单球面折射成像公式及其应用_张家乐

球面镜成像公式
球面镜成像公式是用于计算光线通过球面镜后所形成的像的位
置和大小的公式。

在球面镜成像中，物体与球面镜的距离、物体的大小、球面镜的曲率半径和折射率等因素都会对成像产生影响。

对于一个物体在球面镜前方的情况，其像的位置和大小可以用如下公式计算：
1. 对于凸球面镜：
1/f = (n-1) * (1/R1 - 1/R2)
其中，f代表焦距，n代表介质的折射率，R1和R2分别是球面镜两侧的曲率半径。

像距p可以使用以下公式计算：
1/p + 1/q = 1/f
其中，q代表像距。

像的大小可以使用以下公式计算：
h2/h1 = -q/p
其中，h1和h2分别代表物体和像的大小。

2. 对于凹球面镜：
1/f = (n-1) * (-1/R1 - 1/R2)
像距p和像的大小h2/h1的公式与凸球面镜相同。

球面镜成像公式在光学实验和光学仪器设计中有着广泛的应用，对于理解光学原理和优化光学系统具有重要意义。

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引言（绪论）光学中以光线概念为基础研究光的传播和成像规律的一个重要分支是几何光学.在几何光学中，折射定律的发现标志着光线传播定律的最终确立，费马原理即是解释、证明和概括光线传播实验定律的途径之一. 本文依据费马原理，推导出了近轴光线条件下的单球面物像折射公式.应用近轴光线条件下的单球面物像折射公式，可以推导出多种情况下的成像公式，为研究复杂的光学系统成像提供了基础性的理论依据，以说明单球面物像折射公式在几何光学中的基础重要性.1 符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用，方便读者阅读.图1 主平面内的球面反射图1中的AOB表示球面的一部分.这部分球面的中心点O称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点和曲率中心的直线CO称为主轴，通过主轴的平面称为主平面.主轴对于所有的主平面具有对称性.因此只需讨论一个主平面内光线的反射情况.图1表示球面的一个主平面.在计算任一条光线的线段长度和角度时，对符号作如下规定：（1）线段长度都从顶点算起，凡光线和主轴的交点在顶点右方的，线段长度的数值为正；凡光线和主轴的交点在顶点左方的，线段长度的数值负.物点或像点至主轴的距离，在主轴上方的为正，下方的为负.（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向移动，则该角度为正；若沿逆时针方向转动，则该角度为负（再考虑角度的符号时，不必考虑组成该角的线段的符号）.（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值.例如s表示的某线来表示该线段的几何长度.下讨论都假定光线自左向右传段的值是负的，则应用s播.（4）特俗情况下的，文中均在相应位置另有特殊解释说明.2 单球面物象折射公式的推导2.1 球面折射的一般分析设有两种透明均匀的各向同性的介质，界面∑为球面的一部分，两侧介质折射率分别为n 和'n 且n<'n ，如图2所示，折射球面∑的曲率中心C 与顶点O 的连线为主光轴，简称主轴（∑面关于主轴的旋转对称面）.图2 光在单球面上的折射设主光轴上面顶点O 的左方有一真实发光点P ，他发出的同心光束的任意一条光线自左向右入射到∑面上的M 点，相应的折射与主轴交与'P 点.以球面顶点O 为计量原点，记球面曲率半径,'',,OC s OP s OP r ===,l PM =''l MP =ϕ=∠MOC . 则PMP’的光程为∆'PMP =''l n nl +在PMC ∆和'MCP ∆中应用余弦定理，并注意()ϕπϕ--=c o s c o s()r s PC +-= r s CP -=''可得 ()()ϕcos 222s r r r s r l --+-=()()ϕcos '2''22r s r r r s l -++-=因此，光线PMP 的光程可写成∆'P M P =ϕϕcos )'(2)'('cos )(2)(2222r s r r s r n s r r s r r n -+-++---+ 式（2-1）根据费马原理，光程变化率应为0，即0d d =ϕl 式（2-2） 代入∆'PMP 的表达式进行求导，有ϕϕϕϕcos )'(2)'(sin )'(2'cos )(2)(sin )(22222r s r r s r r s r n s r r s r r s r r n -+-+--=---+-经计算整理后可得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=---)'('1)(1)cos 1(2)'('')(22222222r s n s r n r r s n s s r n s ϕ 式（2-3） 给定s 和ϕ可由式(2-3)定出.