合情推理与演绎推理的意义

演绎推理与归纳推理的实际应用引言在日常生活中，我们经常需要进行推理和判断，以解决各种问题和决策。

推理是从已知事实或前提出发，通过逻辑推断得出结论的过程。

在推理过程中，演绎推理和归纳推理是两种常见的推理方式。

演绎推理是从一般到特殊的推理方法，而归纳推理是从特殊到一般的推理方法。

本文将探讨演绎推理和归纳推理在实际应用中的例子和意义。

演绎推理的实际应用演绎推理是一种从一般规律或原则出发，通过逻辑推理得出特殊情况的结论的方法。

在日常生活中，我们经常使用演绎推理来解决问题和做出决策。

以下是几个演绎推理的实际应用的例子：法律推理在法律领域中，演绎推理被广泛应用于推断证据和判断案件的犯罪嫌疑人。

例如，在一个谋杀案中，法官和陪审团会根据被告的行为、目击证人的证词和物证等进行演绎推理，以确定被告是否有罪。

科学推理科学研究中的演绎推理也是非常重要的。

科学家通过观察到的实验结果和观测数据，运用演绎推理来提出假设或理论，并进行验证和实验。

例如，爱因斯坦的相对论就是通过演绎推理提出并验证的。

数学推理数学中的演绎推理是最为常见和重要的。

数学家通过已知的公理和定理，运用演绎推理来推导出其他的数学结论。

例如，欧几里得几何中的证明过程就是典型的演绎推理。

归纳推理的实际应用归纳推理是一种从特殊情况出发，通过观察和总结得出一般规律的推理方法。

在现实生活中，我们经常使用归纳推理来总结经验和发现普遍规律。

以下是几个归纳推理的实际应用的例子：医学诊断在医学诊断中，医生会根据病人的症状和体征，通过观察病例和比对病例数据库，使用归纳推理来判断病人可能患有的疾病。

医生能够通过观察和总结大量的病例，从而形成一般性的诊断规律。

市场调研在市场调研中，研究人员通过调查和观察消费者的行为和偏好，使用归纳推理来得出市场趋势和潜在需求。

通过总结大量的市场数据，研究人员可以得出一般性的结论，并为企业制定战略决策提供依据。

教育教学在教育教学中，教师会根据学生的表现和成绩，通过总结和观察学生的学习态度和方法，使用归纳推理来确定教学方法和策略。

合情推理和演绎推理之间的联系和差异1．合情推理和演绎推理之间的联系和差异【知识点的认识】合情推理：“合乎情理”的推理，包括归纳推理和类比推理．①归纳推理：特殊→一般，部分→整体②类比推理：特殊→特殊演绎推理：又称为“逻辑推理”，从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．形式为：一般→特殊区别：（1）合情推理前提为真，结论可能为真，是或然性推理；演绎推理前提为真，结论亦为真，是必然性推理．（2）合情推理中的归纳、类比是“开拓型”和“发散型”的思维方法，虽然结论未必正确，但有创造性，对科学发现有帮助；演绎推理是“收敛型”或“封闭型”的思维方法，虽然结论一定正确，但不能取得突破性进展，形式化程度比合情推理高．联系：合情推理和演绎推理二者相辅相成，就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理．【命题方向】常以选择、填空题形式出现，属于基础题，注意弄清合情推理和演绎推理之间的区别和联系．例：给出下面几个推理：①由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；④由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．其中是演绎推理的序号是．分析：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，结果①是一个归纳推理，③是一个类比推理，②④是演绎推理．解答：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；这是一个归纳推理，故①不选；由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；是一个演绎推理，故选②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；这是一个类比推理，故不选③由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．这是一个演绎推理，故选④总上可知②④符合要求，故答案为：②④点评：本题考查演绎推理的特点，考查归纳推理和类比推理的特点，本题是一个基础题，这种题目不用计算，只要根据几个推理的特点得到正确结论即可．。

归纳推理是什么与演绎推理对⽐有什么特点 根据⼀类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理叫做归纳推理。

以下是由店铺整理的归纳推理的内容，希望⼤家喜欢! 归纳推理的主要介绍 例如:在⼀个平⾯内，直⾓三⾓形内⾓和是180度;锐⾓三⾓形内⾓和是180度;钝⾓三⾓形内⾓和是180度;直⾓三⾓形，锐⾓三⾓形和钝⾓三⾓形是全部的三⾓形;所以，平⾯内的⼀切三⾓形内⾓和都是180度。

这个例⼦从直⾓三⾓形，锐⾓三⾓形和钝⾓三⾓形内⾓和分别都是180度这些个别性知识，推出了"⼀切三⾓形内⾓和都是180度"这样的⼀般性结论，就属于归纳推理。

传统上，根据前提所考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。

完全归纳推理考察了某类事物的全部对象，不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象。

并进⼀步根据前提是否揭⽰对象与其属性间的因果联系，把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。

现代归纳逻辑则主要研究概率推理和统计推理。

归纳推理的前提是其结论的必要条件。

其次，归纳推理的前提是真实的，但结论却未必真实，⽽可能为假。

如根据某天有⼀只兔⼦撞到树上死了，推出每天都会有兔⼦撞到树上死掉，这⼀结论很可能为假，除⾮⼀些很特殊的情况发⽣，⽐如地理环境中发⽣了什么异常使得兔⼦必以撞树为快。

