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实验四 控制系统的根轨迹分析一. 实验目的:1. 学习利用MATLAB 语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。
二. 实验内容:1. 应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。
2. 求出系统稳定时，增益K 的范围。
3. 实验前利用图解法画出系统的根轨迹，算出系统稳定的增益范围，与实测值相比较。
4. 应用SIMULINK 仿真工具，建立闭环系统的实验方块图进行仿真。
观察不同增益下系统的阶跃响应，观察闭环极点全部为实数时响应曲线的形状；有共轭复数时响应曲线的形状。
（实验方法参考实验二）5. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。
三. 实验原理:根轨迹分析法是由系统的开环传递函数的零极点分布情况画出系统闭环根轨迹，从而确定增益K 的稳定范围等参数。
假定某闭环系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 利用MATLAB 的下列语句即可画出该系统的根轨迹。
b=[1 1]； ％确定开环传递函数的分子系数向量a1=[l 0]； ％确定开环传递函数的分母第一项的系数a2=[l -1]； ％确定开环传递函数的分母第二项的系数a3=[l 4 16]； ％确定开环传递函数的分母第三项的系数a=conv(al ，a2)； ％开环传递函数分母第一项和第二项乘积的系数 a=conv(a ，a3)； ％分母第一项、第二项和第三项乘积的系数 rlocus(b,a) ％绘制根轨迹，如图（4-l ）所示。
p=1.5i ； ％ p 为离根轨迹较近的虚轴上的一个点。
[k ，poles]=rlocfind(b ，a ，p) ％求出根轨迹上离p 点很近的一个根及所对应的增益K 和其它三个根。
K=22.5031， poles= -1.5229+2.7454i -1.5229-2.7454i0.0229+1.5108i 0.0229-1.5108i再令p=1.5108i ，可得到下面结果:k=22.6464， poles=-1.5189+2.7382i -1.5189-2.7382i0.0189+1.5197i 0.0189-1.5197i再以此根的虚部为新的根，重复上述步骤，几步后可得到下面的结果： k=23.316， poles=-1.5000+2.7040i -1.5000-2.7040i0.0000+1.5616i 0.0000-1.5616i这就是根轨迹由右半平面穿过虚轴时的增益及四个根。
一、实验目的1. 熟悉控制系统根轨迹的基本概念和绘制方法。
2. 掌握利用MATLAB软件绘制和分析控制系统根轨迹的方法。
3. 通过根轨迹分析，了解系统参数变化对系统性能的影响。
4. 培养实验操作能力和数据处理能力。
二、实验原理根轨迹是指当系统的某一参数（如开环增益K）从0变化到无穷大时，闭环系统的特征根在s平面上的变化轨迹。
通过分析根轨迹，可以了解系统在参数变化时的稳定性、瞬态响应和稳态误差等性能。
三、实验设备1. 计算机2. MATLAB软件3. 控制系统实验箱四、实验内容1. 绘制控制系统根轨迹（1）首先，根据实验要求，搭建控制系统的数学模型。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
五、实验结果与分析1. 绘制控制系统根轨迹（1）根据实验要求，搭建控制系统的数学模型，得到开环传递函数。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
实验报告
课程名称：____ 自动控制理论实验_____指导老师：_____________成绩：__________
实验名称：___控制系统的根轨迹分析___实验类型：___仿真实验___同组学生姓名：__无__
一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤
五、实验数据记录和处理
六、实验结果与分析（必填）
七、讨论、心得
实验十一 控制系统的根轨迹分析
一、实验目的
1、用计算机辅助分析的办法，掌握系统的根轨迹分析方法。
2、熟练掌握 Simulink 仿真环境。
二、实验原理
1、根轨迹分析方法
所谓根轨迹，是指当开环系统的某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益 K ） 从零变到无穷大时，系统特征方程的根在 s 平面上的轨迹。
在无零极点对消时，闭环系统特
征方程的根就是闭环传递函数的极点。
根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。
利用它可 以对系统进行各种性能分析：
(1) 稳定性
当开环增益 K 从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半 s 平面，因 此这个系统对所有的 K 值都是稳定的。
如果根轨迹越过虚轴进入右半 s 平面，则其交点的 K
值就是临界稳定开环增益。
(2) 稳态性能
开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的 K 值就是静态速度误差系数，如果 给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。
(3) 动态性能
