离散傅里叶变换
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离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
离散数学中的离散变换和傅里叶变换
离散数学是数学中的一个分支，其研究对象是离散的数学结构和离散的数学对象。
离散数学在计算机科学、电子工程和通信工程等领域中有着广泛的应用。
在离散数学中，离散变换和傅里叶变换是两个重要的概念。
离散变换是一种将离散的数据序列转化为另一种形式的方法。
在离散数学中，我们常常需要对一组数进行处理和分析，离散变换可以帮助我们更好地理解和处理这些数。
离散变换的一个重要应用是图像处理。
在图像处理中，我们经常需要对图像进行分析和处理，离散变换可以将图像的像素转化为频域上的表示，从而更好地理解图像的特征和结构。
在离散变换中，傅里叶变换是一种重要的变换方法。
傅里叶变换是将一个连续函数表示为一系列正弦和余弦函数的和的方法。
在离散数学中，我们常常需要对离散的数据进行傅里叶变换。
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。
离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用。
离散傅里叶变换有很多重要的性质和定理。
其中一个重要的定理是离散傅里叶变换的逆变换定理。
根据逆变换定理，离散傅里叶变换的逆变换可以表示为原始离散序列的线性组合。
这个定理在恢复原始信号时是非常有用的。
除了离散傅里叶变换，还有许多其他的离散变换方法。
例如，离散余弦变换（DCT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。
离散余弦变换在图像和视频压缩中有着广泛的应用。
另外，离散小波变换（DWT）是一种将离散序列转化为时域上的多尺度表示的方法。
离散小波变换在图像和信号处理中也有着广泛的应用。
总的来说，离散变换和傅里叶变换是离散数学中重要的概念和方法。
离散变换可以帮助我们更好地理解和处理离散数据，傅里叶变换则可以将离散序列转化为频域上的表示。
离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用，而离散余弦变换和离散小波变换则在图像和视频处理中起着重要的作用。
离散数学中的离散变换和傅里叶变换是我们在处理和分析离散数据时常用的工具。
通过学习离散变换和傅里叶变换，我们可以更好地理解和处理数据，同时也可以为实际应用提供有力支持。
离散傅里叶反变换
离散傅里叶反变换离散傅里叶反变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种重要的信号分析方法，用于将时域信号转换为频域信号。
本文将介绍离散傅里叶反变换的原理、算法以及应用。
一、傅里叶分析的背景傅里叶分析是一种将时域信号分解为频域信号的方法，以描述信号的频率成分。
它的基本思想是：任何一个周期信号都可以由若干个不同频率的正弦和余弦函数叠加而成。
由此可知，一个信号在时域表达和频域表达是等效的。
离散傅里叶变换是将连续信号的傅里叶变换推广到离散信号的一种方法。
二、离散傅里叶变换概述离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是将一个N个采样点的离散信号转换为相应的频率谱，即频率成分和振幅的关系。
离散傅里叶变换的计算公式如下：X(k) = ∑[n=0 to N-1]x(n)e^(-2πijk/N)其中x(n)表示原始信号的第n个采样点的值，X(k)表示对应的频域表示的第k个频率成分。
三、离散傅里叶反变换的原理离散傅里叶反变换是将信号从频域转换为时域的方法。
它与离散傅里叶变换是互逆的，即进行离散傅里叶变换之后再进行离散傅里叶反变换，可以还原出原始信号。
离散傅里叶反变换的计算公式如下：x(n) = (1/N) * ∑[k=0 to N-1]X(k)e^(2πijk/N)其中x(n)表示对应的时域信号的第n个采样点的值，X(k)表示频域表示的第k个频率成分。
四、离散傅里叶反变换算法离散傅里叶反变换的计算可以通过直接计算的方式，也可以通过快速傅里叶变换的方式实现。
由于快速傅里叶变换算法比较复杂，本文将介绍使用直接计算的方式实现离散傅里叶反变换。
步骤如下：1. 给定频域信号X(k)和采样点数N；2. 根据反变换公式计算每个时域采样点的值x(n)；3. 返回时域信号x(n)。
五、离散傅里叶反变换的应用离散傅里叶反变换广泛应用于信号处理、图像处理和通信等领域。
dft变换,z变换,离散傅里叶三者变换关系
dft变换,z变换，离散傅里叶三者变换关系离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）和z变换是两种常用的信号分析方法，它们与连续时间傅里叶变换（Continuous Fourier Transform）之间存在一定的关系。
首先，我们来介绍一下傅里叶变换、离散傅里叶变换和z变换的基本概念。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换，可以将一个周期信号或者非周期信号分解成一系列正弦波的叠加。
在周期信号的情况下，傅里叶变换将信号分解为一系列正弦和余弦波的频谱，其频率成分对应于信号中的频率成分。
离散傅里叶变换是一种将离散信号转换为频域信号的数学变换。
