第6章 杆件的应力与强度计算6.1 轴向拉压杆的应力与强度计算6.1.1 应力的概念为了分析内力在截面上的分布情况，从而对杆件的强度进行计算，必须引入应力的概念。
图6-1（a ）所示的受力体代表任一受力构件。
pc)F图6-1由于截面上内力的分布一般不是均匀的，所以平均应力m p 与所取小面积A ∆的大小有关。
令A ∆趋于零，取极限0limA Fp A∆→∆=∆ (b)6.1.2轴向拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的内力为轴力N F ，与轴力N F 对应的应力为正应力σ。
NF Aσ=(6-1) 式（6-1）就是轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。
6.1.3轴向拉压杆的强度条件 1.强度条件材料所能承受的应力值有限，它所能承受的最大应力称为该材料的极限应力，用u σ表示。
材料在拉压时的极限应力由试验确定。
为了使材料具有一定的安全储备，将极限应力除以大于1的系数n ，作为材料允许承受的最大应力值，称为材料的许用应力，以符号[]σ表示，即u []nσσ=(6-2)式中n 称为安全系数。
为了确保拉压杆不致因强度不足而破坏，应使其最大工作应力max σ不超过材料的许用应力，即Nmax F Aσ=≤[]σ (6-3) 2.强度条件的三方面应用(1) 强度校核：杆件的最大工作应力不应超过许用应力，即Nmax F Aσ=≤[]σ (2) 选择截面尺寸 ： 由强度条件式（6-3），可得A ≥N[]F σ 式中A 为实际选用的横截面积，(3) 确定许用荷载： 由强度条件可知，杆件允许承受的最大轴力N []F 的范围为N F ≤[]A σ6.2材料在轴向拉压时的力学性质在计算拉压杆的强度与变形时，要涉及材料的极限应力u σ和弹性模量E 等，这些反映材料在受力过程中所表现出的有关性质，统称为材料的力学性质。
6.2.1低碳钢在拉伸时的力学性质1．拉伸图与应力-应变曲线将试件装入试验机的夹头后启动机器，使试件受到从零开始缓慢增加的拉力F 作用，试件在标距l 长度内产生相应的变形l ∆。
将一系列F 值和与之对应的l ∆值绘成F l -∆关系曲线，称为拉伸图。
低碳钢试件的拉伸图如图6-7所示。
低碳钢的σε-曲线如图6-8所示。
l图6-7 图6-82．σε-曲线的四个特征阶段 （1）弹性阶段（图6-8中的Oa '段） （2）屈服阶段（图6-8中的bc 段） （3）强化阶段（图6-8中的cd 段） （4）颈缩阶段（图6-8中的de 段） 3．延伸率和截面收缩率 延伸率1100%l llδ-=⨯ （6-4）截面收缩率1100%A A Aψ-=⨯ （6-5） 4．冷作硬化若在σε-曲线强化阶段内的某点K 时，将荷载慢慢卸掉，此时的σε-曲线将沿着与Oa 近于平行的直线KA 回落到A 点（图6-8）。
这表明材料的变形已不能全部消失，存在着OA 表示的残余线应变，即存在着塑性变形（图中AB 为卸载后消失的线应变，此部分为弹性变形）。
如果卸载后再重新加载，σε-曲线又沿直线AK 上升到K 点，以后仍按原来的σε-曲线变化。
将卸载后再重新加载的σε-曲线与未经卸载的σε-曲线相对比，可看到，材料的比例极限得到提高（直线部分扩大了），而材料的塑性有所降低，此现象称为冷作硬化。
6.2.2铸铁拉伸时的力学性质铸铁是典型的脆性材料，其拉伸时的σε-曲线如图6-9所示。
与低碳钢相比，其特点为：（1）σε-曲线为一微弯线段，且没有明显的阶段性。
（2）拉断时的变形很小，没有明显的塑性变形。
（3）没有比例极限、弹性极限和屈服极限，只有强度极限且其值较低。
