单球面折射薄透镜汇总

球面透镜知识点总结一、球面透镜的定义球面透镜是一种光学元件，由凸透镜和凹透镜组成。

凹透镜的中心是一种透明介质，边缘是一种高折射率。

这种透镜的作用是集中和散焦光线，使其通过透镜的中心，并在透镜的边缘发散。

球面透镜通常用于照相机、显微镜和望远镜等设备中。

二、球面透镜的类型球面透镜根据其曲率和折射率的不同可以分为凸透镜和凹透镜。

凸透镜的中心是一种透明介质，边缘是一种高折射率。

凹透镜是一种透明介质，边缘是一种低折射率。

凸透镜具有凸面，凹透镜具有凹面。

根据透镜的应用和特性，球面透镜可以分为正透镜，负透镜和双球透镜。

正透镜的凸面是一个透明介质，边缘是一种低折射率。

负透镜的凹面是一个透明介质，边缘是一种高折射率。

双球透镜具有两个平行的球面，中间是一种透明介质，边缘是一种高折射率。

三、球面透镜的光学原理球面透镜的光学原理是利用透镜的曲率和折射率不同，使光线通过透镜的中心，并在透镜的边缘发散。

通过透镜的曲率，可以将光线折射到焦点，实现光线的聚焦和散焦。

透镜的折射率决定了光线在透镜中的折射角和折射率，影响了透镜的折射功能。

四、球面透镜的主要特性1. 焦距：球面透镜的焦距是指透镜能够使光线聚焦或散焦的距离。

焦距是球面透镜的重要参数，可以用来计算光线的折射角和折射率，以及透镜的成像功能。

2. 放大倍率：球面透镜的放大倍率是指透镜的成像功能，通过透镜的曲率和折射率，可以实现对物体的聚焦和散焦，使物体的图像变得更大或者更小。

3. 成像质量：球面透镜的成像质量是指透镜的透光性和清晰度，通过透镜的材质和加工工艺，可以改善透镜的光学性能，提高透镜的成像质量。

五、球面透镜的应用1. 光学仪器：球面透镜广泛应用于照相机、显微镜、望远镜等光学仪器中，通过透镜的成像功能，可以实现对物体的观察和测量。

2. 光学通讯：球面透镜在光学通讯中扮演着重要的角色，通过透镜的聚焦功能，可以将光信号传输到远距离的地方。

3. 医疗器械：球面透镜在医疗器械中经常使用，如眼镜、激光手术仪器等，通过透镜的放大功能，可以改善人们的视力。

引言（绪论）光学中以光线概念为基础研究光的传播和成像规律的一个重要分支是几何光学.在几何光学中，折射定律的发现标志着光线传播定律的最终确立，费马原理即是解释、证明和概括光线传播实验定律的途径之一. 本文依据费马原理，推导出了近轴光线条件下的单球面物像折射公式.应用近轴光线条件下的单球面物像折射公式，可以推导出多种情况下的成像公式，为研究复杂的光学系统成像提供了基础性的理论依据，以说明单球面物像折射公式在几何光学中的基础重要性.1 符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用，方便读者阅读.图1 主平面内的球面反射图1中的AOB表示球面的一部分.这部分球面的中心点O称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点和曲率中心的直线CO称为主轴，通过主轴的平面称为主平面.主轴对于所有的主平面具有对称性.因此只需讨论一个主平面内光线的反射情况.图1表示球面的一个主平面.在计算任一条光线的线段长度和角度时，对符号作如下规定：（1）线段长度都从顶点算起，凡光线和主轴的交点在顶点右方的，线段长度的数值为正；凡光线和主轴的交点在顶点左方的，线段长度的数值负.物点或像点至主轴的距离，在主轴上方的为正，下方的为负.（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向移动，则该角度为正；若沿逆时针方向转动，则该角度为负（再考虑角度的符号时，不必考虑组成该角的线段的符号）.（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值.例如s表示的某线来表示该线段的几何长度.下讨论都假定光线自左向右传段的值是负的，则应用s播.（4）特俗情况下的，文中均在相应位置另有特殊解释说明.2 单球面物象折射公式的推导2.1 球面折射的一般分析设有两种透明均匀的各向同性的介质，界面∑为球面的一部分，两侧介质折射率分别为n 和'n 且n<'n ，如图2所示，折射球面∑的曲率中心C 与顶点O 的连线为主光轴，简称主轴（∑面关于主轴的旋转对称面）.图2 光在单球面上的折射设主光轴上面顶点O 的左方有一真实发光点P ，他发出的同心光束的任意一条光线自左向右入射到∑面上的M 点，相应的折射与主轴交与'P 点.以球面顶点O 为计量原点，记球面曲率半径,'',,OC s OP s OP r ===,l PM =''l MP =ϕ=∠MOC . 则PMP’的光程为∆'PMP =''l n nl +在PMC ∆和'MCP ∆中应用余弦定理，并注意()ϕπϕ--=c o s c o s()r s PC +-= r s CP -=''可得 ()()ϕcos 222s r r r s r l --+-=()()ϕcos '2''22r s r r r s l -++-=因此，光线PMP 的光程可写成∆'P M P =ϕϕcos )'(2)'('cos )(2)(2222r s r r s r n s r r s r r n -+-++---+ 式（2-1）根据费马原理，光程变化率应为0，即0d d =ϕl 式（2-2） 代入∆'PMP 的表达式进行求导，有ϕϕϕϕcos )'(2)'(sin )'(2'cos )(2)(sin )(22222r s r r s r r s r n s r r s r r s r r n -+-+--=---+-经计算整理后可得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=---)'('1)(1)cos 1(2)'('')(22222222r s n s r n r r s n s s r n s ϕ 式（2-3） 给定s 和ϕ可由式(2-3)定出.