对于离散信号x[n]，其离散傅里叶变换X[k]可以通过以下公式计算：X[k] = Σ（n=0 to N-1）x[n] * exp(-j * 2 * π * k * n / N)其中，N表示离散信号的长度，k表示频域的索引。
与此对应，离散傅里叶逆变换（IDFT）则将频域信号恢复为时域信号。
IDFT的公式为：x[n] = (1/N) * Σ（k=0 to N-1）X[k] * exp(j * 2 * π * k * n / N)z变换是一种常见的离散时间系统分析方法，它将离散时间信号转换为复频域上的函数。
对于离散信号x[n]，其z变换X(z)可以通过以下公式计算：X(z) = Σ（n=-∞ to ∞）x[n] * z^(-n)其中，z是一个复变量，z^(-n)表示z的倒数的幂。
与此对应，逆z变换则将复频域上的函数恢复为离散时间信号。
逆z变换的公式为：x[n] = 1/(2 * πj) * ∫（C）X(z) * z^(n-1) dz其中，C表示z变换的积分路径。
虽然DFT和z变换看起来很相似，但它们在应用和性质上有所不同。
DFT是一种将离散信号转换为频域信号的变换方法，是实际中应用最为广泛的一种频谱分析方法。
由于计算公式中包含了离散加权和求和的操作，因此它适用于离散信号的频谱分析和频域处理。
离散傅里叶变换(DFT)
倒相序列。注意，如果x(n)的长度M<L，则需要在x(n)末
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件
离散时间序列的傅里叶变换
离散时间序列 的傅里叶变换
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换人类的日常生活中充满了各种各样的信号，比如声音、图像、电压等。
为了更好地理解和处理这些信号，我们需要使用一种数学工具来对其进行分析和处理。
傅里叶变换便是一种常用的工具，能够将信号从时域转换到频域，使我们能够更好地理解信号的频率成分。
在离散序列中，我们同样可以使用傅里叶变换来对信号进行处理。
离散序列是指在一定的时间间隔内，对信号进行采样得到的序列。
傅里叶变换的目的是将这个序列从时域转换到频域，以便我们可以更好地分析信号的频率成分。
离散序列的傅里叶变换是指对离散序列进行傅里叶变换的过程。
在离散序列中，我们可以使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）来进行变换。
离散傅里叶变换是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具，它能够将一个N点的离散序列变换为一个N点的频域序列。
离散傅里叶变换的计算过程可以通过离散傅里叶变换公式来表示，但为了遵守本文的要求，我们不会在文章中插入任何数学公式。
简单来说，离散傅里叶变换将离散序列分解为一系列正弦和余弦函数的和，每个正弦和余弦函数都对应着一个频率成分。
通过计算这些正弦和余弦函数的振幅和相位，我们可以得到信号在不同频率下的幅度和相位信息。
离散傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。
例如，在音频处理中，我们可以使用离散傅里叶变换来对音频信号进行频谱分析，以便分析音频信号的频率成分。
在图像处理中，我们可以使用离散傅里叶变换来对图像进行频域滤波，以便去除图像中的噪声或增强图像的某些频率成分。
除了离散傅里叶变换，还有一种更高效的算法，称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）。
快速傅里叶变换是一种基于分治法的算法，能够在O(NlogN)的时间复杂度下计算离散傅里叶变换。
这使得离散傅里叶变换在实际应用中更加高效和可行。
尽管离散傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，但它也有一些限制。
首先，离散傅里叶变换要求信号是周期性的，即信号在采样窗口内是重复的。
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
离散傅里叶变换 卷积定理 矩阵乘法
一、离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是信号处理中常用的一种变换方法。
它将离散时域信号转换为频域信号，可以对信号进行频谱分析和滤波处理。
离散傅里叶变换的定义如下：$f_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn}$其中，$x_n$表示输入的离散信号，$k$表示频率索引，$f_k$表示变换后的频域信号。
离散傅里叶变换可以通过快速傅里叶变换算法（Fast Fourier Transform，FFT）高效地计算，是数字信号处理中的重要工具之一。
二、卷积定理卷积定理是信号处理中的重要定理之一，它描述了两个信号在频域进行卷积操作等效于它们在时域进行乘法操作。
具体来说，如果有两个信号$f(x)$和$g(x)$，它们的傅里叶变换分别为$F(\omega)$和$G(\omega)$，那么它们在时域的卷积$f(x)*g(x)$的傅里叶变换等于$F(\omega)G(\omega)$。
卷积定理在信号处理中有着广泛的应用，例如可以用于滤波器的设计和信号的频域分析等。
利用卷积定理，可以将信号的卷积操作转换为频域的乘法操作，从而简化了信号处理的复杂度。
三、矩阵乘法矩阵乘法是线性代数中的重要概念，它描述了两个矩阵相乘得到的新矩阵。
