苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1

例谈“三段论”在几何证明中的应用三段论式推理是演绎推理的主要形式，同时，它也是一种最常用的推理规则．它包括大前提、小前提和结论．在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表达方式．但对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．三段论的推理形式在几何证明中有着十分广泛的应用，本文略举几例，意在帮助同学们理解三段论推理的思维模式和过程．例１ 如图1，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是BC 、CA 、AB 上的点，BFD A ∠=∠且DE BA ∥． 求证：ED AF =．证明：（1）同位角相等，两条直线平行，（大前提）BFD ∠与A ∠是同位角，且BFD A ∠=∠，（小前提） 所以DF EA ∥．（结论）（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）ED BA ∥且DF EA ∥，（小前提） 所以四边形AFDE 是平行四边形．（结论）（3）平行四边形的对边相等，（大前提）DE 和AF 为平行四边形的对边，（小前提） 所以ED AF =．（结论）上面的证明通常简略地表述为：BFD A DF EA DE BA ∠=∠⇒⎫⇒⎬⎭∥∥四边形AFDE 是平面四边形ED AF ⇒=． 评注：分析上述过程可以看出，推理的每一个步骤都是根据一般性命题（如“同位角相等，两条直线平行”）推出特殊性命题（如“DF EA ∥”）的过程，在这个过程中只要前提为真，推理形式正确，结论必然为真，所以认清三段论的结构是关键．例2 已知：空间四边形ABCD 中，点E F ，分别是AB AD ，的中点（如图2）．求证：EF ∥平面BCD ．证明：连结BD ．因为点E F ，分别是AB AD ，的中点，所以EF BD ∥．又因为EF Ú平面BCD ，BD ⊆平面BCD ，所以EF ∥平面BCD ．评注：在证明中，第一步实际上暗含着一个一般性的原理：三角形的中位线平行于第三边，这是大前提．而对特殊的ABD △，EF 是中位线，这是小前提． 把一般性原理用于前面的特殊情况，便得到结论EF BD ∥．第二步同样暗含着一个一般性的原理：如果不在一个平面内的一条直线和该平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，这是大前提．而EF BD ∥，EF Ú平面BCD ，BD ⊆平面BCD ，这是小前提．把一般性的原理用于前面的特殊情况，便得到结论EF ∥平面BCD ．高考中的“合情思维”所谓“合情思维”，简单地说，就是在直觉引导下进行合理的猜测．法国科学家庞加莱说过：“逻辑和直觉各有其必要的作用．唯有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具；而直觉则是发明的工具．”在近年来的数学高考试题中，除考查逻辑推理能力外，也独具匠心地设置了一些问题考查学生的“合情思维”能力．其中主要有归纳和类比．一、归纳所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律．归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证．归纳是发现和认识规律的重要手段．１．观察图形，寻找规律例1 （2006年高考广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放．从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)f =________；()f n = _________（答案用n 表示）．解析：由题意首先可以看出：第一堆一层、第二堆两层、第三堆三层、…、第n 堆有n 层；再看每一层的球数，有没有注意到一个规律：第二堆最底层上方所有的球数正好与第一堆的球数相等、第三堆最底层上方所有的球数正好与第二堆的球数相等、第四堆最底层上方所有的球数正好与第三堆的球数相等、……．于是，(3)10f =，(1)(2)()1(12)(123)(1234)(12)6n n n f n n ++=++++++++++++++=……． 2．分析式子，寻找规律 例2 （2005年全国高考湖南卷）设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n ∈N ，则2005()f x =（ ）（A ）sin x （B ）sin x - （C ）cos x （D ）cos x -解析：本题若通过递推关系，将前2004项逐一求出是不现实的．这时需要找到解这个问题的一般方法，不妨考虑简单的情形．0()sin f x x =，10()()cos f x f x x '==，21()()sin f x f x x '==-，32()()cos f x f x x '==-，43()()sin f x f x x '==，……由此继续求导下去，四个一循环，又200545011=⨯+，所以20051()()cos f x f x x ==．故选（C ）．二、类比大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似．”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面的一致性说清楚．类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移．1．类比旧知识，推出新结论例3 （2006年高考湖北卷）半径为r 的圆的面积2()πS r r =，周长()2πC r r =，若将r 看作(0)+，∞上的变量，则2(π)2πr r '= ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0)+，∞上的变量，请你写出类似于①的式子：__________ ②，②式可用语言叙述为__________．解析：由提供的形式找出球的体积、表面积公式，类似写出恰好成立，34()π3V R R =，2()4πS R R =． 答案：324π4π3R R '⎛⎫= ⎪⎝⎭， 球的体积函数的导数等于球的表面积函数．点评：本题主要考查类比意识和发散思维，注意将圆的面积、周长与球的体积、表面积进行类比．2．类比新知识，推出新结论例4 （2006年高考四川·理改编）非空集合G 关于运算?茌满足：（1）对任意的a b G ∈，，都有a b G ⊕∈，（2）存在e G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G =｛非负整数｝，⊕为整数的加法．②G =｛偶数｝，⊕为整数的乘法．③G =｛平面向量｝，⊕为平面向量的加法．④G =｛二次三项式｝，⊕为多项式的加法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是_______．（写出所有“融洽集”的序号）解析：解决问题的关键是抓住“融洽集”的定义及条件，利用已知信息进行迁移．条件（1）说明经过?茌的运算后集合的封闭性；条件（2）说明在已知集合中存在一个特殊的元素（需要找出来加以证明）．在①中，两个非负整数相加仍然是非负整数，e 为整数集中的０．在②中，要满足a e e a a ⊕=⊕=，则1e =，显然e G ∉．在③中，两个平面向量相加仍然是平面向量，e 为零向量．在④中，此时的0e =，不是二次三项式．故选①③．。

