江苏省启东中学高三数学复习教案：专题复习数学归纳法

课题：数学归纳法（学案）一．学习目标：1．知识目标：①通过复习，了解数学归纳法的原理；②能正确地利用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题.2．能力目标：通过预习、展示交流、互动提升等学习环节，培养发现问题，解决问题的能力；经历推理证明的过程，培养观察，归纳，猜想，推理的思维能力.3．情感目标：通过学习领悟其中蕴涵的数学思想和辨证唯物主义观点；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐.二．学习重点:1．正确确定初始值，形成归纳奠基；合理使用归纳假设，完成归纳证明；2．学会数学归纳法的步骤与格式；会用数学归纳法来证明与正整数有关的数学命题.三．学习难点:1．理解数学归纳法证题的有效性；2．递推步骤中归纳假设的利用和代数恒等变换.四．学习过程：（一）预习回顾：1． 数学归纳法的适用对象是： .2． 数学归纳法的两个步骤、一个结论:（1） （找准起点，奠基要稳）；（2） （用上假设，递推才真）；（3） (结论写明,才算完整) .其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡.这两步缺一不可，只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础.（二）展示交流：1.用数学归纳法证明“2*22(2,)n n n n N +>≥∈”,第一步，应验证n = .2. 用数学归纳法证明“*1111112331n N n n n n ∈++++ ＋＋＋＋＞（）”，第一步，左边＝ .3．利用数学归纳法证明“11111123422nn +++++≤+ ”从n k =推导1＋k 时原不等式的左边应增加的项数是 项.4.平面内有*()n n N ∈条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,猜想这n 条直线共有多少个交点.并用数学归纳法证明之.（三）互动提升：例1.用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯⨯⨯⨯+=++ ＋＋＋＋(*n N ∈)例2．用数学归纳法证明：)N ()31*∈n x n ＋－（能被x ＋2整除.例3．设数列{}n a 满足1112n n na a a a ++＝，＝（*N n ∈）， (1)计算432,,a a a ；(2)猜想n a .（四）随堂检测： 已知333314131211)(n n f +++++= ,22123)(nn g -=，*n N ∈ （1）当n ＝1,2,3时，试比较)(n f 与)(n g 的大小关系；（2）猜想：)(n f 与)(n g 的大小关系，并给出证明.（五）归纳总结：五．预习指导:1．预习课题：第78课时《复数的概念及运算》2．预习材料：《选修2－2课本》P：103－114，《高中教学与测试理科总复习》P：180－181 3．预习提纲：①复数的概念，复数是实数、虚数、纯虚数的充要条件；②复数的运算法则；③虚数单位i的同周期性；④虚数的运算性质；⑤复数的几何意义.。