一般来说，'s 与ϕ有关，这意味着由同一P 点发出的同心光束中的各条光线，经∑面折射后，不再汇交与一点，即球面折射破坏了光束的同心性，使轴上发光点不能成像.有两种特殊情况值得注意.其一，令式(2-3)两端同时等于零，即222222)'('')(s r s n s s r n ---=0 式（2-4))'('1)(122r s n s r n -+-=0 式（2-5）求解这组联立方程的解，从而把s 和s’同时确定下来，它们均与ϕ无关，此时的P 和'P 是一对特殊的共轭点，称为球面折射的齐明点或不晕点.对一对齐明点，宽光束经球面折射后仍能成像.其二是把光束限制在近轴区域内，即1cos ≈ϕ，此种的讨论，详见下文.2.2 近轴光线的单球面折射2.2.1 物象距公式在近轴光线的条件下，ϕ值很小，在一级近似下，1cos ≈ϕ，因此式(2-3)中的0)cos 1(≈-ϕ,'s 与ϕ近似无关，则有 222222)'('')(r s n s r s n s -=- 式（2-6）将上面等式两端同时开放，经数学处理后，可得如下简单关系式： rn n s n s n -=-''' 式（2-7） 上式表明，在n 、'n 和r 给定的条件下，在近轴区，轴上物点P 经球面∑折射后可在轴上得一相应的像点'P .从球面顶点O 到像点'P 的距离's 称为像距；从球面顶点O 到P 的距离s 称为物距；'n 和n 分别称为像方折射率和物方折射率，式(2-7)称为球面折射近轴成像的物象距公式.此式对凹球面同样成立.2.2.2 焦距公式如果位于主轴上的物点位置改变，则与之共轭的像点在主轴上的位置必有相应改变.轴上无限远处物点的共轭像点称为折射面的像方焦点，记作'F ；面顶点O 到像方焦点'F 的距离称为像方焦距，记作'f ,轴上无限远处像点的共轭物点称为折射球面的物方焦点，记作F ；球面顶点O 到物方焦点F 的距离称为物方焦距，记作f .由前文关于物距、像距的的符号规则可知：当'F 在O 点右方时'f >0,在O 点左方时'f <0；当F 在O 点左方时f>0,在O 点右方时f<0.根据式(2-7)及上述焦点的定义，可知：当 -∞=s 时nn r n s f -=='''' 式(2-8） 当 ∞='s 时 n n nr s f --==' 式(2-9） 可见，折射球面的两个焦距与它的几何形状（r ）及其两侧介质折射率（n ,'n ）有关，由式(2-8)和式(2-9)可得两个焦距之比为 nn f f ''-= 式(2-10) 上式表明，折射球面的两个焦距数值一般不等，但符号相反，因此，相应的两个焦点必定分居球面顶点两侧不等距离处.2.2.3 球面折射近轴物点近轴成像如图2所示，主轴上的P 、'P 是一对共轭点.设想将主轴绕折射球面曲率中心C 并在图面内沿顺时针方向旋转一小角度θ，主轴变成副轴，P 、'P 点分别转到Q 、'Q 点.由于球对称性，Q 、'Q 必然也是一对共轭点，这就证明了近轴物点可以成像.由于θ角很小（在近轴区），可以认为弧PQ ≈PQ ，弧''Q P ≈''Q P ,且''P Q QP 和近似地垂直于主轴，P 、'P 点分别是Q 、'Q 点在主轴上的的垂足，所以s 和's 分别为近轴物点Q 的物距和像点'Q 的像距，它们满足式(2-7).近轴物点及其共轭像点到主轴的距离分别为物高和像高，用y 和'y 表示.引入横向放大率β,其定义为像高和物高之比，即 yy '≡β 式（2-11）在近轴区的条件下，i i =sin ，又由折射定律，可得''i n ni = 式（2-12）图3 单球面折射近轴物点成像即有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-'''s y n s y n 式（2-13） 由式(2-11)，可以得到横向放大率公式 sn ns ''=β 式（2-14） 3.单球面物像折射公式的应用3.1 高斯公式的推导把式(2-8)和式(2-9)代入式(2-7)可得，''''f n f n s n s n =-=- 或 1''=+sf s f 式（3-1） 此式便是普遍的物像公式，称为高斯物像公式.3.2 牛顿公式的推导如图4，在确定物点P 和像点'P 的位置后，我们把物距和像距分别从物方焦距和像方焦距算起.物点在F 之左的，物距FP 用x -表示；像点在'F 之右的，像距P F '用'x +表示.反之亦然.这样就有()()f x s -+-=- ()()'''x f s +++=图4 顶点为物方和像方焦点时的物距和像距示意图代入式(3-1)可得1'''=+++fx f f x f 即有''ff xx = 式（3-2） 此式便是牛顿公式.3.3 近轴光线单球面反射公式的推导对于反射情况，这里利用焦距和折射率的关系，从两方面入手进行讨论与推导.下面先就焦距与折射率的关系开始进行讨论.关于焦距和折射率的关系，已在上文中给出了具体的关系式，即式（2-10）. 在球面反射的情况中，物空间与像空间重合，且反射光线与入射光线的传播方向恰恰相反.这一情况，在数学处理上可以认为像方介质的折射率'n 等于物方介质折射率n 的负值，即nn -='（这仅在数学上有意义）。

