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§3-4 球面折射成像 两种媒质的分界面是球面的折射。
一、理想成像的物像公式 1、成像光路图 P球面P.1P.2APOP’ COP’ C光束关于主轴对称，所以只需讨论过主轴的平 面内的成像特性。
考察由光源P发出的两条光线： (1) 沿主轴方向不发生偏折的光线POP’； (2) 入射到球面上A点，折射后交光轴于P’点的光线 PAP’。
next nextO为球面的中心，也称为球面的顶点， C为球面的球心，也称为球面的曲率中心， 过O点和C点的线称为主轴(或光轴)。
物点P发出的光束经球面折射后会聚于像点P’ 。
2、符号法则 (1) 轴上点P O C P’P.3(2)垂轴线段 垂轴线段的高度也用代数量表示。
轴上为正，轴下为负。
正PP.4建立坐标系，用代数量描述轴上点的位置。
坐标轴：方向沿光轴，正向与入射光线方向一致， 原点为球面顶点O。
物点：坐标用s 表示，称为物距。
一般情况下，实物s为负，虚物s为正。
像点：坐标用s'表示，称为像距。
一般情况下，实像s'为正，虚像s'为负。
球心：坐标用r表示，称为球面半径。
next负 ？O C正 ？P’负 (3)光线与光轴的夹角： 光线与光轴的夹角仍用代数量描述。
从光轴开始转向角的另一边，顺时针为正，逆 时针为负。
nextP.5 在光路图中，通常标出的都是几何量(正值)。
如图：物距为负值，标为 –s； 像距为正，标为s'； 球面半径为正，标为r； PA与光轴的夹角为负，标为-u； P’A与光轴的夹角为正，标为u'。
过A点的球面法线是CA，入射角为-i，折射角为-i' 。
3、物象关系的推导 目的：找到s'与s, r, n, n'的关系。
方法：在A点处用折射定律 : n sin(-i)=n'sin(-i')， 从几何上找到 sin(-i)、sin(-i') 与 s, r, s' 的关系，得物 像关系式。
球面镜成像与球面折射光学是一门研究光的传播和光与物质相互作用的学科。
其中，球面镜成像和球面折射是光学中重要且常见的两个现象。
本文将分别探讨球面镜成像和球面折射的原理和应用。
一、球面镜成像球面镜是一种由球面形状构成的光学元件，广泛应用于望远镜、显微镜、照相机等光学设备中。
光线经过球面镜时，会发生反射和折射，从而形成一个虚像或实像。
1. 球面镜的分类根据球面镜的形状，可以将其分为凸面镜和凹面镜两种类型。
凸面镜中心比边缘厚，会使平行光线向焦点汇聚，形成实像。
凹面镜中心比边缘薄，会使平行光线发散，形成虚像。
2. 球面镜成像原理凸面镜成像的原理是光线从远离光轴的半径较大区域到达凸面镜，根据反射定律，经过反射后会汇聚到焦点处形成实像。
凹面镜成像的原理是光线从远离光轴的半径较小区域到达凹面镜，根据反射定律，经过反射后会发散，形成虚像。
3. 球面镜成像应用球面镜成像在现实生活中有着广泛的应用。
比如，我们常用的化妆镜就是凸面镜，它能够放大物体并形成倒立实像，方便我们对细节进行观察和修饰。
眼镜则是利用凸面镜成像原理矫正人眼的视力问题。
除此之外，球面镜的成像原理也被应用于照相机镜头的设计和制造，起到捕捉清晰图像的作用。
二、球面折射球面折射是光线从一种介质射入另一种介质时的折射现象。
球面折射经常发生在透明介质之间，比如水和空气之间、玻璃和空气之间等。
球面折射也是光学中重要的现象之一。
1. 球面折射的原理光线从一种介质射入另一种介质时，会因介质密度的不同而发生折射。
根据斯涅尔定律，光线射入球面界面上的法线方向发生偏转，使得折射光线的入射角和折射角之间满足一定的关系。
2. 球面折射的应用球面折射的应用非常广泛，特别是在光学设备制造和光学通信领域。
光学透镜利用球面折射原理来聚焦光线，从而对光线进行控制和调节。
比如，在显微镜中，透镜通过球面折射使得物体放大并清晰可见。
在光纤通信中，光信号通过光纤中的球面折射进行传输，实现远距离的高速传输。
§1.4、光在球面上的反射与折射1.4.1、球面镜成像<1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。
一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F<图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。
一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F<图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。
可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即b5E2RGbCAP<2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。