2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理[学习目标]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 1114115 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比00过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误答案B解析根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1234567891011 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________． 答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析 由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 3．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n ＝( )A ．2cosθ2nB ．2cosθ2n－1C ．2cos θ2n ＋1D ．2 sin θ2n答案 B解析 法一 ∵a 1＝2cos θ， a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…， 猜想a n ＝2cosθ2n －1.法二 验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心 答案 D解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________． 答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB ·⎭⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 9．(2020·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析 由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，所以N (10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2020·陕西)观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律， 第n 个等式可为________． 答案12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)解析 分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )．【精品新版高中数学（2019）——提分卷】第 11 页 / 共 11 页 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。

2.1.1 合情推理课前导引问题导入用推理的形表示等差数列1,3,5，…,(2n-1),…的前n项和S n的归纳过程.解：对等差数列1,3,5,…,(2n-1),…的前1,2,3,4,5,6项和分别计算:S1=1=12S2=1+3=4=22S3=1+3+5=9=32S4=1+3+5+7=16=42S5=1+3+5+7+9=25=52S6=1+3+5+7+9+11=36=62归纳数列1,3,5,…,(2n-1),… 的前n项和S n=n2.知识预览1．______________________________，像这样的推理通常称为归纳推理（简称归纳）简言之，归纳推理是_______________________的推理.2.______________________________________________________________________,像这样的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是_______________的推理.3.归纳推理的一般步骤是:____________________________________________________________________.4.类比推理的一般步骤是:____________________________________________________________________.答案：1.从个别事实中推演出一般性的结论由个别到一般，由部分到整体2.根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同由特殊到特殊3.实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论4.观察、比较→联想、类推→猜测新的结论。

高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。

”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。

类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。

例1、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看 作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,34)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。