当 0 < K < 0.5 时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周 期过程；当 K = 0.5 时，闭环两个极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周 期过程，但速度更快；当 K > 0.5 时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃 响应为阻尼振荡过程，且超调量与 K 成正比。
同时，可通过修改系统的设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，即根轨迹对系 统设计也具有指导意义。
2、根轨迹分析函数 在 MA TLAB 中，绘制根轨迹的有关函数有 rlocus 、rlocfind 、pzmap 等。
(1) pzmap ：绘制线性系统的零极点图，极点用×表示，零点用 o 表示。
专业：_____________________
姓名：____________________ 学号：___________________ 日期：____________________ 地点：____________________
(2) rlocus：求系统根轨迹。
例如rlocus(a,b,c,d)、rlocus(num,den)或rlocus(a,b,c,d,k)、rlocus(num,den,k)，为根据开环系统的状态空间模型或传递函数模型，直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图，其中开环增益的值从零到无穷大变化或指定其变化范围。
(3) rlocfind：计算给定一组根的根轨迹增益。
例如[k,p]=rlocfind(num,den)，其要求在屏
幕上先已经绘制好有关的根轨迹图。
然后，此命令将产生一个光标以用来选择希望的闭环极点。
命令执行结果：k 为对应选择点处根轨迹开环增益；p 为此点处的系统闭环特征根。
三、实验内容
一开环系统的传递函数为
绘制出此闭环系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。
四、实验要求
1、编制MA TLAB 程序，画出实验所要求的根轨迹，求出系统的临界开环增益，并用
闭环系统的冲激响应证明之。
2、在Simulink 仿真环境中，组成系统的仿真框图，观察临界开环增益时系统的单位阶
跃响应曲线并记录之。
五、实验记录
1、MATLAB 的文件编程和仿真
(1) 实验程序
num=[1,2];
den=[conv([1,4,3],[1,4,3])];
rlocus(num,den) % 使用传递函数模型表征开环系统
[k,p]=rlocfind(num,den) % 在根轨迹图中使用光标获得相应的极点p与增益k
z=[-2];
p=[-1,-1,-3,-3];
k=32*sqrt(3); % k=55.4256为临界开环增益
[num,den]=zp2tf(z,p,k); % 使用零极点模型表征开环系统, 并转换为传递函数
[num1,den1]=cloop(num,den); % 闭环传递函数
subplot(211);
step(num1,den1);
xlim([0,20]);
grid; % 单位阶跃响应
subplot(212);
impulse(num1,den1);
xlim([0,20]);
grid; % 单位冲激响应
(2) 运行结果selected_point =
-0.8341 + 1.3665i
k =
6.9178
p =
-4.2173
-2.1390
-0.8218 + 1.3624i -0.8218 - 1.3624i
（根轨迹曲线）
（响应曲线）
2、MATLAB 的Simulink 仿真
(1) 系统框图
分析使用的系统为传递函数（Transfer Function）模型，在输入框赋予指定的一维向量。
(2) 仿真结果
七、结果分析
1、理论分析
对于开环传递函数为的控制系统，其特征方程为
(1) 根轨迹的起讫点与条数
系统具有二阶开环极点p i= -1, -3，开环零点z i = -2，即P = 4，Z = 1。
因此系统共有四条根轨迹分支，始于四个开环极点，其一终于开环零点，其余三条将沿渐近线趋向于s 平面的无穷远处。
(2) 实轴上的根轨迹
由判定规则易知，实轴上-2 至-3 和-3 至无穷小间的线段均为根轨迹（但其走向不同）。
(3) 根轨迹的渐近线
渐近线与实轴的夹角与交点由下面二式确定
即渐近线过零点-2，且与实轴的夹角为60°。
(4) 分离点
由系统特征方程可得
因而分离点为-1，其出射角为90°。
(5)根轨迹与虚轴的交点
令特征方程中s=jw，可得
即
解之可得
由以上分析可绘制出完整的根轨迹图。
对比仿真所得的根轨迹图线可知，各特征量与实
际数值完全吻合，从理论上证明了由编程绘制得根轨迹的正确性。
2、开环临界增益
由时域仿真曲线可以看出，当系统取临界开环增益时，其输出响应是一个等幅振荡，表
明此时系统是稳定的。
因而验证了此临界开环增益值的正确性。
八、心得思考
1、本次试验中，我熟悉使用了matlab自带的Simulink 仿真工具，将理论知识和问题很直观的在计算机上演示了出来，十分方便。
matlab语言及其工具箱为根轨迹的绘制（图形绘制）与求解（数值计算）提供了很大的方便，在实际运用中可大大提高工作效率。
2、根轨迹是图解给定特定参数时闭环特征根，从而分析系统性能的一种方法，特别是对于高阶复杂系统，可以有效避免求解高阶特征方程的困难。
3、本实验通过对一个具体实例的运用和分析，从定性到定量地求解了根轨迹的性质和
系统的性能，以及根轨迹分析法在系统稳定性判别方面的应用，从而加深了对相关知识点的理解和巩固。
