20182019学年高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1第二课时类比推理讲义含解析苏教版选修222

2．1.2 演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．知识点一演绎推理思考分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．梳理演绎推理的概念知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案分为三段．大前提：所有的金属都能导电．小前提：铜是金属．结论：铜能导电．梳理三段论的基本模式1．演绎推理的结论一定正确．( ×)2．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断．( √)3．大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的．( √)类型一演绎推理与三段论例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；②等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；③通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．考点“三段论”及其应用题点三段论的应用解①平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论②等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B. 结论③在数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提当通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数考点“三段论”及其应用题点三段论的结构答案 B解析对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．类型二演绎推理的应用命题角度1 证明几何问题例2 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用证明因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF. 结论反思与感悟(1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论．(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．跟踪训练2 已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用证明因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，小前提所以EF∥BD. 结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提。

高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理讲义新人教A 版选修221．归纳推理(1)概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类事物的□02全部对象都具有这些特征的推理，或由□03个别事实概括出□04一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． (2)特征：归纳推理是由□05部分到□06整体、由□07个别到□08一般的推理． (3)一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些□09相同性质；第二步，从已知的□10相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．类比推理(1)概念：由两类对象具有某些□11类似特征和其中一类对象的某些□12已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由□13特殊到□14特殊的推理． (3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的□15相似性或□16一致性；第二步，用一类事物的□17性质去推测另一类事物的□18性质，得出一个明确的命题(猜想)． 3．合情推理 (1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过□19观察、□20分析、□21比较、□22联想，再进行□23归纳、□24类比，然后提出□25猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． (2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用. ( ) (3)归纳推理是由个别到一般的推理．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)，则可归纳猜想{a n }的通项公式为__________________．(2)数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________．(3)等差数列{a n }中有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，类比以上结论，在等比数列{b n }中类似的结论是__________．答案 (1)a n ＝2n ＋1(n ∈N *) (2)65 (3)b 2n ＝b n －1·b n ＋1(n ≥2且n ∈N *)探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解] 当n ＝1时，a 1＝1， 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12，当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13，当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14，…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列{a n }的通项公式是a n ＝1n.[解法探究] 此题有没有其他解法呢？[解] 因为a n ＋1＝a n 1＋a n ，即1a n ＋1＝1a n＋1，所以1a n ＋1－1a n＝1，又a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为1的等差数列．所以1a n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n.拓展提升在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n 项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能．【跟踪训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为________．答案2n n ＋1解析 因为a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝4a 2，所以a 2＝13，所以S 2＝13×4＝43，同理，可得S 3＝64，S 4＝85，归纳可得，S n ＝2nn ＋1.探究2 几何中的归纳推理例2 定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中(1)，(2)，(3)，(4)，那么图中的(a )，(b)所对应的运算结果可能是( )A ．B *D ，A *D B ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *DD ．C *D ，A *D[解析] 从运算图形中，归纳出“*”表示什么运算，A ，B ，C ，D 分别表示什么图形，即可研究(a )，(b)所对应的运算结果．依题意，运算“*”表示图形叠加，由4个运算图形归纳得出：A 是一条竖直线段，B 是一个正方形，C 是一条水平线段，D 是一个圆．所以(a )中的图形应为B *D ，(b)中的图形应为A *C .故选B.[答案] B 拓展提升归纳推理在几何中应用的关键在几何中随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找递推关系是解决该类问题的关键．【跟踪训练2】 设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用含n 的数学表达式表示)．答案 5 12(n －2)(n ＋1)解析 由图可知，f (4)＝5，当n >4时，可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1.由f (n )－f (n －1)＝n －1，得f (n －1)－f (n －2)＝n －2，…，f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)．又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2，化简、整理，得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)．探究3 数列中的类比推理例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． [解析] 等比数列类比等差数列时，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． [答案]T 8T 4 T 12T 8拓展提升类比推理的一般模式为：A 类事物具有性质a ，b ，c ，d ，B 类事物具有性质a ′，b ′，c ′(a ，b ，c 分别与a ′，b ′，c ′相似或相同)，所以B 类事物可能具有性质d′(d 与d′相似或相同)．【跟踪训练3】 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有通项满足b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n∈N *)的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地有，若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则通项满足d n ＝________(n ∈N *)的数列也是等比数列．答案nc 1c 2c 3…c n解析 由等差数列、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性，等差数列与等比数列类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想d n ＝nc 1c 2c 3…c n .探究4 几何中的类比推理例4 平面几何里有“设直角三角形ABC 的两直角边分别为a ，b ，斜边上的高为h ，则1a 2＋1b 2＝1h2”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两垂直，其长分别为a ，b ，c ，平面BCD 上的高为h ，则________”．[解析] 如图所示，设A 在底面的射影为O ，连接BO 并延长交CD 于E .连接AE ，由AB ⊥AC ，AB ⊥AD 得AB ⊥平面ACD .∴AB ⊥AE .设AE ＝h 1，在Rt△ABE中，由已知可得1a2＋1h21＝1h2.又易证CD⊥平面ABE，∴CD⊥AE.在Rt△ACD中有1h21＝1b2＋1c2，∴1a2＋1b2＋1c2＝1h2.[答案]1a2＋1b2＋1c2＝1h2拓展提升解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：平面图形点直线边长面积三角形线线角空间图形直线平面面积体积四面体面面角【跟踪训练4】类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2＋AC2＝BC2.若三棱锥A－BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为________．答案S2△BCD＝S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ADB解析在直角三角形中，根据勾股定理，两个直角边的平方和是斜边的平方，类比到三个侧面两两垂直的三棱锥中，有三个两两垂直的侧面面积的平方和等于第四个面的面积的平方．合情推理主要包括归纳推理与类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．但是，归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.1．如下图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案 A解析 由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A ．6n －2B ．8n －2C ．6n ＋2D ．8n ＋2 答案 C解析 观察可知，每多一条金鱼，需要多出6根火柴，而第一条金鱼用了6＋2＝8根火柴棒，所以金鱼火柴棒根数的通项公式为6n ＋2.故选C.3．请仔细观察，运用合情推理，写在下面横线上的数最可能的是1,1,2,3,5，________，13.答案 8解析 从第三项起，每一项是它前两项的和，根据这个规律，应填写的数字是8. 4．在平面内与圆心距离相等的两弦的长相等，类似地，在空间内与________． 答案 球心距离相等的两截面的面积相等 解析 由圆可类比球，圆的弦可类比球的截面圆． 5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)，a 1＝0，试通过计算a 2，a 3，a 4，a 5的值，猜测{a n }的通项公式．解 由a n ＋1＝12－a n 和a 1＝0，得a 2＝12－0＝12，a 3＝12－12＝23，a 4＝12－23＝34，a 5＝12－34＝45.观察以上5项，猜测{a n }的通项公式为a n ＝n －1n.。