球面镜成像知识点总结在物理学中，球面镜是一种常见的光学元件，被广泛应用于显微镜、望远镜、放大镜等光学仪器中。

了解球面镜成像的知识点对于理解光学原理和应用场景非常重要。

本文将对球面镜成像的基本原理、公式推导和应用进行总结，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。

一、球面镜成像的基本原理球面镜成像是基于光线的折射和反射原理实现的，其基本原理主要包括以下几点：1. 球面镜的几何构造：球面镜由一个球面和中心在球面上的一条由球心到某一点的弧线组成。

球面分为凸面镜和凹面镜两种类型。

2. 球面镜的焦点：球面镜的焦点是指经过镜面反射或折射后光线会经过的一点。

对于凸面镜，焦点位于球面镜的正面，称为实焦点；对于凹面镜，焦点位于球面镜的背面，称为虚焦点。

3. 球面镜的主轴：球面镜的主轴是指通过球心和镜面中心的一条直线，是球面镜的对称轴。

4. 球面镜的顶点：球面镜的顶点是指球面与主轴相交的一点，也是球面镜的中心。

5. 光线的入射和反射：光线经球面镜的入射会发生折射或反射。

对于凸面镜，光线经球面镜的入射会发生折射，对于凹面镜，光线经球面镜的入射会发生反射。

二、球面镜成像的公式推导球面镜成像的公式推导可以从几何光学的原理和球面镜的特性出发，其中最为重要和常用的是薄透镜公式和球面镜成像公式。

1. 薄透镜公式：薄透镜公式是用于描述透镜成像的基本公式，球面镜成像可以近似看作是透镜成像的特殊情况。

薄透镜公式为：1/f = 1/v + 1/u其中，f表示透镜的焦距，v表示像的距离，u表示物的距离。

2. 球面镜成像公式：球面镜成像公式是基于几何光学原理和球面镜特性推导得出的。

对于凸面镜，球面镜成像公式为：1/f = 1/v - 1/u对于凹面镜，球面镜成像公式为：1/f = -1/v + 1/u其中，f表示球面镜的焦距，v表示像的距离，u表示物的距离。