一般来说，'s 与ϕ有关，这意味着由同一P 点发出的同心光束中的各条光线，经∑面折射后，不再汇交与一点，即球面折射破坏了光束的同心性，使轴上发光点不能成像.有两种特殊情况值得注意.其一，令式(2-3)两端同时等于零，即222222)'('')(s r s n s s r n ---=0 式（2-4))'('1)(122r s n s r n -+-=0 式（2-5）求解这组联立方程的解，从而把s 和s’同时确定下来，它们均与ϕ无关，此时的P 和'P 是一对特殊的共轭点，称为球面折射的齐明点或不晕点.对一对齐明点，宽光束经球面折射后仍能成像.其二是把光束限制在近轴区域内，即1cos ≈ϕ，此种的讨论，详见下文.2.2 近轴光线的单球面折射2.2.1 物象距公式在近轴光线的条件下，ϕ值很小，在一级近似下，1cos ≈ϕ，因此式(2-3)中的0)cos 1(≈-ϕ,'s 与ϕ近似无关，则有 222222)'('')(r s n s r s n s -=- 式（2-6）将上面等式两端同时开放，经数学处理后，可得如下简单关系式： rn n s n s n -=-''' 式（2-7） 上式表明，在n 、'n 和r 给定的条件下，在近轴区，轴上物点P 经球面∑折射后可在轴上得一相应的像点'P .从球面顶点O 到像点'P 的距离's 称为像距；从球面顶点O 到P 的距离s 称为物距；'n 和n 分别称为像方折射率和物方折射率，式(2-7)称为球面折射近轴成像的物象距公式.此式对凹球面同样成立.2.2.2 焦距公式如果位于主轴上的物点位置改变，则与之共轭的像点在主轴上的位置必有相应改变.轴上无限远处物点的共轭像点称为折射面的像方焦点，记作'F ；面顶点O 到像方焦点'F 的距离称为像方焦距，记作'f ,轴上无限远处像点的共轭物点称为折射球面的物方焦点，记作F ；球面顶点O 到物方焦点F 的距离称为物方焦距，记作f .由前文关于物距、像距的的符号规则可知：当'F 在O 点右方时'f >0,在O 点左方时'f <0；当F 在O 点左方时f>0,在O 点右方时f<0.根据式(2-7)及上述焦点的定义，可知：当 -∞=s 时nn r n s f -=='''' 式(2-8） 当 ∞='s 时 n n nr s f --==' 式(2-9） 可见，折射球面的两个焦距与它的几何形状（r ）及其两侧介质折射率（n ,'n ）有关，由式(2-8)和式(2-9)可得两个焦距之比为 nn f f ''-= 式(2-10) 上式表明，折射球面的两个焦距数值一般不等，但符号相反，因此，相应的两个焦点必定分居球面顶点两侧不等距离处.2.2.3 球面折射近轴物点近轴成像如图2所示，主轴上的P 、'P 是一对共轭点.设想将主轴绕折射球面曲率中心C 并在图面内沿顺时针方向旋转一小角度θ，主轴变成副轴，P 、'P 点分别转到Q 、'Q 点.由于球对称性，Q 、'Q 必然也是一对共轭点，这就证明了近轴物点可以成像.由于θ角很小（在近轴区），可以认为弧PQ ≈PQ ，弧''Q P ≈''Q P ,且''P Q QP 和近似地垂直于主轴，P 、'P 点分别是Q 、'Q 点在主轴上的的垂足，所以s 和's 分别为近轴物点Q 的物距和像点'Q 的像距，它们满足式(2-7).近轴物点及其共轭像点到主轴的距离分别为物高和像高，用y 和'y 表示.引入横向放大率β,其定义为像高和物高之比，即 yy '≡β 式（2-11）在近轴区的条件下，i i =sin ，又由折射定律，可得''i n ni = 式（2-12）图3 单球面折射近轴物点成像即有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-'''s y n s y n 式（2-13） 由式(2-11)，可以得到横向放大率公式 sn ns ''=β 式（2-14） 3.单球面物像折射公式的应用3.1 高斯公式的推导把式(2-8)和式(2-9)代入式(2-7)可得，''''f n f n s n s n =-=- 或 1''=+sf s f 式（3-1） 此式便是普遍的物像公式，称为高斯物像公式.3.2 牛顿公式的推导如图4，在确定物点P 和像点'P 的位置后，我们把物距和像距分别从物方焦距和像方焦距算起.物点在F 之左的，物距FP 用x -表示；像点在'F 之右的，像距P F '用'x +表示.反之亦然.这样就有()()f x s -+-=- ()()'''x f s +++=图4 顶点为物方和像方焦点时的物距和像距示意图代入式(3-1)可得1'''=+++fx f f x f 即有''ff xx = 式（3-2） 此式便是牛顿公式.3.3 近轴光线单球面反射公式的推导对于反射情况，这里利用焦距和折射率的关系，从两方面入手进行讨论与推导.下面先就焦距与折射率的关系开始进行讨论.关于焦距和折射率的关系，已在上文中给出了具体的关系式，即式（2-10）. 在球面反射的情况中，物空间与像空间重合，且反射光线与入射光线的传播方向恰恰相反.这一情况，在数学处理上可以认为像方介质的折射率'n 等于物方介质折射率n 的负值，即nn -='（这仅在数学上有意义）。