具体来说，如果有两个矩阵$A$和$B$，它们的大小分别为$m\times n$和$n\times p$，那么它们的矩阵乘法$C=AB$的定义如下：$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵$C$的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示矩阵$A$和$B$的元素。
矩阵乘法在计算机图形学、优化算法等领域有着广泛的应用，例如矩阵变换、神经网络的前向传播等。
通过高效的矩阵乘法算法（如Strassen算法、Coppersmith-Winograd算法等），可以加速复杂计算的进行。
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
离散傅里叶变换表
离散傅里叶变换表一、引言1.1 背景傅里叶变换是离散信号处理中一项重要的数学工具。
通过将信号分解为一组基本频率分量，傅里叶变换能够帮助我们理解信号的频谱性质以及对信号进行频域处理。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是傅里叶变换在离散时序信号处理中的一种形式。
为了方便使用离散傅里叶变换，我们可以借助离散傅里叶变换表来进行相关计算。
1.2 目的本文旨在深入探讨离散傅里叶变换表的相关概念、原理及使用方法，帮助读者更好地理解和应用离散傅里叶变换。
二、离散傅里叶变换表的概念2.1 定义离散傅里叶变换表是一种用于记录离散信号傅里叶变换结果的表格。
表中的每个元素都代表了输入信号在不同频率下的幅度和相位信息。
离散傅里叶变换表通过提供离散信号的频谱信息，帮助我们理解信号的频域特征。
2.2 数据结构离散傅里叶变换表通常采用二维数组来表示。
其中，行代表频率，列代表离散信号序列的元素位置。
表中的每个元素都是一个复数，包含了频域幅度和相位信息。
通过查找表中的元素，我们可以得到离散信号在不同频率下的频谱表示。
三、离散傅里叶变换表的原理3.1 傅里叶变换公式离散傅里叶变换是由连续傅里叶变换演化而来的，它将连续信号的傅里叶变换拓展到了离散信号上。
离散傅里叶变换公式如下：其中，N代表离散信号长度，x[n]表示离散信号序列，X[k]表示离散信号的频域表示。
3.2 离散傅里叶变换表的生成方法离散傅里叶变换表可以通过计算离散信号在不同频率下的傅里叶变换结果得到。
常用的生成方法是使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法，该算法通过有效的计算方法减少了计算复杂度，提高了计算效率。
通过FFT算法，我们可以快速生成离散傅里叶变换表。
四、离散傅里叶变换表的使用方法4.1 查找频域信息离散傅里叶变换表中的元素代表了离散信号在不同频率下的频谱信息。
通过查找表中的元素，我们可以获取信号在某一频率下的幅度和相位信息。
《离散傅里叶变换》课件
$X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn}$
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
数字信号处理中的离散傅里叶变换
数字信号处理中的离散傅里叶变换数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是在数字计算机或数字信号处理器上对信号进行处理和分析的一种技术。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）作为DSP中的重要方法之一，在信号处理的各个领域都发挥着重要的作用。
一、离散傅里叶变换的定义和原理离散傅里叶变换是将离散的时间域信号转换为频域信号的一种方法，它可以将信号从时域转换到频域进行分析。
DFT的定义如下：$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}$其中，$x[n]$为离散时间域信号，$X[k]$为离散频域信号，$N$为信号的长度，$k$为频域的索引。
离散傅里叶变换可以看作是对信号进行一系列的乘法和求和操作，它使用复指数函数作为基函数来表示信号。
通过将信号与不同频率的正弦波进行内积操作，可以得到信号在不同频率上的幅度和相位信息，从而实现频谱的分析。
二、离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质对于信号处理和频域分析非常有用。
以下是几个常见的性质：1. 线性性质：DFT是线性变换，即对两个信号的和进行DFT等于分别对这两个信号进行DFT后再求和。
2. 周期性：若信号的长度为$N$，则DFT系数$X[k]$具有周期性，周期为$N$。
3. 对称性：若信号的长度为$N$，则当$k$取$N-k$时，$X[k]$与$X[N-k]$相等。
4. 移位性质：对于一个时域序列$x[n]$，将其向右移动$m$个位置得到新的序列$x[n-m]$，则对应的DFT系数$X[k]$只需将原始的$X[k]$循环右移$m$个位置得到。
三、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，以下列举几个典型的应用场景：1. 信号分析：通过DFT可以将信号从时域转换到频域，得到信号在不同频率上的能量分布情况。
离散傅里叶变换
N 1
0 k N -1X ( jkF) T
j2 kn N1
xa(nT )e NXa(jkF) Txa(nT)ej2kFnT, 0kN-1
n0
n0
n0
n0
▪ 令X(jkF)=Xa(k)，xa(nT)=x(n)，代入得