三、球面镜的成像规律和特点了解球面镜的成像规律和特点有助于理解和应用相关知识。

1. 凸面镜成像规律：凸面镜对平行光的成像规律如下：a. 平行于主轴的光线经凸面镜折射后会汇聚于焦点。

薄透镜公式与成像公式薄透镜公式和成像公式是光学中常用的两个公式，用于描述光线在薄透镜上折射和成像的关系。

下面将详细介绍这两个公式的原理和应用。

一、薄透镜公式薄透镜公式是描述光线通过薄透镜的折射现象的数学关系。

对于光线通过一面球面薄透镜的情况，薄透镜公式可以表示为：1/f = 1/v - 1/u其中，f为薄透镜的焦距，v为物体的像距，u为物体的物距。

这个公式表明，通过薄透镜的光线在成像时，满足一个焦平面定理，即物体到透镜的距离与像距的倒数相等。

物距为正表示物体在透镜的一侧，为负表示物体在透镜的另一侧；像距为正表示像在透镜同一侧，为负表示像在透镜的另一侧。

薄透镜公式适用于近轴光线的情况，即光线的入射角较小，可以忽略球面形状的影响。

对于平行光线入射的情况，可以将物距u设置为无穷大，用公式简化为：1/f = 1/v二、成像公式成像公式是描述光线通过薄透镜成像的关系。

根据几何光学的原理，对于一个在光轴上的物体，它的像也将在光轴上。

根据成像公式可以得到：h'/h = -v/u其中，h'为像的高度，h为物体的高度，v为像距，u为物距。

这个公式表明了物体和像的高度比与物距和像距的比例关系。

当物体离透镜较远时，像也较小；当物体离透镜较近时，像会放大。

根据成像公式，可以推导出物体和像的位置关系。

当物体在透镜的同一侧时，像在透镜的另一侧，为实像；当物体在透镜的另一侧时，像在透镜的同一侧，为虚像。

三、应用举例薄透镜公式和成像公式在实际应用中非常广泛。

以下举例说明其应用：1. 近视眼镜的设计：根据薄透镜公式和成像公式，眼镜设计师可以计算出近视患者所需的透镜度数，从而制造出合适的近视眼镜。

2. 显微镜的成像原理：显微镜利用物镜和目镜的组合，将物体的像放大。

根据成像公式，可以计算出物镜和目镜的焦距和位置，从而调整显微镜的放大倍数。

3. 相机的镜头设计：相机的镜头利用薄透镜的原理将景物成像在感光材料上。

根据薄透镜公式和成像公式，相机设计师可以优化镜头的焦距和光学性能，以获得更好的成像质量。

第五章透镜及其应用一、透镜、至少有一个面是球面的一部分的透明玻璃元件（要求会辨认）1、凸透镜、中间厚、边缘薄的透镜，如：远视镜片，照相机的镜头、投影仪的镜头、放大镜等等；2、凹透镜、中间薄、边缘厚的透镜，如：近视镜片；二、基本概念：1、主光轴：过透镜两个球面球心的直线，用CC/表示；2、光心：通常位于透镜的几何中心；用“O”表示。

3、焦点：平行于凸透镜主光轴的光线经凸透镜后会聚于主光轴上一点，这点叫焦点；用“f”表示。

4、焦距：焦点到光心的距离（通常由于透镜较厚，焦点到透镜的距离约等于焦距）焦距用“f”表示。

注意：凸透镜和凹透镜都各有两个焦点，凸透镜的焦点是实焦点，凹透镜的焦点是虚焦点；三、三条特殊光线（要求会画）：1、通过透镜光心的光线经透镜折射后不改变传播方向。

如下图1：2、平行于透镜主光轴的光线，经凸透镜后会聚于凸透镜另一侧焦点处；经凹透镜折射后向外发散，但其反向延长线必过焦点（所以凸透镜对光线有会聚作用，凹透镜对光有发散作用）如下图2：3、从凸透镜焦点发出的光线经凸透镜折射后平行于主光轴；射向异侧焦点的光线经凹透镜后平行于主光轴；如下图3：四、粗略测量凸透镜焦距的方法：使凸透镜正对太阳光（太阳光是平行光，使太阳光平行于凸透镜的主光轴），下面放一张白纸，调节凸透镜到白纸的距离，直到白纸上光斑最小、最亮为止，然后用刻度尺量出凸透镜到白纸上光斑中心的距离就是凸透镜的焦距。

五、辨别凸透镜和凹透镜的方法：1、用手摸透镜，中间厚、边缘薄的是凸透镜；中间薄、边缘厚的是凹透镜；2、让透镜正对太阳光，移动透镜，在纸上能的到较小、较亮光斑的为凸透镜，否则为凹透镜；3、用透镜看字，能让字放大的是凸透镜，字缩小的是凹透镜；六、照相机：1、镜头是凸透镜；2、物体到透镜的距离（物距）大于二倍焦距(u﹥2f)，成的是倒立、缩小的实像；像与物位于透镜的两侧。

