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自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析资料

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夏德钤《自动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】

夏德钤《自动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】

夏德钤《⾃动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】第4章　线性系统的根轨迹分析1．系统的开环传递函数试证明：点在根轨迹上，并求出相应的和系统开环增益K。

证明：根据系统的开环传递函数可知，系统的开环极点为由闭环根轨迹的相⾓条件可得：当时，故点在根轨迹上。

由闭环根轨迹的幅值条件可知，此时即相应的根轨迹增益和系统开环增益仿真曲线如图4-1所⽰。

MATLAB程序：exe402.m２．设单位反馈控制系统的开环传递函数为试⽤解析法绘出K*从零变到⽆穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（﹣2＋j0），（0＋j1），（﹣3＋j2）解：闭环传递函数为则闭环特征⽅程为闭环特征根为当。

可逐个描点得闭环根轨迹如图4-2所⽰，从图4-2中明显可见，只有（－2，j0）在根轨迹上。

图4-2３．设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘制闭环根轨迹图。

解：（1）系统的开环传递函数令为根轨迹增益。

①实轴上的根轨迹：[0，－2]，[－5，－∞）。

②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜解得④根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征⽅程令s＝jω，将其代⼊上式可得即由于ω≠0，故可解得则根轨迹与虚轴的交点为±j3.16。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-3所⽰。

图4-3 系统（1）概略根轨迹图（2）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹[0，－2]，[－3，－5]。

③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－0.89。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-4所⽰。

图4-4 系统（2）概略根轨迹图（3）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹：[－1，－3]，[－10，－5]。

②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－7.27。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-5所⽰。

图4-5 系统（3）概略根轨迹图（4）系统的开环传递函数实轴上的根轨迹为[－2，－1]，系统概略根轨迹如图4-6所⽰。

自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2

自动控制原理 第四章 根轨迹法

自动控制原理 第四章 根轨迹法

第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。

本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。

4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。

例如某控制系统的结构图如图4.1所示。

图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。

于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。

箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。

这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。

画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。

通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。

又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。

可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。

图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。

而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。

下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。

自动控制原理-第四章 线性系统的根轨迹法(4)

自动控制原理-第四章 线性系统的根轨迹法(4)

暂态响应呈振荡性质，其超调量主要取决于主导极点的衰
减率
1 n

d n 1 2
1 2
并与其它极点接近原点的程度有关，调整时间主要取决于主
导极点的实部
1


。
n
（4）调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数
极点的实部绝对值 1 n 。
（5）实数零、极点影响。闭环极点的存在会增大系统的阻尼比， 使响应速度减慢，超调量减少。闭环零点的存在减小系统阻尼， 使响应速度加快，超调量增加。
4-4 系统性能的分析
系统闭环零、极点位置与暂态响应的关系：
（1）稳定性。系统的稳定性只取决于闭环极点的位置。
（2）运行形式。如果闭环系统无零点，闭环极点均为实数 极点，则系统的暂态响应为单调的；如果闭环极点均为复 数极点，则系统的暂态响应为振荡的。
（3）超调量。如果系统具有一对闭环主导极点，则系统的
4-7 线性系统根轨迹分析的MATLAB方法
1、绘制零极点分布图 ：[ p,z]=pzmap(sys);
2、绘制根轨迹图 绘制根轨迹一般步骤为： (1)先将特征方程写成 1 A P(s) 0 形式，得到等效的开 环传递函数 G A P(s) ； Q(s)
Q(s)
(2)调用rlocus命令绘制根轨迹。
Hale Waihona Puke （6）偶极子及其影响。如果系统中存在非常接近的零点和极 点，其相互距离比其本身的模值小一个数量级以上，则把这对 闭环零、极点称为偶极子。偶极子的位置距离原点非常近时， 其对暂态响应的影响一般需要考虑，但不会影响闭环主导极点 的主导作用。偶极子的位置距离原点较远时，其对暂态响应的 影响可以忽略。 （7）主导极点及高阶系统化简。在s平面上，离虚轴靠 近而附近又没有其它闭环零点的一些闭环极点 ，对系统 影响最大，称为主导极点。凡比主导极点的实部大3～6 倍以上的其他闭环零、极点，其影响均可忽略不计。对 于高阶系统，略去不十分靠近原点的偶极子，保留一个 或几个最靠近虚轴又不十分靠近闭环零点的主导极点， 将高阶系统简化为只有一、两个闭环零点和两、三个闭 环极点的二阶或三阶系统。