下面以凹镜为例来推导：<如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于点，半径CA为反图1-4-1图1-4-2射的法线，即S的像。
根据反射定律，，则CA为角A的平分线，根据角平分线的性质有p1EanqFDPw①由为SA为近轴光线，所以，，①式可改写为②②式中OS叫物距u，叫像距v，设凹镜焦距为f，则代入①式化简这个公式同样适用于凸镜。
使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。
DXDiTa9E3d上式是球面镜成像公式。
它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。
凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。
在成像中，像长和物长h之比为成像放大率，用m表示，RTCrpUDGiT由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况～2f表Ⅱ 凸镜成像情况～～2f同侧～<3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
5PCzVD7HxA 如图1-4-4所示，半径为R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R ，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R 处放一点光源S 。
球面折射成像公式描述了当光线通过球面界面时形成的折射成像情况。
公式如下：
1/f = (n - 1)(1/R1 - 1/R2)，其中f是球面镜的焦距，n是介质的折射率，R1和R2是球面镜的半径。
这个公式基于薄透镜假设，并假设光线在球面附近以近似平行线的形式传播。
公式的推导基于斯涅尔定律（也称为折射定律），根据光线在界面上的折射行为进行推导得出。
通过球面折射成像公式，可以计算出在球面界面上的物体和像的位置关系，以及物体和像的大小关系。
但需要注意，此公式只适用于薄球面透镜的情况，且在一些特殊情况下，如超过球面的临界角度或光线非近似平行的情况下，该公式的适用性可能有限，需要考虑其他因素。
理解几何光学中的球面折射与成像光学是物理学的一个重要分支，研究光的传播、反射、折射和成像等现象。
在光学中，球面折射与成像是一个重要的概念，它涉及到光线在球面上的传播和折射，以及由此产生的成像效果。
理解球面折射与成像对于我们认识光学现象和应用光学原理具有重要意义。
首先，我们来了解一下球面折射的基本原理。
当光线从一种介质射向另一种介质时，由于介质的折射率不同，光线会发生折射。
而当光线射入球面时，由于球面的曲率，光线会发生弯曲。
这种现象就是球面折射。
球面折射的基本原理可以用斯涅尔定律来描述，即光线在折射时入射角和折射角之间的关系满足sinθ1/sinθ2=n2/n1，其中θ1为入射角，θ2为折射角，n1和n2分别为两种介质的折射率。
在理解了球面折射的基本原理后，我们可以进一步探讨球面折射对成像的影响。
当光线通过球面折射后，会发生折射点的偏移和成像的变化。
具体来说，对于一束平行光线射入球面，经过折射后，光线会集中到球面的一个焦点上。
这个焦点就是球面的主焦点，它是球面折射后光线汇聚的位置。
而对于一个物体，当光线经过球面折射后，会在另一侧的球面上形成一个像。
这个像的位置和形状取决于物体的位置和球面的曲率。
当物体位于球面的主焦点上时，成像会出现在无限远处，形成一个实像。
当物体位于主焦点和球面之间时，成像会出现在球面的另一侧，形成一个放大的虚像。
当物体位于主焦点和球面之外时，成像会出现在球面的同一侧，形成一个缩小的虚像。
除了主焦点外，球面还具有次焦点和次主焦点。
次焦点是光线平行射入球面后汇聚的位置，次主焦点是光线从球面射出后汇聚的位置。
次焦点和次主焦点的位置和主焦点相对应。
当光线从球面射出时，会经过次焦点或次主焦点，然后发散出去。
这种现象在实际应用中有着重要的意义，比如在望远镜和显微镜中，通过调节物镜和目镜之间的距离，可以使光线从球面射出，从而实现放大或缩小的效果。
理解球面折射与成像对于我们认识光学现象和应用光学原理具有重要意义。
球面折射物象公式的几种推导方法1 老祖宗经验法老祖宗经验法是一种最简单的球面折射物象公式推导方法，他们直接采用实验验算的方法求出球面折射物象。
老祖宗发现，如果将一块表面光滑的球体放置在一个某一方向的光源的总路线上，会发现现象的发生是一个凸起，而不是广滑表面。
老祖宗将其称作“折射”，又称为“折射物”。
一般而言，老祖宗得出的球面折射物象公式是按照以下比例来设计的：从光源出发的光线是1 ：2，从球体出发的光线则是1 ：3，而从球体出发的光线是2 ：3。
2 波动性能现场经验法波动性能现场经验法是一种可以提供完整球面折射物象公式的量化方法。
它是基于实际现象，将已知参数代入计算表中，从而获得相应的球面折射物象公式。
此方法反映振幅、频率、折射角及其它参数，可将这些参数代入计算表中，由计算表给出球面折射物象公式。