概率、统计与导数江苏省启东中学王建彬【高考导航】一、考试内容随机事件的概率，等可能性事件的概率，互斥事件、相互独立事件同时发生的概率，独立重复试验.抽样方法，总体分布的估计，总体期望值和方差的估计.导数的背景，多项式函数的导数.利用多项式研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值.二、考试要求1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.2. 了解等可能事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.3.了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.4. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.5. 了解随机抽样，了解分层抽样的意义，会对简单实际问题进行抽样.6. 会用样本频率分布估计总体分布.7. 会用样本平均数估计总体期望值，会用样本的方差估计总体方差.8. 了解导数概念的实际背景.9. 理解导数的几何意义.=该点处导数值.10. y＝x n( n ∈z)数的导数.11. 理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间，极大值、极小值及闭区间上的最大、最小值.12.会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题.二、考点简析1.概率(1)随机事件及其概率①理清“频率”与“概率”之间的关系②随机事件概率的取值范围0<P(A)<1m(2)等可能事件的概率：P(A)＝n(3)互斥事件有一发生的概率互斥事件就是不可能同时发生的事件P(A＋B)＝P(A)＋P(B)对立事件：其中必有一个发生的互斥事件，对立事件必互斥.互斥事件不一定对立，对立事件公式：P(A)＋P(A)＝1(4)相互独立事件同时发生的概率相互独立是指其中一个事件是否发生对另一个事件的发生的概率没有影响.要注意“互斥”与“相互独立”的区别.(5)独立重复试验.“独立”是指每次试验的结果与其他各次试验的结果无关. “重复”是指试验为一系列试验，试验并非一次而是多次. 独立重复试验的概率公式为P n ( k)＝C knP k (1－P)n-k .2.(1) 抽样方法简单随机抽样：对于一个总体，只要是通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，而且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，这样的抽样方法叫简单随机抽样.分层抽样：将总体中的个体按不同特点分类，形成几个层次上的不同部分，然后按照各部分所占的比重实施抽样，这样的抽样方法叫分层抽样. (2) 总体分布的估计频数 频率 累积频率 直方图 (3) 总体的期望和方差总体的期望和方差用样本的期望值和方差来估计. 样本的平均数(期望值)x ＝n1( x 1+x 2+…+x n )方差：S 2＝n1［( x 1－x 1 )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2］方差：S*2＝11n -［( x 1－x 1 )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2］3. 导数(1) 定义式 f ′(x)＝lim 0→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(=lim0→∆x x y ∆∆(2) 几何意义k＝f′(x0)＝tanx，切线方程为：y－y0＝k(x－x0)(3) 多项式函数求导法则(x n)′＝nx n-1.(4) 函数单调性判别方法(如图12-1、图12-2所示)x∈(a，b)，f′(x)＞0 x∈(a，b)，f′(x)＜0f(x)在(a,b)内递增f(x)在(a，b)内递减图12-1 图12-2(5) 函数极值判别法(如图12-3、图12-4所示)a＜x＜x0，f′(x)＞0a＜x＜x o，f′(x)＜0 x0＜x＜b，f′(x)＜0 x o＜x＜b，f′(x)＞0 f′(x0)＝0f f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内，f(x)max＝f(x o) f(x)在(a，b)内，f(x)min＝f(x o)图12-3 图12-4(6) 最值方法步骤①求f(x)在(a，b)中极值;②求f(a)，f(b);③ 比较f(a)，f(b)与极值大小. 四、思想方法本讲涉及的思维方法有：观察与试验，分析与综合，一般化与特殊化，联想与猜想，抽象与概括，类比等. 【典型例题】【例1】 采用系统抽样法，从121人中抽取一个容量为12的样本，求每个人被抽取的概率.【解】 用系统抽样法，要先从121中剔除1人，然后将120人分为12组，每组10人，在每组中抽1人，则不被剔除的概率为 120 /121 ，分组后被抽取的概率为1 /10∴12011212110121⋅=【例2】 甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，求： (1)两人都击中目标的概率； (2)恰有一人击中目标的概率； (3)至少一人击中目标的概率.【解】设A ＝｛甲射击一次击中目标｝，B ＝｛乙射击一次击中目标｝，A 、B 是相互独立事件.P(A)＝0,8， P(B)＝0.6. (1) P(A ·B)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.6＝0.48.(2)A ·B 与A ·BP(A B ＋ A ·B)P(A B )＋ P(A ·B) ＝P(A)·［1－P(B)］＋［1－P(A)］P(B)0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44.(3) 至少有一个人击中目标.A ·B 、A ·B 、A ·B有一个发生，P(A ·B ＋A ·B ＋A ·B) =0.44＋0.48=0.92. (3) 也可以这样计算：∵ 至少有一个击中目标的对立事件是两人均A B⋅P(A B ⋅ )＝［1－P(A)］·［1－P(B)］＝(1－0.8)(1－0.6)＝0.081－P(A B ⋅)＝0.92.【例3】已知一枚某型号地对空导弹击中来犯敌机的概率是0.96，需要发射多少枚该型号的导弹，才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999? 【解】A ＝｛一次发射击中敌机｝，P(A)＝0.96，又设B ＝｛发射n 枚至少有一枚击中敌机｝，则B ＝｛发射n 枚都没有击中敌机｝，P(B )＝P n (0)＝ 000.96(10.96)n n C ⋅-＝0.04n .∴P(B)＝1－P(B )＝1－0.04n.1－0.04n ＞0.9990.04n ＜0.001， n ＞2.146， n ∈N ， ∴ n ≥3.即需要发射3枚该型号的导弹.才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999.【例4】 甲、乙两人进行五盘三胜制的象棋赛，若甲每盘的胜率为53，乙每盘的胜率为52 (和棋不算)求： (1)比赛以甲比乙为3比0胜出的概率； (2) 比赛以甲比乙为3比1胜出的概率； (3) 比赛以甲比乙为3比2胜出的概率.【解】 (1) 甲比乙为3比0胜出，也就是说甲连续三场获胜，所以330.2165⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) 甲比乙为3比1胜出，则两人一共赛四场比赛，第四场甲获胜，在前三场比赛中乙获胜了一场.所以甲胜出的概率为313230.43255C ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(3) 第五场比赛必须是甲获胜，而前四场比赛中乙获胜两场，所以甲2324230.344455C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【例5】 基本系统是由四个整流二极管(串、并)联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8(即正常工作时)，若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计二极管的联结方式，并加以说明.【解】见图(1) 1－0.24＝0.9984＞0.85(2) 两个、两个串联后再并联，可靠度1－(1－0.82)2＝0.8704＞0.85(3)(1－0.22)2＝0.9216＞0.85(4)1－0.2(1－0.83)＝0.9024＞0.85.【注】本题解决实际问题的能力及几次独立重复试验中的某事件恰好发生k次的概率计算.这是一类带有研究性质的问题，要求能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能应用数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决学科、生产生活中的问题，并能用恰当的方式表述出来.本题首先要运用分类讨论和枚举的思想方法，由并联到串联逐一讨论，分类时要条理清楚，有规律，不能重复和遗漏.另外画出相应的图形也很有必要，画图时要准确、简洁、明了.对每一个设计图要有相应的说明，即分别计算系统的可靠度即概率.这样设计才算完成.题，对这类带有研究味道的试题要弄清题意，联想知识，表述方案，予以证明.【例6】 皮划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m ／s)的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31. 乙：33，29，38，34，28，36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀.X 甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33. X 乙＝ 16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33.S*2甲＝15［(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)218，S*2乙＝ 15［(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)215.2.S*2甲> S*2乙 说明二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.【例7】 已知f(x)是三次函数，g(x)是一次函数f(x)－21g(x)＝－x 3＋2x 2＋3x ＋7， f(x)在x ＝1处有极值2，求f(x)的解析式和单调区间.f(x)＝－x 3＋2x 2＋cx ＋df ′(x)＝－3x 2＋4x ＋c f ′(1)＝03＋4＋c ＝0c ＝－1.又∵f(x)x ＝1处有极值2f(1)＝ 2.1＋2－1＋d ＝2 ， d ＝2f(x)＝－x 3＋2x 2－x ＋2.f ′(x)＞03x 2＋4x －1＞13＜x ＜1.f(x)的单调递增的区间为 1,13⎛⎫⎪⎝⎭.由f ′(x)＜03x 2＋4x －1＜013x <或x ＞1. ∴函数f(x)1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ∪(1， ＋∞).【例8】过曲线Ｌ：)0(12>-=x x y 上的点Ｐ作Ｌ的切线, 与坐标轴交于Ｍ 、Ｎ两点，试求Ｐ点坐标, 使△○ＭＮ的面积最小. 【解】设点Ｐ坐标为),(00y x ，过点P 的切线方程为：)(2000x x x y y -=-，解方程组⎩⎨⎧=-=-0)(2000y x x x y y , 得0020122x y x x -=，解方程组⎩⎨⎧=-=-0)(2000x x x x y y , 得20022x y y -=.又因为),(00y x 在曲线上，所以1200-=x y ，则020121x x x +=，)1(202+-=x y所以S △OMN =2121y x ⋅=02204)1(x x +，把P 看成动点，可以把),(00y x 改写成),(y x ,则=S xx4)1(22+ ， 所以 ='S 2224)13()1(xx x-+，='S 0，得33=x （负值舍去）当330<<x 时，0<'S ；0>'S ,因而S 在33=x 处取极小值,且为最小值, 则所求点P 的坐标为(32,33-)．【例9】(2002天津卷 ·20) 已知 0>a ，函数()()+∞∈-=,0,1x xaxx f 。