我们可以⽤归纳强度来说明归纳推理中前提对结论的⽀持度。

⽀持度⼩于50%的，则称该推理是归纳弱的;⽀持度⼩于100%但⼤于50%的，称该推理是归纳强的;归纳推理中只有完全归纳推理前提对结论的⽀持度达到100%，⽀持度达到100%的是必然性⽀持。

归纳推理的数理逻辑通⽤演算形式为：s1⊆p+s2⊆p+s3⊆p+〈n〉(s⊆p)=∀×(s⊆p)。

归纳推理与演绎推理对⽐ 归纳推理和演绎推理既有区别、⼜有联系。

区别 1,思维进程不同。

归纳推理的思维进程是从个别到⼀般，⽽演绎推理的思维进程不是从个别到⼀般，是⼀个必然地得出的思维进程。

比翼齐飞：合情推理与演绎推理作者：王旭童莉来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2012年第12期摘要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确要求发展学生的合情推理与演绎推理的能力，而在数学教学过程中，一线教师对合情推理与演绎推理的关系处理上有失偏颇. 本文通过案例分析，探讨合情推理与演绎推理联合运用对于数学教学的益处.关键词：合情推理；演绎推理；数学教学《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式. 推理一般包括合情推理和演绎推理. 合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果. 演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证明结论.解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性.在实施新课改之前，我国传统数学教育重视演绎推理.而在实施新课改后，演绎推理相对来说被弱化，与之相比，合情推理得到重视. 一线的中小学教师，还有一些高校学者都积极投入到对“合情推理”的研究当中去，试图在教学活动中引入合情推理，为的是契合课标的要求，而演绎推理在数学上是作为一种严格的推理方法使用，是数学严谨性的体现. 因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的. 笔者以具体案例加以阐述.案例1 合情推理与演绎推理齐上阵，消除不合理类比的误导在学习一元一次不等式的解的时候，很多同学在解不等式的时候会出错.例1？摇-2x+3>4解：移项：？摇？摇？摇？摇 -2x>4-3合并同类项： -2x>1两边同除以-2： x>-这是一个典型的错解. 究其原因，是因为教师在讲解一元一次不等式的解法时运用一个类比（合情推理）的方法.一元一次方程一元一次不等式3x-5=-x-9？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 3x-5移项：？摇？摇？摇 3x+x=-9+5？摇 3x+x合并同类项： 4x=-4 4x两边同除以4： x=-1？摇 x学生认为“老师讲解的时候，等号与不等号的两边都有正负号，没有变号，我解的过程和老师要求的一样啊！”显然，这个类比没有关注到不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.这就是类比的不合理给学生的学习带来了误导.如果改变成：一元一次方程一元一次不等式-3x-5=-x-9？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 -3x-5移项：？摇？摇？摇 -3x+x=-9+5？摇 -3x+x合并同类项： -x=-4 -x两边同乘以-2： x=8 x>8这会比原来类比的好，但是也有一个问题，在解不等式的时候老想着等式，一些学生的思维就会发生混乱，在不等号的方向是否要改变上犯了难. 学生为什么产生疑惑？？摇？摇按照学习迁移理论，先前的学习对以后的学习的产生的影响有正迁移（一种学习对另一种学习起促进作用）和负迁移（一种学习对另一种学习起干扰或抑制作用）之分. 把一元一次方程的解法通过类比来得到一元一次不等式的解法，可以说，教师的初衷是好的，而且是想发挥正迁移的功效，但是负迁移的影响却被忽略了，这就直接导致学生在不等号的方向是否要改变上犯了难. 所以，在教学中要尽量消除负迁移的影响，不妨通过演绎推理来说明之.在这里，教师可以直接对命题“如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c证明：ac-bc=（a-b）c，因为a>b，所以a-b>0，根据“同号相乘得正，异号相乘得负”，得当c>0时，（a-b）c>0，即ac>bc；当c接下来，教师可以让学生试着证明“不等式两边除以同一个负数，不等号的方向改变”. 这就涉及数学文字语言向数学符号语言的转化，有利于培养学生的数学符号意识，进一步体会不等式的解法.合情推理与演绎推理齐上阵，消除不合理类比的误导.这不仅让学生更好地理解“不等式两边同乘一个负数，不等号的方向改变”，还渗透“作差法”这一证明不等式的基本思想方法.案例2 合情推理与演绎推理联手，体验发现结论到验证结论的过程？摇例2 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.1. 观察发现结论①如图1， AB，CD是⊙O的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？②如图2，当AB⊥CD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？③如图3，当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？2. 提出猜想（合情推理）：根据以上的研究和图3，可以引导学生大胆提出这样的猜想：CD是圆O的直径，CD⊥弦AB，垂足为E？圯AE=BE，劣弧AC=劣弧BC，优弧AD=优弧BD.3. 验证猜想：教师用电脑课件演示图3中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径.4. 引导证明（演绎推理）：猜想是否正确，还有待于证明.证明：如图4，连结OA，OB，？摇因为OA，OB是⊙O的半径，？摇所以OA=OB. 所以△OAB是等腰三角形？摇. 因为AB⊥CD，所以AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一），所以劣弧AC=劣弧BC，∠AOD=∠BOD，所以优弧AD=优弧BD.这是一个典型的认知策略教学与探究合作学习相结合的案例. 例2从学生的角度来说是共同探究，合作学习；从教师的角度来说是认知策略的教学. 这有助于学生相互观察，相互讨论，加深对学习内容的理解，提高学生的认知策略学习. 通过教学让学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具. 通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验从发现结论到验证结论的过程，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程.可见，通过合情推理，猜测结论，获得分析问题和解决问题的一些基本方法；通过演绎推理，证明结论，体验解决问题方法多样性，有助于发散思维的培养. 把合情推理与演绎推理融为一体，既丰富学生数学活动经验，又能使得学生体会数学的思维方式.案例3 合情推理与演绎推理肩并肩，让不同的人在数学上得到不同的发展在学习同底数幂的除法法则时，教师一般采用不完全归纳法（合情推理），通过一些具体数字的例子，与学生共同探究，得出法则：65÷62=7776÷36=216=63=65-255÷52=3125÷25=125=53=55-2……归纳得出，am÷an=am-n？摇（m>n）.对于处在形象思维阶段的学生，这样的教学能够让他们更好的理解与接受.由于学生的思维发展水平不一致，同一年龄段的学生就有领会、理解能力的差异，要求教师教学能够因材施教.对于处在经验型思维阶段的学生，推演过程要有一定的抽象性和演绎推理，可采用：当m>n时，am÷an=÷？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇=÷？摇==am-n.对于处在理论思维阶段的学生，则要求他们具有更高的抽象概括和逻辑推理水平. 可以这样进行：若ax·an=am，则ax+n=am，（同底数幂相乘法则）于是x=m-n，则ax=am-n，所以am-n·an=am.因此，am÷an=am-n. （除法定义）这就给教师们的教学设计提出要求了，如何促进不同学生在数学上得到不同的发展？一部分学生可能擅长于较具体、形象的思维，而另一部分的学生则善于用演绎推理的方法来领会和掌握知识. 案例3就给教师们一个启示，在教授新知识的时候，可以采取多种讲解方法，由浅入深，循序渐进.按照维果斯基“最近发展区理论”，教学应根据学生的“最近发展区”进行相应的教学，激发他们的求知欲，所采用的教授内容对于对应一级或下一级认知思维水平的学生来说都应符合“跳一跳都能够得着”的原则. 因此，在数学教学中，让合情推理与演绎推理肩并肩，由浅入深，让不同的人在数学上得到不同的发展.。

