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控制系统的根轨迹分析与校正

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控制系统校正的根轨迹方法

控制系统校正的根轨迹方法

控制系统校正的根轨迹方法用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S 平面上通过希望的闭环极点。

根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。

应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。

在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。

等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。

在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。

等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。

根轨迹超前校正计算步骤如下。

(1)作原系统根轨迹图；(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。

(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：is s=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1)此相角差φ表明原根轨迹不过主导极点。

为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。

(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 微分校正装置的传递函数为：11++=sTp sTz KcGc (2)例题：已知系统开环传递函数： 试设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv ≤4.6，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.2，自然振荡角频率ωn=12.0rad/s ，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。

解： 由6.4)(*)(0*lim 0==→s Gc s G s Kv s 得kc=2计算串联超前校正环节的matlab 程序如下： 主函数: close; num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1])); G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数 [num,den]=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性 s=roots(den); s1=s(1);kc=2; %增益kc Gc=cqjz_root(G,s1,kc)GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函 Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函 Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1);step(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位阶跃响应 hold onstep(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位阶跃响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2);0 2.3s(1+0.2s)(1+0.15s)G =impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应 hold onimpulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3);rlocus(G,GGc); %根轨迹图 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的');为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程跟必须满足幅值和相角条件，即πθj j e e M Tp s Tz s Kcs G S Gc 111)(0)(0011=++=-，式中，M 0是校正前系统在1s 处的幅值，θ0是对应的相角。

控制系统MATLAB仿真2-根轨迹仿真

控制系统MATLAB仿真2-根轨迹仿真

Gk ( s)
k g ( s 0.5) s( s 1)( s 2)( s 5)
绘制系统的根轨迹，确定当系统稳定时，参数kg 的取值范围。 num=[1 0.5]; den=conv([1 3 2],[1 5 0]); G=tf(num,den); K=0:0.05:200; rlocus(G,K) [K,POLES]= rlocfind(G) figure(2) Kg=95; t=0:0.05:10; G0=feedback(tf(Kg*num,den),1); step(G0,t)
Root Locus 8
8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -8 x x x
6
4
2
Imaginary Axis
0
-2
-4
-6
-8 -8
-6
-4
-2
0 Real Axis
2
4
6
8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
(a) 直接绘制根轨迹
(b) 返回参数间接绘制根轨迹
图1 例1系统根轨迹
二、MATLAB根轨迹分析实例

用户可以通过Control Architecture窗口进行系 统模型的修改，如图9。
图9 rltool工具Control Architecture窗口

也可通过System Data窗口为不同环节导入已 有模型，如图10。
图10 rltool工具System Data窗口

可以通过Compensator Editor的快捷菜单进行 校正环节参数的修改，如增加或删除零极点、 增加超前或滞后校正环节等，如图11。
Step Response 2 1.8 1.6 1.4 1.2

(自动控制原理)第四章根轨迹(06改)

(自动控制原理)第四章根轨迹(06改)
j j 1
i 1 n
A( )e
j ( )
1 Kg
满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件为：
由于Wk ( s )是复数，上式可写成：Wk ( s ) | Wk ( s ) A( )e j ( ) 1 | 或 A( )
| ( s z ) | li 1 | (s p j ) |
N z N p 1 2 ( 0,1,2,)
由此，满足幅值条件：
i j N z N p 180 (1 2 )
i 1 j 1
m
n
[例]： 已知系统开环零极点的分布如图示，判断z 2 和p2 之间的实轴是否存在根轨迹？
p4

p3
例题 4-1 已知开环系统的传递函数为：
K k (1s 1) Wk ( s) s(T1s 1)(T2 s 1)
求s=s0 时的放大系数K g 0。
解：改写传递函数为 K g ( s z1 ) K k 1 ( s 1 1 ) Wk ( s) T1T2 s( s 1 T1 )(s 1 T2 ) s( s p1 )(s p2 ) K k 1 K k p1 p2 Kg —— 根轨迹放大系数 T1T2 z1 K g z1 Kk —— 开环放大系数 p1 p2 可将系统的三个极点和一个有限零点画在复平面上如图：
1) 在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示开环有限 值零
点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“ ” 表
示根轨迹上的点。