N 1
2kn j
X a ( k ) T x( n ) e N T DFT[x(n)], 0 k N - 1
X ( e jw
)
FT [ ~x( n )]
2
N 1
X~
(
k
)( w
2
k
)
N n0
N
X~( k
)
DFS [
x( n )]
N 1
~x (
n
)e
j
2
N
kn
,
k (-, )且为整数
n 0
若x(n) ~x(n) RN (n), X(k) DFT[x(n)] X~(k) • RN (k)
▪
X~(k)DFS[x(n)]N1x~(n)ej2Nkn, k(-,)且为整数
M 1
X M (k ) DFT [ xM (n)]
n0
m ( N 1)
n0
~
2 kn
x(n)e mN
~
2 kn
x(n)e M
k 0,1, , mN 1
分析:
(1)只有在k=rm时，XM(rm)=m
~
X(r)
，表达
~x
(n)旳r次谐波
谱线，幅度扩大了m倍，在其他k值， XM(k)＝0。
ha (t)
sin( t) t
用DFT来分析ha(t)旳频率响应特征。
离散傅里叶变换
➢ n为时域变量，k为频域变量。 ➢ DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在ห้องสมุดไป่ตู้位圆上的等角距取
样。序列傅里叶变换在区间[0,2π]上的等间隔取样。 ➢ 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 ➢ 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实
际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。
3.2 离散傅里叶变换的性质
离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform
内容提要
离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)是时间 函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。
➢ 离散傅里叶变换定义 ➢ DFT物理意义 ➢ DFT基本性质 ➢ 讨论频率取样理论。 ➢ DFT的应用
x(n)W8kn
j 2 kn
e8
n0
N 0
e
j 3k 8
sin(
2
sin(
k) k)
,k
0,1, , 7
8
3.1.2 DFT与FT、Z变换的关系
对长度为M的序列x(n)，其Z变换
N点DFT
进行对比，可以看出
X k X e j 2 k, k 0 ,1 ,L ,N 1 N
式中，
表示z平面单位圆上辐角
x(n)=xep(n)+xop(n) 根据复共轭序列的DFT可得
D F T xepn 1 2D F T xnxN n 1 2 X kX k R e X k D F T xo pn 1 2D F T xnxN n 1 2 X kX k jIm X (k)
因此
X k = D F T x n D F T x e p n x o p n X R k j X I k
样。序列傅里叶变换在区间[0,2π]上的等间隔取样。 ➢ 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 ➢ 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实
际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。
3.2 离散傅里叶变换的性质
离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform
内容提要
离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)是时间 函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。
➢ 离散傅里叶变换定义 ➢ DFT物理意义 ➢ DFT基本性质 ➢ 讨论频率取样理论。 ➢ DFT的应用
x(n)W8kn
j 2 kn
e8
n0
N 0
e
j 3k 8
sin(
2
sin(
k) k)
,k
0,1, , 7
8
3.1.2 DFT与FT、Z变换的关系
对长度为M的序列x(n)，其Z变换
N点DFT
进行对比，可以看出
X k X e j 2 k, k 0 ,1 ,L ,N 1 N
式中，
表示z平面单位圆上辐角
x(n)=xep(n)+xop(n) 根据复共轭序列的DFT可得
D F T xepn 1 2D F T xnxN n 1 2 X kX k R e X k D F T xo pn 1 2D F T xnxN n 1 2 X kX k jIm X (k)
因此
X k = D F T x n D F T x e p n x o p n X R k j X I k
常见傅里叶变换公式
常见傅里叶变换公式
1. 傅里叶级数公式:
设函数 f(t) 周期为 T，可以表示为以下和式：
f(t) = a0 + ∑ [an*cos(nωt) + bn*sin(nωt)]
其中, ω = 2π/T，an 和 bn 是函数 f(t) 的傅里叶系数。
2. 离散傅里叶变换 (DFT) 公式:
函数 f(n) 可以通过以下公式表示为频域的离散复数表示：
F(k) = ∑ [f(n) * exp(-2πikn/N)]