归纳推理与演绎推理归纳推理与演绎推理许多科学家都认识到，中国近代科学落后的⼀个重要⽅⾯是中国古代只重归纳，不善演绎，这归结到中国古代思维⽅式的影响。

正如杨振宁所说:“中华⽂化有归纳法，可没有推演法。

⽽近代科学是把归纳法和推演法结合起来⽽发展的，推演法对于近代科学产⽣的影响⽆法估量。

”⼀、演绎推理所谓演绎推理，就是从⼀般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程。

演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对⼈的思维保持严密性、⼀贯性有着不可替代的校正作⽤。

这是因为，演绎推理保证推理有效的根据，并不在于它的内容，⽽在于它的形式。

演绎推理的最典型，同时也是最重要的应⽤，通常存在于逻辑和数学证明中。

亚⾥⼠多德是古代知识的集⼤成者。

在现代欧洲的学术上的⽂艺复兴以前，虽然也有⼀些⼈在促进我们对⾃然界的特殊部分的认识⽅⾯取得可观的成绩，但是，在他死后的数百年间从来没有⼀个⼈象他那样对知识有过那样系统的考察和全⾯的把握，所以，他在科学史上占有很⾼的地位，是主张进⾏有组织的研究演绎推理的第⼀⼈。

作为⾃然科学史上第⼀个思想体系的光辉的例⼦是欧⼏⾥得⼏何学。

古希腊的数学家欧⼏⾥得是以他的《⼏何原本》⽽著称于世的。

欧⼏⾥得的巨⼤历史功勋不仅在于建⽴了⼀种⼏何学，⽽且在于⾸创了⼀种科研⽅法。

这⽅法所授益于后⼈的，甚⾄超过了⼏何学本⾝。

欧⼏⾥德是第⼀个将亚⾥⼠多德⽤三段论形式表述的演绎法⽤于构建实际知识体系的⼈，欧⼏⾥德的⼏何学正是⼀门严密的演绎体系，它从为数不多的公理出发推导出众多的定理，再⽤这些定理去解决实际问题。

⽐起欧⼏⾥德⼏何学中的⼏何知识⽽⾔，它所蕴含的⽅法论意义更重⼤。

事实上，欧⼏⾥德本⼈对它的⼏何学的实际应⽤并不关⼼，他关⼼的是他的⼏何体系内在逻辑的严密性。

欧⼏⾥德的⼏何学是⼈类知识史上的⼀座丰碑，它为⼈类知识的整理、系统阐述提供了⼀种模式。

从此以后，将⼈类的知识整理为从基本概念、公理或定律出发的严密的演绎体系成为⼈类的梦想。

小学数学思想方法的梳理（四）四、推理思想1.推理思想的概念。

推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。

推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。

推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。

演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。

演绎推理的特征是：当前题为真时，结论必然为真。

演绎推理的常用形式有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。

合情推理是从有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类化等推测某些结果。

合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。

当前提为真是，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。

（1）演绎推理。

三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三段论。

三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。

例如：一切奇数都不能被2整除，（23+1）是奇数，所以（23+1）不能被2整除。

选言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理。

这里只介绍不相容选言推理：大前提是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其他选言支；小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支。

例如：一个三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。

这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以它是个钝角三角形。

假言推理，假言推理的分类较为复杂，这里简单介绍一种充分条件假言推理：前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。