2）在绘制根轨迹时，令S平面横轴和纵轴比例尺相同。
g 3）绘制根轨迹的依据是幅角条件。
k
4）利用幅值条件计算
的值。

自动控制原理校正课程设计-- 线性控制系统校正与分析

自动控制原理校正课程设计-- 线性控制系统校正与分析

自动控制原理校正课程设计-- 线性控制系统校正与分析课程设计报告书题目线性控制系统校正与分析院部名称机电工程学院专业10电气工程及其自动（单）班级组长姓名学号设计地点工科楼C 214设计学时1周指导教师金陵科技学院教务处制目录目录 (3)第一章课程设计的目的及题目 (4)1.1课程设计的目的 (4)1.2课程设计的题目 (4)第二章课程设计的任务及要求 (6)2.1课程设计的任务 (6)2.2课程设计的要求 (6)第三章校正函数的设计 (7)3.1设计任务 (7)3.2设计部分 (7)第四章系统动态性能的分析 (10)4.1校正前系统的动态性能分析 (10)4.2校正后系统的动态性能分析 (13)第五章系统的根轨迹分析及幅相特性 (16)5.1校正前系统的根轨迹分析 (16)5.2校正后系统的根轨迹分析 (18)第七章传递函数特征根及bode图 (20)7.1校正前系统的幅相特性和bode图 (20)7.2校正后系统的传递函数的特征根和bode图 (21)第七章总结 (23)参考文献 (24)第一章 课程设计的目的及题目1.1课程设计的目的⑴掌握自动控制原理的时域分析法，根轨迹法，频域分析法，以及各种补偿（校正）装置的作用及用法，能够利用不同的分析法对给定系统进行性能分析，能根据不同的系统性能指标要求进行合理的系统设计，并调试满足系统的指标。

⑵学会使用MATLAB 语言及Simulink 动态仿真工具进行系统仿真与调试。

1.2课程设计的题目 已知单位负反馈系统的开环传递函数)125.0)(1()(0++=s s s K s G ，试用频率法设计串联滞后校正装置，使系统的相角裕量 30>γ，静态速度误差系数110-=s K v 。

\第二章课程设计的任务及要求2.1课程设计的任务设计报告中，根据给定的性能指标选择合适的校正方式对原系统进行校正（须写清楚校正过程），使其满足工作要求。

然后利用MATLAB对未校正系统和校正后系统的性能进行比较分析，针对每一问题分析时应写出程序，输出结果图和结论。

自动控制原理实验报告根轨迹分析法

自动控制原理实验报告根轨迹分析法

相关根轨迹知识
根轨迹的概念 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时， 闭环系 统特征根在 s 平面上变化的轨迹。 增设零、极点对根轨迹的影响 (1)增加开环零点对根轨迹的影响 第一，加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左 移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加，过 渡过程时间缩短； 第三，增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系 统的相对稳定性越好。 (2)增加开环极点对根轨迹的影响 第一，加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻 尼减小，过渡过程时间加长；
-4-
五、实验过程
第一题 Gc=1：
Gc=s+5：
Gc=(s+2)(s+3)：
-5-
Gc=1/(s+5)：
第二题 第 一 步 : 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 “ num=[1 3];den=[1 2 0];rlocus(num,den)” ，得图如下：
第二步： 第三步：
第三题 第一步：由已知条件 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％得
s ( s 2)
1 。作 s5
确定系统具有最大的超调量时的根轨迹增益，并作时域 仿真验证;(2)确定系统阶跃响应无超调时的根轨迹取值 范围，并作时域仿真验证 3、已知一单位反馈系统的开环传递函数为 ss 0.8试加入一 个串联超前校正控制（其中，|z|<|p|） ，使得闭环系统 的 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％。
-7-
本为图标的切线与 K 的横坐标的交点所得的纵坐标再减去延迟时间。 随后按图慢慢调整数值，一定要有耐心。 第二题中，Step 的属性不能忘改，否则横轴（0，1）处恒为 1。 分母出 S 前的系数必须小于 1（阻尼比小于 1） ，之后改改分子，调整 调整 S 前的系数并保持 S^2 前的系数不变 （因为分子分母都可约分） ， 曲线即可得出。