《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法

《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，

(自动控制)第四章：根轨迹法

(自动控制)第四章：根轨迹法

动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0

k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。

根轨迹法(自动控制原理)

根轨迹法(自动控制原理)

i1
l 1
nm
规则4：实轴上的根轨迹
➢ 实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中任一段，如果其右
边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。
❖ 该规则用相角条件可以证明，设实轴上有一试验点s0。 ➢ 任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2，p3），与其对应的相角（如θ2，θ3）
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制典型根轨迹 4.3 特殊根轨迹图 4.4 用MATLAB绘制根轨迹图 4.5 控制系统的根轨迹分析
内容提要
➢ 根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零 极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的 特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进 行定性分析和定量计算。
规则3：渐近线
❖ 当n>m时，根轨迹一定有n－m支趋向无穷远；当n<m时，根轨迹一定有m－n支 来自无穷远。可以证明：
➢ 当n≠m时，根轨迹存在|n－m|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：
所有渐近线交于k实轴上(2的k一n点1，)m1其8坐00标,为 k 0,1,2,,| n m | 1
n
m
pi zl
之和均为360°，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响实轴上试验点s0的相 角条件。
➢ 对于在试验点s0左边实轴上的任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ4，φ3） 均为0。
➢ 而试验点s0右边实轴上任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ1，φ1，φ2） 均为180°。
所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。
❖ 1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不 直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环 特征根。

自动控制原理简明教程4

自动控制原理简明教程4

根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点 幅值条件
K 0
'
K＝
'
s p sz
i 1 i 1 m
n
i
i
s值必须趋近于
某个开环极点 某个开环零点
根轨迹起始于开环极点
根轨迹终止于开环零点
K'
s值必须趋近于
自动控制理论
在实际系统通常是 n m ，则还有 (n m) 条根轨迹终 止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 (n m) 个无限远（无穷）零点。
K 1 / 4 复数极点，欠阻尼系统，阶跃
自动控制理论
如：二阶系统的根轨迹 C ( s) 2K ( s) 2 R( s) s 2s 2 K
D( s ) s 2 2 s 2 K 0
,
K s(0.5s 1)
K 2K
根轨迹增益 K 从零变到无穷，可以用解析方法求出闭 j K 环极点的全部数值。
4.实轴上的根轨迹 如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个 数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。 开环零点：z1 开环极点：p1、p2、p3、p4、p5 在实轴区段[p2，p3]上取任一点s1
G(s1 )H(s1 ) (s z i ) (s p i )
i 1 i 1 1 5
1
幅值条件： K'
sz sp
i 1 i 1 n
m
(s p )
i i 1
i 1 n
求出相应的根， 即根轨迹。
i
1
m个零点，n个极点（nm） 相角条件：（k=0,1,2, …）
i
1）幅值条件不但与开环零、极 点有关，还与开环根轨迹增益有 1）幅角条件只与开环零、极点有关 2）充要条件：根在轨迹上相位条件 关； 2）必要条件：根在轨迹上则幅 成立，相位条件成立根在轨迹上 值条件成立。

自动控制原理-线性系统的根轨迹法1

自动控制原理-线性系统的根轨迹法1

16
规则4：实轴上的根轨迹 规则 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边 （开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。 这个结论可以用相角条件证明。 由相角条件
∑ ∠(s − z ) −∑ ∠(s − p ) = (2k +1)π
j =1 j i =1 i
m
n
jω
× × × ×
σ
17
规则5：根轨迹渐近线 规则 当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和 交点来确定。 与实轴夹角
jω
K →∞
K = 2.5
2
稳态性能 开环传递函数在坐标原点有
一个极点，系统为1型系统，根轨迹上 的K值就是静态速度误差系数。如果给 定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图 可以确定闭环极点位置的容许位置。 由开环传递函数绘制根轨迹，通常 采用根轨迹增益 根轨迹增益，根轨迹增益与开环增 根轨迹增益 益之间有一个转换关系。
o o
与实轴交点
σa =
i =1
∑ pi − ∑ z j
j =1
n
m
n−m
( 0 − 4 − 1 + j − 1 − j ) − ( − 1) = = − 1 .67 4 −1
23
24
规则6：根轨迹分离点和会合点 规则 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：
K =1
1
K =0
−2
−1
0
σ
K = 0.5
−1
−2
动态性能
由K值变化所对应的闭环极 点分布来估计。

自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)

自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)

根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。

自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解

自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解

系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s

j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)

《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法

《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
一般有两个解，从中
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母

自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法

自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法

4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b

* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*

自动控制原理第四章根轨迹法

自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数

自动控制原理(4)