例如：如果一个数的末尾是0，那么这个数能被5整除：这个数的末尾是0，所以这个数能被5整除。

这里的大前提是一个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似的地阿芳，但它不是三段论。

关系推理，是前提中至少有一个是关系命题的推理。

下面简单举例说明几种常用的关系推理：（1）对称性关系推理，如1米=100厘米，所以100厘米=1米；（2）反对称性关系推理，a大于b,所以b 不大于a；（3）传递性关系推理，a>b,b>c,所以a>c。

推理能力（一）课标解读关于推理能力，《课标》是这样阐述的：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中，推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。

在解决问题过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论”。

这段话包含三层内容：推理能力的重要性；什么是合情推理和演绎推理；两种推理的相辅相成。

1、推理能力的重要性推理的本质功能是推出新结论，生成新知识，因此，它对于数学和数学学习极其重要。

可以说，没有推理，就没有今天的数学。

同样可以说，没有推理，就没有真正的数学学习。

2、合情推理和演绎推理○1合情推理合情推理以特殊的知识为前提，推出一般性的知识为结论的推理，思维过程是从特殊到一般。

它包括不完全归纳推理和类比推理。

A、不完全归纳推理“归纳”是由特殊到一般的推理，即由特殊（个别）性知识的前提推出一般性结论。

不完全归纳推理仅仅考察了某类事物的部分对象，由此推出的一般性结论，可能真，也可能假，它是合情推理。

例如：因为17×3+17×5=（3+5）×17、23×2+23×4=23×（2+4）所以a×c+b×c=(a+b)c，得出乘法分配律B、类比推理“类比”是由特殊到特殊的推理，即以两个或两类对象有部分属性相同为前提，推出它们的其它属性也有相同的结论，也称类推。

如用类比推理得出分数的基本性质。

因为被除数和除数都乘或除以相同的数（0除外），商不变，且被除数÷除数=分子/分母。

所以，分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试84 推理与证明合情推理与演绎推理【考点讲解】一、具本目标：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运“三段论”进行一些简单的演绎推理.二、知识概述：一）合情推理主要包括归纳推理和类比推理。

1.归纳推理：(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．2.类比推理：(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．(2)特征：由特殊到特殊的推理．3.归纳推理与类比推理有何区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．4.合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．(2)推理的过程从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想【温馨提示】(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．【规律与方法】1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想二）演绎推理三段论的基本模式演绎推理的概念理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．【规律与方法】1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.【真题分析】1.【2017新课标Ⅱ】甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我 还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道 自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ． 【答案】D2．【2018浙江】已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <． 若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q+++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．【答案】B3.【2016·北京卷】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】解法1：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A 错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D 错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C 错误．故选B.解法2：设袋中共有2n 个球，最终放入甲盒中k 个红球，放入乙盒中s 个红球．依题意知，甲盒中有(n －k )个黑球，乙盒中共有k 个球，其中红球有s 个，黑球有(k －s )个，丙盒中共有(n －k )个球，其中红球有(n －k －s )个，黑球有(n －k )－(n －k －s )＝s 个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B. 【答案】B4.【2017浙江】如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角 为α，β，γ，则（ ）R QPABC DA ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan ODOGγ=，GF EO DC BAPQR图1 图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B，C，(0,3O ，∵AP PB =，2BQ CRQC RA==，∴1(3Q，2(3R -，则直线RP的方程为y =，直线PQ的方程为y =，直线RQ的方程为y x =+，根据点到直线的距离公式，知21OE =，OF =，13OG =，∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<， 因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<．选B 【答案】B5.【2016·新课标全国卷Ⅱ】有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相 同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【解析】丙的卡片上的数字之和不是5，则丙有两种情况：①丙的卡片上的数字为1和2，此时乙的卡片上的数字为2和3，甲的卡片上的数字为1和3，满足题意；②丙的卡片上的数字为1和3，此时乙的卡片上的数字为2和3，甲的卡片上的数字为1和2，这时甲与乙的卡片上有相同的数字2，与已知矛盾，故情况②不符合，所以甲的卡片上的数字为1和3. 【答案】1和36.【2016山东】观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；…… 照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_______． 【解析】根据已知，归纳可得结果为43n (n+1)．7.（2015陕西）观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++……据此规律，第n 个等式可为______________________．【解析】观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n++⋅⋅⋅+++． 【答案】111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 8.【2015山东】观察下列各式：0014C =；011334C C +=； 01225554C C C ++= 0123377774C C C C +++=……照此规律，当*N n ∈时，012121212121n n n n n C C C C -----+++⋅⋅⋅+= ．【解析】 具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++021122223121212121212121211[()()()()]2n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C ------------=++++++++ 01212121121212121212111()2422n n n n n n n n n n n C C CC C C ----------=+++++++=⋅=． 【答案】14n -9.【2014安徽】如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ； 过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，依此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =， (567)A a =，则7a =．13【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形ABC中，斜边BC =1122,AB AC a AA a ====，1231A A a==，⋅⋅⋅，65671124A A a a ==⨯=． 解法二求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =所以1122,AB AC a AA a ====⋅⋅⋅，11sin2()422n n n n n n A A a a a π-+==⋅==⨯，故672()2a =⨯=14【答案】1410．【2014陕西】观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________ 【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，由此归纳可得2F V E +-=．【答案】2F V E +-=【模拟考场】1. 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、 数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有（ ）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生 中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语 文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B ． 【答案】B2.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行． 则其中正确的结论是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】是类比推理的应用.根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论． 【答案】B3.设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】本题是平面几何与立体几何之间的类比 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C4.指数函数y ＝a x (a >1)是R 上的增函数，y ＝2|x |是指数函数，所以y ＝2|x |是R 上的增函数．以上推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．正确【解析】本题是演绎推理中三段论的具体应用.此推理形式正确，但是，函数y ＝2|x |不是指数函数，所以小前提错误，故选B. 【答案】 B5.正整数按下表的规律排列，则上起第2 017行，左起第2 018列的数应为( )A ．2 016×2 017B ．2 017×2 018C ．2 018×2 019D ．2 019×2 020【解析】本题是归纳推理的具本应用.由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2 018列的第一个数为2 0172＋1，由连线规律可知，上起第2 017行，左起第2 018列的数应为2 0172＋2 017＝2 017×2 018. 【答案】B6.如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是_______________ _________________________________________________________．【解析】边长为1,2,3，…，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为8,2×8,3×8，…，10×8，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，…，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(8＋2×8＋3×8＋…＋10×8)－(3×9＋2×8＋2×7＋2×6＋…＋2×1)＝440－(27＋2×8×92)＝341，故所求总数为341. 【答案】3417.如图，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，DE ∥BA ，求证：ED ＝AF ，写出三段论形式的演绎推理．证明 因为同位角相等，两直线平行， 大前提 ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ， 小前提 所以FD ∥AE .结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提 DE ∥BA ，且FD ∥AE ，小前提 所以四边形AFDE 为平行四边形． 结论 因为平行四边形的对边相等，大前提 ED 和AF 为平行四边形AFDE 的对边， 小前提 所以ED ＝AF .结论8.已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证明 方法一 (定义法) ：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2， f (x 2)－f (x 1)＝2x a ＋x 2－2x 2＋1－1x a －x 1－2x 1＋1＝2x a -1xa ＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝1xa (21x x a-－1)＋(x 1＋1)(x 2－2)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝1x a (21x xa -－1)＋3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).因为x 2－x 1>0，且a >1，所以21x x a->1，而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 方法二 (导数法)：f (x )＝a x ＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1.所以f ′(x )＝a x ln a ＋3(x ＋1)2.因为x >－1，所以(x ＋1)2>0，所以3(x ＋1)2>0.又因为a >1，所以ln a >0，a x>0， 所以a x ln a >0，所以f ′(x )>0.所以f (x )＝a x ＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．9.设m 为实数，利用三段论证明方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．证明 因为如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0，那么方程有两个相异实根．大前提方程x 2－2mx ＋m －1＝0的判别式Δ＝4m 2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3>0，小前提所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论。