球面折射成像公式描述了当光线通过球面界面时形成的折射成像情况。

公式如下：
1/f = (n - 1)(1/R1 - 1/R2)，其中f是球面镜的焦距，n是介质的折射率，R1和R2是球面镜的半径。

这个公式基于薄透镜假设，并假设光线在球面附近以近似平行线的形式传播。

公式的推导基于斯涅尔定律（也称为折射定律），根据光线在界面上的折射行为进行推导得出。

通过球面折射成像公式，可以计算出在球面界面上的物体和像的位置关系，以及物体和像的大小关系。

但需要注意，此公式只适用于薄球面透镜的情况，且在一些特殊情况下，如超过球面的临界角度或光线非近似平行的情况下，该公式的适用性可能有限，需要考虑其他因素。

球面镜反射成像公式在我们的日常生活中，镜子是再常见不过的东西了。

当你站在镜子前，看到自己清晰的影像时，有没有想过这背后隐藏着怎样神奇的科学原理呢？今天咱们就来聊聊球面镜反射成像公式这个有趣的话题。

还记得有一次，我和朋友去一家商场逛街。

在商场的中庭，有一个巨大的球面镜装饰。

好多小朋友都围在那里，对着镜子做着各种搞怪的动作，看着镜子里变形的自己哈哈大笑。

我和朋友也好奇地凑了过去。

当我站在球面镜前，看到自己的身体被拉长或压缩，那种奇特的视觉效果让我瞬间想到了我们今天要说的球面镜反射成像公式。

球面镜分为凸面镜和凹面镜。

先说凸面镜，它的反射成像公式是1/u + 1/v = 1/f ，其中 u 是物距，v 是像距，f 是焦距。

凸面镜的成像特点是，总是成正立、缩小的虚像。

想象一下，马路上的那种广角镜，就是凸面镜。

它能让司机看到更广阔的视野，提前发现周围的情况，保障行车安全。

凹面镜的成像就稍微复杂一些啦。

当物距大于两倍焦距时，成倒立、缩小的实像，就像我们用望远镜看远处的物体一样；当物距等于两倍焦距时，成倒立、等大的实像；当物距在一倍焦距和两倍焦距之间时，成倒立、放大的实像，这就好像我们在电影院看到的投影仪的原理；当物距小于焦距时，成正立、放大的虚像，比如我们常见的化妆镜。

给大家举个例子，比如我们在实验室里做光学实验，用一个焦距为10 厘米的凹面镜，当把一个蜡烛放在距离镜子 30 厘米的地方时，根据成像公式 1/30 + 1/v = 1/10 ，可以算出像距 v 为 15 厘米，这时候成的像是倒立、缩小的实像。