自动控制原理(4)

4.1 根轨迹的基本概念
根据如下控制系统框图介绍根轨迹的基本概念。
R(s)
+ -
K
C(s)
s(0.5s 1)
图4－1 控制系统框图
1.将图4-1所示系统的开环传递函数转化为：
G(s) K k ; k 2K s(0.5s 1) s(s 2)
上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的标准 形式——零极点增益形式。
或
G(s)H (s)
K1 sm


m
zj
j 1
s m1

m j 1
zj

sn

n i1

pi
s n1

n i1

pi

上式可化为：
G(s)H(s)
K1
snm
τzj、τpi ——分之和分母中的时间常数。
由上两式不难看出
m
(z j )
K K1
j 1 n
( pi )
i1
zj
1
zj
,
( j 1, 2 , , m)
;
pi

1
pi
,
(i 1 , 2 , , n)
由此可以得到另一种形式的幅值条件和相角条件：
m
s zj


n i1

pi


m j 1

zj
s nm1

在n>m的条件下，当K1→∞时，有（n－m）条根轨
迹分支趋向于无穷远，即s→∞。这时可以只考虑高次项，
将上式近似写为：
G(s)H(s)

自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析

自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析

由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和 欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系 统闭环性能指标；或反之；
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制 其根轨迹图。 解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环 极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线：K1时， p1 p2 p3 0 1 2 a 1 有3条根轨迹趋向无穷远处， nm 30 其渐近线与实轴的交点和 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 倾角分别为：
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1

s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5

夏德铃《自动控制理论》(第4版)笔记和考研真题详解(线性系统的根轨迹分析)【圣才出品】

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（3）如果系统具有一对主导极点，则系统的暂态响应呈振荡性质，其超调量主要决
定于主导极点的衰减率
，并与其他零、极点接近坐标原点的程度有关，
而调整时间主要取决于主导极点的实部
（4）如果在系统中存在偶极子。如偶极子的位置接近坐标原点，其影响往往需要考
虑。
（5）如果除了一对主导复数极点之外，系统还具有若干实数零、极点，则零点的存
③规则七：根轨迹的出射角为：
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入射角为：
其他规则均不变。
四、滞后系统的根轨迹 滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊性，并往往对系统的稳定性带来不利 的影响。 1．绘制滞后系统根轨迹的相位条件和幅值条件 （1）幅值条件
4.2 名校考研真题详解
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一、选择题
1．开环系统传递函数为 上，有（ ）根轨迹趋于无穷远。[东南大学研]
有（ ）根轨迹完全落在实轴
A．3 条，1 条
B．1 条，3 条
C．2 条，3 条
D．2 条，2 条
【答案】C
3．闭环极点的确定 （1）闭环极点的定义 闭环极点是指当 K1（或 K）值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点。 （2）闭环极点的作用 利用幅值条件，可以确定根轨迹上任一点所对应的 K1 值。
三、广义根轨迹 根轨迹一般都是以系统的开环增益 K1 为可变参量，还有许多其他种类的根轨迹，它们 是：参数根轨迹，多回路系统的根轨迹，正反馈回路和零度根轨迹。 1．参数根轨迹 （1）定义 参数根轨迹是指以所选可变参量 α 代替 K1 的位置所画出的根轨迹。 （2）表达式

自动控制原理-第四章-根轨迹

自动控制原理-第四章-根轨迹

snm 1 p1 1 pn

s
s
0
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s
s
s pi i 1, 2, n
K*
s p1 s pn
snm 1 p1 1 pn

s
s

s z1 s zm
1 z1 1 zm

s(0.5s 1) s(s 2)
通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进行 分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨 迹图，这对高阶系统将是很繁重的和不现实的。
为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函 数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的内容。
① (s1 p2 ) 、(s1 p3 ) 两向量对称于实轴，引起的相角大小 相等、方向相反； (s1 z2 ) 、(s1 z3 ) 两向量也对称于实轴，引起的相角大 小相等、方向相反;
∴ 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。
② 位于s1左边的实数零、极点：(s1 z1) 、(s1 p4) 向量引起的相
GK
(s)

kg s(s 1)
解：判断某点是否在根轨迹上，应使用相角条件。求某点对应的根轨迹增益值，应使用 幅值条件。
s1 ： m (s zi ) n (s p j ) 0 (s1 p1) (s1 p2 )
i 1
j 1
s1 (s1 1) 135 90 225
s2： 0 (s2 p1) (s2 p2) (116.6 ) (63.4 ) 180

自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹方法(2011-3) (2)