合情推理和演绎推理江苏省江阴长泾中学 张义红 邮编：214411合情推理和演绎推理是两种常见的逻辑推理方式，它们有各自不同的特点,在解题中发挥着不同的作用,但又紧密联系,以下就来探讨两者的关系:一.归纳推理与演绎推理的区别：1． 从思维运动的过程来看：Ⅰ.合情推理是从一些特殊性的知识为前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般（归纳推理）；或是从一些特殊性的知识为前提推出一个特殊性的知识的结论，即从特殊过渡到特殊（类比推理）；例1.已知)2,,0(2πγβαπγβα<<=++,则γαγββαtan tan tan tan tan tan ++=( )A. 0B. 1C. 2D.3分析:因为γβα,,为任意的锐角,可对其适当取值:当6πγβα===时, γαγββαtan tan tan tan tan tan ++=1 或 当12,6,4πγπβπα===时, γαγββαtan tan tan tan tan tan ++=1可归纳猜想本题的答案:γαγββαtan tan tan tan tan tan ++=1 选B例2 .（2003年全国高考题）在平面几何中，有勾股定理：“设∆ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则.222BC AC AB =+”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 .”分析: 本题是空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体 多边形；体 积 面 积 ；面 积 线段长；面 边；二面角 平面角； … …由此，可类比猜测本题的答案：C+∆2A B C S +∆2A C DS =∆2A D B S 2B C D S ∆ （证明略）. 评注 : 合情推理在解答数学中的选择题,填空题这些客观性试题时可快速正确地猜测出结果,有事半功倍之效.Ⅱ.演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊. 例3.解不等式x x 28332<-分析:可采用”三段论”进行推理解答 ∵当a >1时, y = a x 是增函数 -----------------------大前提∵ 3>1 -----------------------小前提∴y = 3 x 是增函数 -----------------------结论如f(x)是增函数,则由f(x 1)>f(x 2),可得 x 1>x 2 ----------------------------大前提∵y = 3x 是增函数,x x 28332<- - ----------------------小前提 ∴x x 282<- 即 0822<--x x --------------------结论 ab x a b ac bx ax 22)0(002∆+-<<∆--≠<++>∆的解为时，当 --大前提 ∵0822<--x x ,036>=∆ --------------小前提∴所求的解为-2<4<x --------------结论∴原不等式的解集为:{}42<<-x x 评注: “三段论”是演绎推理的一般模式,它是利用已知的知识推导出所需要的结论,是严格的推理过程,在解答证明题中发挥重要作用.2． 从推理的结论来看:Ⅰ.合情推理的结论超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性,其前提都真并不能保证结论也真, , 其结论的真假有待证明; 因此合情推理是或然性推理.如: 类比代数式和向量的数量积的运算律代数式 向量的数量积 交换律 ab=ba a b b a ⋅=⋅ --------正确分配律 (a+b)c=ac+bc c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)( --------正确结合律 (ab)c=a(bc) )()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ --------错误评注: 向量的数量积满足交换律与分配律,但不满足结合律,在合情推理中,结论是否正确要进行证明.Ⅱ.演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。