控制工程基础第4章 根轨迹法

控制工程基础第4章 根轨迹法

n 3, m 0, 故三条根轨迹趋向处。
渐进线与实轴交点的坐标为
[S]
a
0
1
3
2
0
1
渐进线与实轴正向的夹角为
a -2 -1 0
a
2k
1180
3
60 , 180
六、根轨迹的起始角与终止角
起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点 处的切线与水平线正方向的夹角。
终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点 处的切线与水平线正方向的夹角。
s4
2
1
s3 -2 s20 s1
s3 180 , s3 2 180 s4 1, s4 2 2
若s4位于根轨迹上，则必满足
幅角条件，即1 2 180，
N
s4一定在 2，0的中垂线MN上。
利用幅值条件可算出各根轨迹上的 K 值。
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
K
ss 2
终止于 zb 的根轨迹在终点处
的切线与水平正方向的夹角
j 1
i 1
ib
其它零点到 zb 的向量夹角
七、分离点的坐标
几条根轨迹在[S]平面上相遇后又分开的点， 称为根轨迹的分离点（或会合点）。
分离点坐标的求法：
1 d (G(s)H (s)) 0
ds
2 由根轨迹方程
令：dK 0 解出s ds
n
1 180 p1 z p1 p2
180 116.57 90
206.57
由于对称性
2 206.57
会合点 -3
206.57
p1
[S]
z116.57
2.12
-2 -1 0

三阶系统的分析与校正

三阶系统的分析与校正

三阶系统的分析与校正引言：在控制系统中，三阶系统是一种常见且重要的系统。

它具有更高的阶数，因此对于控制系统的性能和稳定性有着更高的要求。

因此，对于三阶系统的分析和校正具有一定的复杂性。

本文将围绕三阶系统的分析和校正展开讨论，并介绍常见的校正方法。

一、三阶系统的基本特点和模型表示三阶系统是一个具有三个自由度的系统，可以用如下的传递函数表示：G(s)=K/(s^3+a*s^2+b*s+c)其中，K为传递函数的增益，a、b、c分别为系统的阻尼、震荡频率和系统自然频率。

二、三阶系统的稳定性分析稳定性是控制系统设计和校正的基本要求。

对于三阶系统的稳定性分析可以采用Bode图和Nyquist图等方法。

1. Bode图分析通过绘制传递函数的幅频响应和相频响应曲线，可以得到系统的幅度余弦曲线和相位余弦曲线。

根据Bode图的特点，可以确定系统的稳定性。

2. Nyquist图分析Nyquist图是对传递函数的极坐标表示。

通过绘制传递函数的Nyquist图，可以分析系统的稳定性。

以上两种方法都可以用来评估系统的稳定性。

如果系统的Bode图和Nyquist图图像均在单位圆内，则系统是稳定的。

三、三阶系统的校正方法校正是为了使控制系统具有所需的性能指标，通过调整系统中的参数和控制器等手段实现。

1.PID控制器的设计PID控制器是最常用的控制器之一，具有简单、稳定、易于实现等特点。

PID控制器由比例控制、积分控制和微分控制三部分组成。

通过调整PID控制器中的三个参数，可以实现对三阶系统的控制。

2.根轨迹法根轨迹法是一种经典的校正方法，通过分析系统的根轨迹来设计合适的校正器。

根轨迹是描述系统根位置随参数变化而变化的曲线。

通过调整参数，可以使根轨迹满足设计要求，进而实现对系统的校正。

3.频率响应方法频率响应方法基于传递函数的幅频响应和相频响应特性进行校正。

根据系统的特性，通过调整增益和相位等参数，可以实现对系统的校正。

以上是常见的三阶系统的校正方法，可以根据实际需求选择合适的方法进行校正。

第13章 控制系统的根轨迹分析与校正

第13章 控制系统的根轨迹分析与校正

rlocus(G) rlocus(G1,G2,...) rlocus(G,k) [r,k] = rlocus(G) r = rlocus(G,k)
绘制指定系统的根轨迹 绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于同 一图上 绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益向 量 返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r有 length(k)列，每列对应增益的闭环根 返回指定增益k的根轨迹参数。r为复根位 置矩阵。r有length(k)列，每列对应增 益的闭环根 MATLAB与控制系统仿真实践，
*
(s z )
i i 1 j
m
(s p
j 1
n
)
系统的闭环传递函数为
G(s) ( s) 1 G( s) H ( s)
系统的闭环特征方程为 1 G( s) H ( s) 即 G( s) H ( s)
K * (s zi )
i 1 m
0
(s p
j 1