江苏省启东中学2009届高三考前辅导材料（数学科）2009.6.1第一篇高考数学的解题策略高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考辅导的重要内容之一。

正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防因各种心理障碍造成的不合理丢分，而且能运用科学的方法挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩。

1．调节大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰，创设数学情境，进而激活数学思维，提前进入“角色”。

通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力、轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化，以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

2．“内紧外松”，集中注意力，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维。

要使注意力集中，思维异常积极，这叫内紧。

但紧张过度，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。

3．沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的。

拿到试题后，不要立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意。

从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门槛效应”，之后做一题对一题，不断产生正激励，稳拿中低档题目，见机攀高。

4．“六先六后”，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金时期了。

这时，考生可依据自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。

（1）先易后难就是先做简单题，再做综合题。

应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，不难就退，伤害解题情绪。

单元复习【知识点】【典型例题】例 1、平面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｐ，Ｑ，此中Ａ，Ｂ为定点，且ＡＢ＝ 3 ，Ｐ．Ｑ为动点，知足ＡＰ＝ＰＱ＝ＱＢ＝１，又APB 和PQB 的面积分别为Ｓ和Ｔ，（ 1）求S2 T 2的最大值；（2）当 S2 T 2取最大值时,求∠BQP的大小例 3、（湖南卷19）在一个特准时段内，以点 E 为中心的7 海里之内海疆被设为戒备水域. 点 E正北55 海里处有一个雷达观察站 A. 某时辰测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 45 且与点 A 相距40 2 海里的地点B，经过40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东45 + ( 此中sin =26， 0 90 ) 且与点A相距10 13 海26里的地点 C.（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/ 小时） ; （I I ）若该船不改变航行方向持续行驶. 判断它能否会进入戒备水域，并说明原因.【提升与稳固】1.（陕西卷 3 ）△ ABC的内角A，B， C a， b， c，若的对边分别为c2， b 6，B1 2，0则 a 等于（）A． 6 B． 2 C． 3 D． 22. （福建卷10) 在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若( a2+c2- b2)tan B= 3ac ,则角B的值为（）A. B.3 C.6或5D.3或26 6 33. （海南卷3）假如等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为（）A. 5/18B. 3/4C. 3 /2D. 7/84. （江苏卷13）若 AB=2, AC= 2 BC，则 S ABC的最大值．5. （湖北卷12）在△ABC中，三个角A, B, C 的对边边长分别为 a 3, b 4, c 6 ,则bc cos A ca cosB ab cosC 的值为.6.（浙江卷13）在△ ABC中，角 A、B、C所对的边分别为a、b、c ，若3b c cos A a cos C ，则 cos A _________________。