F(k) 表示频域的复数系数，N 是离散样本的总数，k 表示频域的离散频率。
3. 反离散傅里叶变换 (IDFT) 公式:
若已知频域复数系数 F(k)，则原函数 f(n) 可以通过以下公式还原：
f(n) = (1/N) * ∑ [F(k) * exp(2πikn/N)]
N 表示离散样本的总数，n 表示时域的离散时间。
注意：上述公式描述了常见的傅里叶变换和反变换的原理，但并未提及具体的数学表达式符号。
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j 3 2 j
e0 e j e0 e j
e0 f (0) 3 j e 2 f (1) j e f (2) f (3) j 2 e
记作： F Wf 可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时， 参看图4.1(a)。 把单位圆分为N=4份，则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该 行系数。
同理 N=8 见图 4-1(b) 的单位圆。 N=8 的 W 阵应把单位圆分 为8份，顺时顺次转0份,1份、…,7份，可得W阵为:
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11
4.1.2 离散傅里叶变换
1 1 1 1 j 0 W 2 7 W 1 j W 6 1 j 1 W5 2 1 W 4 1 W 3 1 j 1 2 2 W j W1 1 1 j 1 2 1 j 1 j 1 j 1 j 1 1 j 2 j 1 j 2 1 1 j 2 j 1 j 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 j 2 j 1 j 2 1 1 j 2 j 1 j 2 1 j 1 j 1 j 1 j 1 j 2 j 1 j 2 1 1 j 2 j 1 j 2 1
f ( x, y)
ຫໍສະໝຸດ F (u, v)e j 2 (ux vy) dudv
二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为： | F (u , v) | R 2 (u , v) I 2 (u , v)
I (u, v) (u, v) arctan R(u, v)
2018/10/4
F u F u e j u
3
4.1 连续傅里叶变换
F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角：
幅度： 相角：
| F (u) | [ R 2 (u) I 2 (u)]1/ 2
(u ) arctan
I (u ) R(u )
幅度函数|F(u)|称为f(x)的傅里叶谱或频率谱，φ (u)称为 相位谱。
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9
4.1.2 离散傅里叶变换
W
3 4
W
W40
5 8
W86
W87 W80
W42
W84
W
3 8
W
1 4
W81
W82
(b ) 图4.1 复平面单位圆 (a)N＝4 (b)N＝8
2018/10/4
(a)
10
4.1.2 离散傅里叶变换
W 0 W 0 0 1 W W W 0 W 2 0 3 W W W 0 W 0 1 1 1 1 2 3 W W 1 j 1 j 0 2 1 1 1 1 W W 2 1 1 j 1 j W W
I (u ) (u ) arctan R(u ) E(u) | F (u) |2 R 2 (u) I 2 (u)
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7
4.1.2 离散傅里叶变换
2.离散傅里叶变换（DFT）的矩阵表示法 由DFT的定义，N＝4的原信号序列 f(x)={f(0),f(1),f(2),f(3)}的傅里叶变换F(u)展开为：
1
4.1 连续傅里叶变换
1.一维连续傅里叶变换 设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件： (1)具有有限个间断点； (2)具有有限个极值点；
(3)绝对可积。
则定义f(x)的傅里叶变换为：
F (u)
2018/10/4
f ( x)e
j 2ux
dx
4.1 连续傅里叶变换
从F(u)恢复f(x)称为傅里叶反变换，定义为：
f ( x) F (u)e j 2ux du
上述二式形成傅里叶变换对，记做 ：
f ( x) F (u )
函数 f(x) 的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表 示： F(u)=R(u)+jI(u) R(u),I(u)分别为F(u)的实部和虚部。 写成指数形式：
u 0: F (0) [ f (0)e0 f (1)e0 f (2)e0 f (3)e0 ]
u 1: F (1) [ f (0)e0 f (1)e
u 2 : F (2) [ f (0)e0 f (1)e
j
2
2 2
f (2)e
j
2 2
f (3)e
E(u, v) R (u, v) I (u, v)
2 2
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5
4.1.2 离散傅里叶变换
1.一维离散傅里叶变换
对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。