类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。

分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。

在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。

图形——归纳推理的乐园归纳推理是从个别事实推演出一般性结论的推理．由于归纳推的特点，导致了归纳推理问题的产生情境也比较特别，很多情况下，归纳推理总是与图形联系在一起．请看：1．分辨图形出现的归纳推理例1 定义A B B C C D D A ****，，，的运算分别对应下图中的（1）、（2）、（3）、（4）．那么，上图中（5）、（6）可能是下列______中运算的结果（ ）（A ）B D *，A D * （B ）B D *，A C *（C ）B C *，A D * （D ）C D *，A D *分析：根据（1）、（2）、（3）、（4）可知：A 对应———；B 对应□；C 对应|；D 对应○．由此可知选（B ）．点评：善于观察是处理此类问题的重要一环．本题中第一个图是哪两个几何图形构成？第二个图又是哪两个几何图形构成？…．于是，很快便发现A ，Ｂ，Ｃ，Ｄ可能对应的图形，从而使问题获解．2．运动图形出现的归纳推理例 2 如图：一个粒子在第一象限及边界运动，在第一秒内它从原点运动到(01)，，然后它接着按图示在x 轴、y 轴的平行方向向右、向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，求2006秒时，这个粒子所处的位置；分析：第一层有(01)(11)(10)，，，，，三个整点（除原点）共用3秒；第二层有五个整点(20)(21)(22)(12)(02)，，，，，，，，，共用5秒；第三层有七个整点(03)(13)(23)(33)(32)(31)(30)，，，，，，，，，，，，，共用7秒，…，第n 层共有21n +个整点，共用21n +秒；假设第2006秒时粒子运动在第1n +层．那么前n 层共用秒数[3(21)]20062n n ++<，由此得最大43n =，且当43n =时，[3(21)]19352n n ++=．于是，第2006秒时，粒子在第44层，且在第71个出现，根据规律我们知道第44层将从点（44，0）开始，那么（44，0），（44，1），…，（44，43），（44，44），（43，44），（42，44），（41，44），…，（18，44）共71个．因此，第2006秒时，这个粒子所处的位置为（18，44）．点评：要发现规律，必须认真研究问题的初始阶段，它是“退一步”思考问题策略的具体体现．本题就是通过认真分析前三层才发现规律，并利用规律促使问题获解的．3．图形游戏出现的归纳推理例3 用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______．分析：第一个图有三根火柴，以后每一个图总比前一个图多一个三角形，其实，就多了两根火柴，于是答案为：21()n a n n *=+∈N ．点评：善于从游戏中抓住本质是解决问题的关键．本题求火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系，只要细心一点获解就没问题．4．打印图形出现的归纳推理例4 一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中实心圆的个数为______．分析：将这些圆分段处理，第一段两个圆、第二段三个圆、第三段四个圆、…，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题是求前2006个圆中有多少个实心圆，因此，找到第2006个圆所在的段数很重要．由262236261195220062++++=⨯=<，而263236362201520062++++=⨯=>…，因此，共有６１个实心圆． 点评：发现规律是解决此题的关键所在．而“分段”正中下怀，它使规律很清楚的显现出来，让我们操作“轻松”，求解“愉快”．《推理与证明》中的数学思想方法数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略，有着广泛的应用．有关《推理与证明》中的问题蕴含着许多数学思想方法，若根据题设特点，灵活地运用相应的数学思想方法，往往能迅速找到解题思路，从而使问题简捷、准确地获解．一、类比思想所谓类比思想就是根据两个对象之间一部分属性相同或相似，从而推断出这两个对象之间的另外一些属性也可能相同或相似的一种思维形式．