数学归纳法〔第一课时〕教学设计1 上课背景探究教学是指通过设置问题情境，由教师启发引导，促使学生积极主动参与到发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、形成方法、应用方法的过程中，以培养学生探究兴趣和解决问题能力的一种教学活动。

笔者有幸执教了一节以“启发提问，探究教学，教学生学会思考〞为主题的公开课，课题是?数学归纳法?第一课时，所用教材是普通高中课程标准实验教科书〔苏教版〕?数学选修2-2?，现将教学过程简录及每一个环节的教学设计意图分享给大家，如有不当之处，敬请指正！2教学目标〔1〕知识与技能目标：学生能理解数学归纳法的原理；能掌握用数学归纳法证明问题的两步骤一总结环节；能用数学归纳法证明一些简单的数学问题。

〔2〕过程与方法目标：在教学过程中通过设置问题情境，注重培养学生探究解决问题的能力以及提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养；让学生能领悟数学思想方法、感受数学研究的一般方法。

〔3〕情感、态度与价值观：通过多米诺骨牌游戏，让学生亲身感受数学好玩；课堂上共同探究问题，感受数学归纳法的实质——一种以数学归纳原理〔即自然数归纳公理〕为根据的演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，提升学生学习数学兴趣，到达好玩数学的目的，最后应用数学归纳法，用学生间的问难和质疑，实现知识内化吸收，到达玩好数学。

3 教学重点难点：能理解数学归纳法根本思想和实质，能用数学归纳法解决相关问题。

4教学过程简录4．1 创设情境，引入新课情境一：从前有个财主,请来一位先生教儿子识字。

先生写一横，告诉他的儿子是“一〞字；写两横,告诉是个“二〞字；写三横，告诉是个“三〞字。

学到这里，儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。

〞财主很快乐，就把先生给辞退了。

有一天，这位财主准备请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖……情境二：12－1＋11=11，2 2－2＋11=13，3 2－3＋11=17，4 2－4＋11=23，5 2－5＋11=31，都是质数，于是有人用归纳推理提出猜测：任何形如n2－n＋11n∈N*的数都是质数。

高中数学归纳法教案教学目标：1. 了解数学归纳法的基本概念和原理2. 掌握如何运用数学归纳法证明数学命题3. 培养学生的逻辑推理能力和解决问题的方法教学重点和难点：重点：数学归纳法的基本原理和具体应用难点：如何正确运用数学归纳法证明数学命题教学准备：1. PowerPoint课件2. 归纳法证明的例题3. 板书和彩色粉笔教学过程：一、导入环节（5分钟）教师介绍数学归纳法的概念及其在数学证明中的重要性，并引出今天的学习内容。