例2：若单位反馈控制系统的开环传递函 数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹 判定系统的稳定性。
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8. 在线交流，有问必答
num=[1 3]; den=conv([1 1],[1 2 0]); G=tf(num,den); rlocus(G) figure(2) %新开一个图形窗口 Kg=4; G0=feedback(tf(Kg*num,den),1); step(G0)
北京航空航天大学出版社，2009.8. 在线交流，有问必答
图13.6 例3系统时的阶跃响 应
例4:若单位反馈控制系统的开环传递函数为
Gk ( s)
Kg s( s 2)

根轨迹校正实验报告

根轨迹校正实验报告

根轨迹校正实验报告一、实验目的本实验旨在通过观察系统的根轨迹，对系统进行校正，以达到控制系统的稳定性、快速性和精确性要求。

二、实验原理1. 根轨迹根轨迹是指在极坐标系下，由系统特征方程的根在复平面内的运动轨迹。

2. 根轨迹的性质- 当系统的开环传递函数中，理论上根轨迹的起点是传递函数零点的位置。

- 根轨迹对称于实轴。

- 根轨迹总是从系统的零点出发，逐渐趋向于系统的极点。

3. 根轨迹设计的基本要求- 所有根轨迹应该位于左半平面。

- 根轨迹的密度越大，系统的稳定性越好。

- 根轨迹与虚轴的交点个数为系统开环传递函数的极点数与零点数之差。

- 根轨迹经过的区域越小，系统的快速性越好。

三、实验步骤本次实验使用了MATLAB软件进行根轨迹校正实验，具体步骤如下：1. 给定开环控制系统的传递函数，并画出其对应的零极点分布图。

通过观察零极点的位置，确定系统的初始根轨迹起点。

2. 使用MATLAB的rlocus函数，绘制出开环根轨迹。

通过该函数，我们可以根据系统传递函数的特点，得到根轨迹的形状。

3. 根据根轨迹的形状和性质，校正系统。

可以通过调整控制器的参数或改变系统的结构等方式，来使根轨迹满足系统的要求。

4. 经过多次调整和校正，得到符合要求的根轨迹。

通过观察根轨迹的形状和分布，判断系统是否稳定、快速和准确。

四、实验结果与分析经过根轨迹校正，我们得到了一条符合要求的根轨迹。

通过分析根轨迹的形状和性质，我们可以得出以下结论：1. 系统的稳定性由于根轨迹位于左半平面，且大部分根轨迹较为密集，因此系统的稳定性较好。

没有根轨迹位于右半平面，避免了系统的不稳定性。

2. 系统的快速性根轨迹的起点与旁边的极点较近，根轨迹与虚轴的交点附近也没有极点，因此根轨迹经过的区域较小。

这意味着系统的快速性较好，能够快速响应输入变化。

3. 系统的准确性根轨迹与实轴的交点个数与系统的极点数与零点数之差相符，说明系统的准确性较好。

这样的根轨迹设计使得系统能够准确响应输入信号，实现精确控制。

(完整版)第四章根轨迹法

(完整版)第四章根轨迹法

j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化

利用根轨迹的系统校正

利用根轨迹的系统校正

当校正后的根轨迹已通过希望的主导极 点，还需要检验相应的开环增益是否满足 稳态要求。若不满足，则需调节开环增益， 同时保持根轨迹仍通过希望的主导极点。
一、时域性能与期望的闭环极点
1.高阶系统转换为标准二阶系统 找到一对主导复极点，忽略其他非主导
极点和零点的影响。 2.期望的动态性能→期望的主导极点
2.校正原理： 在原点附近放置零极点对，提升低频开环 增益，提高稳态精度。
例 单位反馈系统坡输入时，
1.校核原系统： a. 是I型系统，根据斜坡输入时期望的稳 态误差，设计开环增益的初始值：
由Routh判据可知，这是一个不稳定的系统。
2.画原系统跟轨迹，并确定主导极点
若期望的主导极点不在此根轨迹上说明仅靠调整系统的增益不能满足性能指标要求需要增加适当的校正装置改造系统的根轨迹使其通过希望的主导极点
第七章 反馈控制系统的校正
第3小节 利用根轨迹的系统校正
基于根轨迹校正的一般步骤：
根据给定的瞬态性能指标确定主导极点的 位置； 绘制未校正系统的根轨迹。若期望的主导 极点不在此根轨迹上，说明仅靠调整系统的 增益不能满足性能指标要求，需要增加适当 的校正装置改造系统的根轨迹，使其通过希 望的主导极点；
足：
，单位阶跃输入的稳态
误差
。设计串联校正网络。
1.校核原系统：
a. 包含一个积分环节，能达到零稳态误
差条件，无需校正低频段；
b.由闭环特征方程
，
得：
c. 比期望值小，说明 比期望的大，采用 超前校正改善其动态性能。
2.计算期望的主导极点，并比较校正前后的 跟轨迹。
跟轨迹 向左倾斜
3.配置超前校正网络的零极点： a.取零点为： b.设校正后开环传递函数为：

