2－3)4km 2． 解法2：设∠AOM ＝θ，0＜θ＜π3在△OAM 中，由OM sin ∠OAB ＝OA sin ∠OMA ，得OM ＝332sin(θ＋π3)．在△OAN 中，由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA ，得ON ＝332sin(θ＋π2)＝332cos θ．所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·332sin(θ＋π3)·332cos θ·12＝2716sin(θ＋π3)cos θ＝278sin θcos θ＋83cos 2θ＝274sin2θ＋43cos2θ＋43＝274sin2θ＋43cos2θ＋43＝278sin(2θ＋π3)＋43，0＜θ＜π3．当2θ＋π3＝π2，即θ＝π12时，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4．所以应设计∠AOM ＝π12，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3) 4 km 2．19.解：（1）f'（x ）=e x （x 2+2x+1）=e x （x+1）2∴f′（x ）≥0，-------2分 ∴f （x ）=（1+x 2）e x ﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． ∵a ＞1．∴1﹣a ＜0又f （0）=1﹣a ，∴f （0）＜0．())1(111-=-=---a a ea a aea f1011>∴>--a ea Θ()01>-∴a f，()()010<-⋅a ff()1,00-∈∃∴a x 使得()00=x f∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点--------------------7分 （2）证明：f'（x ）=e x （x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1-------------9分将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴------11分令；g （m ）=e m ﹣（m+1）g （m ）=e m ﹣（m+1）， 则g'（m ）=e m ﹣1，由g'（m ）=0得m=0．当m ∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0当m ∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g （m ）的最小值为g （0）=0 ------------13分 ∴g （m ）=e m ﹣（m+1）≥0∴e m ≥m+1∴e m （m+1）2≥（m+1）3 即：∴m≤--------------------------------16分20.解：（1）若0λ=，则1110n n S a ++=，即1n n S a +=-，即10n S +=， 则230(2)n S S S n n ====∈≥L N,，所以不存在数列{}n a 使得0λ=．（2）由1111n n S a ++=得111n n n a S a ++=-，当2n ≥时，11n n n a S a -=-，两式相减得1111n n n n n a a a a a ++=---， 即21111n n n n a a a a ++=--，12111n n n n a a a a ++--=，211111n n n a a a +-=-，2111111n n n a a a ++=+>， 当1n =时，12111S a +=，即12111a a +=，综上，1111n n a a ++≥． （3）证1：由1111()2n n n N S a *++=∈得1122n n n a S a ++=-， 当2n ≥时，122nn n a S a -=-，两式相减得112222n n n n n a a a a a ++=---， 解得212224n n n n a a a a +=-+，所以当3n ≥时，21211224n n n n a a a a ---=-+，因为2211124(1)30n n n a a a ----+=-+>， 又由1111()2n n n N S a *++=∈可见210n a ->，所以0n a >； 另一方面，2211211288(4)03243n n n n n a a a a a ----≤⇔≤⇔-≥-+，故803n a <≤．证2：由1111()2n n n N S a *++=∈得1122n n n a S a ++=-，122n n n S a S +=-， 所以当3n ≥时，1121211121121111122()22()222222422n n n n n n n n n n n n n n n n a a S S a a a a a S S a a a a a ---------------++-====-+--++--，下同证1.附加题答案21.解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩所以4,3x y ==；……………5分矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ……………10分 22.解由题意得直线的直角坐标方程20x -=， ………4分圆C 直角坐标方程222x y r +=. ………8分则1r ==. ……………10分 23.解：连接CE ，以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则(()(),1,0,0,,(1,0,0)A B C D -，因为F 为线段AB 上一动点，且BFBAλ=，则(=()BF BA λλλ=-=-u u u r u u u r，所以(1)F λ-.（1）当13λ=时，2(,0,33F，5(,0,(1,33DF CB ==u u u r u u u r ，所以5cos ,DF CB <>==u u u r u u u r；…………4分 （2）(1,)CF λ=-u u u r，设平面ACD 的一个法向量为n r=(),,x y z由n r DA ⊥,n r DC ⊥得()(()(),,0,,0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，化简得00x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取nr )1,1=--设CF 与平面ACD 所成角为θ，则sin |cos ,|CF n θ=<>==u u u r r. 解得12λ=或2λ=（舍去），所以12λ=. …………10分24.解：记“Y 是奇数”为事件A .能组成的三位数的个数为48，Y 是奇数的个数为28. 所以()1274828==A P . 答：Y 是奇数的概率为127. （2）Y 的可能取值为9,8,7,6,5,4,3.当3=Y 时，组成的三位数只能是2,1,0三个数字组成，所以()1214843===Y P ， 同理可得： ()1214==Y P ，()615==Y P ，()2456==Y P ， ()2457==Y P ，()818==Y P ，()819==Y P .的数学期望：()4258198182457245661512141213=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E .。