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2-1 离散傅立叶变换DFT

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数字信号处理-离散傅立叶变换(DFT)

数字信号处理-离散傅立叶变换(DFT)

N 1
* X ( k ) Y (k ) k 0
N 1
x ( n)
n 0
N 1
2
1 N

k 0
N 1
X (k )
2
表明序列时域、频域能量相等
33
六、圆周卷积和 圆周卷积A：设 F (k ) X (k )Y (k ) f (n) F (k )
则
f (n) [ x(m) y ((n m)) N ]RN (n)
22
求x n 的16点DFT N 16
X k X e j
N=4点的DFT？

2 k 16
2 k 3 2 sin 2 j k 16 2 16 e 1 2 sin k 2 16 sin k 3 j k 4 16 e sin k 16


理解频谱分析过程
3
知识回顾
1. Z变换的定义 2. Z变换的收敛域 3. Z变换的性质 4. Z反变换及其求法 5. Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 6. 序列的Fourier变换(DTFT)的定义 7. 序列的Fourier变换的主要性质 8. 序列的Fourier变换的对称性质 9. 离散系统的系统函数、系统的频率响应
其中
X (k ) RN (k ) X (k ) ；同理可证另一公式。
~
推论：
2 nl 1 DFT x(n)cos X ((k l )) N X ((k l )) N RN (k ) N 2
2 nl 1 DFT x(n)sin X ((k l )) N X ((k l )) N RN (k ) N 2 j

离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换(DFT)

尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0

离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换(DFT)
移位 设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2

第2章 离散傅里叶变换(DFT)

第2章 离散傅里叶变换(DFT)

证明IDFT［X(k)］的唯一性。
证明：把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有
N 1 k 0 N 1
1 IDFT [ X (k )] N
m 0 N 1

mk [ x(m)WN ]WN kn m 0
1 x ( m) N

k 0
N 1
k WN ( mn )
1 N
W
n
xa (nT ) (t nT )
n 0
N 1
xa (nT )
0 n N -1
此时频谱为 X(ejΩT)*W(jΩ) ，是Ω的连续周期函数。
14
第2章
离散傅里叶变换(DFT)
(3) 频域采样：将频谱离散化
1 ~ X (k ) ( X (e jT ) W ( j)) T0
~
(3.1.10)
12
第2章
离散傅里叶变换(DFT)
3. 由连续傅里叶变换推导
设xa(t)与Xa(jΩ)构成傅立叶变换对，则
X a ( j) xa (t )e jt dt

1 xa (t ) 2




X a ( j)e jt d

(1)时域采样：将xa(t)离散化
k) k)
e
3 j k 8 16
sin( sin(

4
N 0 n

3
e
j
2 kn 8 16
, k 0,1, ,15
16
5
第2章
离散傅里叶变换(DFT)
2. DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限
nk 长序列，但由于 WN 的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式

实验二 离散傅里叶变换(DFT)实验

实验二 离散傅里叶变换(DFT)实验

实验二 离散傅里叶变换（DFT ）实验【实验目的】1．进一步熟悉CCS 集成开发环境的软硬件调试方法2．学习DFT 的基本原理3．掌握如何在DSP 中实现DFT 算法【实验内容】1. 了解DFT 的基本原理。

2．了解命令文件中伪指令MEMORY 和SECTIONS 的作用。

2. CCS 中的软硬件开发环境的熟悉。

3. 常用信号（包括正弦波，方波，三角波，锯齿波）的DFT 。

【实验器材】1.DSP 开发板2.DSP 仿真器3 .PC 机(软件：CCS ，全称：Code composer studio )三 实验原理。

傅里叶变换是一种将信号从时域变换到频域的变换形式，是信号处理的重要分析工具。

离散傅里叶变换（DFT ）是傅里叶变换在离散系统中的表示形式。

本实验是在学生首先产生一信号后，对该信号进行DFT ，并在CCS 中利用其自带的观察窗口或Memory 菜单来查看变换前后的波形或频谱值，从而完成了一个简易频谱分析仪。

让学生更加直观形象地体会DFT 的整个过程假设信号为x (0)，x(1)，……，x (N)，那么其离散傅立叶变换后的实部和虚部以及频谱幅度分别为：2()0()()()()N j k n N r i n X k x n eX k jX k π-===+∑ 0(0)()(0)0N r i i X x i X =∴==∑ 002 ()()cos(())2()()sin(())(0)Nr n N i i X k x n k n N X k x n k n k N ππ===⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯>∑∑()A k =具体的实现过程的时候需要根据硬件的特性来实现。

比如cos和sin的值都可事先通过软件计算出结果，保存在两个数组中，直接对其进行查表操作。

若缓存数量为128，即N＝128。

对于cos和sin的系数，根据需要可以首先计算出128点的sin值，而cos的值则可以通过sin表整体后移N/4点，也就是整体后移32点后得到。

离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换(DFT)
倒相序列。注意，如果x(n)的长度M<L，则需要在x(n)末
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件