实验3 控制系统的根轨迹作图

实验3 控制系统的根轨迹作图

自动控制原理实验报告课程名称 自动控制原理 成 绩 实验项目 控制系统的根轨迹作图 指导教师 齐立省 学生姓名 赵儒桐 学号 201100805035 班级专业 11电子信息工程 实验地点 综合楼226 实验日期 年 月 日一、实验目的1.利用计算机完成控制系统的根轨迹作图2.了解控制系统根轨迹图的一般规律3.利用根轨迹进行系统分析及校正二、实验步骤1.在Windows 界面上用鼠标双击matlab 图标，即可打开MATLAB 命令平台。

2.练习相关M 函数根轨迹作图函数：rlocus(sys)rlocus(sys,k)r=rlocus(sys)[r,k]=rlocus(sys)函数功能：绘制系统根轨迹图或者计算绘图变量。

图1-1 格式1：控制系统的结构图如图1-1所示。

输入变量sys 为LTI 模型对象，k 为机器自适应产生的从0→∞的增益向量， 绘制闭环系统的根轨迹图。

格式2：k 为人工给定的增益向量。

格式3：返回变量格式，不作图。

R 为返回的闭环根向量。

格式4：返回变量r 为根向量，k 为增益向量，不作图。

更详细的命令说明，可键入“help rlocus”在线帮助查阅。

例如：系统开环传递函数为)3)(1()(++=s s s k s G g方法一：根轨迹作图程序为k=1; %零极点模型的增益值z=[]; %零点p=[0,-1,-3]; %极点sys=zpk(z,p,k); %零点/极点/增益模型rlocus(sys)作出的根轨迹图如图1-2所示。

方法二：s=tf('s'); G1=1/(s*(s+1)*(s+3));rlocus(G1); 图1-2 gridK1=12;figure;step(feedback(G1*K1,1)) % 绘制K1＝12的闭环单位反馈阶跃响应曲线闭合时域仿真simulink 模型：三、实验内容给定如下各系统的开环传递函数，作出它们的根轨迹图，并完成给定要求。

控制系统的综合与校正

控制系统的综合与校正

图6.16 校正前后系统的开环对数渐近幅频特性
一定的宽度，同时又要考虑原系统的特性， 即高频段应与原系统特性尽量有一致的斜 率。由于原系统特性是按K=Kv＝1000 (l／ s)绘制的，因此期望特性的低频段应与原系 统特性重合。这样考虑后，可使校正网络 简单且易于实现。根据以上分析作期望特 性:
是幅值改变
倍, 并且随ω的改
变而改变。
• 6.1.3 PI控制(比例+积分)
• 具有比例加积分控制规律的控制器， 称为比例积分控制器（或称PI控制 器），如图6.5所示。
• 其中:
（6.5）
图6.5 PI控制器
• 控制器输出的时间函数:
（6.6）
• 讨论方便，令比例系数KP＝1则式(6.5)变 为:
（6.31）
（6.32） • ④应用图解法确定能产生相角为
超前网络的零点极点位置, 即串联超前校正
• ⑤验算性能指标。
• 6.3.2 • 如前所述，当原系统已具有比较满意
的动态性能，而稳态性能不能满足要 求时，可采用串联滞后校正。 • 应用根轨迹法设计串联滞后校正网络， 可归纳为如下步骤:
• ①作出原系统的根轨迹图, 根据调节时间的 要求,
• 其中:
（6.1）
图6.3 P控制器
• 6.1.2 PD控制(比例+微分)
• 具有比例加微分控制规律的控制器称 为比例加微分控制器(或称PD控制器)， 如图6.4所示。
• 其中:
（6.2）
图6.4 PD控制器
（6.3）
（6.4）
• 式(6.4)表明, PD控制器的输入信号为正弦
函数时, 其输出仍为同频率的正弦函数, 只
ωc＝4.47(rad／s), 相角裕度为-16.6°, 说明