自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹方法(2011-3) (2)
要求等价为：
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
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解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上p1=0,p2=-2, p3=-6.6பைடு நூலகம் z1=-4，
（2）将s1坐标带入相角条件：
(s1 4) s1 (s1 2) (s1 6.6)
(2.5 j2.5) (1.5 j2.5) (0.5 j2.5) (5.1 j2.5)
45 120.96 78.69 26.11 180.76
第一节 根轨迹的基本概念
例如图所示的闭环传函为：
R(S)
C(S)
C(S) R(S)
S2
K S
K
K S(S 1)
图4-1 二阶系统
特征方程 S 2 S K 0 的根为
S1
1 2
1 2
1 4K
11 S2 2 2 1 4K
∞
如果系统的开环增益K（根轨迹 K
增益K1）从0向变化时，系统闭环 K=0× 特征根在复平面上的变化情况绘制为 -1
统闭环性能指标；或反之；
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、绘制根轨迹的基本条件
讨论图4-3所示系统 ，特征方程为
1＋G(s)H(s)=0 或 G(s)H(s)=-1
根据复数等式两边的幅值和相角
应分别相等的原则，可得绘制系统
图4-3 系统方框图
根轨迹的基本条件，即：幅值条件和相角条件：
G(S)H (S) 1
q 0,1,2, … （＊＊）
j 1
i 1
在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可以绘制根
轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹
增益K1值。 【例4-1】单位反馈系统的开环
传递函数为:
G(s) K1(s 4) s(s 2)(s 6.6)
试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果 是，则确定与它相对应的K1值是多少。
第四章 线性系统的根轨迹分析
• 控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定 ， 系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统 的闭环零、极点在Ｓ平面上分布的位置有关。 因此,在分析系统性能时,需要定量研究系统的 一个或者多个参量在一定范围内变化时,系统 闭环极点的位置变化以及对系统性能的影响。
•1948年,伊万斯（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭 环传递函数之间的内在联系,提出了直接由开环传递 函数寻求闭环特征根（即闭环极点）移动轨迹的方法, 建立了一套绘制根轨迹的规则,这就是被广泛应用的 根轨迹法。该方法可以简便、直观地分析系统特征根 与系统参数之间的关系。适用于单闭环系统,也可用 于多闭环系统。
i 1 n
( js 1)
j 1
m
K1 (s zi )
G(s)H(s)
i 1 n
(s pj )
j 1
此时幅值条件和相角条件分别为：
n
m
K1
s zj
j 1
n
1
s pj
（＊） K1
j 1 m
s pi
s zi
i1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)180
i 1
从系统的根轨迹图，可以获得下述信息:
１.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统
对所有的Ｋ值都是稳定的。
２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所
以为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
３．暂态性能
jω ∞
（１） 当０＜Ｋ＜ ０.25时，闭环特征根为实
根，系统是过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。
（２） 当Ｋ＝０.25时，两特征根会重合，均
为－0.5，系统处于临界阻尼状态。
（３） 当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭复
K K=0×
-1
K=0.×25K=0 σ
K
根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减震荡过
∞
程。
图4-2 二阶系统的根轨迹
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
G(S)H(S) 180(2q 1), q 0， 1，2，… 以上条件是判断复平面上某点是否在系统根
轨迹上的充要条件。
一、绘制
根轨迹的
•条件 系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即 时间常数表达式和零极点表达式。
（1）时间常数表达式： （2）零极点表达式：
m
K(Tis 1)
G(s)H (s)
jω K=0.×2K5=0
σ
曲线，如图所示。
K
这样获得的曲线称为K1从0向变
∞
化时系统的根轨迹。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化 参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描 绘的曲线称系统的根轨迹。
一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变 参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹 增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根 轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为 参量根轨迹。
１．以S1到各零极点连直线； ２．用量角器量∠ s1–p1,… 等各个角．３．将量好的值代入相角条件，若等式成立，则s1 就是根轨迹上的点． 本例说明的是一种试探法绘制系统根轨迹的例子,十分烦琐。
在绘制根轨迹时，在感兴趣的区段，要比较细致 地绘制，可用试探法，根据相角条件确定几个根轨迹 上的点。允许有一定的误差，比如±５°。而其它区 段的根轨迹则可根据一些规则迅速的勾画出来。
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1
(s1 2) (s1 6.6) (s1 4)
1.5 j2.5 0.5 j2.5 5.1 j2.5
2.5 j2.5
11.94
根据相角条件确定根轨迹上的点S1 ：
图4-4 例4-1图
▪ 利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和
欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系