200400图6-9 图6-10 图6-116.2.3其他材料拉伸时的力学性质图6-10中给出了几种塑性金属材料拉伸时的σε-曲线，其中：①为锰钢，②为铝合金，③为球墨铸铁，④为低碳钢。
它们的共同特点是拉断前都有较大的塑性变形，延伸率比较大。
在有关规定中，是以产生0.2%塑性应变时所对应的应力作为名义屈服极限并以0.2σ表示（图6-11）。
6.2.4低碳钢压缩时的力学性质低碳钢压缩时的σε-曲线如图6-12所示。
将其与拉伸时的σε-曲线相对比：弹性阶段和屈服阶段与拉伸时的曲线基本重合，比例极限、弹性极限和屈服极限均与拉伸时的数值相同；在进入强化阶段后，曲线一直向上延伸，测不出明显的强度极限。
图6-12 图6-136.2.5铸铁压缩时的力学性质铸铁压缩时的σε-曲线如图6-13所示，仍是与拉伸时类似的一条微弯曲线，只是其强度极限值较大，它远大于拉伸时的强度极限值。
这表明铸铁这种材料是抗压而不抗拉的。
6.2.6许用应力的确定前面已经知道，许用应力是材料的极限应力除以大于1的安全系数，即 u[]nσσ=（6-6）在了解了材料的力学性质后，便可进一步来确定不同材料的极限应力u σ。
脆性材料是以强度极限b σ为极限应力，即[]bbn σσ=塑性材料则是以屈服极限s σ为极限应力，即[]ssn σσ=b n 和s n 分别为脆性材料的和塑性材料的安全系数。
6.3剪切与挤压的应力与强度计算剪切变形是杆件的基本变形形式之一。
当杆件受一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的横向力作用时，二力之间的截面将沿外力方向发生错动（图6-14），此种变形称为剪切。
发生错动的截面称为受剪面或剪切面。
FF图6-146.3.1剪切的实用计算及强度条件如图6-16（a ）所示用铆钉连接的两钢板，拉力F 通过板的孔壁作用在铆钉上，称bs F 为挤压力，显然bs F F =。
图6-160xF=∑ ， 0s bs F F -= ， s bs F F F ==s F 称为剪力，它以切应力τ的形式分布在受剪面a a -上（图6-16（d ））。
sF Aτ=(6-7)为计算切应力，也称为名义切应力。
进行剪切强度计算时的强度条件为s F Aτ=≤[]τ (6-8)6.3.2挤压的实用计算及强度条件连接件铆钉在受剪切的同时，还受挤压。
挤压是指荷载作用下铆钉与板壁接触面间相互压紧的现象。
挤压强度计算，需求出挤压面上的挤压应力。
如图6-17b 所示，其上挤压应力的分布比较复杂，如图6-17（c ）所示，a)b)c)图6-17以挤压力bs F 除以计算挤压面面积bs A ，所得的平均值作为计算挤压应力，即bsbsbs A F =σ (6-9) 挤压强度条件为bsbs bsF A σ=≤[]bs σ （6-10) 式中[]bs σ为材料的许用挤压应力，由材料的挤压破坏试验并考虑安全系数后得到。
6.3.3剪切胡克定律实验证明：当切应力不超过材料的剪切比例极限p τ时，切应力τ与切应变γ成正比，用下式表示γτG = (6-11)式（6-11）称为剪切胡克定律。
式中G 称为材料的剪切弹性模量，是表示材料抵抗剪切变形能力的量，它的量纲与应力相同。
各种材料的G 值由实验测定。
6.4圆杆扭转时的应力及强度条件6.4.1圆杆扭转时横截面上的切应力 1. 观察变形现象并提出假设 2. 推导切应力计算公式3． 圆截面极惯性矩P I 的计算 6.4.2圆杆扭转时的强度条件maxmax pT W τ=≤[]τ (6-16) 式（6-16）就是圆杆扭转时的切应力强度条件。