“由特殊到一般”是解决这类问题的思维主线．例 1 在Rt ABC △中，两直角边AC b =，BC a =，斜边AB 上的高为h ，则222111h a b=+． 该结论的证明很简单．类比它，在立体几何中有何发现？我们猜想，在立体几何中，也有类似的一个公式：在三棱锥V ABC -中，若三条侧棱VA 、VB 、VC 两两垂直，且长度分别为a b c ，，，顶点V 到底面ABC 的距离VH h =，则22221111h a b c=++．注意：这只是由类比得到的一个猜想，是否成立还须证明．证明：如右图，延长AH 交BC 于D ，连结VD ，∵VA VB ⊥，VA VC ⊥，∴VA ⊥平面VBC ，∴VA BC ⊥，VA VD ⊥．∵VH ⊥平面ABC ，∴VH BC ⊥，∴BC ⊥平面VAD ，∴BC VD ⊥．∵VB VC ⊥，∴在Rt VBC △中222111VD VB VC =+， 在Rt VAD △中222111VH VA VD=+， ∴22221111VH VA VB VC =++， 即22221111h a b c =++． 结论中的三条侧棱两两垂直，可等价变为三个侧面两两垂直．点评：在本题求解中，我们根据平面几何中的一个结论，运用类比思想，在四面体中猜想出具有类似数学特点的结论，并用演绎推理的方法给出了简要证明．作为一种创新题型，类比推理已成为近几年高考命题中一道亮丽的风景．二、转化思想转化思想就是在解决数学问题时，将有待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题，并通过对这一问题的解答返回去求得原问题的解答．分析法是证明命题的一种方法，当问题直接证明思路不明显时，常常考虑运用分析法．而运用分析法解题的关键是将结论适当转化．例2 设实数x y ，满足20y x +=，若01a <<，求证：1log ()log 28x y a a a a ++≤． 分析：直接证明思路不明显，因此可以先结合条件将结论适当转化．由01a <<，只需转化为证18x y a a a +2≥．又2x y x y a a a ++≥，因此只需转化为证明14x y +≤．再由2y x =-转化为证明214x x -≤．因此运用分析法即可简捷得证． 证明：要证1log ()log 28x y a a a a ++≤， 因为01a <<，所以只需证18x y a a a +2≥，又2x y x y a a a++≥，因此只需证14x y a a +≥， 只需证14x y +≤，即证2104x x -+≥ ①． ①式显然成立． 故原不等式成立．点评：本题在寻找使结论成立的条件①时，是先根据函数的单调性，将对数不等式、指数不等式逐步转化为①式，从而把问题化难为易．三、正难则反思想有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时，可从其反面进行思考，通过否定结论的反面来肯定结论正确，这就是正难则反的思想．运用这一数学思想解决问题，往往能收到化难为易、化繁为简的奇效．反证法就是“正难则反”的一种证明方法，它不是直接证明命题结论正确，而是通过证明结论反面不正确来说明结论的正确性．因而对于那些“结论的反面”比结论本身更具体、更明确、更简单的命题，则适宜用反证法来证．例3 设函数()f x 的定义域是区间[01]，，(0)(1)f f =，且对1x ∀、2[01]x ∈，，12x x ≠，均有21()()(1)f x f x f -<，求证：对1x ∀、2[01]x ∈，，12x x ≠，均有21()()1f x f x -<．分析：若直接证明，需分类讨论，于是考虑使用反证法．证明：假设1x 、2[01]x ∈，，12x x ≠，使得21()()1f x f x -≥． 不妨设12x x >， 则21211()()[()(0)][(0)()]f x f x f x f f f x -=-+-≤21212112()(0)(0)()202122222()f x f f f x x x x x x x -+-<-+-=+-=--．所以12102x x <-<． 故由条件可得21211()()2212f x f x x x x -<-<⨯=． 这与假设矛盾，故原命题成立．点评：运用反证法证题时，须注意三点：（1）必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏；（2）推理过程必须完全正确，否则不能肯定非命题是错误的；（3）在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确、毫不含糊．