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三角函数解三角形两角和与差的正弦余弦和正切公式课件xx年xx月xx日CATALOGUE目录•三角函数的定义•三角函数的基本性质•三角形中的边角关系•两角和与差的正弦余弦和正切公式•解直角三角形的方法•实例讲解01三角函数的定义1正弦函数23正弦函数是三角函数的一种，记作sin(x)，定义域为所有实数，值域为[-1,1]。
定义正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分。
图像正弦函数是周期函数，最小正周期为2π。
性质余弦函数是三角函数的一种，记作cos(x)，定义域为所有实数，值域为[-1,1]。
余弦函数定义余弦函数的图像也称为余弦曲线，它是由一系列的水平和垂直线段组成的。
图像余弦函数是周期函数，最小正周期为2π。
性质图像正切函数的图像也称为正切曲线，它是由一系列的斜线组成的。
定义正切函数是三角函数的一种，记作tan(x)，定义域为所有不等于π/2+kπ(k∈Z)的实数，值域为所有实数。
性质正切函数是奇函数，图像关于原点对称。
正切函数02三角函数的基本性质正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即$f(x+2\pi)=f(x)$和$g(x+2\pi)=g(x)$。
正切函数的周期是π，即$h(x+π)=h(x)$。
周期性1 2 3正弦函数的振幅是1，即$f(x) \in [-1,1]$。
余弦函数的振幅也是1，即$g(x) \in [-1,1]$。
正切函数的振幅需要特别注意，它的振幅不是1，而是没有限制的，即$h(x) \in \mathbf{R}$。
正弦函数和余弦函数的相位可以用正负号来表示，例如$f(x)=sin\omega x$和$g(x)=cos\omega x$，其中$\omega >0$。
正切函数的相位需要特别注意，它没有固定的相位，也就是说$h(x)$中不存在相位的概念。
正弦函数和余弦函数的初相都是一个常数，例如$f(0)=A$和$g(0)=B$。
正切函数的初相需要特别注意，它没有固定的初相，也就是说$h(x)$中不存在初相的概念。
第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标1．会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点二倍角公式公式简记正弦sin 2α＝□12sin_αcos_αS2α余弦cos 2α＝cos2α－sin2α＝□22cos2α－1＝□31－2sin2αC2α正切tan 2α＝□42tan α1－tan2αT2α(1)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为α2的二倍，3α作为3α2的二倍，α＋β作为α＋β2的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想；(2)常见二倍角公式的变形：cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)；1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；降幂公式：sin αcos α＝12sin 2α；cos2α＝1＋cos 2α2；sin2α＝1－cos 2α2.[微练1]计算1－2sin222.5°的结果等于()A．12B．22C．33D．32答案：B[微练2]已知tan α＝43，则tan 2α＝________．答案：－24 7[微练3]已知sin α＋cos α＝13，则sin 2α＝________．答案：－8 9题型一给角求值(链接教材P223练习T5)求下列各式的值．(1)sin π8cosπ8；(2)cos2π6－sin 2π6；(3)2tan 150°1－tan2150°；(4)cos π5cos2π5cos45πcos85π[解](1)sin π8cosπ8＝12×2sinπ8cosπ8＝12×sinπ4＝12×22＝24.(2)cos2π6－sin 2π6＝cos(2×π6)＝cosπ3＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π5cos45πcos85π2sinπ5＝sin2π5cos2π5cos45πcos85π2sinπ5＝sin45πcos45πcos85π4sinπ5＝sin85πcos85π8sinπ5＝sin165π16sinπ5＝－116.给角求值问题的两类解法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．求下列各式的值．(1)tan 30°1－tan230°；(2)1sin 10°－3cos 10°.解：(1)tan 30°1－tan230°＝12×2tan 30°1－tan230°＝12tan 60°＝32.(2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2（12cos 10°－32sin 10°）sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin（30°－10°）sin（2×10°）＝4sin 20°sin 20°＝4.题型二给值求值(1)已知α∈(0，π2)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝()A．15B．55C．33D．255(2)若cos(π4－α)＝35，则sin 2α＝()A ．725B ．15C ．－15D ．－725(3)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C ．15D ．45[解析] (1)由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈(0，π2)，所以2sin α＝cos α，与sin 2α＋cos 2α＝1联立，解得sin α＝55.(2)法一：因为cos (π4－α)＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725.法二：因为2(π4－α)＝π2－2α，所以sin 2α＝cos (π2－2α)＝2cos 2(π4－α)－1＝－725. (3)法一：由tan θ＝－13，cos 2θ＋sin 2θ＝1，得sin 2θ＝110，cos 2θ＝910， 所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝45.法二：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－（－13）21＋（－13）2＝45. [答案] (1)B (2)D (3)D解决给值求值问题的方法(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： ①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．(2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos[2(π4－x )] ＝2cos 2(π4－x )－1＝1－2sin 2(π4－x )； ②cos 2x ＝sin(π2－2x )＝sin[2(π4－x )] ＝2sin(π4－x )cos(π4－x )．2．(1)已知sin (x ＋π6)＝m ，则cos (2x －2π3)＝( ) A ．1－2m 2 B ．2m 2－1 C ．mD ．2m －1(2)已知tan (α－π3)＝33，则tan 2α＝( ) A ．－4 3 B ．－32 C ．4 3D ．32解析：(1)B cos (2x －2π3)＝cos [2(x ＋π6)－π]＝－cos 2(x ＋π6)＝2sin 2(x ＋π6)－1 ＝2m 2－1.(2)A 已知tan (α－π3)＝tan α－tan π31＋tan αtan π3＝33，解得tan α＝－32，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－4 3.题型三 化简与证明问题(1)化简：11－tan θ－11＋tan θ；(2)求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ．[解] (1)原式＝（1＋tan θ）－（1－tan θ）（1－tan θ）（1＋tan θ）＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.(2)证明：因为左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝(1－cos 2A 1＋cos 2A )2＝(2sin 2A 2cos 2A )2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边， 所以3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ．1．化简问题的解题策略(1)着手点：从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决．(2)化简方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.2．