第3讲合情推理与演绎推理◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：1．辨明两个易误点(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据． 2．把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．[知识自测]1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n(n ∈N *)．( ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)× 2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳数列{a n }的通项公式B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C ．两直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°D ．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人[解析] A 、D 是归纳推理，B 是类比推理，C 符合三段论模式，故选C. [答案] C3．(2018·济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． 则正确的结论是______．[解析] 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．[答案] ①④题型一 归纳推理(高频考点题、多角突破) 考向一 与数字有关的推理1．(2018·甘肃两市三校3月联考)观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为__________________．[解析] 由前4个等式可知，第n 个等式的左边第一个数为n ，且连续2n －1个整数相加，右边为(2n －1)2，故第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.[答案] n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 考向二 与不等式有关的推理2．(2018·山西四校联考)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝______.[解析] 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .[答案] n n考向三 与数列有关的推理3．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数N (n,4)＝n 2， 五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n . ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝______. [解析] 由N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32nN (n,4)＝4－22n 2＋4－42nN (n,5)＝5－22n 2＋4－52nN (n,6)＝6－22n 2＋4－62 n∴N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n故N (10,24)＝24－22×102＋4－242×10＝1 000，故答案1 000.[答案] 1 000考向四 与图形有关的推理4．(2018·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有______条线段．[解析] 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3(n ∈N *)．[答案] 3×2n －3(n ∈N *)方法感悟归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【针对补偿】1．(2018·重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55[解析] 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.[答案] D2．(2016·山东卷)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4；⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝_______.[解析] 通过类比，可以发现，最前面的数字是43，接下来是和项数有关的两项的乘积，即n (n ＋1)，故答案为43×n ×(n ＋1)．[答案] 43×n ×(n ＋1)3．(2018·山东省滕州第二中学模拟)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在凸四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，…，依此类推，在凸n 边形A 1A 2…A n 中，不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥__________成立．[解析] 因为1A ＋1B ＋1C ≥9π＝32π，1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π＝422π， 1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π＝523π，…， 所以1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ∈N *，n ≥3)．[答案] n 2(n －2)π(n ∈N *，n ≥3)题型二 类比推理(重点保分题、共同探讨) 考向一 类比定义1．给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ， 则a －c ＝0⇒a ＝c ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ， 则a －b >0⇒a >b ”；④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”．其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 类比结论正确的有①②. [答案] B 考向二 类比性质2．(2018·西安月考)对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|OA →＋|OA →|OB →＝0；将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有______．[解析] 线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为V O -BCD ·OA →＋V O -ACD ·OB →＋V O -ABD ·OC →＋V O -ABC ·OD →＝0. [答案] V O -BCD ·OA →＋V O -ACD ·OB →＋V O -ABD ·OC →＋V O -ABC ·OD →＝0考向三 类比方法 3．求1＋1＋1＋…的值时，采用了如下方法：令1＋1＋1＋…＝x ，则有x＝1＋x ，解得x ＝1＋52(负值已舍去)．可用类比的方法，求得1＋12＋11＋12＋1…的值为______．[解析] 令1＋12＋1…＝x ，则有1＋12＋1x ＝x ，解得x ＝1＋32(负值已舍去)．[答案]1＋32方法感悟类比推理的分类及处理方法4．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是______．[解析] 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb 2＝1.[答案]x 0x a 2－y 0yb 2＝1 5．(2018·西安模拟)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体S -ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[解析] 设四面体的内切球球心为O ，那么由V ＝V O -ABC ＋V O -SAB ＋V O -SAC ＋V O -SBC ， 即V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，可得R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.[答案] C6．(2018·南昌模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a ＞b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m ∶n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nb m ＋n .用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，分别延长梯形的两腰AD 和BC 交于O 点，设△OAB ，△ODC 的面积分别为S 1，S 2，则△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是()A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n[解析] 在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF ＝ma ＋nb m ＋n 类比到关于△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n .[答案] C题型三 演绎推理(重点保分题、共同探讨)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n·S n (n ∈N *)．用三段论的形式证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(大前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)方法感悟(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成． 【针对补偿】7．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)＞af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．[证明]设x1，x2∈R，取x1＜x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，因为x1＜x2，所以f(x2)－f(x1)＞0，f(x2)＞f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调增函数．◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(五十七)[A基础巩固练]1．(2018·洛阳统考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是() A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数[解析]A项中小前提不正确，选项C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以选项A、C、D都不正确，只有B项的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．[答案] B2．(2018·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A．22项B．23项C．24项D．25项[解析]两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为第24项．[答案] C3．(2018·泉州模拟)正偶数列有一个有趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，…按照这样的规律，则2 016所在等式的序号为()A．29B．30C ．31D ．32[解析] 由题意知，每个等式正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n ＋1，…，其前n 项和S n ＝n [3＋(2n ＋1)]2＝n (n ＋2)且S 31＝1 023，即第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31个等式中含有63个偶数，故2 016在第31个等式中．[答案] C4．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N *，则f 2 017(x )＝( )A ．sin x ＋cos xB ．－sin x －cos xC ．sin x －cos xD ．－sin x ＋cos x[解析] f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝sin x ＋cos x ，f 6(x )＝f ′5(x )＝cos x －sin x ，…，可知f n (x )是以4为周期的函数，因为2 017＝504×4＋1，所以f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x ．故选A.[答案] A5．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n[解析] 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2…c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c 1·qn (n －1)2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·qn －12，即{d n }为等比数列，故选D. [答案] D6．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017等于( )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009[解析] 由直角坐标系可知A (1,1)，B (－1,2)，C (2,3)，D (－2,4)，E (3,5)，F (－3,6)，即a 1＝1，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝2，a 6＝3，a 7＝－2，a 8＝4，…，由此可知，所有数列偶数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数除以2，则a 2 016＝1 008，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第1个奇数和第2个奇数互为相反数，且从－1开始逐渐递减的，则2 015÷4＝503余3，则a 2 015＝504，a 2 017÷4＝504余1，∴则a 2 017＝505，∴a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝－504＋1 008＋505＝1 009.[答案] D7．(2018·云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为______．[解析] 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.[答案] 13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)228．已知f (x )＝xe x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xe x，…，照此规律，则f n (x )＝__________. [解析] 因为f 1(x )＝(－1)(x －1)e x ，f 2(x )＝(－1)2(x －2)e x ，f 3(x )＝(－1)3(x －3)e x，…，所以f n (x )＝(－1)n (x －n )e x.[答案] (－1)n (x －n )e x9．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是______．[解析] 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.[答案] S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C.[证明] ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B >π2，∴A >π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C.[B 能力提升练]1．[n ]表示不超过n 的最大整数． 若S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21， …则S n ＝( ) A ．n (n ＋2) B ．n (n ＋3) C ．(n ＋1)2－1D ．n (2n ＋1)[解析] 观察得到：S n 是从n 2开始到(n ＋1)2(不含)之前共2n ＋1个n 的和，所以S n为n (2n ＋1)，即[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[(n ＋1)2－1]＝n (2n ＋1)．[答案] D2．已知面积为S 的凸四边形中，四条边长分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，点P 为四边形内任意一点，且点P 到四条边的距离分别记为h 1，h 2，h 3，h 4，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的每个面的面积分别记为S 1，S 2，S 3，S 4，此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1，H 2，H 3，H 4，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝( )A.4V KB.3V KC.2V KD.V K[解析] 根据三棱锥的体积公式，得13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V ，即KH 1＋2KH 2＋3KH 3＋4KH 4＝3V ，∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3VK.[答案] B3．通过计算可得下列等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； …；(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1. 将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n＋1)(2n ＋1)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值． [解] ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1； 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1； 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1； …；(n ＋1)4－n 4＝4×n 3＋6×n 2＋4×n ＋1. 将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ，∴13＋23＋…＋n 3＝14⎣⎡(n ＋1)4－14－6×16n (n ＋1)·(2n ＋1)－4×⎦⎤n (n ＋1)2－n ＝14n 2(n ＋1)2. 4．如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r2.所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是______．[解析] 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2)为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .[答案] 2π2r 2d5．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )的对称中心；(2)计算f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017. [解] (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f ⎝⎛⎭⎫12＝13×⎝⎛⎭⎫123－12×⎝⎛⎭⎫122＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1. (2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2， 即f (x )＋f (1－x )＝2.故f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝2，f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 017＝2，f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 017＝2， …，f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝12×2×2 016＝2 016.[C 尖子生专练]某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式， 并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式； (3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． [解] (1)f (5)＝41. f (2)－f (1)＝4＝4×1 f (3)－f (2)＝8＝4×2 (2)因为f (4)－f (3)＝12＝4×3 f (5)－f (4)＝16＝4×4由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒ f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2) ＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝… ＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋4＝2n 2－2n ＋1 (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12[1n －1－1n ]，则1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1 ＝1＋12[1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ]＝1＋12[1－1n ]＝32－12n .。