四、归纳递推思想归纳递推思想就是在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后用数学归纳法予以证明（文科学生不作要求）．这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察———归纳———猜想———证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．例4 已知点的序列(0)n n A x ，，*n ∈N ，其中10x =，2(0)x a a =>，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，L ，n A 是线段21n n A A --的中点，L ．（1）写出n x 与1n x -、2n x -之间的关系式(3)n ≥；（2）设1n n n a x x +=-，计算1a ，2a ，3a ，由此推测数列{}n a 的通项公式．分析：利用递推公式及归纳猜想是解题的关键．解：（1）当3n ≥时，122n n x x x --=；（2）121a x x a =-=；2123222111()222x x a x x x x x a +=-=-=--=-； 323433321111()22224x x a x x x x x a a -⎛⎫=-=-=--=--= ⎪⎝⎭g ； 由此推测：1*1()2n n a a n -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N g ． 五、综合法综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论．可以看出，若使用综合法求解问题，一定要将条件与结论结合起来，看看条件，再看看结论，如何架好从条件通往结论的桥梁．例5 设322x ≤≤，求证：8<．证明：由于a b +∈R ，时，22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≤，得a b +=，8==．上述第一个不等式中等号成立的条件为：183********x x x ⎡⎤-=-⇒=∉⎢⎥⎣⎦，． 故原不等式成立．点评：在证明题中，产生证明方法的思维过程很重要．你知道本题的证明方法是怎么产生的吗？是综合法的“功劳”．请看：欲从左边证到右边，必须消去x ，如何消？只有经过平方，才能将x 从根号中“解救”出来，“解救”出来后才有消去的可能．于是在基本不等式中开始“搜索”与平方有关的不等式，慢慢地22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≤就“浮出水面”，解法自然也就产生了．六、分析法分析法是从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等．可以看出，若使用分析法求解问题，对结论的简化与转化很重要，它是向条件靠拢的重要措施．例6 设a b c ，，为任意三角形的三边长，I a b c =++，S ab bc ca =++，试证：234S I S <≤．证明：由于22222222()2222I a b c a b c ab bc ca a b c S =++=+++++=+++． 欲证234S I S <≤，只需证222324S a b c S S +++<≤，只需证2222S a b c S ++<≤，即222222ab bc ca a b c ab bc ca ++++<++≤．只需证222a b c ab bc ca ++++≥且222222a b c ab bc ca ++<++．先看222a b c ab bc ca ++++≥，只需证222222222a b c ab bc ca ++++≥，即222()()()0a b b c c a -+-+-≥，显然，此式成立．再看222222a b c ab bc ca ++<++，只需证2220a ab ac b ab bc c bc ca --+--+--<；只需证()()()0a a b c b b a c c c b a --+--+--<；只需证a b c <+且b c a <+且c a b <+，由于a b c ，，为三角形边长，显然，结论成立．故234S I S <≤．点评：本题从表面上看不易“征服”，但通过分析法将结论逐步转化，由看上去很难“接受”的234S I S <≤，转化为较为亲切的222222ab bc ca a b c ab bc ca ++++<++≤，显然，这比原题的结论看上去要“舒服”多了，当然，求解也就顺畅了很多．。