二、理论讲解（15分钟）1. 教师讲解数学归纳法的基本原理和步骤，如归纳基石、归纳假设和归纳步骤等。

2. 通过具体的数学问题，说明数学归纳法的运用方法和逻辑推理过程。

三、实例分析（20分钟）1. 老师通过归纳法证明一些数列或等式的性质，让学生从实例中了解归纳法的具体应用。

2. 学生逐步跟随老师的引导，尝试自己用归纳法解决一些简单的数学问题。

四、练习演绎（15分钟）1. 学生在小组或个人完成若干道数学归纳法证明的练习题目，加深对归纳法的理解和运用能力。

2. 学生互相交流、讨论和解答疑惑，提高学生的解决问题和合作能力。

五、课堂总结（5分钟）1. 教师对今天的学习内容进行总结，并强调数学归纳法的重要性和实用性。

2. 学生对自己在课堂上的学习和掌握情况进行自我评价。

六、课后作业（5分钟）布置适量的作业，让学生复习梳理今天所学的知识，并提醒学生勤加练习和思考。

教学反思：通过本次教学，学生对数学归纳法的原理和应用有了更深刻的理解，增强了解决数学问题的信心和能力。

在未来的课堂教学中，教师可以增加更多的实例和练习，让学生进一步熟练掌握数学归纳法的运用方法和技巧。

单元复习【知识点】（一）等差、等比数列的性质1.等差数列 { a n } 的性质a m a k（ 1） a m=a k+（ m－ k） d， d= .m k（ 2）若数列 { a n} 是公差为 d 的等差数列，则数列{ λ a n +b}（λ、b 为常数）是公差为λd的等差数列；若 { bn} 也是公差为 d 的等差数列，则{ λ 1an+λ 2bn} （λ1、λ 2 为常数）也是等差数列且公差为λ 1d+λ 2d.（3）下标成等差数列且公差为 m 的项 a k， a k+m， a k+2 m，构成的数列仍为等差数列，公差为 md.（4）若 m、n、 l、 k∈N*，且 m+n=k+l ，则 a m+a n=a k+a l，反之不建立 .（5）设 A=a1+a2+a3+ +a n，B=a n+1 +a n+2 +a n+3+ +a2 n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+ +a3 n，则 A、B、 C 成等差数列 .（6）若数列 { a n} 的项数为 2n（n∈N*），则 S 偶－ S 奇=nd，S偶=an 1， S2n=n（ a n+a n+1）S奇a n（a n、 a n+1为中间两项）；若数列 { a n} 的项数为2n－ 1（ n∈N* S偶=n 1，S2n－1=（ 2n－ 1）a n），则 S 奇－ S 偶 =a n，S奇n（a n为中间项） .2.等比数列 { a n } 的性质（1） a m=a k· q m－k.（ 2）若数列 { a n} 是等比数列，则数列{ λ1a n} （λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{ b n} 也是公比为 q2的等比数列，则 { λ1a n· λ2 b n} （λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为 q· q2.（ 3）下标成等差数列且公差为m 的项 a k， a k+m， a k+2 m，构成的数列仍为等比数列，m公比为 q .（4）若 m、n、 l、 k∈N*，且 m+n=k+l ，则 a m· a n=a k·a l，反之不建立 .（5）设 A=a1+a2+a3+ +a n，B=a n+1 +a n+2 +a n+3+ +a2 n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+ +a3 n，则 A、B、 C 成等比数列，设M=a1· a2· · a n， N=a n+1· a n+2· · a2n， P=a2n+1·a2n +2· · a3 n，则 M、 N、P 也成等比数列 .（二）关于等差、等比数列注意以下想法：如三个数成等差数列，可设为a－d， a， a+d；若四个符号同样的数成等差数列，知其和，可设为 a－ 3d， a－d， a+d， a+3d.三个数成等比数列，可设为a， a，aq，若四个符号q同样的数成等比数列，知其积，可设为 a ，a， aq， aq3.q3 q（三）用函数的看法理解等差数列、等比数列1.关于等差数列，∵a n=a1+（ n－1） d=dn+（ a1－ d），当 d≠0 时， a n是 n 的一次函数，对应的点（ n， a n）是位于直线上的若干个点.当 d＞ 0 时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0 时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜ 0 时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.2若等差数列的前n 项和为S n，则 S n=pn +qn（ p、 q∈R） . 当 p=0 时， { a n} 为常数列；当 p≠0 时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.关于等比数列：a n=a1q n－1.可用指数函数的性质来理解.当 a1＞ 0，q＞ 1 或 a1＜0， 0＜ q＜1 时，等比数列是递加数列；当 a1＞ 0，0＜ q＜ 1 或 a1＜ 0， q＞1 时，等比数列 { a n} 是递减数列 .当 q=1 时，是一个常数列 .当 q＜0 时，没法判断数列的单一性，它是一个摇动数列.【典型例题】例 1 已知数列 { a n} ，结构一个新数列 a1，（ a2－ a1），（a3－a2），，（ a n－a n－1），，此数列是首项为 1，公比为1的等比数列 .3（ 1）求数列 { a n} 的通项；（2）求数列 { a n} 的前n项和S n.例 2 在等比数列 { a n }（ n∈N*）中， a1＞ 1，公比 q＞ 0.设 b n=log 2a n，且 b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列 { b n} 是等差数列；（ 2）求 { b n} 的前 n 项和 S n及 { a n} 的通项 a n；（3）试比较 a n与 S n的大小 .例 3 已知 { a n} 是等比数列， a1=2， a3=18； { b n} 是等差数列， b1=2， b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.（1）求数列 { b n} 的通项公式；（ 2）求数列 { b n} 的前 n 项和 S n的公式；（3）设 P n=b1+b4+b7+ +b3n－2， Q n=b10+b12+b14+ +b2n+8，此中 n=1， 2，，试比较P n与 Q n的大小，并证明你的结论.例 4 已知等差数列 { a n} 的首项 a1=1，公差 d＞ 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列 { b n} 的第二项、第三项、第四项 .（ 1）求数列 { a n} 与 { b n} 的通项公式；（ 2）设数列 { c n} 对随意正整数c1+c2+c3+ +c n=（n+1 ）a n +1 建立，n 均有mb2 m2 b3 m n 1b nb1此中 m 为不等于零的常数，求数列{ c n} 的前 n 项和 S n.。