采用这种方法求出的球面折射物象公式可以满足物理属性上的要求。
3 数学公式法数学公式法是从现象出发，使用数学方程来推导球面折射物象公式的方法。
这种方法是基于对球面折射现象的量化描述，把球面折射物象换算成数学公式，然后从定理出发，使用数学运算法则，从而推导出球面折射物象公式。
数学公式法为求球面折射物象公式提供了一个可行的平台，但通常受到算子能力的限制，结果不是很理想。
4 数值模拟方法数值模拟方法是一种非常有效的求球面折射物象公式方法，它利用计算机对球面折射物象现象进行模拟，从而求出球面折射物象公式。
该方法的优点在于可以获得最完整的球面折射物象公式，并且可以非常迅速地获得球面折射物象公式。
但是，这种方法依赖于计算机计算能力，如果计算机能力不能跟上要求，可能会对球面折射物象公式的准确性造成影响。
§3-5 光在球面上的反射和折射单独一个球面不仅是一个简单的光学系统，而且是组成光学仪器的基本元件，研究光经由球面的反射和折射，是一般光学系统成象的基础。
一、符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定一些适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用。
(图3－12)图3-12中的AOB 所示球面的一部分，这部分球面的中心点O 称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点的曲率中心的直线CO 称为主轴，通过主轴的平面称为主截面，主轴对于所有的主截面具有对称性，因而我们只须讨论一个主截面内光线的反射。
图3-12表示球面的一个主截面。
在计算任一条光线的线段长度和角度时，我们对符号作如下规定。
（1）光线和主轴交点的位置都从顶点算起，凡在顶点右方者，其间距离的数值为正；凡在顶点左方者，其间距离的数值为负，物点或象点至主轴的距离，在主轴上方为正，在下方为负。
（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）算起，并取小于2π的角度，由主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向转，则该角度的数值为正；若沿逆时针方向转动的，则该角度的数值为负（在考虑角度的符号时，不必考虑组成该角度两边的线段的符号）。
（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值，例如s 表示的某线段值是负的，则应用()s -来表示该线值的几何长度。
以下讨论的都是假定光线自左向右进行。
二、球面反射对光束单心性的破坏在图3-12中，一个从点光源P 发出的光波从左向右入射到曲率中心为C ，顶点为O ，曲率半径为γ的一个凹球面镜上，光线PA 经球面镜AOB 反射后，在'P 点与主轴相交，令 '',,'',ττ==-=-=AP PA s O P s PO半径AC 与主轴的夹角为ϕ，则光线'PAP 的光程为 (')'P A P n n ττ=+ 在PAC ∆和'ACP ∆中应用余弦定理，并注意c o s c o s ()()()'()(')',P C sr r s C P r s s r ϕπϕ=--=---=-=---=- 从而可得()()()()[]2122cos 2ϕs r r s r r l --+-+-=（3-10）以及()()()()[]2122'cos '2'ϕr s r r s r l ----+-= （3-11）因此，光线'PAP 的光程可写成12221222(')()()2()()cos ()(')2()(')cos PAP n r r s r r s n r s r r s r ϕϕ⎡⎤=-+-+--⎣⎦⎡⎤+-+----⎣⎦（3－12）由于当A 点在镜面上移动时，半径r 是常数，而ϕ才是位置的变量，根据费马原理，物象间的光程应取稳定值，为此，把（3-12）式对ϕ求导，并令其等于零，即()()[]()[]0sin '21sin 21''=-+--=ϕϕϕr s r ln s r r l n d PAP d 由此可得 0''=---l rs l s r 或者⎪⎭⎫⎝⎛+=+l s l s r l l ''111'（3-13） 如果发光点P 至O 点的距离s 为已知，从此式即可算出任一反射线和主轴的交点'P 到 O 点的距离's 的值，显然's 的值将随着所取入射线的倾斜角u ，亦即角ϕ的变化而变化，这就是说，从物点发散的单心光束经球面反射后，将不再保持单心（即使平等光束入射时也不例外），关于这一点可说明如下：PC A 1A 2OP 2P'P 3 (图3－13)图3-13中，相应于1PA 及2PA 两入射光线的反射线分别交主轴于1P 和2P 两点，且相交于'P 点，把该图绕主轴PO 转过一个小角度，使三角形12PA A 展成一单心的空间光束，此时'P 点描出一条很短的弧线，它垂直于图面即反射光束的子午象线，而图面中的12PP 则为弧矢象线。