设共采了N个点，则这个离散序列可表示为
{f(0),f(1),…,f(N-1)}。借助这种表达，并令x为离散空域
变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为：
第4章 图像变换
为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需 要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他 空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理， 然后通过逆变换操作转换到图像空间。 本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交 变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。
2018/10/4
E(u) | F (u) |2 R 2 (u) I 2 (u)
称为f(x)的能量谱或称为功率谱。
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4
2.二维连续傅里叶变换
傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数 f(x,y)若f(x,y)满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶 变化对： F (u, v) f ( x, y)e j 2 (ux vy) dxdy
j
3 2
]
]
j
f (2)e
j
4 2
f (3)e
j
6 2
u 3: F (3) [ f (0)e0 f (1)e
2018/10/4
j
3 2
f (2)e
j
6 2
f (3)e
j
9 2
]
8
4.1.2 离散傅里叶变换
将e指数项化简可写成矩阵形式：
e0 F (0) F (1) 0 e F (2) e0 F (3) 0 e e0 e 2 e j e
F (u) f ( x)e
x 0
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N 1
j
2 ux N
6
4.1.2 离散傅里叶变换
2 ux j 1 N 1 f ( x) F (u)e N 傅里叶反变换定义由表示： N u 0
可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。
其傅里叶谱、相位和能量谱如下：
| F (u) | [ R 2 (u) I 2 (u)]1/ 2
e0 e j e0 e j
e0 f (0) 3 j e 2 f (1) j e f (2) f (3) j 2 e
记作： F Wf 可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时， 参看图4.1(a)。 把单位圆分为N=4份，则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该 行系数。
同理 N=8 见图 4-1(b) 的单位圆。 N=8 的 W 阵应把单位圆分 为8份，顺时顺次转0份,1份、…,7份，可得W阵为:
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4.1.2 离散傅里叶变换
1 1 1 1 j 0 W 2 7 W 1 j W 6 1 j 1 W5 2 1 W 4 1 W 3 1 j 1 2 2 W j W1 1 1 j 1 2 1 j 1 j 1 j 1 j 1 1 j 2 j 1 j 2 1 1 j 2 j 1 j 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 j 2 j 1 j 2 1 1 j 2 j 1 j 2 1 j 1 j 1 j 1 j 1 j 2 j 1 j 2 1 1 j 2 j 1 j 2 1
f ( x, y)
ຫໍສະໝຸດ F (u, v)e j 2 (ux vy) dudv
二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为： | F (u , v) | R 2 (u , v) I 2 (u , v)
I (u, v) (u, v) arctan R(u, v)
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F u F u e j u
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4.1 连续傅里叶变换
F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角：
幅度： 相角：
| F (u) | [ R 2 (u) I 2 (u)]1/ 2
(u ) arctan
I (u ) R(u )
幅度函数|F(u)|称为f(x)的傅里叶谱或频率谱，φ (u)称为 相位谱。
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4.1.2 离散傅里叶变换
W
3 4
W
W40
5 8
W86
W87 W80
W42
W84
W
3 8
W
1 4
W81
W82
(b ) 图4.1 复平面单位圆 (a)N＝4 (b)N＝8