6.5截面的几何性质6.5.1静矩与形心 1.静矩设任意形状的截面图形如图6-24所示，其面积为A ，y 轴和z 轴为截面所在平面内的坐标轴。
在坐标(),z y 处，取微面积d A ，把d y A 和zd A 分别称为d A 对z 轴和y 轴的静矩，在整个截面积A 上的积分d z AS y A=⎰，zd y AS A=⎰ (6-17)分别定义为该截面对z 轴和y 轴的静矩，又称为面积矩。
图6-242．形心坐标公式结合静矩定义式(6-17)可以导出形心C y 和C z 的计算公式z c S Ay =，y c S Az = (6-18)6.5.2惯性矩和惯性积在图6-24中，将乘积2d y A 和2d z A 分别称为微面积d A 对z 轴和y 轴的惯性矩，则有2d z AI y A =⎰2d y AI z A =⎰ (6-19)d zy AI yz A=⎰ (6-20)6.5.3组合截面的静矩和惯性矩计算 主轴和主惯性矩1.惯性矩的平行移轴公式2C z z I I a A =+2C y y I I b A =+ (6-21)2.组合截面的静矩和惯性矩计算计算组合截面对某轴的静矩时，可分别计算各简单图形对该轴的静矩，然后再代数相加，即1nz i i i S A y ==∑1ny i i i S A z ==∑ (6-22)3.主轴和主惯性矩若截面对某一对直角坐标轴的惯性积等于零，则该直角坐标轴称为主惯性轴或简称为主轴，截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。
当主轴通过截面形心时，则称为形心主轴，截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
6.6弯曲梁的应力与强度计算6.6.1梁横截面上的正应力梁受力弯曲后，横截面上只产生弯矩而无剪力的弯曲称为纯弯曲。
下面以纯弯曲梁为研究对象，分析梁横截面上的正应力。
图6-281.几何方面如图6-30，线应变为d d d s y y x θερθρ∆===(a)2图6-302.物理方面在弹性范围内，正应力σ与线应变ε成正比，即E σε=将式(a)代入上式得yE Eσερ==(b)3.静力学方面纯弯曲梁横截面上任一点处的正应力计算公式为z M yI σ=（6-24)6.6.2梁的正应力强度条件根据强度要求，梁内的最大正应力不能超过材料的许用应力[]σ，即maxmax [] zM W σσ≤=(6-25) 6.6.3截面的合理形状及变截面梁 1.梁的合理截面形状梁的强度计算，一般是由正应力的强度条件控制的。
由强度条件max max z M W σ=≤[]σ可知，最大正应力与弯曲截面系数z W 成反比，z W 愈大就愈有利。
而z W 值的大小与截面的面积及形状有关。
从强度角度看z W 值愈大就愈合理。
2.变截面梁 等截面梁的截面尺寸是以最大弯矩max M 所在的危险截面确定的，当危险截面上正应力达到许用值时，其他截面上的最大应力必定不会超过许用值。
为节省材料，可采取弯矩大的截面用较大的截面尺寸，弯矩小的截面用较小的截面尺寸。
这种截面尺寸沿轴线变化的梁，称为变截面梁。
6.6.4梁横截面上的切应力及切应力强度条件1.矩形截面梁的切应力a ） b)图6-37对于图6-37（a ）所示的矩形截面,截面上存在剪力S F ，经推导后可得如下切应力公式s zz F S I b τ= (6-26)2.工字形截面的切应力工字形截面梁的切应力计算公式，其公式的形式与矩形截面完全相同。
即S zz F S I d τ=式中S F 为截面上的剪力；z I 为工字形截面对中性轴的惯性矩；z S 为欲求应力点到截面边缘间的面积A *（图6-38中的阴影面积）对中性轴的静矩；d 为腹板的厚度。
