离散傅里叶变换(DFT)

sin( k ) 2 , k 0,1, ,7 sin( k ) 8
kn 16
设变换区间N=16， 则
X (k ) x(n)W
n 0
15
e
N 0
3
j
2 kn 16
e
3 j k 16
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16
具体而言，即：
(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓
(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓 (3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值 区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。
（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同 周期序列）
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (1)周期序列的主值区间与主值序列
DFT 矩阵方程为:X WN x 即: 1 X (0) 1 X (1) 1 WN 1 WN 2 X (2) ＝ 1 ( N 1) X ( N 1) 1 W N 1 WN 2 WN 4 WN 2( N 1)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
一. 引言
3.1 离散傅里叶变换的定义
我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信 号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号 处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换 (DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可 以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得 以实现。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理 中也起着核心作用。
1 ak N
x ( n )e
n 0
N 1
j
2 kn N
令X (k ) Nak
2 n(k N ) N
X ( k ) x ( n )e
n 0
N 1
j
2 nk N
X (k N )
x ( n )e
n 0
N 1
j
x ( n )e
n 0
N 1
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 。
解：DFT定义式为：X (k ) 设变换区间N=8， 则
7
kn x ( n ) W N n 0
3 j 2 kn 8
N 1
X (k ) x(n)W8kn e
n 0 N 0
e
3 j k 8

第3章 离散傅里叶变换(DFT) (4)DFT和Z变换的关系
x ( n ), n 0,1,
X ( z ) ZT [ x(n)] x(n) z n
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , n 0 n 0 N 1
N 1
, N 1
0 k N-1
x(n) 。因此它的DTFT 因为周期序列不满足条件： n 不存在。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达， 周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。 (1)DFS定义 2

正变换： X ( k ) DFS [ x ( n )]
x ( n )e
n 0 N 1 k 0
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (3)周期序列的傅里叶变换表示 x(n) 。因此它的DTFT 因为周期序列不满足条件： n 不存在。但是，通过引入奇异函数δ 其DTFT可以用公式 表示。
x(n) x(n kN ), k
1 x(n) N
X ( k )e
k 0
X (k ) x(n)W
n 0 ~ N 1 ~ kn N kn x((n)) N WN n 0 kn N N 1
1 x(n) N
~
X (k )W
k 0
N 1 ~
1 N
X ((k ))
k 0
N 1
kn W N N
从上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到 n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。 因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变 换(DFT)的定义。 有限长序列隐含着周期性。
N 1
j
2 kn N
2 j X (e ) N
2 X (k ) ( k) N k

其中 : X (k ) x (n )e
n 0
N 1
j
2 kn N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四. 离散付里叶变换
周期序列实际上只有有限个序列值才有意义 ，因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。
y ( n ) x1 ( m ) x 2 (( n m )) N R N ( n )
N 1
x1 ( n ) x 2 ( n ) x 2 ( n ) x1 ( n )
x (n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1， 对于周期序列 ~ 为 ~ x (n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序 列 x(n)。
x (n) 的关系可描述为： x(n)与 ~ x (n)是x(n)的周期延拓 ~ ~ x ( n ) 是 x (n)的"主值序列 " 数学表示：
x(n) x(n mN ) x((n)) N m x(n) x(n) R (n) x((n)) R (n) N N N
N 1
j
N
nk
1 反变换：x ( n ) IDFS [ X ( k )] N
X ( k )e
2 j nk N
一般记：
WN e
j
2 N
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
x(n) x(n kN ), k
x(n)
x(n ) 可以展成傅里叶级数：
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
二. 四种信号傅里叶表示
(1) 周期为T的连续时间周期信号
x (t )
1 t T 0 2 / T X ( k 0 ) x (t ) e jk 0t dt T t 时域周期频域离散。频谱特点:离散非周期谱
(2) 连续时间非周期信号
FS
4.
离散周期
离散周期
DFS
切实理解四种FT之间的对应关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
三. 离散付里叶级数(DFS)
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及 其离散傅里叶级数（DFS）表示。然后讨论可作为周期函 数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。 周期序列
x(n) x(n kN ), k

k
a e
k n 0

N 1
j
2 2 kn j mn N N
e
e
n 0
N 1
j
2 ( k m ) n N
根据正交定理
x(n)e
n 0
N 1
j
2 mn N
Nam
令k=m
1 ak N
x ( n )e
n 0
N 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图 3.2.1
循环移位过程示意图
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 2. 序列的圆周卷积 设 x1 ( n ) 和 x 2 ( n ) 是两个具有相同长度N的有限长序列( 若不等，对序列补零使其为N点， N max( N 1 , N 2 ) )，定 义圆周卷积：
x((n)) N 表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算
n 25, N 9, 25 9 7
第3章 离散傅里叶变换(DFT) x(n)
0
~ x (n)
N-1
n
...
0 N-1
...
n
定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)从DFS到离散傅里叶变换 如果x(n)的长度为N， 且 x(n) x((n)) N ， 则可 写出 x(n) 的离散傅里叶级数表示为：
nk X (k ) x(n 1 x (1) 2( N 1) WN x (2) ( N 1)( N 1) WN x ( N 1) 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
DFT
nk X (k ) DFT x (n ) x (n )WN ， 0 k N 1 n 0
N 1
1 x(n) IDFT X (k ) N
nk X ( k ) W N ,0 n N 1 k 0
N 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (3)离散傅里叶变换的矩阵方程
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
jIm(z)
2 m N j
z 平面
2 N
-1
0
1 2 ( N 1) N
Re(z)
单位圆 -j
图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e jω)的关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 基本概念
1. 序列的圆周移位
序列x(n)，长度为N，则x(n)的圆周移位定义为：
y(n) x((n m)) N RN (n)
循环移位过程：
circshift(a,[0,-1])
x(n)
周期延拓
x(n) x((n)) N