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(a)
10
4.1.2 离散傅里叶变换
W 0 W 0 0 1 W W W 0 W 2 0 3 W W W 0 W 0 1 1 1 1 2 3 W W 1 j 1 j 0 2 1 1 1 1 W W 2 1 1 j 1 j W W
I (u ) (u ) arctan R(u ) E(u) | F (u) |2 R 2 (u) I 2 (u)
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4.1.2 离散傅里叶变换
2.离散傅里叶变换（DFT）的矩阵表示法 由DFT的定义，N＝4的原信号序列 f(x)={f(0),f(1),f(2),f(3)}的傅里叶变换F(u)展开为：
1
4.1 连续傅里叶变换
1.一维连续傅里叶变换 设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件： (1)具有有限个间断点； (2)具有有限个极值点；
(3)绝对可积。
则定义f(x)的傅里叶变换为：
F (u)
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f ( x)e
j 2ux
dx
4.1 连续傅里叶变换
从F(u)恢复f(x)称为傅里叶反变换，定义为：
f ( x) F (u)e j 2ux du
上述二式形成傅里叶变换对，记做 ：
f ( x) F (u )
函数 f(x) 的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表 示： F(u)=R(u)+jI(u) R(u),I(u)分别为F(u)的实部和虚部。 写成指数形式：
u 0: F (0) [ f (0)e0 f (1)e0 f (2)e0 f (3)e0 ]
u 1: F (1) [ f (0)e0 f (1)e
u 2 : F (2) [ f (0)e0 f (1)e
j
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2 2
f (2)e
j
2 2
f (3)e
E(u, v) R (u, v) I (u, v)
2 2
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4.1.2 离散傅里叶变换
1.一维离散傅里叶变换
对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。
设共采了N个点，则这个离散序列可表示为
{f(0),f(1),…,f(N-1)}。借助这种表达，并令x为离散空域
变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为：
第4章 图像变换
为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需 要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他 空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理， 然后通过逆变换操作转换到图像空间。 本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交 变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。
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E(u) | F (u) |2 R 2 (u) I 2 (u)
称为f(x)的能量谱或称为功率谱。
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4
2.二维连续傅里叶变换
傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数 f(x,y)若f(x,y)满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶 变化对： F (u, v) f ( x, y)e j 2 (ux vy) dxdy
j
3 2
]
]
j
f (2)e
j
4 2
f (3)e
j
6 2
u 3: F (3) [ f (0)e0 f (1)e
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j
3 2
f (2)e
j
6 2
f (3)e
j
9 2
]
8
4.1.2 离散傅里叶变换
将e指数项化简可写成矩阵形式：
e0 F (0) F (1) 0 e F (2) e0 F (3) 0 e e0 e 2 e j e
F (u) f ( x)e
x 0
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N 1
j
2 ux N
6
4.1.2 离散傅里叶变换
2 ux j 1 N 1 f ( x) F (u)e N 傅里叶反变换定义由表示： N u 0
可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。
其傅里叶谱、相位和能量谱如下：
| F (u) | [ R 2 (u) I 2 (u)]1/ 2