证明三角恒等式的方法(1)从复杂的一边入手，证明一边等于另一边； (2)比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；(3)分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．3．(1)设α∈(2π，3π)，2＋2＋2cos α的化简结果为________． 解析：∵α∈(2π，3π)，∴π＜α2＜3π2，π2＜α4＜3π4， ∴cos α2＜0，sin α4＞0， ∴ 2＋2＋2cos α＝ 2＋2（1＋cos α） ＝ 2＋2×2cos 2α2＝2（1－cos α2）＝2×2sin 2α4＝2sin α4.答案：2sin α4(2)求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ．证明：左边＝1＋cos （2A ＋2B ）2－1－cos （2A －2B ）2＝cos （2A ＋2B ）＋cos （2A －2B ）2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A ·cos 2B ＋sin 2A sin 2B )＝cos 2A cos 2B ＝右边，∴原等式成立．1.知识网络2．特别提醒(1)二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．(2)一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.课时规范训练 A 基础巩固练1.sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝( )A ．－12 B ．12 C ．32D ．－32解析：B 原式＝cos 20°sin 20°cos 310°＝12sin 40°cos 50°＝12×sin 40°sin 40°＝12.2．已知sin(π4－x )＝35，则cos(π2－2x )的值为( ) A ．1925 B ．1625 C ．1425D ．725解析：D 因为sin(π4－x )＝35， 所以cos(π2－2x )＝cos[2(π4－x )] ＝1－2sin 2(π4－x )＝725.3．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A ．53 B ．23 C ．13D ．59解析：A 因为3cos 2α－8cos α＝5，所以3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，所以6cos 2α－8cos α－8＝0，所以3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－23，因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝53.故选A ．4．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－cos α2D ．－sin α2解析：C 因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 5．(多选题)下列式子的值为－32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．sin 215°－cos 215° C ．2sin 215°－1D ．1－2cos 215°解析：BCD 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，A 不正确，B 、C 、D 项所得值都是－cos 30°＝－32.6．(多选题)函数y ＝2cos 2(x －π4)－1( )A．最小正周期为πB．最小正周期为π2C．是奇函数D．是偶函数解析：AC y＝2cos2(x－π4)－1＝cos 2(x－π4)＝cos(2x－π2)＝sin 2x，故T＝π，且为奇函数．故选AC．7.4tanπ81－tan2π8＝________．解析：原式＝2×2tanπ81－tan2π8＝2tan(2×π8)＝2tan π4＝2.答案：28.1－2sin 20°cos 20°2cos210°－1－cos2160°－1＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos210°－1－cos2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2 cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin（α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1的值．解：原式＝22（sin α＋cos α）2sin αcos α＋2cos2α＝2（sin α＋cos α）4cos α（sin α＋cos α）. 因为α为第二象限角，且sin α＝154， 所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－14. 所以原式＝24cos α＝－ 2.B 能力进阶练10．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是( ) A ．32 B ．1 C ．1＋32D ．1＋ 3解析：A f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin(2x －π6)．∵π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤5π6， ∴f (x )max ＝12＋1＝32.11．(多选题)已知函数f (x )＝cos 2x －1sin 2x ，则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 B ．函数f (x )的图象关于点(π2，0)对称 C ．函数f (x )是奇函数 D ．函数f (x )的最小正周期为π解析：BCD 因为f (x )＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x (x ≠k π2(k ∈Z ))， 所以函数f (x )是周期为π的奇函数，图象关于点(π2，0)对称，故选BCD ．12．若α∈(0，π)，cos α，sin α是一元二次方程x2＋13x－49＝0的两个实根，则cos 2α等于()A．179B．±179C．－179D．173解析：A∵cos α，sin α是一元二次方程x2＋13x－49＝0的两个实根，∴cos α＋sin α＝－1 3，cos α·sin α＝－4 9.又α∈(0，π)，cos α·sin α＝－49<0，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－（cos α－sin α）2＝－（cos α＋sin α）2－4cos α·sin α＝－（－13）2－4×（－49）＝－173，∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(－13)×(－173)＝179.13．已知sin θ2＋cosθ2＝233，那么sinθ＝________，cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2＋cosθ2＝233，所以(sin θ2＋cosθ2)2＝43，即1＋2sin θ2cosθ2＝43，所以sin θ＝1 3，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×(13)2＝79. 答案：13 7914．已知sin x 2－2cos x 2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos （5π4＋x ）sin （π＋x ）的值． 解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0，所以tan x 2＝2，所以tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)知tan x ＝－43，所以cos 2x cos （5π4＋x ）sin （π＋x ）＝cos 2x －cos （π4＋x ）（－sin x ）＝cos 2x －sin 2x （22cos x －22sin x ）sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x＝2·cos x ＋sin x sin x＝2·1＋tan x tan x＝24.C探索创新练15．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝5－12的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则m4－m22cos227°－1等于()A．4 B．5＋1 C．2 D．5－1解析：C由题意可知2sin 18°＝m＝5－1 2，所以m2＝4sin218°，则m4－m22cos227°－1＝2sin 18°4－4sin218°2cos227°－1＝2sin 18°·2cos 18°cos 54°＝2sin 36°cos 54°＝2.。