§2.8 指数函数与对数函数【学习目标】1. 理解指、对数函数的概念和意义；理解指、对数函数的性质；会画指、对数函数图象；2. 了解指、对数函数模型的实际案例.会用指数函数模型解决简单的实际问题；3. 了解指数函数与对数函数的不同底数在同一坐标系的图象分布规律.【《考试说明》】要求内 容要 求A B C 函数概念与基 本初等函数Ⅰ 函数的概念√ 函数的基本性质√ 指数函数的图象与性质√ 对数函数的图象与性质√【自主学习】一、基础知识1．指数函数、对数函数的定义是什么? 2．指数函数、对数函数的图象和性质是什么? 二、基础练习1．若函数()(0x f x a a =>，且1)a ≠在[1,2]-上的最大值为4，最小值为m ，且函数12()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a =＿＿＿＿．2．函数()lg(23)x x f x =-的定义域为 ．3．（2017⋅镇江期末）函数12log ,1,()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为________．4．已知函数()()2log [11]a f x ax a x =-++．若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，则a 的取 值范围为________．5．设函数122,1,()1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 的取值范围是________．6．(2017⋅苏北四市三模）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数3log a y x =，2log a y x =和log a y x =(1a >)的图象上，则实数a 的值 为 ．【典题导引】例1．已知函数()2log (1)a f x x x =-+ (0a >且1a ≠)．（1）当a 变化时，函数()y f x =的图象恒过定点，试求定点的坐标； （2）若1(2)2f =，求a 的值； （3）若()f x 在区间[]0,2上的最大值为2，求a 的值．yxOADBC。

2019-2020年苏教版高中数学（选修2-2）2.3《数学归纳法》word教案5篇一、教学目标知识与技能：（1）体会归纳推理这种基本的分析问题法，并把它们用于对问题的发现中去。

（2）明确归纳推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。

过程与方法：（1）通过歌德巴赫猜想引入课题，激发学生的学习积极（2）通过师生合作做实验的过程，让学生体会数学的严谨性；（3）通过生活中的实例，让学生体会归纳推理的思想方法。

情感态度与价值观：正确认识归纳推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

二、教学重点：理解归纳推理的思维过程与一般形式。

三、教学难点：运用归纳推理得到一般性的结论。

四、教学方法与手段：多媒体演示，互动实验。

五、教学过程：情景一：歌德巴赫猜想问题1：同学们，你们有没有听说过一个世纪难题，歌德巴赫猜想，简称“1+1”？____________________________________________问题2：你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗____________________________________________问题3：你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的？1742年，歌德巴赫在教学中发现：4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11， 18=5+13=7+11， 20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，……由此，他猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称“1+1”），可是他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。