傅立叶变换的四种形式

第三章 离散傅里叶变换 DFT
——FT的四种形式
离散傅里叶变换(DFT)不仅具有明确的物理意 义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。
但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算
机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较 大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速 离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅 里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字 信号处理系统中。
近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展， 同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法(DCT、 WHT等)，但在许多应用中始终无法替代离散FS DFS
DTFT返 回
DFS 返回
时域间隔Ｔ
时域周期Ｔ０ 频域周期 Ω ｓ
频域间隔Ω０
变换形式 时域
FT
连续和非周期
FS
连续和周期（T0）
DTFT 离散（T）和非周期
频域
非周期和连续
非周期和离散（
）
周期（
）和连续
DFS
离散（T）和周期（T0） 周期（
）和离散（
）

离散傅里叶变换DFT的性质


讨论DFT的性质有何意义呢？
1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT 的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在 联系。
2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取， 降低计算的复杂性。例如后面重点学习的FFT算法 就利用了DFT的周期性和对称性。
仔细看书中的性质列表，与DTFT性质表进行对比
N1
[XR(k)cos
k0
2kn
N
Xl
(k)sin
2kn]
N
(2)实偶序列
x(n)x(Nn) 0nN1XI(k)0
N1
2kn
X(k) x(n)cos
n0
N
0kN1
XI(k)0x(n)N 1N k01X(k)cos2Nkn
0nN1
DFT: XR(k)Nn01xR(n)cos2NknxI(n)sin2Nkn XI (k)Nn01xR(n)sin2NknxI(n)cos2Nkn
x'(n)=x(nk,对N求余) x((nk))N
当 k 2和 N 4 x (n ) x ((n 2 )) 4 x (0 ) x (( 2 )) 4 x (2 ) x (1 ) x (( 1 )) 4 x (3 ) x (2 ) x ((0 )) 4 x (0 ) x (3 ) x ((1 )) 4 x (1 )
加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
1 7、序列的圆周时域移位
j
x[n] X (e )e d 这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取，降低计算的复杂性。
jn
3 DFT的隐含周期性、线性、对称性
2
2 加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。

数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件


2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2

数字信号处理：离散傅里叶变换(DFT)


X (k ) XX((kkX)))X(XX(z(ez(zzjjjj))))222kk,,k, 200k0,kkkNN--1N1-1 0((33..1(1.3.44.)1k).4) NNN N
2021/8/24
6
3.1 离散傅里叶变换的定义
DFT的物理意义：
(1)x(n)的N点DFT 是x(n)的Z变换在单位
。 j 2 kn 8
解: (1) 设变换区间N=8， 则：n0
N 0
XX(k(k)
77
)
nn00
xx(Xn(n)W()Wk8k)8nkn 3373 eexj 28j(28knnkn)We8jk83nk NnN000
sin(3 k 2 sin kn
80,1,
,
7
(2) 设变换区间N=16， 则 2 k 8
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
N 1
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn
n0
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
0 k N-1
X (比k较) 上XXX面(((kkkX)二))式X(XX(z(可z(z)z)))得zzzezej2关jeN2Njk2Nke,系k,j,2N式 k00,0kkkNN--N11-10 ((33k..1(1.3.33.)1).3)N
(
j2 k
X
(k)
X(k)
DFT
[=x(Xn~ ()k]
)RNDD(nFF)ST[n[x~x(0~n()n] )RNnN01(n
[0, 2]上的N点
单位圆上的N
等间隔采样
DFT
点等间隔采样
~
X (k ) DFFTT [ x(n)] ZT DFT [x(n)RN (n)] X
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结论
时域周期化，则频域离散化；
时域离散化，则频域周期化。 可见，以上4种形式的频谱,只有离散周期信号的频谱
函数可以由数字方法直接进行运算。 解决方法：离散傅立叶变换(DFT)。
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2.2 离散傅立叶变换(DFT)
问题： 序列只在0 k N-1范围非零，如何计算其频谱的离散值
N -1
1 x [k ] N
X [ m]
m 0

X [m]WN mk
0 k N - 1 IDFT
DFT
N -1
k 0
mk x[k ]W N
0 m N -1
记为： DFT正变换： X [m] DFT{x[k ]} DFT反变换： x[k ] IDFT X [m]} {
1 x[k ] N

m 0
N -1
X [ m] e
j
2 mk N
~[k ] R N [k ] x
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DFT的隐含周期性：
从三个方面来说明DFT具有隐含的周期性： (1)DFT和DTFT的关系上 (2)DFT和DFS的关系上 (3)由 W Nmk 的周期性
X ( j) x(t ) e- j t dt
X ( j)
-

x (t ) A
tA
-
t
2
t
2
t
2 t
2 t

(1)连续非周期信号的频谱 频谱特点：连续非周期谱
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(2)连续周期信号及其频谱
xT (t )
FS
n t At X (n0 ) Sa( 0 ) T0 2 x (t) T
的等间隔取样。
X [m] DFT{x[k ] } X (e j )