第四章 根轨迹法(1)

第四章 根轨迹法(1)

an1 p1 p2
n
pn p j , j 1
n
a0 p1 • p2 • • pn p j j 1
闭环系统的特征方程为：F (s) 1 Gk (s) 0 ，即： (1)
设闭环系统的极点为： s1, s2 ,... sn ，则
(2)
系统闭环特征方程为：
F (s) sn an1sn1 ... a0 Kg (sm bm1sm1 ... b0 )
倾角：设根轨迹在无限远处有一点 sk ，则s平面上所有的 开环有限零点和极点到 sk 的相角都相等，即为渐近线的倾
角 。代入根轨迹的相角条件得：
m
n
(s zi ) (s p j ) m n (2k 1)
i 1
j 1
规定：相角逆时针为正，顺时针为负。
渐近线与实轴的交点
[例]系统开环传递函数为：Gk (s)
（2）实轴上相邻开环零点（包括无穷远零点）之间是根轨迹， 则这段根轨迹上必有会合点；
（3） 实轴上根轨迹在一个开环零点与开环极点之间， 则存在两种情况，既有 分离点也有会合点，既无分离点 也无会合点；
[分离点和会合点的求法]：
代数重根法：
m
Go (s) Kg
(s zj )
j 1
n
(s pi )
根轨迹法的优点有哪些：
1、从已知的开环零、极点的位置及某一变化参数来求 取闭环极点的分布，即解决闭环特征式的求根问题。
2、根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部 信息，而且可以指明系统参数应该怎样变化才能满足给定 闭环系统的性能指标要求。
2
4.1根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的定义
例4-1 某随动系统如图所示
p3

自动控制系统校正方法

自动控制系统校正方法

自动控制系统校正方法
下面将介绍几种常见的自动控制系统校正方法：
1.基于试探法的校正方法：
这种方法通过对控制系统进行试探性的扰动，观察系统的响应来确定
调整参数的大小和方向。