高二数学合情推理与演绎推理知识精讲 苏教版一. 本周教学内容： 合情推理与演绎推理二. 重点、难点：教学重点：能用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．教学难点：了解合情推理和演绎推理的联系和区别．三. 基础知识与基本方法 1、知识结构⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理－－三段论2、合情推理与演绎推理的区别:①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理;类比是根据两种事物某些属性的相似，推断出它们其他属性也可能相似的一种推理方法．类比可分为概念类比、结构类比、解法类比和性质类比．通过类比发现新的数学知识和新的解题方法，通过类比可进一步培养学生的发散思维能力和创造思维能力，通过类比可深刻揭示知识的内涵和外延．③演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理，是由一般到特殊的推理． 3、各种推理的思维模式归纳推理的思维过程为：实验、观察→概括、推广→猜测一般结论． 类比推理的思维过程为：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．演绎推理的思维过程为：大前提：M 是P ，小前提：S 是M ，结论：S 是P ．例 1. 等和数列的定义：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项之和为同一个常数的数列．这个数列叫等和数列．这个常数叫等和数列的公和．若已知等和数列首项为2，公和为5，求该等和数列的通项公式与前n 项之和．解：⎩⎨⎧=为偶数）（为奇数）（n 3n 2a n ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=为偶数）（为奇数）（n n 25n 21n 25S n 变式：类比等比数列可以得到等积数列：若已知首项为2，公积为6，请写出该等积数列的通项公式与前n 项和公式． 说明：通过概念类比．可发现新知识，揭示新规律，从而培养学生的学习能力．例 2. ①若已知()2xf x =+2求(5)(4)(3)(0)(5)(6)f f f f f f -+-+-+++++的值．分析：等差数列求和方法为“倒序相加”法，由此结构特征，我们可求如下一些类型的和．只要利用f （n ）＋f （1－n ）＝22，就可以求得答案为32 ②已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______ （答：72） ③已知22()(0,1)xxa f x a a a a=>≠+，则 1232004()()()()2005200520052005f f f f ++++＝____________ （答：1002）④若x ∈R 、n ∈N*，定义：55),1()2)(1(--+++=M n x x x x M n x 例如 ＝（－5）（－4） （－3）（－2）（－1）＝－120，则函数199)(-=x xM x f 的奇偶性为（A ）A. 是偶函数而不是奇函数B. 是奇函数而不是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数说明：类比相同或相似的结构，考查学生的发散思维能力，理性思维能力以及合情推理能力．例3. 已知x>0，y>0，x ＋2y ＝1，求11x y+的最小值． 解：11x y +＝（11x y+）（x ＋2y ）＝3＋2322y xx y +≥+类比上述解题方法，求解下列问题：①已知a ，b 为正常数，且a ＋b ＝10，x ，y 为正数，且a bx y+＝1，又x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值.分析：x ＋y ＝（x ＋y ）×（a b x y+）＝a ＋b ＋2ay bxa b ab x y +≥++18，故108162a b a ab b +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ ②已知a ，b 为正数，且a ≠b ，x ，y ∈R ＋，求证：222()a b a b x y x y++≥+，并指出等号成立的条件．③利用②的结论求函数f （x ）＝291((0,))122x x x +∈-的最小值，并指出等号成立的条件．说明：通过解法类比，考查学生知识的迁移能力和灵活应用知识的能力．例4. （2003上海春季）已知椭圆具有的性质：若M ，N 是椭圆C 1:22221x y a b+=（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM ·k PN 是与点P 位置无关的定值，试对双曲线C 2:22221x y a b-=写出具有类似性质，并加以证明．分析：k PM ·k PN ＝121222221212222121y y y y y y b x x x x x x a--+•==-+-. 说明：性质类比主要是学科内部的类比，如圆锥曲线间的性质类比等，有利于考查学生类比探究的能力．例5. （2002春季京皖）已知点的序列A n （x n ，0）， （n ∈N ＋）其中x 1＝0，x 2＝a （a>0），A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，…（1）写出x n 与x n －1，x n －2之间的关系式；（2）设a n ＝x n －1－x n －2，计算a 1，a 2，a 3，由此推测得{a n }的通项公式，并加以证明；答：（1） x n ＝12（x n －1＋x n －2） （2）a 1＝x 2－x 1＝a －0＝a ， a 2＝x 3－x 2＝12222x x ax +-=-. a 3＝x 4－x 3＝4a.由此推测得a n ＝11()2n a n N -+⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.验证如下：11121111()122n n n n n n n n nn n x x x a x x a x x x x ++++++++--===---．∴{a n }是以－12为公比的等比数列． ∴a n ＝a 1（－12）n －1＝（－12）n －1a （n ∈N ＋）.例6. （1）设a ，b 是两个实数，求证：若|a|<1，|b|<1，则1a bab++<1．（2）对于三个实数a ，b ，c ，是否存在与（1）类似的结论？答：（1）证明略 （2）存在1111a bc a b c abc ab a b ab bc ca c ab ++++++=+++++•+<1．例7. 空间n 个平面最多把空间分成多少个部分? 解：“最多”需任意两个平面不平行，任意三个平面不交于一直线．平面之于空间低一维，恰似直线之于平面低一维．所以我们可以类比直线分平面的个数使问题获解．当直线分平面时，第k 条直线与前k –1条直线有k –1个交点，这k –1个交点把直线分成k 段，每一段把原所在平面分成2部分．记k 条直线分平面的个数为P （k ）＝P （k –1）＋k类比上述直线分平面的关系可知，第k 个平面与前k –1个平面有k –1条直线，这k –1条直线把平面分为P （k –1）个平面，每一平面把原所在空间分为2部分．