投影仪：1、投影仪的镜头是凸透镜；2、投影仪的平面镜的作用是改变光的传播方向；注意：照相机、投影仪要使像变大，应该让透镜靠近物体，远离胶卷、屏幕。

球面透镜知识点归纳总结一、球面透镜的基本结构球面透镜通常由一块玻璃或其他透明材料制成，表面呈球形或近似球形。

通常情况下，球面透镜的中心被定义为透镜的几何中心，而透镜的两个面分别为凸面和凹面。

二、球面透镜的分类根据透镜的折射性质，球面透镜可以分为凸透镜和凹透镜。

凸透镜的中心厚度薄，且在凸面上有透镜的凸度；凹透镜的中心厚度厚，且在凹面上有透镜的凹度。

根据球面的不同形状，球面透镜可以分为凸球面透镜和凹球面透镜。

三、球面透镜的物理特性1. 球面透镜的焦距球面透镜的焦距决定了透镜的聚焦能力，焦距越短，焦点就越集中。

如果透镜表面是凸面，焦点则在透镜的凹面表面；如果透镜表面是凹面，焦点则在透镜的凸面表面。

2. 球面透镜的倍率球面透镜的倍率是指透镜能够将原始物体的大小放大或缩小的比率。

倍率越大，表示透镜能够对物体进行更大的放大。

3. 球面透镜的曲率球面透镜的曲率决定了光线通过透镜后的折射情况。

对于凸球面透镜来说，其曲率半径是正的；对于凹球面透镜来说，其曲率半径是负的。

四、球面透镜的光学原理1. 球面透镜的折射当光线通过球面透镜的表面时，会发生折射现象。

根据透镜的曲率和折射率，可以计算出折射角和入射角之间的关系。

2. 球面透镜的成像当平行光线通过球面透镜时，会在焦点处聚焦成一个点。

对于不同位置的物体，球面透镜能够形成不同位置和大小的实像。

3. 球面透镜的像距和物距球面透镜的像距和物距之间有一定的关系，可以通过透镜的焦距和物体的位置来计算。

五、球面透镜的应用1. 光学成像球面透镜被广泛应用在摄像机、望远镜、显微镜等光学成像设备中，能够实现对物体的放大和成像。

2. 光学焦点球面透镜能够将平行光线聚焦到焦点处，实现对光线的聚焦和集中，用于制作激光器等光学设备。

3. 光学矫正球面透镜被用于矫正视觉问题，如近视、远视等，通过透镜的曲率和焦距来弥补眼睛的视觉问题。

4. 科学实验球面透镜还被广泛应用于科学研究和实验中，用于制造光学实验室仪器和设备。

13.4 光在球面上的折射成像1 物像公式如图13-9所示,AOB 是折射率分别为21n n 和两种介质的球面界面,设12n n >，光线从物点S 发出,经球面折射后与主光轴相交于I 点，即I 点为像点。

由SAC ∆和IAC ∆有βθϕϕαθ+=+=21,根据折射定律2211sin sin θθn n =对近轴光线,21θθϕβα、、、、都很小,有1122n n θθ≈将21θθ和代入上式得()ϕβα1221n n n n -=+又 /tan tan tan h h h pp rααββϕϕ≈≈≈≈≈≈- 于是可得2121/n n n n p p r--= (13-8) 这就是在近轴光线条件下球面折射的物像公式.。

2 焦点 焦距与反射成像类似,若式(13-8)中-∞=p ,即入射光线平行于主光轴,其像点'F 称为像方图13-9 光在球面上的折射焦点,相应像距p '称为像方焦距, 以/f 表示;而折射线平行于主光轴,即'p =∞,其物点F 称为物方焦点,相应物距p 称为物方焦距, 以f 表示,即121n f r n n =-- 221n f r n n '=- (13-9)式(13-8)也可以表示为'1'f fp p+= (13-10) 3 横向放大率与球面反射镜同样地规定o i h h 、的正负，ioh m h =，见图13-10,可以证明折射球面的横向放大率为/12i o h n p m h n p==(13-11) m 取值的意义与球面反射镜相同。

说明 （1）式（13-8）~(13-11), 同样适用于凹折射球面;应用这些公式时,物距、像距、焦距以及曲率半径的正负选择与球面镜规则相同。

（2）在式(13-8)中,令r →∞,则得平面折射成像公式21/0n n p p-=。

4 近轴光线的作图法 对于折射球面成像,选取下列两条光线能容易作图成像,图13-10折射球面的横向放大率S1n 2n I 'I图13-11 折射球面特殊光线作图法如图13-11 所示。