自动控制原理(系统根轨迹分析)

武汉工程大学自动控制原理实验报告

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实验名称：系统根轨迹分析

实验日期：2011-12-01

第三次试验

一、实验目的

1、掌握利用MATLAB精确绘制闭环系统根轨迹的方法；

2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响；

二、实验设备

1、硬件：个人计算机

2、软件：MATLAB仿真软件（版本6.5或以上）

实验内容

1．根轨迹的绘制

1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K )

()

(s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。 2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。

关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。 不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。

图3.1 函数rlocus 的调用

例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。

图3.2 闭环系统一

图3.3 闭环系统一

的根轨迹及其绘制

程序

注意：在这里，构成系统s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中s最高

次幂项的系数为1。

当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1);

当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。

对于图 3.2 所示系统，

G(s)H(s)=

)2()1(++s s s K *11+s =)

3)(2()

1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys :

sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1)

若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 r locfind 。然后，将鼠标移至根轨迹图上会出现一个可移动的大十字。将该十字的 中心移至根轨迹上某点，再点击鼠标左键，就可在命令窗口看到该点对应的根值和 K 值了。另外一种 较为方便的做法是在调用了函数 rlocus 并得到了根轨迹后直接将鼠标移至根轨迹图中根轨迹上某点 并点击鼠标左键，这时图上会出现一个关于该点的信息框，其中包括该系统在此点的特征根的值及其 对应的 K 值、超调量和阻尼比等值。图 3.4 给出了函数 r locfind 的用法。

2．实验内容

图3.5 闭环系统二

1） 对于图 3.5 所示系统，编写程序分别绘制当

（1） G(s)=

)2(+s s K

,

（2） G(s)=

)

4)(1(++s s s K

,

（3） G(s)=

)

6)(4)(2(+++s s s s K

,

（4） G(s)=

)24)(24)(4)(2(j s j s s s s K

-+++++,

（5） G(s)=

)2()

4(++s s s K ,

（6） G(s)=

)

4)(2()

6(+++s s s s K ,

（7） G(s)=

)

4)(2()

24)(24(++-+++s s s j s j s K

时系统的根轨迹，并就结果进行分析。 解析： (1)运行程序

sys=zpk([ ],[0,-2],1);

rlocus(sys); rlocfind(sys); 运行结果：

-2

-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20

Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

系统极点：p=0,-2 无零点 故有两条渐近线，且φ=090，-090 渐近线与实轴的交点：σ=

2

)

2(0-+=-1 分离点：K=-s(s+2),dK/ds=-2s-2,令其=0，则s=-1，此时K=1

当K=0时，系统根轨迹从极点0，-2处出发；当K=1时，在实轴的-1处会合，分别沿垂直于-1的直线以090，-090方向延伸，在根轨迹无穷远处，K=∞ 由分析可知，运行结果与理论结果一致。

（2）运行程序

sys=zpk([ ],[0,-2,-4],1);

rlocus(sys); rlocfind(sys); 运行结果：

-12

-10-8-6-4-2024

-8-6

-4

-2

2

4

6

8

Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

系统极点：p=0,-2,-4 无零点 系统有三条渐近线，且φ=060，-060，

0180 渐近线与实轴的交点：σ=

3

4

20--=-2 根轨迹与虚轴的交：点令s=jw,带入特征方程s(s+2)(s+4)+K=0,得：jw(8-2w )+(K-62w )=0,故w=2.83,-2.83 带入特征方程验证，K>0 实轴上的根轨迹：[-2,0]，（-∞，-4）

[-2,0]之间的根轨迹，K=0时，分别从-2,0出发；当K=3.08*2*4=24.64时会合，

再分别沿渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−

∞ （-∞，-4）之间的根轨迹，K=0时，从-4出发，沿负实轴趋于无穷，无穷远处，

K −→−

∞ 由分析可知，运行结果与理论结果一致。

(3)运行如下程序:

sys=zpk([ ],[0 -2 -4 -6],1); rlocus(sys);