合情推理与演绎推理相辅相成作者：林水助来源：《科学导报·学术》2020年第15期在实施新课改之前，我国传统数学教育重视演绎推理，而在实施新课改后，演绎推理相对来说被弱化，与之相比，合情推理得到重视。

一线的中小学教师，还有一些高校学者都积极投入到对“合情推理”的研究当中去，试图在教学活动中引入合情推理，为的是契合课标的要求，而演绎推理在数学上是作为一种严格的推理方法使用，是数学严谨性的体现。

因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。

笔者以具体案例加以阐述，以执教新北师大版六年级下册第一单元复习中一实践活动为例，本课教材中，设计了一个用4张完全一样的长方形纸（长16cm，宽4cm）卷成不同的圆柱形的活动，其实践活动目的是通过“用长方形纸卷圆柱形”的探索活动，鼓励学生应用所学的圆柱的表面积和体积的知识，经历探索规律的过程，体会一些变量之间的关系。

教学重难点：体会在圆柱侧面积相等的情况下，体积不等，理解其原由。

一、运用合情推理，发现规律《数学课程标准》中指出：“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。

推理是数学的基本思维方式，也是人学习和生活经常使用的思维方式。

在小学阶段，主要学习合情推理，即归纳推理和类比推理。

而归纳推理又多表现为不完全归纳推理”。

在本课教学中，先采用合情推理中的不完全归纳法推理，让学生经过观察、猜想、实验、比较，再进行归纳、类比，验证得出规律。

教学实例简述：1、观察和猜想教师拿出两张同样的长方形纸，一张横着卷成圆柱形，另一张竖着卷成圆柱形，两个圆柱的体积一样大吗？学生出现不同的意见：两个圆柱的体积一样大，两个圆柱的体积不一样大，认为粗短的圆柱体积大，或觉得细长的圆柱体积大。