于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。

欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

§13.4 数学归纳法2020高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力．复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤．数学归纳法如果(1)(归纳奠基)当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时结论成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确． 那么命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [难点正本 疑点清源]1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．1．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________.答案 π解析 易得f (k ＋1)＝f (k )＋π.2．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n >1)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是________． 答案 2k解析 n ＝k 时，左边＝1＋12＋…＋12k －1，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋…＋12k ＋1－1.所以左边应增加的项的项数为2k . 3．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，左边需计算的项是______．答案 1＋a ＋a 2解析 观察等式左边的特征得到n ＝1时的式子．4．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证______． 答案 n ＝k ＋2时等式成立解析 因为假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)，故下一个偶数为k ＋2.5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则f (n )中共有________项，f (2)＝______________.答案 n 2－n ＋1 12＋13＋14解析 从n 到n 2共有n 2－n ＋1个数， 所以f (n )中共有n 2－n ＋1项.题型一 用数学归纳法证明等式例1 已知n ∈N *，证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .思维启迪：等式的左边有2n 项，右边有n 项，左边的分母是从1到2n 的连续正整数，末项与n 有关，右边的分母是从n ＋1到n ＋n 的连续正整数，首、末项都与n 有关．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1－12(k ＋1)＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋1(k ＋1)＋(k ＋1)＝右边， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．综合(1)(2)知对一切n ∈N *，等式都成立．探究提高 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是几；(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n ＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *，11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时， 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3) ＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *等式都成立． 题型二 用数学归纳法证明不等式例2 用数学归纳法证明：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)． 思维启迪：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，即命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即 1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ， 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋2k＝1＋k ＋12.又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k<12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．探究提高 (1)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立，即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1 ＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 题型三 用数学归纳法证明整除性问题 例3 用数学归纳法证明42n ＋1＋3n＋2能被13整除，其中n 为正整数．思维启迪：当n ＝k ＋1时，把42(k ＋1)＋1＋3k ＋3配凑成42k ＋1＋3k ＋2的形式是解题的关键． 证明 (1)当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除， 则当n ＝k ＋1时，方法一 42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3 ＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)，∵42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除． ∴42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除．方法二 因为[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－3(42k ＋1＋3k ＋2) ＝(42k ＋1·42＋3k ＋2·3)－3(42k ＋1＋3k ＋2) ＝42k ＋1·13，∵42k ＋1·13能被13整除，∴[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－3(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除，因而42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除， ∴当n ＝k ＋1时命题也成立，由(1)(2)知，当n ∈N ＋时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．探究提高 用数学归纳法证明整除问题，P (k )⇒P (k ＋1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P (k ＋1)进行分拆、配凑成P (k )的形式，也可运用结论：“P (k )能被p 整除且P (k ＋1)－P (k )能被p 整除⇒P (k ＋1)能被p 整除．”已知n 为正整数，a ∈Z ，用数学归纳法证明：a n ＋1＋(a ＋1)2n－1能被a 2＋a ＋1整除．证明 (1)当n ＝1时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1＝a 2＋a ＋1，能被a 2＋a ＋1整除．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，那么当n ＝k ＋1时， a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝(a ＋1)2[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋a k ＋2－a k ＋1(a ＋1)2＝(a ＋1)2[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]－a k ＋1(a 2＋a ＋1)能被a 2＋a ＋1整除． 即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知，对于任意n ∈N ＋，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．归纳、猜想、证明典例：(16分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．审题视角 (1)数列{a n }的各项均为正数，且S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，所以可根据解方程求出a 1，a 2，a 3；(2)观察a 1，a 2，a 3猜想出{a n }的通项公式a n ，然后再证明． 规范解答解 (1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1得a 21＝1. ∵a n >0，∴a 1＝1，[2分]由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，∴a 2＝2－1.[3分]又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3 得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2.[4分] (2)猜想a n ＝n －n －1 (n ∈N *)[6分]证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－0，猜想成立．[8分] ②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝k －k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，[12分]∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时猜想成立．[14分] 由①②知，a n ＝n －n －1 (n ∈N *)．[16分]温馨提醒 (1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．(2)本题易错原因是，第(1)问求a 1，a 2，a 3的值时，易计算错误或归纳不出a n 的一般表达式．第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口．方法与技巧1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．2．对于证明等式问题，在证n ＝k ＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法．3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写． 失误与防范1．数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题．2． 严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础． 3．注意n ＝k ＋1时命题的正确性．4．在进行n ＝k ＋1命题证明时，一定要用n ＝k 时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为____________． 答案 1＋2＋22＋23解析 左边的指数从0开始，依次加1，直到n ＋2，所以当n ＝1时，应加到23. 2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________． 答案 5解析 令n 0分别取2,3,5,6，依次验证即得．3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上_____．答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2 解析 当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2.当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2， 故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.4．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为__________． 答案 2(2k ＋1)解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)][(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )[2(2k ＋1)]，∴应乘2(2k ＋1)．5．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步验证为________． 答案 当n ＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立 解析 由n ∈N ＋可知初始值为1.6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是_________． 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 答案 2k ＋1解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1. 二、解答题(共27分)8．(13分)若n 为大于1的自然数，求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324.证明 (1)当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712>1324.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324，那么当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 >1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1324＋12(2k ＋1)(k ＋1)>1324. 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的自然数都成立．9．(14分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． (1)解 由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 21＝13.a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫13，13， ∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1. (2)证明 ①当n ＝1时， 2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a 2k (2a k ＋1) ＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上．B 组 专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0＝________. 答案 3解析 边数最少的凸n 边形是三角形． 故第一个值n 0为3.2．如果命题p (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p (n )对n ＝2成立，则使p (n )成立的所有n 的集合为__________________． 答案 {n |n ＝2i ，i ∈N *}解析 归纳奠基是：n ＝2成立．归纳递推是：n ＝k 成立，则对n ＝k ＋2成立．∴p (n )对所有正偶数n 都成立．3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取________． 答案 8解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.4．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________． 答案 (5,7)解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；一个整数n 所拥有数对为(n －1)对．设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴(n －1)n 2＝60，∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)．5．用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15⎝⎛⎭⎫1＋17·…·⎝⎛⎭⎫1＋12k －1>2k ＋12 (k >1)，则当n ＝k ＋1时，左端应乘上____________________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫1＋12k ＋1⎝⎛⎭⎫1＋12k ＋3…⎝⎛⎭⎫1＋12k ＋1－1 2k －1 解析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k＋1，最后一个是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1－1，根据等差数列通项公式可求得共有(2k＋1－1)－(2k＋1)2＋1＝2k －2k －1＝2k －1项．6．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．答案 a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3，即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163.∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 二、解答题(共28分)7．(14分)已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，f (x )≥18. (1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，证明：a n <1n ＋1. (1)解 由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32⎝⎛⎭⎫x －a 32＋a 26. 又f (x )max ≤16，所以f ⎝⎛⎭⎫a 3＝a 26≤16. 所以a 2≤1.又当x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，f (x )≥18， 所以⎩⎨⎧ f ⎝⎛⎭⎫12≥18，f ⎝⎛⎭⎫14≥18，即⎩⎨⎧ a 2－38≥18，a 4－332≥18，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1.(2)证明 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立． 因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，0<f (x )≤16， 所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13. 故n ＝2时，原不等式也成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式0<a k <1k ＋1成立． 因为f (x )＝ax －32x 2的对称轴为直线x ＝13， 所以当x ∈⎝⎛⎦⎤0，13时，f (x )为增函数． 所以由0<a k <1k ＋1≤13，得0<f (a k )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1. 于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1(k ＋1)2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42(k ＋1)2(k ＋2)<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．根据①②，知对任何n ∈N *，不等式a n <1n ＋1成立． 8．(14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1,2,3，….(1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明． 解 (1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1 ＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12. 当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12， 于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.(2)由题设得(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0. ① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23. 由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝n n ＋1，n ＝1,2,3，…. 下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即S k ＝k k ＋1， 当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n ＝n n ＋1对所有正整数n 都成立．。