常见的方法有阶跃响应法和斜坡响应法。

阶跃响
应法通过输入一个阶跃信号，观察系统的输出响应，调整参数使输出尽快
收敛到期望值。

斜坡响应法则是通过输入一个斜坡信号，观察系统的输出
响应的斜率，根据斜率的大小和方向调整参数。

2.基于频域分析的校正方法：
这种方法使用频域分析工具来分析系统的幅频特性，从而得到系统的
频率响应函数，进而调整参数使得系统的频率响应函数与期望值尽量接近。

其中最常见的方法是根轨迹法和频率响应曲线法。

根轨迹法通过画出系统
的根轨迹图来分析系统的稳定性和性能，进而调整参数。

频率响应曲线法
通过绘制系统的幅频特性曲线，观察曲线的形状、幅值和相位信息，从而
调整参数。

3.基于模型预测的校正方法：
这种方法通过建立系统的数学模型来进行系统的校正。

常见的方法有
最小二乘法和极大似然法。

最小二乘法通过最小化实际输出与期望输出之
间的平方误差来调整参数。

极大似然法则是通过最大化实际输出的似然函
数来调整参数，从而使系统的输出尽可能接近期望输出。

需要注意的是，不同的自动控制系统校正方法适用于不同的系统和控
制目标。

在进行校正时，需要根据实际情况选择合适的方法，并根据实际
测试结果进行调整和优化。

此外，校正过程中还需考虑系统的非线性特性、外界干扰和噪声等因素的影响，以实现系统的更好性能。

控制系统的根轨迹法分析

控制系统的根轨迹法分析

可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为 ， 90 根轨迹为圆，如下图所示。
（2）当 2 时，阻尼角
2Hale Waihona Puke 45，表示 45角的直线为OB，其方程为
，
代入特征方程整理后得
(5 k) 10k j(2 2 5 k ) 0
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
闭环系统的极点为
s 2 1
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
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极点到根轨迹上某一点的向量相角之和。
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13.1 控制系统的根轨迹法分析
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13.1.1 根轨迹及根轨迹法概述
以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解 法是获得系统根轨迹是很实用的工程方 法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的 信息：
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zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s p j )
j 1
系统的闭环传递函数为
(s)
G(s)
1 G(s)H (s)
系统的闭环特征方程为1 G(s)H (s) 0
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13.1.2 MATLAB根轨迹分析的相关函数
MATLAB中提供了 rlocus()函数， 可以直接用于系统的根轨迹绘制。 还允许用户交互式地选取根轨迹上 的值。其用法见表13.1。更详细的 用法可见帮助文档
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临界稳定时的开环增益；闭环特征
根进入复平面时的临界增益；选定
开环增益后，系统闭环特征根在根
平面上的分布情况；参数变化时，
系统闭环特征根在根平面上的变化 趋势等。
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例2：若单位反馈控制系统的开环传递函 数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹 判定系统的稳定性。
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交互式地选取根轨迹增益。产生一个十字光 标，用此光标在根轨迹上单击一个极点， 同时给出该增益所有对应极点值
返回P所对应根轨迹增益K，及K所对应的全 部极点值
在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和等 自然振荡角频率线。阻尼线间隔为0.1， 范围从0到1，自然振荡角频率间隔1rad/s ，范围从0到10
在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和等 自然振荡角频率线。用户指定阻尼系数值 和自北M京然A航TL振空AB航与荡天控大角制学系频出统版仿率社真，值实2践00，9.8.
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2. 根轨迹方程
闭环控制系统一般可用图13.1 所示的结构图来描述。
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R(s)
C(s)
G(s)
H(s)
图13.1 闭环控制系统结构图
返回指定增益k的根轨迹参数。r为复根位 置矩阵。r有length(k)列，每列对应增 益的闭环根
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[K,POLES] = rlocfind(G)
[K,POLES]= rlocfind(G,P)
sgrid
sgrid(z,wn)
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Imaginary Axis
Root Locus 8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real Axis
8
6
4
2
0
x
xx
-2
-4
-6
-8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
(a) 直接绘制根轨迹
(b) 返回参数间接绘制根轨迹
图13.2 例1系统根轨迹
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主要内容
原理要点 控制系统的根轨迹分析 控制系统的根轨迹校正 MATLAB的图形化根轨迹法分析与校正
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原理要点
1. 根轨迹概念
是指当开环系统某一参数从零变到无穷 大时，闭环系统特征根(闭环极点)在复平 面上移动的轨迹。通常情况下根轨迹是 指增益K由零到正无穷大下的根的轨迹。
m
K * (s zi )
即 G(s)H(s)
i 1 n
1
(s p j )
j 1
式（4-8）
显然，在s平面上凡是满足上式的点，都是根轨迹上的点。式
（4-8）称为根轨迹方程。式（4-8）可以用幅值条件和相角条 件来表示。
3. 幅值条件
m
(s zi )
G(s)H(s)
K*
i 1 n
1
(s p j )
rlocus(num,den) %绘制根轨迹
axis([-8 8 -8 8])
figure(2)
r=rlocus(num,den); %返回根轨迹参数
plot(r,'-')
%绘制根轨迹
axis([-8 8 -8 8])
gtext('x')
gtext('x') gtext('x')
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rlocus(G) rlocus(G1,G2,...) rlocus(G,k) [r,k] = rlocus(G) r = rlocus(G,k)
绘制指定系统的根轨迹
绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于同 一图上
绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益向 量
返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r有 length(k)列，每列对应增益的闭环根
j 1
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4. 相角条件
∠ G(s)H (s)=
m
n
(s zi ) (s p j )
i 1
j 1
m
n
i j (2k 1) k 0, 1, 2,
i 1
j 1
式中，i 、 j 分别代表所有开环零点、
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13.1.3 MATLAB根轨迹分析实 例
例1：若单位反馈控制系统的开环传
递函数为
Gk
(s)
s(s
kg 1)( s
5)
绘制系统的根轨迹。
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程序如下：
clf;
num=1;
den=conv([1 1 0],[1 5]);