记k 个平面分空间的个数为W （k ）＝W （k –1）＋P （k –1） 由2，4，7，11，16……可得 P （n ）＝P （n –1）＋n＝P （n –2）＋（n –1）＋n ＝……＝P （1）＋2＋3＋……＋（n –1）＋n＝222n n ++P （1）＋P （2）＋……＋P （n – 1）＝32101212n n +-＝3566n n +-W （n ）＝W （n –1）＋P （n –1）＝W （n –2）＋P （n –2）＋P （n –1） ＝……＝W （1）＋P （1）＋……＋P （n –1）＝3566n n ++另解：由P （n ）＝222n n ++ 类比之，猜想W （n ）＝323an bn cn d+++（a ，b ，c ，d 为待定系数）．当n ＝1，2，3，4时，求出a ，b ，c ，d 的值，即a ＝1/2，b ＝0，c ＝5/2，d ＝3，所以猜测W （n ）＝3566n n ++，这用数学归纳法证之即可使原问题获解．一、选择题1. 数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A. 28 B . 32C. 33D. 272. 已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2； ③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个3. 如果821a ,a ,a 为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A. 5481a a a a >B. 5481a a a a <C. 5481a a a a +>+D. 5481a a a a =4. 设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定5. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制89101112131415例如，用十六进制表示,则（ ） A. 6E B. 72 C. 5F D. 806. 若O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,AB AC OP OA ABACλλ=++∈+∞，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A. 外心B. 重心C. 内心D. 垂心二、填空题7. 从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________．8. 若等差数列{}n a 的前n 项和公式为2(1)3n S pn p n p =++++，则p ＝_______，首项1a ＝_______；公差d ＝_______．9. 在数列{}n a 中，)()1(1,2,1*221N n a a a a n n n ∈-+=-==+，则.__________10=S10. )(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n nn f ，经计算的,25)8(f ,2)4(f ,23)2(f >>=,3)16(f >27)32(f >，推测当2≥n 时，有__________________________.三、解答题11. 设)(),0)(2sin()(x f x x f <<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是8π=x .（1）求ϕ的值；（2）求)(x f y =的增区间；（3）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切． 12. 211...122...2()nnn -是正整数13. 在ABC ∆中，猜想sin sin sin T A B C =++的最大值，并证明之．[参考答案]1、B2、D3、B4、B5、A6、C7、2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 8、－3，－5，－6 9、35 10、2(2)2nn f +>11、解：（1）由对称轴是8π=x ，得sin()1,,4424k k ππππϕϕπϕπ+=±+=+=+，而0πϕ-<<，所以34ϕπ=-（2）33()sin(2),2224242f x x k x k ππππππ=--≤-≤+ 588k x k ππππ+≤≤+，增区间为5[,],()88k k k Z ππππ++∈（3）'33()sin(2),()2cos(2)244f x x f x x ππ=-=-≤，即曲线的切线的斜率不大于212211...122...211...11011...122...2nnnnnn-=⨯+-11...11011...111...1(101)n n nnn=⨯-=⨯-11...1911...1311...133...3nnnn=⨯⨯=⨯=13、证明：sin sin sin sin2sincos 2sin()cos()3222626A B A B C C A B C πππ+-+++=++-2sin 2sin()4sin()cos()226412412A B C A B C A B C πππ++++-≤++=+-4sin()4124sin()4sin 4123A B C ππππ++≤+=+=当且仅当cos 12cos()126cos()1412A B C A B C ππ-⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪+-⎪-=⎪⎩时等号成立，即33A B C A B C ππ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩所以当且仅当3A B C π===时，sin3T π+的最大值为4sin3π所以max 333sin 32T π==。

第1节合情推理与演绎推理一、学习目标：1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；2. 体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

二、重点、难点重点：会用合情推理提出猜想，会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别与联系。

难点：发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律，利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明。

三、考点分析：推理是数学的基本思维过程，高中数学课程的重要目标就是培养和提高学生的推理能力，因此本部分内容在高中数学中占有重要地位，是高考的重要内容。

由于解答高考试题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中。

在学习时，应注意理解常用的推理的方法，了解其含义，掌握其过程以解决具体问题。

今后的高考中若考查推理内容，最有可能是把推理渗透到解答题中考查，因为解答与证明题本身就是一种推理，合情推理与演绎推理作为一种推理工具是很容易被解答与证明题接受的。

一、知识导图二、推理根据一个或几个事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫推理。

从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论。

三、合情推理：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

四、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。