启东中学高考数学专题辅导 专题一：直线、平面、简单几何体能力培养1. (启东中学, 基础题, 5分值, 2分钟) 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β，的四个命题：①若A l m =⊂αα ,，点m A ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线, αα//,//m l , 且m n l n ⊥⊥,，则α⊥n ； ③若βα//,//m l , βα//，则m l //；④若=⊂⊂m l m l ,,αα点A ，ββ//,//m l ，则βα//． 其中为假命题的是 A ．①B ．②C ．③D ．④2. (启东中学, 中档题, 5分值, 2分钟) 在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ）A ．BC//平面PDFB ．DF ⊥PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC3. (启东中学, 中档题, 5分值, 3分钟) 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF =2，则该多面体的体积为（ ） A.32B.33 C.34D.234. (启东中学, 中档题, 5分值, 3分钟) 两条不垂直的异面直线a ，b 上，有4个不同的点A ，B ，C ，D ，其中A a ∈，B ∈a ，C b ∈，D b ∈，对于下列两个命题： (1)直线AC 与BD 总是异面直线；(2)点A ，B ，C ，D 总是不能成为1个正四面体的顶点．其中正确的命题是( ) ．A ．(1)B ．(2)C ．(1) (2)D ．(1) 和(2) 均不对5. (启东中学, 中档题, 4分值, 3分钟) 矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 .6. (启东中学, 中档题, 4分值, 3分钟) 有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 。

课题：数学归纳法（一）学习目标：了解数学归纳法原理，能以数学归纳法证明简单的数学命题. 教学重点：了解数学归纳法原理，掌握它的基本步骤.教学难点：能以数学归纳法证明简单的数学命题.自学质疑：1. 某同学到我高二8班门口找人，见到第一个进门的男生，然后又见到一个男生进门，又来了一个还是男生，……第39个还是男生，于是他得出结论：高二8班的同学全部都是男同学，同学们，他的结论对吗？2. 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一（主要是笛卡尔），是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．费马一段时间骄傲的认为，他只对n=0，1，2，3，4作了验证后得到了一个结论：当n ∈N 时，2(20+n)+1一定都是质数.后来欧拉18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了225+1=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．费马的错误是不是因为仅少验证了5这个数？结合自学质疑1提到的男女生问题，他们错误的根源在哪？3. 合作探究：将许多砖立在地面上，想组成多米诺骨牌游戏，要能持续下去的话，对砖的放置会有怎样要求？4. 观察：22235126⨯⨯+=；2223471236⨯⨯++=；222245912346⨯⨯+++=；222225*********⨯⨯++++=；……可以猜想出什么结论？这个结论有没有重蹈费马的覆辙？如何论证这个结论是否正确？5. 数学归纳法公理的内容，及适用范围：例1：用数学归纳法证明：如果{a n}是一个等差数列，那么a n=a1+(n-1)d对于一切n∈N *都成立.例2：已知数列{a n}，前n项和记作S n，其通项公式为a n=2n-1，试写S n的前4项，并猜想该数列的前n项和公式，并用数学归纳法证明你的结论.。