2、实验和比较学生小组合作完成验证活动，将纸围成不同的圆柱，把测量和计算的数据填在下面的表格中。

学生得出结论：侧面积相等时，粗短的圆柱体积大，细长的圆柱体积小。

3、归纳和类比把两张这样的长方形纸横着对折，沿着虚线剪开，将两张长方形纸换个方向粘在一起（接口处忽略不计）。

推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。

数学离不开推理。

在初中数学教学中经常使用到两种推理——合情推理和演绎推理。

一、合情推理一般说来合情推理是指从具体问题出发通过观察、猜想、比较、联想、归纳、类比、提出猜想。

它包括归纳推理和类比推理两种。

1、归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概栝出一般结论（简称归纳），部分推出整体，个别推出一般。

例如用拼图的方法知道一个或几个三角形的内角和是180度，从而概括出所有三角形的内角和都是180度。

初中数学《走进数学世界》一章中就提出了很多这样的问题。

比较有代表性的就是找规律问题。

2、类比推理由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类对象也具有这些特性的推理称为类比推理。

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

例如：乘法交换律和结合律加法作为一种运算，具有交换律和结合律；乘法作为加法的一种简便运算，也应该具有交换律和结合律。

可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、猜想、比较、联想，再进行纳、类比，然后提出猜想的推理。

我们把它们统称为合情推理。

即合情推理是指“合乎情理”的推理。

数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。

二、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

演绎推理也称为逻辑推理。

“三段论”是演绎推理的一般形式，包括：大前提——已知的一般原理；小前提，所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。

例如：平行四边形的性质的证明：对边相等，对角相等，对角线互相平分等。

勾股定理的证明。

三、合情推理与演绎推理的主要区别以及在数学教学中的作用归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。

【数学知识点】合情推理和演绎推理的区别
合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理。

从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确有待证明；演绎推理得到的结论一定正确。

演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程。

1、对应思想方法
对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。

如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。

2、假设思想方法
假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。

假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

3、比较思想方法
比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。

在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

4、符号化思想方法
用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。

如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。

如定律、公式、等。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

合情推理和演绎推理
合情推理是在已有数据的基础上推断出有关行为结果的一种技能，是一种不完
全有效的推理形式，有时也称为模糊推理。

它着重于考虑其他因素的影响，以洞察个体行为的潜在诱因，并根据这些判断或找到最优解决方案。

而演绎推理是一种基于已有信息推断出结论的逻辑推理方法，通常使用这种推
理推测某事物的成因，或判断某个案例时，用这种方法洞察案例关键信息，把一切密切相关而且重要的事实综合起来，以作出正确的判断。

在现代市场竞争中，行业竞争实践者越来越重视合情推理与演绎推理的结合，
也正因此它们逐步成为竞争中一个关键的部分。

首先，合情推理帮助分析市场行为，识别消费者在某些市场上的活动，有助于情境分析，指导发展和市场定位。

其次，演绎推理帮助从现有的价值观中总结出前提和假设，从而指导发展战略，确定营销活动，精准发掘客户与市场的关系，结合行业的实际情况行动，确保行业的顺利运营。

另外，合情推理与演绎推理结合在一起，可以进一步提升竞争力，发现新型机会。

合情推理能够洞察出合理的情景模式，它能根据现实环境和关联事件推出更全面的市场状况，为企业把握发展的重点提供影响；而演绎推理能够洞察涉及的各种因素，进一步分析影响这些因素在不同市场的表现，从而了解市场发展趋势，把握投资机会。

总之，只有结合合情推理与演绎推理，企业才能有效地严格分析市场信息，把
握市场动态，建立更有效的市场细分体系，实现可持续竞争优势。

合情推理与演绎推理作者：杭毅来源：《初中生世界·七年级》2020年第08期初中数学要求将推理能力的培养贯穿整个数学学习之中。

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，一般包括合情推理和演绎推理。

其中，合情推理是归纳推理、类比推理等或然性推理（即推理的结论不一定成立的推理）的特称。

比如，用手扔一个石子，它要掉下来;再扔一个玻璃球，它也要掉下来;再扔一个苹果，它还是要掉下来。

我们会想到：不论扔什么东西，它都要掉下来;进一步去想这是为什么，想到最后，认为是由于地球有引力。

但是，我们并没有把每件东西都扔上去试试。

试了若干次，就认为这是普遍规律，这种推理方法，叫作归纳推理。

所谓归纳推理，就是从若干特殊现象中总结出一般规律，是从特殊到一般。

类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它们另一属性也相同或相似的一种推理，是从特殊到特殊。

比如乒乓球和网球，比赛形式都分单打或双打，比赛场地都用网相隔，并且规定球都要直接打到对方领域。

于是，人们就可以从乒乓球比赛“交换发球”这个规则，类比规定网球比赛也要“交换发球”，甚至还会联想到羽毛球、排球比赛，但很少会联想到篮球、足球比赛，因为后者在形式上不类似，不存在联想的基础。

但在数学研究中，要证明一条几何定理，就要从公理、定义和以前的定理出发，一步一步地按逻辑规则推出来，这也表明，数学需要演绎推理。

归纳推理只能作为提出猜想的基础，不能作为证明的依据。

演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）确定的规则出发，得到某个具体结论的推理，主要形式是“三段论”，由大前提、小前提、结论三部分组成一个“连珠”。

大前提是已知的一般原理;小前提是研究的特殊場合;结论是将特殊场合回归到一般原理之下得出的新知识。

例如，大前提：凡人都会死;小前提：苏格拉底是人;结论：所以，苏格拉底会死。

从这个“三段论”中可以看到，推理的前提是一般，推出的结论是个别。