在实际生活中，凹面镜的应用也很广泛。

太阳能灶就是利用凹面镜能将光线会聚的原理，把太阳能集中到一个点上，从而提高温度来做饭。

还有医生用的头灯，也是通过凹面镜把光线会聚起来，照亮病人的身体内部。

说了这么多，大家是不是对球面镜反射成像公式有了更深入的了解呢？其实，科学就在我们身边，只要我们留心观察，就能发现这些神奇而有趣的现象。

单球面折射成像公式适用条件
一般情况下，球面折射是把光线从一个折射介质彻底的折射到另一个折射介质，这种现象也被称为球面折射。

为了精确计算出从一个介质折射到另一个介质的物理位移，并对空间进行准确的的定位，建立球面折射成像公式是非常重要的步骤。

当折射介质是光滑的，平滑的球面时，球面折射成像公式即适用。

它是以两个球面作折射面，一个球面为入射面，另一个球面为折射面，假定在这两个球面之间的距离是一定的。

球面折射成像公式定义了从一个球面折射到另一个球面时，光源和观察点所处的球面半径和位置之间的关系。

球面折射成像公式的主要使用场景是：在折射介质中折射得到完整的图像（如水面上望到的画面）、把光照射到另一个介质上得到另一种图像（如把镜子放入水中）。

在这些情况下，必须对球面形状，尤其是球面的曲率进行计算，并正确使用球面折射成像公式，才能获得准确的结果。

此外，在风景和音乐的形象化中，也可以利用球面折射成像公式，获得复杂的影像效果。

总之，球面折射成像公式是一个重要的光学技术，能够优秀的描述光的折射规律，并为复杂的图像效果奠定基础。

此外，只有当折射媒质是光滑平滑的球面时，球面折射成像公式才能适用，必须对球面形状，尤其是球面的曲率进行精确描述，才能精确地推导出正确的球面折射成像公式。

光学球面镜成像特点与公式的应用光学球面镜是光学中常见的一种光学元件，广泛应用于各种光学仪器和设备中。

它通过折射和反射光线，能够实现物体的放大、缩小和成像等功能。

掌握光学球面镜的成像特点和公式的应用，对于理解光学原理、设计光学系统和解决实际问题具有重要意义。

一、凸透镜的成像特点与公式的应用凸透镜是一种中间薄厚两面都是凸面的透明体，根据凸透镜的形状、物距、像距和焦距的关系，可以推导出以下公式：1. 薄透镜成像公式凸透镜的薄透镜成像公式是:1/f =1/v + 1/u其中f为凸透镜的焦距，u为物距，v为像距。

根据该公式，可以计算出物体的成像位置和大小。

当光线从左侧垂直射入凸透镜时，可以根据物距u和焦距f的大小关系，判断出物体的成像位置和性质。

2. 成像特点凸透镜的成像特点可以通过这个公式来判断，当物体的距离u大于焦距f时，成像距离v为正，成像位置在透镜的右侧；当物体的距离u小于焦距f时，成像距离v为负，成像位置在透镜的左侧；当物体的距离u等于焦距f时，成像距离v为正无限大，成像位置在光轴上。

3. 放大率和缩小率通过凸透镜的成像特点和公式，我们可以计算出物体的放大率和缩小率。

放大率由以下公式给出：放大率 = 像的高度/物体的高度 = -v/u放大率为正表示物体经过凸透镜放大，为负表示物体经过凸透镜缩小。

二、凹透镜的成像特点与公式的应用凹透镜是一种中间薄厚两面都是凹面的透明体，根据凹透镜的形状、物距、像距和焦距的关系，可以推导出以下公式：1. 薄透镜成像公式凹透镜的薄透镜成像公式也是：1/f =1/v + 1/u其中f为凹透镜的焦距，u为物距，v为像距。

根据该公式，可以计算出物体的成像位置和大小。

根据物距u和焦距f的大小关系，判断物体的成像位置和性质。

2. 成像特点凹透镜的成像特点可以通过这个公式来判断，当物体的距离u大于焦距f时，成像距离v为正，成像位置在透镜的左侧；当物体的距离u小于焦距f时，成像距离v为负，成像位置在透镜的右侧；当物体的距离u等于焦距f时，成像距离v为负无限大，成像位置在光轴上。

非近轴光线单球面折射成像的精确公式及应用
毕会英;贺国珠
【期刊名称】《物理通报》
【年(卷),期】1999(000)005
【摘要】近轴光线单球面折射成像公式及由其推导出的透镜成像公式的高斯形式
在几何光学中非常重要。

但它只是近似公式,不能用以解释透镜成像的球差等问题。

本文以光的折射定律为基础,引进参数h、△,建立了非近轴光线单球面折射成像的精确公式,并以眼睛的光学模型为例,讨论了非近轴光线经单球面折射、透镜折射成像
的球差,阐明了晶状体中央折射率较高这一特点有利于消除球差的物理机制,对单片
消球差透镜、人工晶状体的研制具有指导意义。

1 非近轴光线的单球面折射如图1.两媒质折射率为n_1,n_2,分界面曲率半径r,入射光线和主光轴夹角为θ,与分界面交于P点,P点距主光轴距离为h,分析物距u、像距v的关系。

【总页数】2页(P13-14)
【作者】毕会英;贺国珠
【作者单位】新乡医学院物理教研室;新乡医学院物理教研室
【正文语种】中文
【中图分类】O435
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