2 m N
, m 0,1,, N - 1
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DFT和DFS的关系：(截断)
X [ m]
x[k ] e
k 0
N -1
-j
2 km N
~ X [ m] R N [ m]
T
DN
WNN -1

2 WN ( N -1)
WNN -1 2 ( N -1) WN ( N -1) ( N -1) WN 1
1 1 D4 1 1
1 - j -1 j
1 -1 1 -1
1 j - 1 - j
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数字信号处理
原著： 北京交通大学电子信息学院 国家电子电工教学基地信号与系统系列课程组
改编：石家庄学院电气信息工程系
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第二章 离散傅立叶变换DFT
问题的提出(Discrete Fourier Transform) 信号的频域分析在信息技术领域广泛应用 为什么进行信号频谱的数值化分析? 1.许多实际信号不存在数学解析式 2.利用计算机数值计算,简单快捷
(1)连续非周期信号及其频谱 (2)连续周期信号及其频谱 (3)离散非周期信号及其频谱
(4)离散周期信号及其频谱
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(1)连续非周期信号及其频谱
x(t )
FT
X ( j ) At Sa(
t
2
)
1 x(t ) 2


-
X ( j ) e j t d

k
X ( e j )
X ( e j )
或
-



2

(3)离散非周期信号的频谱 频谱特点：周期为2，连续谱
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(4)离散周期信号及其频谱
~[k ] x
DFS
~ X ( m)
~[ k ] x
N -1 ~ ~ ~[k ] IDFS { X [m]} 1 x X [m] WN- mk N m 0
(2)如果是长序列(M点)做短点数N点DFT(M点,M>N)， 则将序列先N点周期化，再对序列取N点主值区间做N 点DFT。
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例：已知序列x1[k]={1,2,3}, x2[k]={1,2,3,4,5},分别对 x1[k] 、x2[k]进行4点DFT，实际是对哪些序列做4点
(4) x4 [k ] RN [k ]
0
0 N0 N - 1
(4) X 4 [m]
N 0 -1

k 0
mk 1 WN
e
-j

N
m ( N 0 -1)
sin(

N
N 0 m) m)
sin(
m 0,1,2... N - 1;

N
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(5) x5[k ] e
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第二章 离散傅立叶变换DFT
本章重点：
1.离散频谱(DFT)概念 2.DFT性质与计算 3.DFT应用(计算卷积、对连续信号的逼近)
4.Matlab程序实现
本章难点：
1.DFT与DTFT关系
2.信号频谱指标分析
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四种信号时域和频谱之间的关系
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(2) x2 [k ] [k - k0 ]
0 k0 N - 1
(2) X 2 [m]

k 0
N -1
mk [ k - k 0 ] WN
mk WN 0
[k - k ]
0 k 0
N -1
mk WN 0
m 0,1,2,...N - 1;
0 k0 N - 1
(5) x5[k ] e
j
2 N0 k N
0 N0 N - 1
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(1) x1[k ] [k ]
(1) X 1[ m]

k 0
N -1
mk [k ] WN
[k ]
k 0
N -1
1
m 0,1,2,...N - 1;
N -1 ~ mk X [m] DFS{~[k ]} ~[k ] WN x x k 0
N
k
~ X ( m)
或
~ X ( m)
(- )
0
1 2
3
m
m
0
1 2
( )
()
3
( )
N -1
(2 ) ()
(4)离散周期信号的频谱 频谱特点：周期为N的离散谱
国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组
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(3) x3[k ] 1 RN [k ]
(3) X 3[m] 1 W
k 0
N -1
mk N

1- e
-j
2 mN N 2 m N
1- e
-j
N 0
m0 m 1,2... N - 1;
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移，然后取主值序列。
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x[k ], N 5
2 k=1 3 k=2 k=0 1 k=3 k=4 5
0 1
2 3 4
k
x[(k )5 ]
4
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
k
x[(k 2)5 ]
4 k=1
5 k=2 k=0
3
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
k
x[(k 2)5]RN[k]
k=3
1 k=4 2
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(1)时域位移性质
DFTx[(k n) N ]RN [k ] W
(2)频域位移性质
- mn N
X [m]
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DFT矩阵
DFT矩阵形式为 X D N x, 其中
X X [0] x x[0]
1 1 1 1 1
1 WN 2 WN
X [1] x[1]
1
2 WN 4 WN

1
x[ N - 1] ,
T
X [ N - 1] ,
IDFT矩阵形式为
x D -1X, N
1 1 1 1 1
WN 1 WN 2
1
WN 2 WN 4
1
D-1 N

WN ( N -1)

WN 2( N -1)
WN ( N -1) 2 ( N -1) WN - ( N -1) ( N -1) WN 1
D
-1 N
1 DN N
用MATLAB产生DFT矩阵
dftmtx(N)函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1
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x[k ] cos(2π rk / N ), N 16, r 4 利用MATLAB计算16点序列x[k]的16点和512点DFT
1 对比x[k ] N